Bài tập môn học Xác suất thống kê

ngẫu nhiên X và Y độc lập với các bảng phân phối xác suất như sau X -1 0 1 2 Y -1 0 1 P 0,2 0,3 0,3 0,2 P 0,3 0,4 0,3 Hãy lập bảng phân phối xác suất của X2, X + Y, 2Y, X – Y, XY. 6. Gieo đồng thời hai con súc sắc. Gọi X1, X2 lần lượt là số chấm xuất hiện trên hai con súc sắc đó. Tìm bảng phân phối xác suất của các đại lượng ngẫu nhiên sau đây a) Y1 = X1 + X2 b) Y2 = X1 – X2 c) Y3 = max(X1, X2). 7. Một người có một chùm chìa khóa gồm 5 chiếc giống nhau, trong đó chỉ có 2 chiếc mở được cửa. Người đó thử ngẫu nhiên từng chiếc (thử xong bỏ ra ngoài) cho đến khi tìm đúng chìa mở được cửa. Gọi X là số lần thứ cần thiết. Hãy lập bảng phân phối xác suất và tính kì vọng, phương sai của X. 8. Một ôtô đi trên đoạn đường có 3 đèn tín hiệu giao thông hoạt động độc lập. Tính kì vọng, phương sai, độ lệch của số lần ôtô dừng khi đi trên đoạn đường đó, biết rằng chỉ tín hiệu xanh mới được phép đi và a) cả 3 đèn đều có thời gian tín hiệu xanh là 30 giây, tín hiệu vàng là 5 giây, tín hiệu đỏ là 15 giây. b) ở đèn thứ nhất thời gian dành cho ba tín hiệu đó lần lượt là : 40 giây, 10 giây, 30 giây ; ở đèn thứ hai : 25 giây, 5 giây, 10 giây ; ở đèn thứ ba 20 giây, 5 giây, 35 giây. 9. Cho X, Y là hai đại lượng ngẫu nhiên độc lập có bảng phân phối xác suất như sau X 0 1 2 3 Y 0 1 2 3 4 P 0,4 0,3 0,2 0,1 P 0,1 0,3 0,4 0,15 0,05 Tìm bảng phân phối xác suất và tính kì vọng, phương sai của X + Y, XY. 10. Cho đại lượng ngẫu nhiên X có hàm mật độ xác suất f(x) =  0,1x nếu, 1x 0 nếu , 0 x)(1kx2       a) Tìm k. b) Tìm hàm phân phối xác suất của X. c) Tính kì vọng, phương sai của X. 43 11. Cho đại lượng ngẫu nhiên X có hàm mật độ xác suất f(x) =                          2 π , 2 π x nếu,0 2 π , 2 π x nếu,xcosa a) Tìm a. b) Viết biểu thức của hàm phân phối xác suất. c) Tìm P(0  X  4 π ). d) Nếu quan sát X 5 lần thì bao nhiêu lần X nhận giá trị thuộc         4 π ,0 là có khả năng nhất? Tính xác suất đó. 12. Cho đại lượng ngẫu nhiên X có hàm phân phối xác suất F(x) = arctgx π 1 2 1  . a) Tìm hàm mật độ xác suất của X. b) Tính P(0 < X < 1). 13. Hàm phân phối xác suất của một đại lượng ngẫu nhiên có dạng F(x) =        0 x khi,0 0x khi,e1 2 2 a2 x a) Hãy tìm hàm mật độ xác suất tương ứng. b) Tính xác suất để đại lượng đó nhận giá trị trong khoảng (0, ln2). 14. Cho đại lượng ngẫu nhiên X có hàm mật độ xác suất f(x) =         2,4 x nếu,0 2,4 x nếu,)4x)(2x(a a) Tìm a. b) Tính kì vọng, phương sai của X. 15. Cho hàm mật độ xác suất của đại lượng ngẫu nhiên X f(x) = e-/x/ Hãy tính  và tìm kì vọng, phương sai, độ lệch của X. 44 CHƯƠNG IV CÁC QUY LUẬT PHÂN PHỐI A. TÓM TẮT LÍ THUYẾT 1. Các phân phối rời rạc a) Phân phối nhị thức Đại lượng ngẫu nhiên X = 0, 1,,n được gọi là có phân phối nhị thức, nếu tồn tại số p  (0, 1) sao cho P(X = k) = knC p k(1 – p)n – k , k = n,0 . Khi đó ta kí hiệu X  B(n, p). Nếu X có phân phối nhị thức thì E(X) = np, D(X) = npq, trong đó q = 1 – p. b) Phân phối siêu bội Đại lượng ngẫu nhiên X = 0, 1,,n được gọi là có phân phối siêu bội, nếu tồn tại các số tự nhiên N, M sao cho n  M  N và P(X = k) = n N kn MN k M C CC  , k = n,0 . Khi đó ta kí hiệu X  H(N, M, n). Nếu X có phân phối siêu bội thì E(X) = np, D(X) = npq 1N nN   , trong đó p = N M , q = 1 –p. c) Phân phối Poisson Đại lượng ngẫu nhiên X = 0, 1,,n, được gọi là có phân phối Poisson, nếu tồn tại số a > 0 sao cho P(X = k) = !k ae ka , k = 0, 1, Khi đó ta kí hiệu X  P(a). Nếu X có phân phối Poisson thì E(X) = a, D(X) = a. 2. Các phân phối liên tục a) Phân phối đều Đại lượng ngẫu nhiên X được gọi là có phân phối đều trên a, b, nếu hàm mật độ xác suất của X có dạng f(x) =           b a, x khi ,0 b a, x khi , 1 ab Nếu X có phân phối đều trên a, b thì E(X) = 2 ba  , D(X) = 12 )ab( 2 45 b) Phân phối mũ Đại lượng ngẫu nhiên X được gọi là có phân phối mũ, nếu hàm mật độ xác suất của X có dạng f(x) =      0, x khi ,0 0, x khi ,xe  trong đó  > 0. Nếu X có phân phối mũ với tham số  thì E(X) = λ 1 , D(X) = 2λ 1 . c) Phân phối chuẩn Đại lượng ngẫu nhiên X được gọi là có phân