Bài tập và bài giải môn hình học xạ ảnh

HÌNH HỌC XẠ ẢNH LỚP SƯ PHẠM TOÁN K32 NHÓM II BÀI TẬP 2, TRANG 42 Đề bài: Gọi S và S’ là các tập ở bài 1. Còn B là tập hợp các điểm nằm trong siêu cầu. Hãy làm cho B* = B  S’ trở thành một không gian xạ ảnh (n + 1) – chiều. BÀI LÀM Gọi S là một siêu cầu trong En+1 có tâm O và S’ là tập các điểm xuyên tâm đối của S. Gọi Sn+2 là siêu cầu tâm O trong En+2 và chứa S. Khi đó: S = Sn+2  () với () là siêu phẳng qua O và có phương Vn+1. Gọi S’’ là nửa siêu cầu giới hạn bởi Sn+2 và (). Lập ánh xạ p:  B* xác định như sau: Gọi d là đường thẳng qua O và có phương V1 + Nếu d  () thì d cắt S tại 2 điểm xuyên tâm đối A và A’ => (A, A’ )  S’. Đặt p(V1) = (A, A’ ). + Nếu d  () thì d cắt S” tại một điểm M. Gọi M’ là hình chiếu vuông góc của M lên () => M’  B. Đặt p(V1) = M’. Ta chứng minh p là song ánh: * Lấy V1  =>  đường thẳng d qua O và có phương V1. + Nếu d  () =>  (A, A’ )  S’ : d  S = (A, A’ ) = p(V1). + Nếu d  () =>  M : d  S’’ = M =>  M’ là hình chiếu vuông góc của M lên (). Hiển nhiên M’  B Do đó p(V1) = M’. * Lấy M’  B, gọi d là đường thẳng qua M’ và vuông góc với (). Khi đó tồn tại duy nhất M : d  S’’ = M =>   Vn+2 : = =>  V1 = L   . Hiển nhiên p(V1) = M’. + Lấy (A, A’ )  S’ =>  Vn+2 : = => V1’ = L   . Dễ thấy p(V’1) = (A, A’) Vậy ( B*,p, ) lập thành không gian xạ ảnh n+1- chiều. M