Bài tập về phép toán hai ngôi

Bài 1: Chứng tỏ rằng các quy tắc cho tương ứng sau đây là phép toán hai ngôi: (i): x * y = x + y +xy, với x ,y Î ℝ (ii) m Ä n = m + 2n, với m , n Î ℕ Tìm - 3 * 4; 0 Ä n; 3 Ä 4. Xét các tính chất và phần tử đặc biệt của mỗi phép tính. Bài làm a) * : R * R ® R (x,y) a x * y = x + y + xy Tương ứng * là một ánh xạ vì: " x, y Î ℝ ta có x + y + xy = x * y Î ℝ . Nên * là một phép toán hai ngôi trên ℝ. Ta có : - 3 * 4 = -3 + 4 + (-3.4) = -11 b) Xét các tính chất và phần tử đặc biệt. - Tính giao hoán: " x, y Î ℝ , ta có: x * y = x + y + xy ® x* y = y *x y * x = y + x + yx Nên phép tính * có tính chất giao hoán. - Tính kết hợp: " x, y , z Î ℝ , ta có: ( x * y) * z = ( x* y) + z + (x*y).z = x+ y +x.y + z + (x+y+x.y).z = x+y+z+x.y+ xz+yz+xyz (1) x * (y * z) = x+(y*z) + x.(y*z) = x + y + z + y.z + x( y+z+y.z) = x+y+z+xy+yz+xz+xyz (2) Từ (1) (2) suy ra phép toán * có tính chất kết hợp Tìm phần tử trung lập: Tồn tại phần tử trung lập 0 vì " x Î ℝ. Ta có 0 * x = x* 0= x + 0 +x.0 = x Tìm phần tử đối xứng: Với " x, y Î R\ -1 có phần tử đối xứng là x' = - Vì x* x' = x' * x = ( - ) * x = - + x + ( - ).x = =0 (ii) a) m Ä n = m + 2n, với m , n Î ℕ. Ä : N x N ® N (m,n) a m Ä n = m + 2n Tương ứng Ä là một ánh xạ vì: " m , n Î ℕ Þ m + 2n Î ℕ T a có 0 Ä n = 0 + 2n = 2n, 3 Ä 4 = 3 + 4.2 = 11 Xét các phần tử đặc biệt Tính giao hoán: " x, y Î ℕ , ta có: x Ä y = x + 2y ® x Ä y ≠ y Ä x y Ä x = y + 2x Nên Ä không có tính giao hoán. Ví dụ: 1, 2 Î ℕ 1 Ä 2 = 1 + 4 = 5 2 Ä 1 = 2 + 2.1 = 4 Þ 5 ≠ 4 Tính chất hợp: " x, y , z Î , ℕ ta có: ( x Ä y) Ä z = x Ä y + 2z = x + 2y + 2z (1) x Ä (y Ä z) = x +2( y Ä z) = x +2( y + 2z) = x + 2y + 4z (2) Từ (1) (2) suy ra phép toán Ä không có tính chất kết hợp. Tìm phần tử trung lập: Phần tử trung lập là 0 Vì m Ä 0 = Ä m + 2.0 = m ( m Î ) ℕ "m Î ℕ $ m' Î ℕ m Ä m' = 0 Þ phép toán Ä không có phần tử trung lập Bài 2: Chứng tỏ rằng các quy tắc cho tương ứng sau đây là phép toán hai ngôi: (i) a * b = , với a, b Î ℚ (ii) a Å b = a + b - ab với a, b Î A \ 1 Tìm - 4 * 5; 3 Å ; 5 Å . Xét các tính chất và phần tử đặc biệt của mỗi phép tính đó. Bài làm Bài 2: Chứng tỏ rằng các quy tắc cho tương ứng sau đây là phép toán hai ngôi: (i) a * b = , với a, b Î ℚ * Q x Q ® Q là một ánh xạ vì a, b Î ℚ Þ Î ℚ Nên tương ứng (*) là phép toán hai ngôi trên . ℚ Tính - 4 * 5 = = Tính chất giao hoán: " x,y Î ℚ ta có: x * y = và y*x= suy ra x*y=y*x nên phép toán * có tính chất giao hoán. Tính chất kết hợp: " x,y, z Î ℚ ta có: (x*y)*z= = = (1) x *(y*z) = = = (2) Từ (1), (2) suy