phối chuẩn, nếu hàm mật độ xác suất của X có dạng f(x) = 2 2 2 )( 2 1      x e ,  > 0 ( x  R ) Khi đó ta kí hiệu X  N (, 2). Nếu X có phân phối chuẩn thì E(X) = , D(X) = 2. Khi X  N (0 ; 1) ta còn nói X có phân phối chuẩn chuẩn tắc. Khi ấy, hàm mật độ xác suất của X có dạng f(x) = 2 2 π2 1 x e  ( x  R ) và được gọi là hàm mật độ Gauss. Nếu f(x) là hàm mật độ Gauss thì hàm F(u) =   u xf )( dx được gọi là hàm phân phối Gauss, hàm (u) =  u xf 0 )( dx được gọi là hàm Laplace ( u  R ) Ta có              .; .; 2 1 Ruuu RuuuF   Nếu X  N (0 ; 1) thì (1) P (a < X < b) =  (b) -  (a); (2) P ( X 0. Nếu X  N (, 2) thì (1) P (a < X < b) =         σ μb -         σ μa ; (2) P ( μX  < ) = 2          ; (3) P ( μX  < K) = 2  (K). 46 d) Phân phối “khi bình phương” Đại lượng ngẫu nhiên X2 được gọi là có phân phối “khi bình phương” n bậc tự do, nếu X2 = 21X + 2 2X + . + 2 nX , trong đó X1, X2, , Xn là các đại lượng ngẫu nhiên độc lập có phân phối chuẩn chuẩn tắc. Khi ấy ta kí hiệu X2  2 (n). Hàm  (x) =    0 1 tx et dt được gọi là hàm Gamma. Nếu X2  2 (n) thì (1) Hàm mật độ xác suất của X2 là fn (x) =        0.xnếu,0 ,0xnếu,xe 1 2 n 2 x (2) E (X2) = n , D (X2) = 2n. e) Phân phối Student Đại lượng ngẫu nhiên X được gọi là có phân phối Student n bậc tự do, nếu X = V nU , trong đó U  N (0 ; 1), V  2 (n). Khi đó ta kí hiệu X  T (n). Nếu X  T (n) thì (1) Hàm mật độ xác suất của X là fn(x) = 2 1 2 1 2 2 1                         n n x n n n  ; (2) E(X) = 0 , D (X) = 2n n  . 3. Các định lý giới hạn a) Bất đẳng thức Chebyshev. Với mọi  > 0 và mọi đại lượng ngẫu nhiên X, ta có P ( E(X)X  ≥ )  2ε D(X) . b) định lý Chebyshev Nếu X1, X2, là dãy các đại lượng ngẫu nhiên độc lập từng đôi, có phương sai bị chặn đều (tức là tồn tại C > 0 để D(XK)  C với mọi k) thì với mọi  > 0 ta có 1ε)X(E n 1 X n 1 Plim n 1K K n 1K K n             . 47 Khi ấy, với n khá lớn ta có xấp xỉ sau đây     n 1K K n 1K K XE n 1 X n 1 . c) Định lý Bernoulli Nếu m là số lần thành công trong dãy n phép thử Bernoulli với xác suất thành công p thì 1p n m Plim n         ε . Khi đó, với n khá lớn ta có xấp xỉ p n m  . d) Định lý giới hạn trung tâm (Liapounov) Giả sử X1, X2, là các đại lượng ngẫu nhiên. Đặt K = E(Xk), 2 Kσ = D (XK), CK = E 3 KK μX     n 1K 2 K 2 n n 1K Kn n 1K Kn σd,μe,XY . Nếu X1, X2, độc lập từng đôi và 0 C lim 2/3n 1K 2 K n 1K K n σ               thì ),()(lim abb d eY aP n nn n            với mọi a, b (a<b),  là hàm Laplace. Khi đó, với n khá lớn có thể xem N d eY n nn   (0 ; 1) hay nY  N  2nn d,e . Đặc biệt, nếu E(XK) = , D(XK) =  2 với mọi k, thì với n khá lớn có thể xem            n ,NX...XX n 1 2 n21 σ μ . Trong thống kê ta xem n là đủ lớn nếu n  30. 4. Các công thức tính gần đúng xác suất a) Phân phối siêu bội và phân phối nhị thức Cho X  H (N, M, n). Nếu N khá lớn so với n, ta có thể xem X  B       n M ,n . Khi đó, ta có công thức gần đúng 48 P (X = k) = knk k Nn N kn MN k M N M N M C C CC                1 b) Phân phối nhị thức và phân phối Poisson Cho X  B (n, p). Nếu p khá bé và n khá lớn có thể xem X  P (np). Khi đó P(X = k) =   ! )( 1 k npe ppC knp Knkk n    . c) Phân phối nhị thức và phân phối chuẩn Cho X  B (n, p). Khi n khá lớn, p không quá bé, ta có P(X = k) =                )1()1( 1 1 pnp npk f pnp ppC Knkk n , P (k1  X  k2) =       KnkK n K KK ppC 1 2 1                        )1()1( 12 pnp npk pnp npk trong đó f là hàm mật độ Gauss,  là hàm Laplace B. CÁC BÀI GIẢI MẪU 1. Áp dụng các phân phối rời rạc Bài 1. Một lô hàng có 500 sản phẩm, trong đó có 400 sản phẩm loại một. Lấy ngẫu nhiên từ lô hàng đó ra 200 sản phẩm để kiểm tra. Gọi X là số sản phẩm loại một có trong 200 sản phẩm đó. Hãy tính kì vọng và phương sai của X. Giải Ta có X  H (500, 400, 200), tức là X có phân phối siêu bội với N = 500, M = 400, n = 200. Suy ra p = N M = 0,8 ; q = 1 – p = 0,2. Vậy E (X) = np = 200 . 0,8 = 160, D (X) = npq 1N nN   = 200 . 0,8 . 0,2 . 