Bài thảo luận Lý thuyết xác suất và thống kê toán

Bài thảo luận Lý thuyết xác suất và thống kê toán Mục lục Đề mục Trang Lời nói đầu 2 Đề tài 1: 4 Phần I: Tính cấp thiết của đề tài 4 Phần II: Cơ sở lý thuyết 6 1. Ước lượng kỳ vọng của ĐLNN 6 2. Kiểm định giả thuyết thống kê 11 Phần III: Giải bài toán 13 Phần IV: Mở rộng, liên hệ thực tế, kết luận 23 Lời mở đầu Thống kê học có thể được định nghĩa một cách khái quát như là khoa học, kỹ thuật hay nghệ thuật của việc rút ra thông tin từ dữ liệu quan sát, nhằm giải quyết các bài toán từ thực tế cuộc sống. Việc rút ra thông tin đó có thể là kiểm định một giả thiết khoa học, ước lượng một đại lượng chưa biết hay dự đoán một sự kiện trong tương lai. Phương pháp ước lượng bằng khoảng tin cậy sẽ giúp chúng ta ước lượng một tham số θ của một đại lượng ngẫu nhiên gốc X trên một đám đông nào đó, với sai số ε và chỉ ra khả năng mắc sai lầm khi ước lượng là bao nhiêu. Kể cả khi nghiên cứu trên mẫu có kích thước nhỏ thì ước lượng khoảng tin cậy cũng sẽ cho kết quả với sai số khá nhỏ. Bằng phương pháp ước lượng khoảng tin cậy, ta có thể giải quyết các bài toán thống kê thường gặp trong cuộc sống như: ước lượng mức chi tiêu trung bình hàng tháng của sinh viên trường Đại học Thương Mại, ước lượng tuổi thọ của một nhóm người, ước lượng sai số của chi tiết máy,… Cùng với lý thuyết ước lượng, lý thuyết kiểm định các giả thuyết thống kê là một bộ phận quan trọng của thống kê toán. Nó là phương tiện giúp ta giải quyết những bài toán nhìn từ góc độ khác liên quan đến dấu hiệu cần nghiên cứu trong tổng thể. Vì không nghiên cứu trên đám đông nên ta không biết dạng phân phối xác suất của dấu hiệu cần nghiên cứu X trên đám đông hoặc có thể biết dạng phân phối xác suất của X nhưng chưa biết số đặc trưng θ nào đó của nó. Ta có thể đưa ra các giả thuyết thống kê, đó là giả thuyết ta đang nghi ngờ và một giả thuyết trái với giả thuyết gốc. Tiến hành công việc theo quy tắc hay thủ tục để từ một mẫu cụ thể cho phép ta đi đến quyết định: chấp nhận hay bác bỏ một giả thuyết thống kê. Thống kê toán nói chung hay bài toán ước lượng và kiểm định nói riêng có ứng dụng rất rộng rãi trong thực tế và đời sống. Nó không chỉ giúp giải quyết các bài toán thực tế mà còn có thể giải quyết các bài toán trong ngiên cứu khoa học. Các phương pháp ước lượng, kiểm định có ứng dụng rất lớn trong thực tế bởi vì trong nhiều lĩnh vực nghiên cứu chúng ta không thể có được những con số chính xác, cụ thể do việc nghiên cứu trên đám đông quá lớn và tốn nhiều chi phí. Vì vậy mà chúng ta cần ước lượng và kiểm định. Các phương pháp này giúp chúng ta đánh giá được các tham số trong trường học, cũng như các vấn đề về xã hội và kinh tế như: Vấn đề về xã hội: ước lượng tổn thất trong những vụ thiên tai, ước lượng chiều cao trung bình của người Việt Nam, trọng lượng trung bình của