Bài tập Phương trình vi phân
Lời giải:
Đặt thì ; và
thay vào phương trình và rút gọn .
Phương trình thuần nhất có nghiệm tổng quát
và nghiệm riêng của phương trình là
nghiệm tổng quát của phương trình theo t :
36 trang |
Chia sẻ: tuanhd28 | Lượt xem: 12353 | Lượt tải: 4
Bạn đang xem trước 20 trang tài liệu Bài tập Phương trình vi phân, để xem tài liệu hoàn chỉnh bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên
PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN
Kiểm tra rằng là nghiệm của bài toán giá trị ban đầu
trên khoảng
Lời giải:
Giải các phương trình tách biến
Lời giải:
Lời giải:
Tìm nghiệm của PTVP thoả mãn điều kiện ban đầu
;
Lời giải:
với thì
nghiệm của phương trình :
;
Lời giải:
với thì nghiệm của phương trình :
.
Lời giải:
với thì nghiệm của phương trình
Tìm phương trình đường cong thoả mãn và cắt trục Oy tại 7.
Lời giải:
,từ giả thiết thì nên
Đó là đường cong có phương trình
Dung dịch glucose được truyền theo đường tĩnh mạch vào máu với vận tốc
không đổi r. Khi glucose được đưa vào, nó chuyển thành các chất khác và bị đẩy khỏi máu với vận tốc tỷ lệ thuận với nồng độ tại thời điểm đó. Như vậy, mô hình biểu diễn nồng độ của dung dịch glucose trong máu là , trong đó k là hằng số dương.Giả sử nồng độ tại thời điểm là . Xác định nồng độ tại thời điểm tuỳ ý bằng cách giải PTVP nói trên.
Giả sử rằng , tìm giới hạn và diễn giải đáp án của bạn.
Lời giải:
Tại .Vậy
Giả sử rằng , tìm giới hạn và diễn giải đáp án của bạn.
Lời giải:
Hiển nhiên
Khi dung dịch glucose được truyền theo đường tĩnh mạch vào máu với vận tốc không đổi,và thời gian truyền vô hạn thì nồng độ glucose của dung dịch glucose trong máu coi như không đổi.
Lượng cá bơn halibut Thái bình dương được mô hình hoá bởi PTVP ,trong đó
y(t) là sinh khối (khối lượng tổng cộng của các cá thể trong quần thể) theo kilogram
tại thời điểm t (đo theo năm), dung lượng cực đại được ước lượng bởi và theo năm.
Nếu , tìm sinh khối một năm sau.
Bao lâu nữa sinh khối đạt được ?
Lời giải:
Từ
với
Khi thì
a) Sinh khối một năm sau được xác định:
b) Ta cần tìm t sao cho .
Vậy sau năm sinh khối đạt được .
Trong mô hình sinh trưởng theo mùa, một hàm tuần hoàn theo thời gian được
đề nghị để tính đến những biến đổi có tính mùa vụ liên quan đến vận tốc sinh trưởng. Những biến đổi ấy có thể, chẳng hạn, gây ra do những thay đổi có tính chất mùa vụ về nguồn thức ăn.Tìm nghiệm của mô hình sinh trưởng theo mùa , trong đó k, r và φ là những hằng số dương.
Lời giải:
với
Giải PTVP thuần nhất hoặc bài toán ban đầu:
;
Lời giải:
khi
Đặt
;
Lời giải:
Đặt
ta có với thì nghiệm của phương trình
;
Lời giải:
Đặt
;
Lời giải:
Đặt
với thì
Lời giải:
với ta có
Đặt
nghiệm của phương trình , ngoài ra thỏa mãn phương trình nên là nghiệm kì dị của phương trình
Xét xem phải chăng phương trình là tuyến tính:
Lời giải:
Từ
Giả sử và là hai nghiệm của phương trình,tức là
nhưng
đó không phải là phương trình vi phân tuyến tính .Xong đó là phương trình Becnuli nên có thể đưa phương trình về phương trình vi phân tuyến tính bằng cách đặt .
Lời giải:
Từ
đó là phương trình vi phân tuyến tính cấp một.
Lời giải:
Từ đó là phương trình vi phân tuyến tính cấp một.
Lời giải:
Từ
đó là phương trình vi phân tuyến tính cấp một.