499 300  19,238. Bài 2. Một xạ thủ bắn 40 viên đạn. Biết xác suất bắn trúng mục tiêu của mỗi viên đạn đều là 0,7. Tính kì vọng, phương sai, độ lệch của số viên đạn trúng mục tiêu. Giải Ta có X  B (40 ; 0,7), tức là X có phân phối nhị thức với n = 40, p = 0,7. Do đó E (X) = np = 40 . 0,7 = 28, D(X) = np (1-p) = 40 . 0,7 . 0,3 = 8,4 ,  (X) = )X(D = 2,898. 2. Áp dụng các phân phối liên tục Bài 3. Trọng lượng của một loại sản phẩm do một nhà máy sản xuất là đại lượng ngẫu nhiên có phân phối chuẩn với kì vọng là 250 gam và phương sai là 25. Sản phẩm được 49 gọi là loại một nếu trọng lượng từ 245 gam đến 260 gam. Tìm tỉ lệ sản phẩm loại một của nhà máy đó. Giải Gọi X là trọng lượng của loại sản phẩm đó. Theo đề bài X  N (250, 25). Ta cần tìm P (245  X  260). Ta có a = 245 , b = 260 ,  = 250,  = 25 = 5. Do đó P (245  X  260) = ).1()2()1()2( σ μ σ μ                 ab Tra bảng hàm số Laplace, ta được  (1) = 0,3413,  (2) = 0,4772. Vậy, tỉ lệ sản phẩm loại một của nhà máy là P (245  X  260) = 0,8185. Bài 4. Một loại chi tiết máy được xem là đạt tiêu chuẩn, nếu đường kính của nó sai lệch so với đường kính thiết kế không quá 0,33mm. Cho biết đường kính của loại chi tiết máy đó là đại lượng ngẫu nhiên có phân phối chuẩn với độ lệch là 0,3mm. Tìm số chi tiết đạt tiêu chuẩn trung bình khi sản xuất 200 chi tiết. Giải Gọi X là số chi tiết đạt tiêu chuẩn trong số 200 chi tiết sản xuất ra thì X  B (200, p) , trong đó p là xác suất sản xuất được một chi tiết đạt tiêu chuẩn. Rõ ràng, số chi tiết đạt tiêu chuẩn trung bình khi sản xuất 200 chi tiết là kì vọng của X. Để tính E(X), trước hết ta tìm p. Gọi Y là đường kính của loại chi tiết máy đó. Theo đề bài, Y  N ( ; 0,32). Do đó p = P  )1,1(2 3,0 33,0 233,0        Y Tra bảng hàm số Laplace, ta được  (1,1) = 0,3643. Suy ra p = 0,7286; E(X) = np = 200 . 0,7286 = 145,72. Như vậy, khi sản xuất 200 chi tiết, trung bình có khoảng 146 chi tiết đạt tiêu chuẩn. 3. Áp dụng các định lý giới hạn Bài 5. Giả sử tiền điện mà một gia đình phải trả trong một tháng là một đại lượng ngẫu nhiên với trung bình 160 ngàn đồng và độ lệch 1 ngàn đồng. Áp dụng bất đẳng thức Chebyshev, hãy xác định số M nhỏ nhất để với xác suất không bé hơn 0,99, số tiền điện phải trả trong một năm của gia đình đó không quá M đồng. Giải Gọi XK là số tiền điện phải trả trong tháng k, k = 12,1 , S là số tiền điện phải trả trong một năm. Ta có XK  N (160 ; 1 2), k = 12,1 , nên    12 1k kXS là đại lượng ngẫu nhiên có  = E (S) = 160.12 = 1920, 2 = D(S) = 12 . 12 = 12. Theo đề bài, ta cần tìm M nhỏ nhất để 50 P (S  M)  0,99. Giả sử  > 0. Áp dụng bất đẳng thức Chebyshev, ta có P ( 1920S   )  2 ε 12 , hay P ( 1920S   )  1 - 2 ε 12 . Mặt khác, vì 1920S    1920 -   S  1920 + , nên bài toán tìm M được đưa về bài toán tìm  nhỏ nhất sao cho P ( 1920S   )  0,99. Muốn vậy, ta phải có 1- 2 ε 12  0,99. Suy ra   34,64 Vậy giá trị nhỏ nhất của  là 34,64. Từ đó, giá trị nhỏ nhất của M là 1920 +  = 1954,64 (ngàn đồng). 4. Tính gần đúng xác suất Bài 6. Một chung cư có 160 hộ gia đình. Xác suất để mỗi hộ có sự cố về điện vào buổi tối là 0,02. Tính xác suất để trong một buổi tối có a) 4 gia đình gặp sự cố về điện. b) từ 2 đến 5 gia đình gặp sự cố về điện. Giải Gọi X là số gia đình gặp sự cố về điện trong một buổi tối ở chung cư đó. a) Cách thứ nhất. Ta có X  B (160 ; 0,02) nên áp dụng phân phối nhị thức, ta được P (X = 4) = 4160C 0,02 4 0,98156  0,17999. Cách thứ hai. Vì n =160 khá lớn, p = 0,02 khá bé nên X có xấp xỉ phân phối Poisson với a = np = 160 . 0,02 = 3,2. Tra bảng phân phối Poisson, ta được P(X = 4) = 0,17809. Nếu không tra bảng, áp dụng công thức, ta được P (X = 4) = 41 2,3e 42,3 = 0,17809. Nếu X có phân phối nhị thức, X  B (n, p) với p khá bé, n khá lớn thì áp dụng phân phối Poisson để tính xác suất P (X = k). Nếu X  B (n, p) với p không quá lớn, không quá bé, n khá lớn thì áp dụng hàm mật độ Gauss để tính P (X=k) hoặc áp dụng hàm Laplace để tính P(k1  X  k2). 