ra phép toán * không có tính chất kết hợp. . Phép toán * không có phần tử trung lập. Do đó " x Î ℚđều không có phần tử đối xứng đối với phép toán *. (ii) a Å b = a + b – ab với a, b Î ℚ ℚ ⊕ ℚ ® ℚ ( a, b ) a a + b – ab " a, b Î ℚ a/ Tính 3 ⊕ = 3 + - 3 . = ⊕ = 5 + - 5 . = 3 b/ Xét các tính chất và phần tử đặc biệt của mỗi phép tính đó Tính chất giao hoán: " x, y Î ℚ, ta có: x ⊕ y = x + y - xy x ⊕ y = y ⊕ x y ⊕ x = y + x - yx Phép toán ⊕ có tính giao hoán Tính chất kết hợp: " x, y, z Î ℚ, ta có: (x ⊕ y ) ⊕z = x ⊕ y + z - (x ⊕ y ).z = x + y - xy + z - (x + y - xy).z = x + y - xy + z - xz - yz + xyz = x + y + z - xy - xz - yz - xyz (1) x ⊕ (y ⊕z ) = x + ((y ⊕z ) - x.(y ⊕z ) = x + y + z - yz - x(y + z - yz) = x + y + z - xy - xz - yz - xyz (2) Từ (1),(2) Þ ⊕có tính chất kết hợp Phần tử trung lập là 0 Vì a ⊕0 = a + 0 - a.0 = a Î ℚ, " a Î ℚ thì $ a' Î ℚ : a + a' = 0 Bài 3: Xét các quy tắc sau có phải là phép toán hai ngôi hay không? Hãy xác định các tính chất giao hoán, kết hợp và các phần tử đặc biệt. a * b = , với " a,b Î ℤ a * b = " a,b Î ℝ a * b = " a,b Î ℚ* a * b = " a,b Î ℝ a * b = a + b + 1 " a,b Î ℚ Giải Bài 3: Câu a) a * b = " a , b Î ℤ *: Z x Z ® Z (a,b) a a*b = $ 4, - 6 Î ℤ, ta có: 4 * (-6) = = Ï ℤ Þ Nên * không là một ánh xạ. Vậy * không là phép toán hai ngôi. Câu b) a * b = " a,b Îℝ R x R ® R (a,b) a a*b= " a,b Îℝ " a, b Î R ta có: = a + b Î ℝ Þ Nên * là một ánh xạ. - Tính chất giao hoán: " x , y Î ℝ, ta có: x * y = và y * x = suy ra x * y = y * x Nên phép toán * có tính chất giao hoán. Tính chất kết hợp: " x , y, z Î ℝ, ta có: (x*y)*z = +z = + z = (1) x*(y*z) = = = (2) Từ(1) và (2) suy ra phép toán * có tính chất kết hợp. Tìm phần tử trung lập: Tồn tại phần tử trung lập là 0 vì với " x Î ℝ , ta có: 0 * x = x * 0 = = x. - Tìm phần tử đối xứng: x * x¢ = x¢ * x = 0 Û = 0 * Với " x ≠ 0 không tồn tại phần tử đối xứng của x đối với phép toán * * Khi x = 0 phần tử của x là 0. Câu c) a * b = " a,b Î ℚ* *: Q * Q ® Q* (a,b) a Î ℚ* Tương ứng * là một ánh xạ vì với "a,b Î ℚ* thì Î ℚ* Nên tương ứng phép toán * là phép toán hai ngôi trên ℚ* Tính giao hoán: " x, y Î ℚ*, ta có x * y = Þ ≠ Þ x * y ≠y * x y * x = Vậy phép toán * không có tính giao hoán. Ví dụ: $ , Î ℚ* mà * = = ≠ Þ không có tính chất g/hoán * = = : = Tính chất kết hợp: " x, y , z Î ℚ*, ta có (x*y)*z = $ 2, 3 , 1 Î ℚ* , ta có (2*3)*1= = = (1) 2*(3*1) = = = (2) Từ (1)(2) suy ra * không có tính chất kết hợp. Tìm phần tử trung lập d/ a * b = " a,b Î ℝ ℝ * ℝ ® ℝ ( a, b) a a * b = " a,b Î ℝ Ta có: " a,b Î ℝ Nên * là một ánh xạ Tính giao hoán: " x , y Î ℝ ta có: x * y = x * y = y * x y * x = Vậy phép toán * không có tính giao hoán. Tính chất kết hợp: " x , y, z Î ℝ ta có: (x * y )* z = = = = (1) x * (y * z ) = = = = (2) Từ (1),(2) Þ * không có tính kết hợp.  