Giải các PTVP:
;
Lời giải:
phương trình đã cho là phương trình vi phân tuyến tính cấp một,nên nghiệm được xác định
là nghiệm phương trình
;
Lời giải:
đó là phương trình vi phân tuyến tính cấp một,nên nghiệm được xác định
là nghiệm phương trình.
;
Lời giải:
đó là phương trình vi phân tuyến tính cấp một,nên nghiệm được xác định
;
Lời giải:
đó là phương trình vi phân tuyến tính cấp một,
nên nghiệm được xác định
;
Lời giải:
coi đó là phương trình vi phân tuyến tính cấp một,nên nghiệm được xác định
;
Lời giải:
đó là phương trình vi phân tuyến tính cấp một,nên nghiệm được xác định
.
Lời giải:
đó là phương trình vi phân tuyến tính cấp một,nên nghiệm được xác định
Giải bài toán giá trị ban đầu:
;
Lời giải:
đó là phương trình vi phân tuyến tính cấp một,nên nghiệm được xác định
với
.
Lời giải:
đó là phương trình vi phân tuyến tính cấp một,nên nghiệm được xác định
với
Những nhà tâm lý quan tâm đến lý luận học tập khảo sát đường cong học.
Đường cong học là đồ thị của hàm số P(t), hiệu quả của một ai đó học một kỹ năng được coi là hàm của thời gian huấn luyện t. Đạo hàm thể hiện vận tốc mà tại đó hiệu suất học được nâng lên.
Bạn nghĩ P tăng lên nhanh nhất khi nào? Điều gì xảy ra với khi t tăng lên? Giải thích.
Lời giải:
P tăng lên nhanh nhất khi thời gian huấn luyện ít nhất
Khi t tăng, tức là thời gian huấn luyện tăng lên dẫn đến giảm đi
Nếu M là mức cực đại của hiệu quả mà người học có khả năng đạt được,giải
thích tại sao PTVP , k là hằng số dương là mô hình hợp lý cho việc học.
Lời giải:
Khi thì
Giải PTVP để tìm ra một biểu thức của P(t).Dùng lời giải của bạn để vẽ đồ thị
đường cong học.Giới hạn của biểu thức này là gì?
Lời giải:
Từ
Từ giả thiết của bài toán ta có
Giải PTVP Bernoulli:
;
Lời giải:
,đặt
đó là phương trình vi phân tuyến tính cấp một,nên nghiệm được xác định
;
Lời giải:
đặt ta được đó là phương trình vi phân tuyến tính cấp một,
nên nghiệm được xác định
;
Lời giải:
đặt ta được đó là phương trình vi phân tuyến tính cấp một,
nên nghiệm được xác định
;
Lời giải:
đặt đó là phương trình vi phân tuyến tính cấp một,nên nghiệm được xác định
;
Lời giải:
coi
đặt đó là phương trình vi phân tuyến tính cấp một,
nên nghiệm được xác định
;
Lời giải:
đặt đó là phương trình vi phân tuyến tính cấp một,nên nghiệm được xác định
.
Lời giải:
đặt
đó là phương trình vi phân tuyến tính cấp một,nên nghiệm được xác định
Một vật khối lượng m rơi xuống từ trạng thái nghỉ và chúng ta giả sử rằng sức
cản không khí tỷ lệ thuận với vận tốc của vật. Nếu S(t) là khoảng cách rơi được sau t giây thì vận tốc là và gia tốc là . Nếu g là gia tốc trọng trường thì lực hướng xuống dưới tác động lên vật là , trong đó c là hằng số dương, Định luật Newton thứ hai dần đến .
Giải PT này khi coi nó là PT tuyến tính để chỉ ra rằng .
Lời giải:
Khi vật không rơi tức ,từ ta có
Vận tốc giới hạn là bao nhiêu?
Lời giải:
Tính quãng đường vật rơi được sau t giây.
Lời giải:
từ
+Tìm các quỹ đạo trực giao của họ các đường cong . Vẽ một vài
đường của mỗi họ trên cùng một hệ trục.