51 b) Áp dụng phân phối Poisson, ta được P (2  X  5) = 2,3 5 2 )(    ekXP k          !5 2,3 !4 2,3 !3 2,3 !2 2,3 5432 = 0,72339. Bài 7. Một đề thi trắc nghiệm có 100 câu hỏi, xác suất trả lời đúng mỗi câu của một sinh viên là 0,4. Tính xác suất để sinh viên đó trả lời đúng a) 50 câu hỏi. b) ít nhất 50 câu hỏi. Giải Xem phép thử là trả lời một câu hỏi, ta có n = 100 phép thử độc lập. Gọi A là biến cố sinh viên trả lời đúng câu hỏi đó, theo đề bài, P(A) = p = 0,4. Gọi X là số câu sinh viên trả lời đúng thì X  B(100 ; 0,4). Vì n khá lớn và p không quá lớn, không quá bé nên X có xấp xỉ phân phối chuẩn, tức là X  N(, 2), trong đó  = np = 40, 2 = np(1 – p) = 24. a) Áp dụng hàm mật độ Gauss, ta có P(X = 50) = )04,2(f 24 1 24 4050 f 24 1        . Tra bảng hàm số Gauss ta được f(2,04) = 0,0498. Vậy P(X = 50) = 24 0498,0 = 0,0102. b) Áp dụng hàm số Laplace, ta có P(50  X  100) =        24 40100 Φ ).04,2(Φ)25,12(Φ 24 4050        Φ Tra bảng hàm số Laplace ta được 5,0)25,12(Φ  ; 4793,0)04,2( Φ . Vậy P(60  X  100) = 0,0207. Bài 8. Sản phẩm của một nhà máy được đóng thành từng hộp, mỗi hộp 10 sản phẩm. Gọi X là số sản phẩm loại một có trong hộp. Cho biết X có phân phối xác suất như sau X 7 8 9 10 P 0,2 0,3 0,3 0,2 Tiến hành kiểm tra 300 hộp theo cách sau. Mỗi hộp chọn ngẫu nhiên 3 sản phẩm để kiểm tra. Nếu thấy có ít nhất 2 sản phẩm loại một thì nhận hộp đó. a) Tìm xác suất để có ít nhất 240 hộp được nhận. b) Tìm số hộp được nhận có khả năng lớn nhất. Giải a) Xem phép thử là kiểm tra một hộp, ta có n = 300 phép thử độc lập. Gọi N là biến cố nhận hộp. Ta tính P(N) = p. 52 Gọi Ni là biến cố có i sản phẩm loại một trong 3 sản phẩm được kiểm tra ở mỗi hộp, i= 3,0 . Ta có N = N2 + N3 và N2, N3 xung khắc. Do đó P(N) = P(N2) + P(N3). Gọi Mk là biến cố có k sản phẩm loại một trong số 10 sản phẩm của hộp, k = 10,0 . Theo đề bài, M7, M8, M9, M10 tạo thành một nhóm đầy đủ (vì chúng xung khắc từng đôi và tổng xác suất bằng 1). Áp dụng công thức xác suất đầy đủ, ta có P(N2) = P(M7)P(N2/M7) + + P(M10)P(N2/M10), P(N3) = P(M7)P(N3/M7) + + P(M10)P(N3/M10). Các xác suất P(Mk), k = 10,7 , đã được cho trong bảng phân phối xác suất của X ; bằng định nghĩa ta tính được P(Ni/Mk) , i = 2,3 ; k = 10,7 . Chẳng hạn, P(N2/M7) = 3 10 1 3 2 7 C CC , P(N3/M7) = 3 10 3 7 C C . Suy ra P(N2) = 0,2. 3 10 1 3 2 7 C CC + 0,3 3 10 1 2 2 8 C CC + 0,3 3 10 1 1 2 9 C CC + 0,2.0 = 0,335, P(N3) = 0,2. 3 10 3 7 C C + 0,3. 3 10 3 8 C C + 0,3 3 10 3 9 C C + 0,2.1 = 0,41. Vậy P(N) = 0,335 + 0,41 = 0,745. . Gọi Y là số hộp được nhận trong 300 hộp đã kiểm tra. Ta cần tìm P(240  Y  300). Ta có Y  B(300 ; 0,745), vì n khá lớn , p không quá lớn, không quá bé nên có thể xem Y có xấp xỉ phân phối chuẩn Y  N(, 2), với  = np = 223,5 ; 2 = np(1 – p) = 56,9925,  = 7,5493. Áp dụng hàm số Laplace, ta được P(275  Y  300) =                5493,7 5,223240 5493,7 5,223300 = Φ (10,13) - Φ (2,186) = 0,5 – 0,4854 = 0,0146. c) Ta có Y  B(300 ; 0,745) và n = 300, p = 0,745, q = 0,255 nên np - q = 223,245 = 223. Vậy, số hộp được nhận có khả năng lớn nhất là 223 hoặc 224 hộp. 53 C. BÀI TẬP 1. Một lô hàng có 700 chi tiết, trong đó có 250 chi tiết đạt tiêu chuẩn. Lấy ngẫu nhiên từ lô hàng đó ra 80 chi tiết, gọi X là số chi tiết đạt tiêu chuẩn lấy được. Tính kì vọng, phương sai của X. 2. Cho X là đại lượng ngẫu nhiên với E(X) = 5, D(X) = 0,16. a) Tính xác suất nhỏ nhất để X  (3 ; 7). b) Chứng minh rằng P(2 < X < 8)  0,98. c) Chứng minh rằng, nếu X1, X2,, X9 là các đại lượng ngẫu nhiên độc lập có cùng phân phối xác suất với X, thì P( 3 < 99,0)7 9 X...XX 921   . 3. Trọng lượng của một toa tàu là một đại lượng ngẫu nhiên có giá trị trung bình bằng 65 tấn và độ lệch là 0,9 tấn. Tìm xác suất để trọng lượng toa tàu không vượt quá 70 tấn nhưng vẫn lớn hơn 60 tấn, biết rằng trọng lượng này tuân theo luật phân phối chuẩn. 