Bài 4: Cho phép Å trên ℝ x ℝ được xác định như sau " (a,b) , (c, d) Î ℝ x ℝ , (a,b) Å (c, d) = (a + c + 1975, b x d) Tìm phần tử trung lập, phần tử đối xứng (nếu có) của phép Å Bài làm " (a,b) , (c, d) Î ℝ x ℝ , (a,b) Å (c, d) = (a + c + 1975, b x d) Ta có ( - 1975,1) là phần tử trung lập của phép toán Å trên ℝ x ℝ vì " (x, y) Î ℝ x ℝ ta có: (x, y) * (- 1975, 1) = x - ( -1975 + x + 1975, y x 1) = (x,y) (-1975, 1) Å (x, y) = (- 1975+x+1975, 1 x y) = (x,y) (x', y') đối xứng của (x,y) (x', y') Å (x,y) = (- 1975, 1) Þ ( x' + x + 1975, y' x y) = (- 1975, 1) Þ Þ " (a, b) Î ℝ x ℝ ta có: (-3950-a, ) là phần tử đối xứng của (a, b) qua Å trên ℝ x ℝ vì (a, b) Å (-3950-a, ) = a +(-3950-a+1975, b x ) = (-1975,1) Bài 1. Trên tập ℕ ta định nghĩa m Ä n = m + n - 1 , " m, n Î ℕ a) Tìm 2 Ä 1; 3 Ä 5 ; 1 Ä 4 b) Chứng minh rằng ( ℕ , Ä) là một vị nhóm Abel Bài làm Tìm 2 Ä 1; 3 Ä 5 ; 1 Ä 4 + 2 Ä 1= 2+1 - 1 =2 Chứng minh rằng ( , Ä) là một nhóm Abel Tính giao hoán: " x, y Î ℕ , ta có: x Äy = x+y-1 Þ x Ä y=y Ä x . Nên phép toán Ä có tính chất giao hoán. y Ä x = y+x-1 - Tính chất kết hợp: " x, y , z Î ℕ , ta có: (x Ä y) Ä z = x Ä y+z -1 = x+y-1+z-1=x+y+z-2(1) x Ä (y Ä z) = x+y Ä z - 1 = x+ y+z -1 -1 = x+y+z-2(2) Từ (1),(2) suy ra phép toán Ä có tính chất kết hợp. Tìm phần tử trung lập: Phần tử trung lập cuả phép toán Ä là 1. vì " m Î ℕ . Ta có 1 Ä m = m Ä 1 = m+ 1-1=m Vậy ( ℕ , Ä) là một vị nhóm Abel. Bài 2. Với a, b Î ℤ ta định nghĩa a Ä b = a + b -1 Tìm 0 Ä 2; - 1 Ä 1; - 3 Ä 4; - 4 Ä 0. Chứng minh rằng( ℤ, Ä) là một nhóm Abel. Bài làm a Ä b = a + b -1 a) 0 Ä 2 = 0+2-1=1 b) Chứng minh rằng(ℤ , Ä) là một nhóm Abel. - Tính chất giao hoán: " x, y Î ℤ , ta có: x Äy = x+y-1 Þ x Ä y=y Ä x . Nên phép toán Ä có tính chất giao hoán. y Ä x = y+x-1 - Tính chất kết hợp: " x, y , z Î ℤ , ta có: (x Ä y) Ä z = x Ä y + z - 1 = x+y - 1+ z - 1=x + y + z - 2 (1) x Ä (y Ä z) = x+ y Ä z - 1 = x+ y + z - 1 - 1 = x + y + z - 2 (2) Từ (1),(2) suy ra phép toán Ä có tính chất kết hợp. Tìm phần tử trung lập: Phần tử trung lập cuả phép toán Ä là 1. vì " m Î ℤ . Ta có 1 Ä m = m Ä 1 = m+ 1- 1= m - Tìm phần tử đối xứng: " x Î ℤ, phần tử đối xứng của " x Î ℤ đối với phép toán Ä là x¢: x¢ Ä x =1 Û x¢ + x - 1 = 1 Û x¢ = x - 2 Î Z. Vì x¢ Ä x = x Ä x¢ = x¢ +x - 1 = 2 – x + x - 1=1./. Bài 