Lời giải:
Quỹ đạo trực giao của họ các đường cong là quỹ tích của tọa độ khúc tâm của chính đường cong đó,và tọa độ đó được xác định
Từ
;
và
Giải các PTVP toàn phần:
;
Lời giải:
Nhận thấy là PTVP toàn phần vì
nên không phụ thuộc đường lấy tích phân
Do vậy ta chọn ,khi đó nghiệm của phương trình được xác định
;
Lời giải:
Nhận thấy là PTVP toàn phần vì
nên không phụ thuộc đường lấy tích phân
Do vậy ta chọn ,khi đó nghiệm của phương trình được xác định
;
Lời giải:
Nhận thấy là PTVP toàn phần vì
nên không phụ thuộc đường lấy tích phân
Do vậy ta chọn ,khi đó nghiệm của phương trình được xác định
.
Lời giải:
Nhận thấy là PTVP toàn phần vì
nên không phụ thuộc đường lấy tích phân
Do vậy ta chọn ,khi đó nghiệm của phương trình được xác định
Giải các PTVP dùng thừa số tích phân:
;
Lời giải:
Nhận thấy là PTVP toàn phần
nên không phụ thuộc đường lấy tích phân
Do vậy ta chọn ,khi đó nghiệm của phương trình được xác định
;
Lời giải:
khi đó thừa số tích phân .Ta được là PTVP toàn phần
nên không phụ thuộc đường lấy tích phân
Do vậy ta chọn ,khi đó nghiệm của phương trình được xác định
;
Lời giải:
khi đó thừa số tích phân
Ta được là PTVP toàn phần
nên không phụ thuộc đường lấy tích phân
Do vậy ta chọn ,khi đó nghiệm của phương trình được xác định
;
Lời giải:
khi đó thừa số tích phân
Ta được là PTVP toàn phần
nên không phụ thuộc đường lấy tích phân.
Do vậy ta chọn ,khi đó nghiệm của phương trình được xác định
.
Lời giải:
khi đó thừa số tích phân
Ta được là PTVP toàn phần
nên không phụ thuộc đường lấy tích phâ
Do vậy ta chọn ,khi đó nghiệm của phương trình được xác định
Giải các PTVP
;
Lời giải:
Đặt
.
Lời giải:
Đặt
Giải các PTVP
;
Lời giải:
Phương trình đặc trưng
nghiệm tổng quát của phương trình
;
Lời giải:
Phương trình đặc trưng
nghiệm tổng quát của phương trình
;
Lời giải:
Phương trình đặc trưng
nghiệm tổng quát của phương trình
.
Lời giải:
Phương trình đặc trưng
nghiệm tổng quát của phương trình
Giải bài toán giá trị ban đầu:
;
Lời giải:
Phương trình đặc trưng nghiệm tổng quát của phương trình .Từ điều kiện ta có
nghiệm riêng của phương trình thỏa mãn điều kiện đầu:
;
Lời giải:
Phương trình đặc trưng nghiệm tổng quát của phương trình
.Từ điều kiện ta có
nghiệm riêng của phương trình thỏa mãn điều kiện đầu:
Giải các PTVP
;
Lời giải:
Phương trình đặc trưng nghiệm tổng quát của phương trình
.Từ điều kiện ta có
(xem lại điều kiện)
;
Lời giải:
Phương trình đặc trưng nghiệm tổng quát của phương trình
.Từ điều kiện ta có
nghiệm riêng của phương trình thỏa mãn điều kiện đầu:
với
Giải các PTVP
;
Lời giải:
Phương trình đặc trưng nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất
nghiệm riêng của phương trình có dạng ,thay vào phương trình ta được
nghiệm tổng quát của phương trình đã cho
;
Lời giải:
Phương trình đặc trưng nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất
nghiệm riêng của phương trình có dạng ,thay vào phương trình ta được nghiệm tổng quát của phương trình đã cho
;
Lời giải:
Phương trình đặc trưng
nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất
nghiệm riêng của phương trình có dạng ,thay vào phương trình ta được nghiệm tổng quát của phương trình đã cho
.Từ điều kiện ta có
nghiệm riêng thỏa mãn điều kiện đầu:
;
Lời giải:
Phương trình đặc trưng
nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất
nghiệm riêng của phương trình có dạng ,thay vào phương trình và rút gọn ta được nghiệm tổng quát của phương trình đã cho
Lời giải:
Phương trình đặc trưng
nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất
nghiệm riêng của phương trình có dạng ,thay vào phương trình và rút gọn ta được nghiệm tổng quát của phương trình đã cho
;
Lời giải:
Phương trình đặc trưng
nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất nghiệm riêng của phương trình
có dạng ,thay vào phương trình và rút gọn ta được
nghiệm tổng quát của phương trình đã cho
.