4. Xác suất để một hạt thóc giống bị lép là 0,006. Tính xác suất sao cho trong số 1000 hạt thóc giống có a) đúng 6 hạt lép. b) không ít hơn 3 hạt lép. c) không nhiều hơn 5 hạt lép. 5. Xác suất sinh một bé trai là 0,51. Tìm xác suất để trong 200 em bé, số bé trai ít hơn số bé gái. 6. Một đề thì gồm 45 câu hỏi, với mỗi câu hỏi thí sinh cần chọn một trong bốn câu trả lời kèm theo, trong đó chỉ có một câu trả lời đúng. Một sinh viên hoàn toàn không học bài, khi đi thi chọn ngẫu nhiên một trong bốn câu trả lời. Tìm xác suất a) sinh viên đó trả lời đúng 30 câu hỏi. b) sinh viên đó trả lời đúng ít nhất 23 câu hỏi. c) sinh viên đó trả lời đúng nhiều nhất 20 câu hỏi. 7. Một máy tính điện tử gồm 10000 bóng bán dẫn, chia làm ba loại. Loại một có 1000 bóng, xác suất hỏng của mỗi bóng là 0,0005. Loại hai có 3000 bóng, xác suất hỏng tương ứng là 0,0003. Loại ba có xác suất hỏng tương ứng là 0,0001. Máy tính ngừng làm việc nếu có ít nhất hai bóng bán dẫn bị hỏng. Tìm xác suất máy tính ngừng làm việc, nếu các bóng hỏng hay tốt độc lập với nhau. 8. Cho đại lượng ngẫu nhiên X có phân phối đều trên 0, 1. Tìm xác suất sao cho trong 100 lần quan sát về X thì có 60 lần X nhận giá trị thuộc (0,2 ; 0,7). 9. Một máy sản xuất hàng loạt sản phẩm. Các sản phẩm được xem là đạt tiêu chuẩn nếu trọng lượng của nó sai lệch so với trọng lượng quy định không quá 0,588. Biết trọng lượng của sản phẩm do máy sản xuất ra là một đại lượng ngẫu nhiên có phân phối chuẩn với phương sai 0,09. Tìm xác suất để trong 10 sản phẩm do máy sản xuất sẽ có ít nhất 4 sản phẩm đạt tiêu chuẩn. 54 10. Ở một xí nghiệp may xuất khẩu, sau khi quần áo may xong, người ta đóng thành từng hộp, mỗi hộp 3 bộ quần áo. Khi đóng hộïp có thể xảy ra hiện tượng xếp áo quần nhầm số. Cho biết xác suất xếp áo đúng số là 0,7, xếp quần đúng số là 0,8 và hộp sẽ được chấp nhận nếu số lượng quần xếp đúng số bằng số lượng áo xếp đúng số. a) Kiểm tra ngẫu nhiên 100 hộp của xí nghiệp. Tìm xác suất có 50 hộp được chấp nhận. b) Phải kiểm tra ít nhất bao nhiêu hộp để xác suất có ít nhất một hộp được chấp nhận lớn hơn hay bằng 0,9. 55 CHƯƠNG V LÝ THUYẾT MẪU A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT 1. Mẫu và phương pháp chọn mẫu a) Tổng thể và mẫu Tập hợp có phần tử là tất cả các đối tượng mà ta nghiên cứu được gọi là tổng thể. Một tập con của tổng thể được gọi là mẫu từ tổng thể đó. Số phần tử của mẫu được gọi là kích thước mẫu. b) Các phương pháp chọn mẫu - Mẫu ngẫu nhiên là mẫu được chọn từ tổng thể một cách ngẫu nhiên. - Mẫu hoàn lại là mẫu được chọn theo cách lấy một phần tử của tổng thể ra quan sát, sau đó bỏ vào tổng thể rồi mới lấy phần tử tiếp theo để quan sát. - Mẫu không hoàn lại là mẫu được chọn bằng cách phần tử đã lấy ra quan sát thì loại ra khỏi tổng thể. Nếu số phần tử của tổng thể lớn thì mẫu hoàn lại và không hoàn lại có thể xem là như nhau. Trong giáo trình này ta xem mẫu là mẫu hoàn lại. c) Cách kí hiệu mẫu, mẫu thu gọn - Mẫu định tính là mẫu mà ta chỉ quan tâm đến các phần tử của nó có một tính chất  nào đó hay không. Khi đó mẫu được cho dưới dạng . Kích thước mẫu : n . Số phần tử có tính chất  : k. - Mẫu định lượng là mẫu mà ta quan tâm đến một yếu tố về lượng của các phần tử. Khi đó mẫu có kích thước n được cho dưới dạng X = (x1, x2,, xn), trong đó xi là giá trị của phần tử thứ i của mẫu, i = n,1 . Nếu mẫu có các phần tử nhận giá trị giống nhau, thì mẫu được cho dưới dạng thu gọn như sau X x1 x2 xm Tần số n1 n2 nm trong đó x1 < x2 < < xm là các giá trị của các phần tử thuộc mẫu, ni là số phần tử của mẫu cùng có giá trị xi, i = m,1 , n1 + n2 + + nm = n. Nếu ni là số phần tử của mẫu nhận giá trị trong khoảng (ai, bi) thì ta xem chúng nhận giá trị chung là xi = 2 ba ii  , i = m,1 . 2. Các đặc trưng của mẫu a) Đối với mẫu định tính Cho mẫu định tính có n phần tử, trong đó có k phần tử có tính chất . Ta gọi tỉ số f = n k 56 là tỉ lệ mẫu (có tính chất ). Nếu tổng thể có tỉ lệ p thì E(f) = p, D(f) = n )p1(p  . Với n  30 ta co ù f  N(p ; n )p1(p  ) hay 1). ; 0(Nn )f1(f pf    b) Đối với mẫu định lượng Cho mẫu định lượng dưới dạng thu gọn. Ta gọi số    m 1i iinx n 1 X . là trung bình mẫu. Đặt    m i ii nx n X 1 22 1 . Khi đó - Số  2S = 22 )X(X  được gọi là phương sai mẫu, - Số S2 = 1n n   2S được gọi là phương sai mẫu hiệu chỉnh, - Số S = 2S được gọi là độ lệch mẫu hiệu chỉnh. Nếu tổng thể có kì vọng , phương sai 2, thì mọi mẫu kích thước n đều có E( X ) = , D( X ) = n σ 2 , E(  2S ) = 2σ n 1-n , E(S2) = 2. Nếu