trẻ sơ sinh,tỉ lệ đói nghèo để từ đó đánh giá về chât lượng đòi sống của người dân… Vấn đề về kinh tế bao gồm cả kinh tế vi mô và kinh tế vĩ mô như: tỉ lệ thất nghiệp của người lao động, tỉ lệ xuất nhập khẩu hàng hóa qua từng năm, tỉ lệ GDP bình quân… ĐỀ TÀI 1 Với độ tin cậy là 95% hãy ước lượng chiều cao trung bình của nữ sinh viên Đại học Thương mại. Theo báo cáo thống kê của viện Khoa học Thể dục thể thao năm 2004 chiều cao trung bình của nữ thanh niên Việt Nam là 153,4 cm. Hãy kiểm định giả thuyết cho rằng chiều cao của nữ sinh viên ĐHTM cao hơn mức trên? Phần I: Tính cấp thiết của đề tài Ngày nay theo xu thế phát triển của thế giới, những ứng dụng của ngành khoa học xác xuất thống kê ngày càng trở nên quan trọng trong hầu hết mọi lĩnh vực từ khoa học công nghệ đến kinh tế, chính trị và đời sống hàng ngày. Việc nghiên cứu các số liệu trở nên cần thiết hơn nhằm có thể đưa ra những con số biết nói giúp chúng ta trong công việc nghiên cứu khoa học và xã hội để từ đó đưa ra những điều chỉnh hợp lý đưa thực tiễn cuộc sống vào nghiên cứu khoa học và vận dụng những thành tựu đạt được nhằm xây dựng xã hội tốt đẹp hơn. Xã hội phát triển kèm theo sự gia tăng đến chóng mặt của các dịch vụ giáo dục, y tế, sức khoẻ, ... Chế độ dinh dưỡng cho mỗi người ngày càng được củng cố với mục tiêu làm sao cung cấp đầy đủ các chất dinh dưỡng để phát triển toàn vẹn thể chất con người nhằm phục vụ cho lao động sản xuất. Theo thống kê của các nhà khoa học Mỹ, hiện nay chiều cao của nhân loại có sự cải thiện đáng kể so với cha ông. Cùng với sự đi lên của xã hội, các bậc phụ huynh ngày càng dành nhiều sự quan tâm tới chiều cao của con cái. Chiều cao của thanh niên thời nay là sự mong mỏi không những của các bậc cha mẹ mà còn của cả một quốc gia. Khi xem những trận thi đấy thể thao như bóng chuyền, bóng rổ,.. hay khi thi tuyển vào các chuyên ngành như: hàng không, cảnh sát, ngân hàng,... chúng ta sẽ nhận thấy sự thua thiệt của những người có chiều cao khiêm tốn. Sinh viên là tầng lớp xã hội luôn được quan tâm và trông đợi nhất, là cánh cửa bước vào tương lai của cả quốc gia. Tầng lớp sinh viên được xã hội đánh giá không chỉ thông qua trí tuệ, trình độ học vấn, sự nhanh nhạy trong xử lý công việc và kỹ năng cuộc sống mà cả vào vóc dáng thể chất, và hình thức. Dựa vào đó, nhóm 1, lớp Xác suất và Thống kê toán, ĐH Thương Mại đã lựa chọn đề tài nghiên cứu về chiều cao của nữ sinh viên đại học Thương Mại cho bài thảo luận và qua đó giúp: Trường có thể đưa ra kích cỡ đồng phục thể dục nữ trung bình phù hợp với sinh viên của trường. Chúng ta có thể phân loại các mức chiều cao khác nhau nhằm đưa ra chế độ luyện tập thể dục thể thao hợp lí cho từng nhóm sinh viên. Phân nhóm theo phương pháp có tập thể thao hay không, từ đó biết được sự ảnh hưởng của thể dục thể thao đến chiều cao như thế nào. Có thể