3: Gọi ( Z , Å ) là nhóm cộng các lớp đồng dư theo mdul 4. Ta định nghĩa ánh xạ f : Z ® Z n a) Chứng minh rằng f là toàn cấu nhóm cộng các số nguyên lên nhóm Z b) Tìm f( ), từ đó suy ra f là không phải là đẳng cấu nhóm. Giải f là đồng cấu nhóm cộng Å: là một đồng cấu " x, y Î ℤ , ta có: f (x+y) = f ( x) +f (y) = + = suy ra f (x+y) = f (x) +f (y) (1) Å f là toàn ánh Imf = f(x)/ x Î ℤ = / x Î ℤ = , , , = Z Þ f là 1 toàn ánh (2) Từ (1),(2) suy ra f là toàn cấu nhóm cộng b) f( ) = x / f(x) = , x Î ℤ = x / x = , x Îℤ = 4 k / k Î ℤ = 4k ≠ 0 Þ f không là đơn ánh nên f không là song ánh. Vậy f không là một đồng cấu nhóm Bài 4: Cho X là nhóm nhân giao hoán Chứng minh ánh xạ f : X ® X a f(a) = a , với k xác định thuộc ℤlà đồng cấu nhóm b) Xác định Ker f . Giải " x , y Î ℤ, ta có: f (x,y) = (xy) = = . = x . y = f(x).f(y) (vì phép nhân trên X có tính giao hoán ) Vậy f đồng cấu nhóm b) Xác định Ker f Ker f = a Î X / f(x) = 1 = a Î X / a = 1 = x Î ℤ / k = 0 Bài 5: Ta định nghĩa ánh xạ f : N ® N a 5n a) Chứng minh rằng f là tự đồng cấu vị nhóm cộng (ℕ, +). b) Tìm f(ℕ) c) Tìm f (0) Giải a) f : N ® N a 5n f là đồng cấu nhóm cộng ( ℕ,+) " (x,y) Îℕ , ta có : f(x+y) = 5(x+y) (1) f(x) + f(y) = 5x + 5y = 5(x+y) (2) từ (1), (2) Þ f(x+y) = f(x) + f(y) Þ f là tự đồng cấu nhóm cộng (ℕ,+) b) f(ℕ) = f(n) / n Î ℕ = 5 / n Î ℕ = 5ℕ c) f (0) = n Î ℕ / f(n) = 0 = n Îℕ / 5n = 0 = 0 Bài 6: Cho tập hợp A = a + b / a,b Îℤ Chứng minh rằng (A,+) là nhóm con của nhóm cộng các số thực (ℝ, +) với phép cộng thông thường trên các số. Cho ánh xạ f từ nhóm (A,+) vào nhóm (ℝ,+) f : A ® R x x Hãy chứng tỏ f là đơn cấu; f không là toàn cấu. Giải (A,+) là nhóm con nhóm cộng (ℝ,+) 0 = 0 + 0 = 0 Î A " x, y Î A , giả sử x = a +b , y = a + b ( với a , b , a , b Î ℤ) Þ x + y = a +b + a + b = ( a + a ) + (b + b ) Î A – x = – ( a +b ) = (– a ) + (–b ) Î A Vậy (A,+) £ (ℝ.+) f (A,+) ® (ℝ,+) x f(x)=x a + b f(a+b ) = a + b Chứng minh f là đơn cấu " x, y Î A, giả sử x = a + b và y = a + b x + y = a +b + a + b = ( a + a ) + (b + b ) Þ f(x+y) = ( a + a ) + (b + b ) (1) f(x) + f(y) = a +b + a + b = ( a + a ) + (b + b ) (2) Từ (1), (2) Þ f(x+y) = f(x) + f(y) Vậy f là đơn cấu nhóm. Chứng minh f là một đơn ánh Ker f = x Î A\ f(x) = 0 = a+b \ f(a+ b ) =0 a , b Î A = a+b \ a+ b = 0 a , b Î A = 0 + 0 = 0 Þ f là một đơn ánh Chứng minh f không là toàn cấu Imf = f(x) \ x Î A = x \ x Î A = A ≠ ℝ Vậy f không là toàn cấu. Bài 7: Cho tập hợp X = a + b \ a , b Î ℤ Chứng minh X là nhóm con của nhóm cộng các số thực ℝ. Cho ánh xạ f: X ® Z a + b a + b