tổng thể có phân phối chuẩn thì X N( n 2 , σ μ ) hay 1) ; 0(Nn X   σ μ . Với n  30 có thể xem tổng thể có phân phối chuẩn nên X  N( n , 2S μ ). Với n < 30, tổng thể có phân phối chuẩn, ta có )1n(Tn X   S μ . B. CÁC BÀI GIẢI MẪU 1. Tính đặc trưng của mẫu định tính f = mẫu của tử phầnSố mẫu của chất tính có tử phầnSố n k   57 Bài 1. Trước kì bầu cử, người ta phỏng vấn 1575 cử tri thì thấy có 1212 người trả lời là ủng hộ ứng cử viên A. Tính tỉ lệ mẫu ủng hộ ứng cử viên đó. Giải Ta có tổng thể là toàn bộ số cử tri, mẫu là nhóm cử tri được phỏng vấn, tính chất  là “ủng hộ ứng cử viên A”. Do đó - Số phần tử của mẫu : n = 1575 - Số phần tử có tính chất  của mẫu : k = 1212. Vậy tỉ lệ mẫu ủng hộ ứng cử viên A là f = 7695,0 1575 1212 n k  . Bài 2. Người ta bắt được 1200 con cá, đánh dấu rồi thả lại vào hồ. Sau một thời gian bắt lại 250 con thì thấy có 32 con bị đánh dấu. Tìm tỉ lệ mẫu bị đánh dấu. Giải Tổng thể là toàn bộ số cá trong hồ, mẫu là những con được bắt lên, tính chất  là “bị đánh dấu”. Ta có - Số phần tử của mẫu : n = 250 - Số phần tử có tính chất  của mẫu : k = 32 Vậy, tỉ lệ mẫu bị đánh dấu là f = 128,0 250 32 n k  . 2. Tính đặc trưng của mẫu định lượng - Lập bảng mẫu thu gọn (nếu cần) - Lập bảng tính  ii nx ,  i2i nx (nếu cần) - Tính  iinx n 1 X , n 1 X2   i2i nx  2S = 22 )X(X  S2 = 1n n   2S , S = 2S Bài 3. Điểm thi môn Toán của sinh viên một lớp được ghi trong bảng sau 8 9 7 5 8 7 4 3 5 6 7 7 5 4 6 8 5 6 5 4 5 7 6 6 3 7 5 6 7 7 6 5 4 4 5 6 8 7 5 5 7 5 4 3 8 7 6 4 Hãy tính các đặc trưng mẫu. Giải Ta lập mẫu thu gọn X 3 4 5 6 7 8 9 Tần số 3 7 12 9 11 5 1 n = 3 + 7 + 12 + 9 + 11 + 5 + 1 = 48 58 48 1 X  (3.3 + 4.7 + 5.12 + 6.9 + 7.11 + 8.5 + 9.1) = 5,7708 ; 48 1 X2  (32.3 + 42.7 + 52.12 + 62.9 + 72.11 + 82.5 + 92.1) = 35,4792 ;  2S = 35,4792 – 5,77082 = 2,1771 ; S2 = 47 48 . 2,1771 = 2,2234 ; S = 2234,2 = 1,4911. Bài 4. Điều tra năng suất lúa của một vùng, ta có bảng số liệu sau Năng suất lúa (tạ/ha) 41 44 45 46 48 52 54 Diện tích có năng suất lúa tương ứng (ha) 10 20 30 15 10 10 5 Hãy tính các đặc trưng mẫu. Giải Ta lập bảng tính các số liệu cần thiết xi ni xini i 2 i nx 41 44 45 46 48 52 54 10 20 30 15 10 10 5 410 880 1350 690 480 520 270 16810 38720 60750 31740 23040 27040 14580  n = 100 4600 212680 Do đó 100 4600 X  = 46 ; 8,2126 100 212680 X2  ;  2S = 2126,8 – 462 = 10,8 ; S2 = 99 100 .10,8 = 10,9091 ; S = 3,3029. Bài 5. Để nghiên cứu nhu cầu mua gạo ở một thành phố, người ta tiến hành điều tra một số gia đình và ghi kết quả ở bảng sau đây. Nhu cầu (kg/tháng) Số gia đình Nhu cầu Số gia đình 30 – 35 35 – 40 40 – 45 45 – 50 50 - 55 45 68 103 179 208 55 – 60 60 – 65 65 – 70 70 – 75 75 - 80 182 151 115 94 55 a) Hãy tính các đặc trưng mẫu. b) Tính tỉ lệ mẫu có nhu cầu trên 60kg/tháng. 59 Giải a) Ta lập bảng các giá trị của mẫu xi ni xini i 2 i nx 32,5 37,5 42,5 47,5 52,5 57,5 62,5 67,5 72,5 77,5 45 68 103 179 208 182 151 115 94 55 1462,5 2550 4377,5 8502,5 10920 10465 9437,5 7762,5 6815 4262,5 47531,25 95625 186043,75 403868,75 573300 601737,5 589843,75 523968,75 494087,5 330343,75  1200 66555 3846350 1200 66555 X  = 55,4625 ; 2917,3205 1200 3846350 X2  ;  2S = 129,2028 ; S2 = 129,3105 ; S = 11,3715. b) Xem mẫu đã cho là mẫu định tính có kích thước n = 1200 ; xem tính chất  là có nhu cầu trên 60 kg/tháng thì số phần tử có tính chất  của mẫu là k = 151 + 115 + 94 + 55 = 415. Vậy tỉ lệ mẫu cần tìm là f = n k = 1200 415 = 0,3458. C. BÀI TẬP 1. Số liệu sau đây là số kĩ sư đến thực tập tại một công ty trong vòng một năm ở các xí nghiệp khác nhau. 59 68 45 70 73 70 61 59 79 45 79 45 70 68 61 73 68 73 45 59 45 70 68 61 45 70 69 73 59 68 68 59 61 79 73 61 73 45 59 68 69 45 68 45 59 59 70 73 79 61 73 79 45 68 70 45 73 59 61 70 Hãy tính các đặc trưng mẫu. 60 2. Đo chiều cao của một số thanh niên lứa tuổi 18 – 20 ở tỉnh Tiền Giang, ta thu được bảng sau đây Chiều cao (cm) Số người có chiều cao tương ứng 154 – 158 158 – 162 162 – 166 166 – 170 170 – 174 174 – 178 178 - 182 10 14 26 28 12 8 2 a) Hãy tính các đặc trưng mẫu. b) Tính tỉ lệ mẫu