Lời giải:
Phương trình đặc trưng
nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất
Nghiệm riêng của phương trình có dạng thay vào phương trình và rút gọn ta được nghiệm tổng quát của phương trình đã cho là
Tìm nghiệm riêng của PTVP
;
Lời giải:
Phương trình đặc trưng nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất
Nghiệm riêng của phương trình có dạng
thay vào phương trình và rút gọn ta được
Nghiệm riêng của phương trình
nghiệm tổng quát của phương trình đã cho là
Từ điều kiện ta có
Nghiệm riêng của phương trình thỏa mãn điều kiện là
;
Lời giải:
Phương trình đặc trưng
Nghiệm tổng quát của phương trình đã cho là
Từ điều kiện ta có
Nghiệm riêng của phương trình thỏa mãn điều kiện là
Viết ra dạng nghiệm riêng đối với phương pháp hệ số bất định, không xác định các hệ số này.
;
Lời giải:
Phương trình đặc trưng
Nghiệm riêng của phương trình có dạng
;
Lời giải:
Phương trình đặc trưng
Nghiệm riêng của phương trình có dạng
;
Lời giải:
Phương trình đặc trưng
Nghiệm riêng của phương trình có dạng
;
Lời giải:
Phương trình đặc trưng
Nghiệm riêng của phương trình có dạng
Lời giải:
Phương trình đặc trưng
Nghiệm riêng của phương trình có dạng
;
Lời giải:
Phương trình đặc trưng
Nghiệm riêng của phương trình có dạng
.
Lời giải:
Phương trình đặc trưng
Nghiệm riêng của phương trình có dạng
Giải PTVP (i) dùng phương pháp hệ số bất định và (ii) dùng phương pháp biến thiên hằng số.
;
Lời giải:
Phương trình đặc trưng
nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất
Cách 1
Nghiệm riêng của phương trình có dạng
thay vào phương trình và rút gọn ta được nghiệm tổng quát của phương trình đã cho
Cách 2:
Coi bằng phương pháp biến thiên hằng số thì được xác định bởi hệ phương trình
và
;
Lời giải:
Phương trình đặc trưng
nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất
Cách 1
Nghiệm riêng của phương trình có dạng
thay vào phương trình và rút gọn ta được nghiệm tổng quát của phương trình đã cho
Cách 2:
Coi bằng phương pháp biến thiên hằng số thì được xác định bởi hệ phương trình
;
Lời giải:
Phương trình đặc trưng
nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất:
Cách 1
Nghiệm riêng của phương trình có dạng
thay vào phương trình và rút gọn ta được
nghiệm tổng quát của phương trình đã cho:
Cách 2:
Coi bằng phương pháp biến thiên hằng số thì được xác định bởi hệ phương trình
và
;
Lời giải:
Phương trình đặc trưng
nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất:
Cách 1
Nghiệm riêng của phương trình có dạng
thay vào phương trình và rút gọn ta được
nghiệm tổng quát của phương trình đã cho:
Cách 2:
Coi bằng phương pháp biến thiên hằng số thì được xác định bởi hệ phương trình
Lời giải:
Phương trình đặc trưng
nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất:
Cách 1
Nghiệm riêng của phương trình có dạng
thay vào phương trình và rút gọn ta được
nghiệm tổng quát của phương trình đã cho:
Cách 2:
Coi bằng phương pháp biến thiên hằng số thì được xác định bởi hệ phương trình:
và
.