Chứng minh f là toàn cấu từ nhóm cộng X lên nhóm cộng các số nguyên ℤ. Giải Chứng minh ( X, +) £ (ℝ, +) 0 = 0 + 0 = 0 Î A " x, y Î X , giả sử x = a +b , y = a + b ( với a , b , a , b Î ℤ) Þ x + y = a +b + a + b = ( a + a ) + (b + b ) Î A – x = – ( a +b ) = (– a ) + (–b ) Î A Vậy (X, +) £ (ℝ, +) b) Chứng minh f là toàn cấu " x, y Î X, giả sử x = a + b và y = a + b Ta chứng minh : f(x+y) = f(x) + f(y) Ta có: x + y = a +b + a + b = ( a + a ) + (b + b ) Î X f(x) + f(y) = ( a + a ) + (b + b ) = ( a + a ) + (b + b ) (1) f(x+y) = a +b + a + b = ( a + a ) + (b + b ) = ( a + a ) + (b + b ) (2) Từ (1), (2) Þ f là một đồng cấu (I) Chứng minh f là toàn ánh Imf = f(x) \ x Î X = f (a + b ) \ a, b Î ℤ = a + b \ a, b Îℤ = ℤ Þ f là toàn ánh (II) Từ (I), (II) Þ f là toàn cấu. Bài 8: Quy tắc f : ℤ ® G từ nhóm cộng các số nguyên đến nhóm nhân G( G là nhóm vô hạn) xác định như sau: " n Î , f(n) = a , a Î G Chứng minh f là đồng cấu nhóm. Tìm Ker f. Giải " x, y Î ℤta có: f(x+y) = a (1) f(x) + f(y) = a + a = a (2) Từ (1),(2) suy ra f(x) + f(y) = f(x) + f(y)  Suy ra f là đồng cấu nhóm. Tìm Ker f Tìm Ker f = x Î ℤ/ f(x)=1 (G, .) = x Î ℤ/ a = 1 = x Î ℤ/ x = 0 = 0 CÁC BÀI TẬP VÀNH VÀ TRƯỜNG Bài 1: Tìm các ước của 0 trong các vành Z , Z , Z , Z Bài 2: Cho R là một vành. Chứng minh rằng tập Z(R) = a Î R \ ax = xa " x Î R là một vành con giao hoán của R. Bài 3: Cho tập hợp X = a+ b \ a, b Î ℤ Chứng tỏ X là vành con của vành số thực ℤ . Cho ánh xạ f : X ® Z a + b a Chứng minh f là đồng cấu từ nhóm cộng X lên nhóm cộng ℤ; nhưng f không là đồng cấu từ vành X đến vành ℤ. Giải Bài 1: Tìm các ước của 0 trong các vành Z , Z , Z , Z Z = , , " Î Z \ = , . = ≠ 0; . = ≠ 0 = , . = ≠ 0; . = = ≠ 0 Vậy không có ước của 0 trong vành Z Z = , , , " Î Z \ = , . = ≠ 0; . = ≠ 0, . = ≠ 0, = , . = ≠ 0; . = = , . = = ≠ 0 = , . = ≠ 0; . = = ≠ 0, . = = ≠ 0. Vậy là ước của 0 trong vành Z Z , Z làm tương tự như trên. Bài 2: a) Z(R) = a Î R \ ax = xa " x Î R Z( R) Î R: hiển nhiên Z( R) ≠ Æ vì 0.x = x.0 =0 Þ 0+Z(R) " a, b Î Z(K) Þ (a-b)x=a.x - b.x = x.a - x.b = x(a-b) Þ a - b Î Z(R) và (ab)x = a(bx) = a(xb) = (a.x)b = (xa)b = x(ab) Þ a,b Î Z(R) " a, b Î Z (R) Þ a.x = x.a , " x Î R Lấy x = b , ta có ab = ba nên phép tính nhân trên Z(R) có tính quan hệ Vậy Z(R) là 1 vành con quan hệ của R Bài 3: X = a + b \ a, b Î ℤ a) X Í R: hiển nhiên " x , y Î X, giả sử x = a + b ; y = a + b ( a , a , b , b Î ℤ ) Ta có : x + y = a + b + a + b = ( a+ a ) + (b + b ) Î X x . y = ( a + b ) .