có chiều cao trên 1,7m. 3. Điểm kiểm tra môn xác suất thống kê của một số sinh viên được cho trong bảng sau. Điểm 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Số sinh viên 1 2 5 10 20 48 35 22 10 5 2 a) Tính điểm kiểm tra trung bình và phương sai mẫu hiệu chỉnh của mẫu đó. b) Tìm tỉ lệ mẫu có điểm kiểm tra dưới trung bình. 4. Để nghiên cứu tuổi thọ của một loại bóng đèn, người ta thắp thử 100 bóng và có số liệu sau. Tuổi thọ (giờ) Số bóng tương ứng 1010 – 1030 1030 – 1050 1050 – 1070 1070 – 1090 1090 – 1110 1110 – 1130 1130 – 1150 1150 – 1170 1170 – 1190 1190 – 1210 2 3 8 13 25 20 12 10 6 1 Sau khi cải tiến kĩ thuật, người ta lại thắp thử 100 bóng, kết quả là Tuổi thọ (giờ) 1150 1160 1170 1180 1190 1200 Số bóng 10 15 20 30 15 10 Hãy so sánh tuổi thọ trung bình và độ lệch mẫu hiệu chỉnh của các bóng đèn trước và sau khi cải tiến kĩ thuật. 61 CHƯƠNG VI LÝ THUYẾT ƯỚC LƯỢNG A. TÓM TẮT LÍ THUYẾT 1. Ước lượng điểm Cho X = (x1, x2,, xn) là một mẫu kích thước n từ tổng thể có kì vọng  và phương sai 2. Số  ˆ θ =  ˆ θ (x1, x2,, xn) được gọi là một ước lượng điểm của đặc trưng  của tổng thể nếu ta coi nó là một giá trị gần đúng của . a) Ước lượng không chệch Ước lượng  ˆ θ của  được gọi là không chệch nếu E(  ˆ θ ) = . Với một mẫu bất kì, ta có (1) f là ước lượng không chệch của p ; (2) X là ước lượng không chệch của  ; (3) S2 là ước lượng không chệch của 2. b) Ước lượng hợp lí cực đại Giả sử tổng thể đã biết phân phối nhưng chưa biết các tham số  của nó. Khi đó, hàm mật độ xác suất của nó có dạng f(x, ). Từ mẫu ta có hàm L() = L(x1, x2,, xn, ) = f(x1, ).f(x2, ) f(xn, ) được gọi là hàm hợp lí của . Số  ˆ θ =  ˆ θ ( x1, x2,, xn) được gọi là ước lượng hợp lí cực đại của , nếu ứng với giá trị này của  hàm hợp lí đạt cực đại. . Nếu tổng thể có phân phối Poisson và mẫu X = (x1, x2,, xn) thì ước lượng hợp lí cực đại của tham số  của tổng thể là X . . Nếu tổng thể có phân phối chuẩn và mẫu X = (x1, x2,, xn) thì ước lượng hợp lí cực đại của kì vọng của tổng thể là X , của phương sai của tổng thể là  ˆ 2S . 2. Ước lượng khoảng a) Khái niệm Giả sử  ˆ θ là một ước lượng điểm không chệch của . Khoảng (  ˆ θ - ,  ˆ θ + ) được gọi là khoảng ước lượng của  với độ tin cậy , nếu P(  ˆ θ -  <  <  ˆ θ + ) = P(  ˆ θ -  < )   . Số  > 0 được gọi là độ chính xác của ước lượng. Thông thường ta cần tìm khoảng ước lượng với   95% cho trước. b) Ước lượng khoảng của tỉ lệ . Bài toán. Giả sử tổng thể gồm các phần tử có tính chất  và không có tính chất . Cần ước lượng tỉ lệ p các phần tử có tính chất  của tổng thể với độ tin cậy  cho trước. . Phương pháp - Với mẫu định tính kích thước n  30, ta tìm được tỉ lệ f các phần tử có tính chất  của mẫu. 62 - Tra bảng hàm số Laplace tìm số z sao cho 2 γ )( γ  Z . - Tìm độ chính xác của ước lượng  = n )f1(f Z  γ . - Khi đó p = f  . c) Ước lượng khoảng của kì vọng . Bài toán . Tìm khoảng ước lượng của kì vọng  của tổng thể với độ tin cậy  cho trước. .Phương pháp * Trường hợp n  30 - Với mẫu định lượng kích thước n ta tìm được X , S. - Tra bảng hàm số Laplace tìm số Z sao cho (Z) = 2  . - Tìm độ chính xác n s Z   . - Khi đó  = X   * Trường hợp n tùy ý, tổng thể có phân phối chuẩn, đã biết phương sai 2 Khi đó n Z σ γε  ;  = X  . * Trường hợp n < 30, tổng thể có phân phối chuẩn, chưa biết phương sai - Tra bảng phân phối Student dòng n – 1, cột 1-, ta tìm được số T. Khi đó n s Tγε  và  = X  . c) Ước lượng khoảng của phương sai .Bài toán. Tìm khoảng ước lượng của phương sai 2 của tổng thể với độ tin cậy  cho trước, biết tổng thể có phân phối chuẩn. .Phương pháp - Với mẫu định lượng kích thước n ta tìm được S2. - Tra bảng phân phối “khi bình phương” dòng n-1, các cột 1-,  ta được hai số tương ứng là 1, 2. - Khi đó, khoảng ước lượng của 2 với độ tin cậy  là        1)S -(n , )1( 2 2 1 2  Sn . B. CÁC BÀI GIẢI MẪU 1. Ước lượng tỉ lệ Bài 1. Trước ngày bầu cử tổng thống, người ta phỏng vấn ngẫu nhiên 1800 cử tri thì thấy có 1180 người ủng hộ ứng cử viên A. Với độ tin cậy 95%, hỏi ứng cử viên đó thu được tối thiểu bao nhiêu phần trăm số phiếu bầu ? 