nghiên cứu thêm để nắm bắt được tình hình sức khỏe của nữ sinh viên Thương Mại như chế độ ăn uống, hoàn cảnh sống, chế độ sinh hoạt, hoạt động thể dục thể thao… Ngoài ra từ số liệu thống kê đã điều tra được ta có thể kiểm định được các giả thiết về chiều cao của nữ sinh viên trường ĐHTM so với chiều cao trung bình của nữ thanh niên là cao hơn hay thấp hơn. Phần II: Cơ sở lý thuyết 1. Ước lượng kì vọng toán của ĐLNN a, Trường hợp X ~ N(µ;), với đã biết TH1: khoảng tin cậy đối xứng của µ TH2: khoảng tin cậy phải ( ước lượng giá trị tối thiểu ) TH3: khoảng tin cậy trái ( để ước lượng giá trị tối đa ) b, ĐLNN X phân phối theo quy luật chuẩn, phương sai chưa biết, n < 30 Vì X N(,2) à T= n-1 (*) Khoảng tin cậy đối xứng (1= 2= /2) Với =1- tìm được thỏa mãn: P() =1- = Thay T ta có: P( - < < + ) =1- = Khoảng tin cậy đối xứng của : ( - ε, + ε) với ε = (*) Khoảng tin cậy phải (1= 0, 2= ) ước lượng min, max Với α (0,1) tìm được thỏa mãn: P( T<)= 1- = Thay T vào àP( - < )= 1- = khoảng tin cậy phải của (- ,+ ) với ε = min= - max=+ (*) Khoảng tin cậy trái (1= , 2= ) ước lượng max, min Với α (0,1) tìm được thỏa mãn: P( )= 1- = Thay T vào àP( + < )= 1- = khoảng tin cậy trái của (+ ε,+ ) với ε = max= + min= + c, Trường hợp chưa biết quy luật phân phối của X nhưng n > 30 Do n >30 à X≃N(,) à U= ≃N(0,1) Hoàn toàn tương tự phần a) ta có: - Khoảng tin cậy đối xứng của µ: ( - ε, + ε) với ε = uα/2 - Khoảng tin cậy phải của µ là (- ,+ ) với ε = uα µmin = - uα - Khoảng tin cậy trái của µ là (- , + ε ) với ε = uα µmax = + uα *Chú ý: Khi tìm ε, nếu σ chưa biết nhưng n > 30 ta dùng ước lượng điểm là σ ≈ s(s’) trong một lần chọn mẫu 2. Kiểm định giả thuyết thống kê a, Giả thuyết thống kê: Giả thuyết về quy luật phân phối xác xuất của ĐLNN, về các tham số đặc trung của ĐLNN hoặc về tính độc lập của các ĐLNN được gọi là giả thuyết thống kê, kí hiệu là H0. Một giả thuyết trái với giả thuyết H0 được gọi là đối thuyết, kí hiệu là H1. Các giả thuyết thống kê có thể đúng hoặc sai nên ta cần kiểm định, tức là tìm ra lí luận về tính thừa nhận hay không thừa nhận được của giả thuyết đó. Việc kiểm định này được gọi là kiểm định thống kê. b, Tiêu chuẩn kiểm định c, Miền bác bỏ d, Qui tắc kiểm định Để kiểm định một cặp giả thuyết thống kê ta tiến hành như sau : Xác định bài toán kiểm định. Xây dựng một tiêu chuẩn kiểm định G thích hợp. Tìm miền bác bỏ Wα. Từ đám đông ta lấy ra một mẫu cụ thể kích thước n và tính gtn. Nếu gtn Wα thì bác bỏ H0 và chấp nhận H1. Nếu gtn Wα thì chưa có cơ sở bác bỏ H0. e, Các sai lầm thường gặp f, Kiểm định giả thuyết về kì vọng toán Trường hợp X ~ N(µ;), với đã biết Bài toán 1: Bài toán 2: Bài toán 3: Phần III: Giải bài toán * Bảng số liệu điều tra chiều cao nữ sinh viên ĐHTM (Xem phụ lục) * Bảng phân phối Chiều cao 1.45-1.49 1.5-1.55 1.56-1.6 1.61-1.65 1.66-1.7 Trung bình của