Lời giải:
Phương trình đặc trưng
nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất
Cách 1
Nghiệm riêng của phương trình có dạng thay vào phương trình
và rút gọn ta được
nghiệm tổng quát của phương trình đã cho
Cách 2:
Coi bằng phương pháp biến thiên hằng số thì được xác định bởi hệ phương trình
Tìm nghiệm của PTVP
;
Lời giải:
Phương trình đặc trưng
nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất:
Nghiệm riêng của phương trình có dạng
thay vào phương trình và rút gọn ta được
nghiệm tổng quát của phương trình đã cho:
;
Lời giải:
Phương trình đặc trưng
nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất:
phương trình có nghiệm riêng
phương trình có nghiệm riêng dạng ,thay vào phương trình và rút gọn ta được
nghiệm tổng quát của phương trình :
;
Lời giải:
Phương trình đặc trưng
nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất:
phương trình có nghiệm riêng
phương trình có nghiệm riêng dạng ,thay vào phương trình và rút gọn ta được
nghiệm tổng quát của phương trình :
Với điều kiện ta có được . Khi đó nghiệm riêng tương ứng của phương trình :
;
Lời giải:
Phương trình đặc trưng
nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất:
Nghiệm riêng của phương trình có dạng thay vào phương trình và rút gọn ta được
nghiệm tổng quát của phương trình
Lời giải:
Phương trình đặc trưng
nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất:
Nghiệm riêng của phương trình có dạng thay vào phương trình và rút gọn ta được
nghiệm tổng quát của phương trình
;
Lời giải:
Phương trình đặc trưng
nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất:
Nghiệm riêng của phương trình có dạng thay vào phương trình và rút gọn
Nghiệm riêng của phương trình có nghiệm riêng
nghiệm tổng quát của phương trình
.
Lời giải:
Phương trình đặc trưng
nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất:
Nghiệm riêng của phương trình có dạng thay vào phương trình và rút gọn
nghiệm tổng quát của phương trình
Với điều kiện ta có được (XEM LẠI Đ/K)
Tìm nghiệm tổng quát của PT
Lời giải:
Phương trình đặc trưng có các nghiệm
Từ ta có hai nghiệm riêng
và
Từ ta có hai nghiệm riêng
và
Nghiệm tổng quát của PT là
Dùng phương pháp biến thiên tham số hãy giải PTVP:
;
Lời giải:
Phương trình đặc trưng
nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất:
Coi bằng phương pháp biến thiên hằng số thì được xác định bởi hệ phương trình
và
nghiệm tổng quát của phương trình :
;
Lời giải:
Phương trình đặc trưng
nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất:
Coi bằng phương pháp biến thiên hằng số thì được xác định bởi hệ phương trình
và
nghiệm tổng quát của phương trình :
;
Lời giải:
Phương trình đặc trưng
nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất:
Coi bằng phương pháp biến thiên hằng số thì được xác định bởi hệ phương trình
và
nghiệm tổng quát của phương trình :
;
Lời giải:
Phương trình đặc trưng
nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất:
Coi bằng phương pháp biến thiên hằng số thì được xác định bởi hệ phương trình
và
nghiệm tổng quát của phương trình
;
Lời giải:
Phương trình đặc trưng
nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất:
Coi bằng phương pháp biến thiên hằng số thì được xác định bởi hệ phương trình
và
nghiệm tổng quát của phương trình
;
Lời giải:
Phương trình đặc trưng
nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất:
Coi bằng phương pháp biến thiên hằng số thì được xác định bởi hệ phương trình
nghiệm tổng quát của phương trình
Dùng phép đổi biến giải phương trình Euler:
;
Lời giải:
Đặt thì ; và
thay vào phương trình và rút gọn .Phương trình có nghiệm
Lời giải:
Đặt thì ; và
thay vào phương trình và rút gọn .
Phương trình thuần nhất có nghiệm tổng quát
và nghiệm riêng của phương trình là
Phương trình có nghiệm tổng quát
Lời giải:
Đặt thì ; và
thay vào phương trình và rút gọn .
Phương trình thuần nhất có nghiệm tổng quát
và nghiệm riêng của phương trình là
Phương trình có nghiệm tổng quát
;
Lời giải:
Đặt thì ; và
thay vào phương trình và rút gọn .
Phương trình đặc trưng
nghiệm tổng quát của phương trình theo t :
Lời giải:
Đặt thì ; và
thay vào phương trình và rút gọn .
Phương trình thuần nhất có nghiệm tổng quát
và nghiệm riêng của phương trình là
nghiệm tổng quát của phương trình theo t :
Dùng phép đổi biến giải phương trình:.
Lời giải:
Đặt khi đó và thay vào phương trình và rút gọn
Phương trình thuần nhất có nghiệm tổng quát
và nghiệm riêng của phương trình là
nghiệm tổng quát của phương trình :
Giải các hệ phương trình:
;
Lời giải:
;
Lời giải:
Lời giải:
Các file đính kèm theo tài liệu này:
- bai_tap_phuong_trinh_vi_phan_5177.docx