( a + b ) = a . a + (a. b + b . a + 3b .b = a.a + (a.a .b.b ) + 3b b Î X thêm x - y Î X, x - y = (a - a ) + (b - b ) Î X Vậy X là vành con của vành số thực ℝ " x , y Î X, giả sử x = a + b ; y = a + b f(x+y) = f( a + b + a + b ) = f(a+a +(b +b ) = a + a (1) f(x) + f(y) = a +a (2). Từ (1),(2) suy ra f(x+y) = f(x)+f(y) Vậy f là 1 đồng cấu nhóm cộng X lên nhóm cộng ℤ. f(x +y) = f(x) + f(y) = a + a nhưng f(x.y) = f(a +b ). (a +b ) = a.a +3b b (1) f(x.y) = a +a (2) Từ (1),(2) suy ra f(x+y) ≠ f(x.y) Vậy f không là đồng cấu từ vành X đến vành ℤ . Bài 1: Thay mỗi chữ trong các phép tính sau bởi các chữ số thích hợp 0,b x a, b = 0, ab 0,a x a,a = 0, a a a,bcaa - b,dbc = c,baba 4,896 −a,bab = 0,0ab 0,ab x c,c x ,c = ,cabc 0,a x 0,b x a,b = 0,bbb 21,ab = a,b x 2,6 98,697 - 0,0abc = ,cabc 0,a x 0,a = 0,0a Bài 2: Biễu diễn các phân số , thành tổng các phân số có tử là 1, mẫu số khác nhau. Bài 3: Cho các số hữu tỷ sau: , , , , Trong các phân số trên, số nào là số thập phân? Hãy biểu diễn các số đó ở dạng thu gọn. Không quy đồng, hãy sắp xếp dãy số trên theo thứ tự từ bé đến lớn Bài 4: Không quy đồng mẫu số, hãy sắp xếp các số hữu tỷ sau theo thứ tự từ bé đến lớn a) , , , b) , , Giải Bài 1: Thay mỗi chữ trong các phép tính sau bởi các chữ số thích hợp 0,b x a, b = 0, ab Ta có: x = Þ b x = (1) Þ b = = 1 . Thế b = 1 vào (1) Ta có: 1 x 10.a +1 = 10.a + 1 Þ a = 0 ® 9 Thử lại: 0,1 x 0,1 = 0,01 Đáp số: Þ 0,a x a,a = 0, a a Ta có: x = Þ a x = Þ a = 0,1 Thử lại: 0,1 x 1,1 = 0,11 a,bcaa - b,dbc = c,baba 98,697 - 0,0abc = ,cabc Û 98,697 = ,cabc + 0,0abc Û = + 986970 = x 1001 + 986970 = x 1002 = = 985 Thử lại: 98697 - 0,0985 = 98,5985 Đáp số: a = 9, b = 8, c = 5 4,896 − a,bab = 0,0ab = 0,0ab + a,bab Û = + 4896 = + x 101 4896 = x 102 = = 48 Thử lại: 4,896 − 4,848 = 0,048 Đáp số: a = 4, b = 8 Bài 2: Biểu diễn phân số , thành các phân số có tử số bằng 1, mẫu số khác nhau. Ta có: = = + + = + + = = + + = + + = = + Bài 3: Cho các số hữu tỷ sau , , , , Trong các số trên số nào là số thập phân? Số thập phân: , , Biểu diễn ở dạng thu gọn: = = = 0,5 = = = = 0,75 = = = 1,2 = = = = 1,125 Sắp xếp dãy số trên theo thứ tự từ nhỏ đến lớn: = 1+ < Þ < (1) = 1 + = 1 - > Þ < (2) = 1 - = < (3) = , = Þ < (4) Vậy từ (1) đến (4). Ta có: < < < < Bài 4: Sắp xếp các số sau theo thứ tự từ bé đến lớn a) , , , Ta có: , , 1, so sánh ba số bé hơn 1 = 1 − < (1) = 1 − < < Þ < (2) Vậy < < < b/ , , , Ta có: = 1 − > Þ < (1) = 1 − * = 1 − > Þ < (2) = 1 − = Þ < Þ < (3) = và = Þ > Þ > (4) = và = Þ > Þ > (5) Từ (1), (4) Þ < (6) Từ (1),(2),(3),(4)(5),(6) Þ < < < Chúc các anh chị và các bạn thi tốt!