khoảng 1.47 1.525 1.58 1.63 1.68 N 3 60 84 43 9 F 0.015075377 0.301508 0.422111 0.21608 0.045226 Chiều cao trung bình 1.577085 Có n = 199, = 0.95, = 157.7085, s’ = 4.57 1. ƯỚC LƯỢNG CHIỀU CAO TB CỦA SV NỮ TRƯỜNG ĐHTM Gọi X là chiều cao của nữ sinh viên trường ĐHTM là chiều cao trung bình của nữ sv trường ĐHTM trên mẫu Μ là chiều cao trung bình của nữ sv trường ĐHTM trên đám đông. Vì n=199 >30 nên X ~ N(μ;) XDTK: U= ~ N(0;1) Với độ tin cậy γ= 0,95 ta tìm giá trị phân vị sao cho: → khoảng tin cậy của µ là: Ta có γ=1- α = 0.95 suy ra α=0.05, =1.96 nhận giá trị cụ thể: từ mẫu ta tính được: Trung bình mẫu: =157.7085 (cm) Vì n>30 nên:σ ≈ s’ = 4.57 (cm) Ԑ= 0.635 - ε = 157.7085 - 0.635 = 157.0735 ( cm) + ε = 157.7085 + 0.635= 158.3435 (cm) KL: với độ tin cậy 95% có thể nói rằng chiều cao trung bình của nữ sinh viên trường ĐHTM nằm trong khoảng (157.0735; 158.3435) 2.KIỂM ĐỊNH GIẢ THUYẾT Gọi X là chiều cao của nữ sinh viên trường ĐHTM là chiều cao trung bình của nữ sv trường ĐHTM trên mẫu μ là chiều cao trung bình của nữ sv trường ĐHTM trên đám đông. Với mức ý nghĩa α= 0.05, ta đi kiểm định bài toán: (*) Xâydựng TCKĐ: Vì n=199 >30 nên X ~ N(μ;) Xây dựng tiêu chuẩn kiểm định U = Nếu H0 đúng thì U ~ N(0;1). (*) Tìm miền bác bỏ: Với mức ý nghĩa α = 0.05 ta tìm uα sao cho P(U > uα) = α Vì α = 0.05 khá bé nên theo nguyên lý xác suất nhỏ ta có miền bác bỏ Wα= { utn: utn > uα} Với = 1,65 (*) Với mẫu cụ thể: = > uα → є W bác bỏ H0 chấp nhận H1 Kết luận: Vậy với mức ý nghĩa α = 0.05 có thể nói rằng chiều cao của nữ sinh viên ĐHTM cao hơn 153.4 cm Phần IV: Mở rộng, liên hệ thực tế, kết luận Khi nghiên cứu, nhóm 1 đã chọn ngẫu nhiên ra mẫu là 199 bạn nữ sinh viên của trường để tiến hành nghiên cứu và có thể đưa ra kết luận chung cho toàn bộ nữ sinh viên đại học Thương Mại với độ tin cậy là 95% và mức ý nghĩa 5%. Đây là một nghiên cứu nhỏ nhưng nó cũng có tính ứng dụng cao. Trước mắt, ở trong phạm vi hẹp đó là phục vụ nội bộ trường ĐHTM: Đặt mẫu đồng phục thể dục cho nữ sinh viên Có các môn thể thao phù hợp với chiều cao trung bình để sinh viên học tập dễ dàng và đạt kết quả tốt. Nhà trường sẽ phải có những điều chỉnh cơ sở vật chất phục vụ cho việc học của sinh viên. Đối với các bạn sinh viên trong trường và những người có quan tâm đến vấn đề chiều cao của nữ sinh ĐHTM có thêm được thông tin để định hướng và so sánh: Nữ sinh viên của trường ta đã đạt tiêu chuẩn về chiều cao khi đi xin việc chưa? Hiện nay các bạn nữ sinh viên theo học tại trường có độ tuổi từ 18-23, đây vẫn còn là giai đoạn phát triển và hoàn thiện của con người về thể chất. Vì thế các bạn vẫn có thể cao thêm cho đến khi ra trường. Hiện nay, các doanh nghiệp khi đưa ra thông báo tuyển dụng, thì ngoài trình độ chuyên môn, kỹ năng mềm ra họ còn rất chú trọng đến hình thức. Trong phần yêu cầu về hình thức, rất nhiều các doanh nghiệp đã đưa ra mức chiều cao tối thiểu để xét duyệt hồ sơ. Tùy từng ngành nghề và đặc thù công việc của nó mà yêu cầu những chỉ tiêu khác nhau song tối thiểu thì cũng phải từ 155cm. Ví dụ như ngành ngân hàng: không ai dám phủ nhận rằng nhân viên ngân hàng làm tại một số vị trí cần có chiều cao tương đối. Điều đó được phản ánh rõ trong tiêu chí tuyển dụng của một số ngân hàng: MariTime Bank: Giao dịch viên: Ngoại hình ưa nhìn, nam trên 1.65m, nữ trên 1.60m... Lễ tân: Ưu tiên nữ, ngoại hình ưa nhìn, cao trên 1.60m. ACB – Asia Commercial Bank: Kiểm soát viên giao dịch: Sức khoẻ tốt, ngoại hình dễ nhìn. Nam cao từ 1.67m, Nữ cao từ 1.55m trở lên, độ tuổi không quá 32.... Còn có những ngành nghề, công việc và một số công ty lại đưa ra tiêu chuẩn tối thiểu phải là 160cm trở lên như các công ty nước ngoài, các công ty về thời trang, du lịch, công ty tổ chức sự kiện… vì nhiều lý do khác nhau như do đồ dùng văn phòng mà họ sử dụng thích hợp với những người đó, mức độ đồng đều về hình thức của nhân viên là bộ mặt, hình ảnh của doanh nghiệp… Với chiều cao trung bình như thế và còn có thể tăng lên vì đang ở trong giai đoạn phát triển nên tỷ lệ nữ sinh viên của trường ta sẽ đạt yêu cầu này là rất lớn. Và định hướng những công việc phù hợp với chiều cao như thế? So sánh với sinh viên các trường đại học khác trong địa bàn thành phố Hà Nội, trên cả nước, trong khu vực và trên toàn thế giới? Nhóm đã liên hệ với các bạn tại các trường ĐH khác trên HN như trường Kinh tế quốc dân, Đại học Công Đoàn bằng cách lấy các số đo của các bạn dựa vào danh sách đăng ký đồng phục thể dục thì thu được số liệu và cũng đã phân tích với độ tin cậy là 95%, mức ý nghĩa 5% thì thấy nữ sinh viên trường KTQD với n=160, µ =158,31cm, б=5.45 và ước lượng chiều cao trung bình khoảng (157.47;159.16) cm, trường ĐH Công Đoàn khoảng n=160, µ= 158.5cm, б= 4.97cm và ước lượng chiều cao trung bình khoảng (157.73; 159.27) cm. Như vậy chiều cao của nữ sinh trường ta chênh lệch với các trường khác không nhiều. So sánh chiều cao trung bình của nữ sinh ĐHTM là 157.71, б= 4.2 cm với chiều cao trung bình của con gái tại HN là 155,53cm với б = 4.75cm thì cao hơn. Năm 2004, theo bộ Y tế: So với Nhật Bản, chiều cao trung bình của nữ thanh niên thấp hơn 4 cm (Việt Nam: 152,7 cm - Nhật 157 cm). Nếu so với chỉ số trung bình của thế giới thì càng kém (hiện nay, chiều cao trung bình của thế giới là 163,7 cm với nữ). Chiều cao trung bình của thanh niên VN chỉ ngang thanh niên Lào, Myanmar là 158,24cm. Những năm sau đó chiều cao của thanh niên VN cũng đã được cải thiện nhiều. Cụ thể như sau: Theo số liệu của Bộ Y tế, chiều cao trung bình của thanh niên Việt Nam vào năm 2010 mới đạt 161cm, chiều cao trung bình của nữ thanh niên là 155,03cm. So với các nước trong cùng khu vực thì chiều cao trung bình của ta vẫn còn kém khá xa. Làm phép so sánh chúng ta có thể thấy sự tăng trưởng về chiều cao trung bình của thanh niên VN tăng lên 2,76cm, nữ tăng 2,33cm. --> Xét về chiều cao trung bình của nữ sinh viên ĐHTM là một bộ phận của nữ thanh niên VN tại thời điểm này ta thấy cao hơn chiều cao trung bình của nữ thanh niên cả nước. Ngoài ra ta có thể nghiên cứu thêm một vài thông tin khác nữa như chế độ ăn, sinh hoạt, … tác động đến chiều cao của nữ sinh như thế nào và đưa ra giải pháp? Theo nghiên cứu của Nhật bản thì trong số các nhân tố ảnh hưởng đến chiều cao, tố chất thể lực con người thì dinh dưỡng chiếm 32%, thể dục thể thao chiếm 20%, môi trường tâm lý và xã hội: 16%, chỉ có 32% là do di truyền. Thế nên để nâng cao chiều cao của mình, các bạn nữ sinh nói chung và nữ sinh viên Đại học Thương Mại nói riêng thì ngoài yếu tố gen di truyền, chúng ta có thể đầu tư vào chế độ ăn uống hợp lý điều độ, ăn những thực phẩm tốt cho sự phát triển của chiều cao bởi nó chiếm đến 32% như: Thực phẩm giàu protein (trứng, cá), thực phẩm nhiều dầu thực vật (gan cá, hải sản, trai sò, đậu, đỗ), thực phầm giàu canxi (các sản phẩm từ sữa, rau xanh), trái cây và uống nhiều nước. Sau đó là luyện tập các môn thể thao như chơi bóng rổ, tập bơi… và tập thể dục đều đặn để cơ thể khỏe mạnh, săn chắc vì nó góp 20% vào quá trình tăng trưởng chiều cao của bạn. Bên cạnh đó thì hãy tạo cho mình một môi trường sống lành mạnh và hữu ích để có tâm lý tốt. Môi trường sống tốt, tâm lý thoải mái cũng giúp bạn tăng 16% chiều cao mà. Dựa vào đây mà các nhà kinh doanh mặt hàng thời trang khu vực gần trường có thể đưa ra các thiết kế phù hợp nhất với nữ sinh viên của trường về số đo, về kiểu cách sao cho tôn lên được vẻ đẹp của các bạn. Đúng vậy, nếu như bạn có thời gian ghé qua thăm các cửa hàng kinh doanh thời trang và có cơ hội trò truyện cùng với các chủ cửa hàng hay nhân viên ở đó bạn sẽ thấy cùng một mẫu quần áo nhưng những size chủ yếu mà họ nhập là size mà có nhiều người mặc vừa nhất. Để biết được điều đó thì họ cũng cần đến số liệu thống kê của chúng ta. Ví dụ như với chiều cao trung bình của nữ sinh viên trường ta họ sẽ nhập size S, M, L và chiếm số lượng lớn là size M. Hay là đối với quần Jean thì có từ số 25-30 nhưng nhập nhiều nhất sẽ là số 27, 28, 29. Đây có thể là tư liệu, thông tin nhỏ nhằm phục vụ cho các cuộc nghiên cứu khác của các tổ chức, các cấp, các nghành có liên quan. - Tóm lại, sau một thời gian làm việc tích cực nhóm đã thu thập được số liệu và bằng phương pháp thống kê toán được học dưới sự giảng dạy của giáo viên bộ môn, nhóm đã hoàn thành bài thảo luận của mình với kết quả ước lượng về chiều cao trung bình của nữ sinh viên ĐHTM là (157.0735; 158.3435) cm với độ tin cậy là 95% và với mức ý nghĩa 5% thì sau khi kiểm định có thể thấy giả thuyết cho rằng chiều cao của nữ sinh viên ĐHTM cao hơn 153,4cm là đúng.