63 Giải Tổng thể là toàn bộ số cử tri cả nước, các phần tử của tổng thể gồm hai loại : ủng hộ và không ủng hộ ứng cử viên A. Ta ước lượng tỉ lệ p các phần tử ủng hộ ứng cử viên A của tổng thể với độ tin cậy 95%. Ta có mẫu gồm 1800 phần tử, trong đó có 1180 phần tử ủng hộ ứng cử viên A nên tỉ lệ mẫu là f = 1800 1180 = 0,6556. Tra bảng hàm số Laplace ta thấy (1,96) = 475,0 2 95,0  nên Z = 1,96. Độ chính xác của ước lượng là  = 1,96 1800 )6556,01(6556,0  = 0,0220. Do đó tỉ lệ tổng thể ủng hộ ứng cử viên A là P = 0,6556  0,0220, hay 0,6336  p  0,6776. Vậy, tối thiểu ứng cử viên A sẽ thu được 63,36% số phiếu bầu. Bài 2. Người ta bắt được 1500 con thú, đánh dấu rồi thả lại vào rừng. Sau một thời gian bắt lại 360 con thì thấy có 27 con bị đánh dấu. Hãy ước lượng số thú trong rừng với độ tin cậy 99%. Giải Tổng thể là toàn bộ thú trong rừng. Số phần tử của tổng thể là N chưa biết nhưng được chia thành hai loại : bị đánh dấu và không bị đánh dấu. Số phần tử bị đánh dấu của tổng thể là M = 1500 đã biết. Do đó để tìm N, ta ước lượng tỉ lệ p các phần tử bị đánh dấu của tổng thể với độ tin cậy 99%. Ta có số phần tử của mẫu là n = 360, trong đó số phần tử bị đánh dấu là k = 27. Suy ra tỉ lệ mẫu f = 360 27 = 0,075. Tra bảng hàm số Laplace ta thấy (2,58) = 2 99,0 = 0,495 nên Z = 2,58. Độ chính xác của ước lượng  = 2,58 360 )075,01(075,0  = 0,0358. Do đó, tỉ lệ các phần tử bị đánh dấu của tổng thể là p = 0,075  0,0358 , hay 0,0392  p  0,1108. Ta lại có p = N M nên N = p M . 64 Vậy 1108,0 1500  N  0392,0 1500 , hay 13538  N  38265. Như vậy, số thú hiện có trong rừng là từ 13538 đến 38265 con, với độ tin cậy 99%. 2. Xác định kích thước mẫu định tính Bài 3. Ở một vùng, khi khám bệnh cho bệnh nhân, người ta thấy tỉ lệ mắc bệnh tai mũi họng là 15%. Để ước lượng xác suất mắc bệnh tai mũi họng của vùng đó với độ tin cậy 95% và sai số không vượt quá 2% thì cần khám tối thiểu bao nhiêu người ? Giải Theo đề bài ta có - tỉ lệ mắc bệnh của mẫu ban đầu là f = 0,15 ; - độ tin cậy  = 95% nên Z = 1,96 ; - sai số của ước lượng, hay độ chính xác là   0,02. Vậy mẫu cần tìm phải có số phần tử n         2 2 02,0 )15,01(.15,0.96,1 + 1 = 1225. Do đó, tối thiểu cần khám cho 1225 người. Bài 4. Lô trái cây của một chủ hàng được đóng thành từng sọt, mỗi sọt 100 trái. Kiểm tra 50 sọt người ta thấy có 450 trái không đạt tiêu chuẩn. a) Hãy ước lượng tỉ lệ trái cây không đạt tiêu chuẩn của lô hàng đó với độ tin cậy 95%. b) Muốn ước lượng tỉ lệ trái cây không đạt tiêu chuẩn với độ chính xác 0,5% thì độ tin cậy đạt được là bao nhiêu ? c) Muốn ước lượng tỉ lệ trái cây không đạt tiêu chuẩn với độ tin cậy 99% và độ chính xác 1% thì cần kiểm tra bao nhiêu sọt ? Từ công thức tính độ chính xác  = n ff Z )1(   suy ra số phần tử của mẫu mới n =          2 2 )1(   ffZ + 1, trong đó f là tỉ lệ mẫu ban đầu. 65 Giải a) Tổng thể là toàn bộ trái cây của lô hàng. Gọi p là tỉ lệ trái cây không đạt tiêu chuẩn của tổng thể. Ta cần ước lượng p với độ tin cậy 95%. Ta có kích thước mẫu n = 50 . 100 = 5000, tỉ lệ mẫu không đạt tiêu chuẩn f = 5000 450 = 0,09. Với độ tin cậy  = 0,95, tra bảng hàm số Laplace, ta tìm được Z = 1,96. Từ đó, sai số của ước lượng  = 1,96 5000 )09,01.(09,0  = 0,0079. Vậy, tỉ lệ trái không đạt tiêu chuẩn của lô hàng là P = 0,09  0,0079, hay 8,21%  p  9,97%. b) Theo đề bài, ta cần tìm độ tin cậy  khi biết độ chính xác  = 0,005 và n = 5000, f = 0,09. Từ công thức  = Z n )f1(f  suy ra Z =  )f1(f n  = 0,005 91,0.09,0 5000 = 1,24. Mà  (Z) = 2  , nên  = 2  (Z) = 2  (1,24) = 2 . 0,3925 = 0,785. Vậy, độ tin cậy đạt được là 78,5%. c) Ta cần tìm kích thước mẫu mới khi biết độ tin cậy  = 99%, độ chính xác  = 1% và tỉ lệ mẫu ban đầu f = 0,09. Khi đó Z = 2,58. Do đó n =       2 2 01,0 91,0.09,0.58,2 + 1 = 5452. Số trái cây cần kiểm tra là 5452, và vì mỗi sọt có 100 trái nên số sọt cần kiểm tra là     100 5452 + 1 = 55. 66 3. Ước lượng giá trị trung bình Bài 5. Ở một cửa hàng chế biến thủy sản, theo dõi lượng nước mắm bán ra trong một số ngày, người ta ghi được bảng số liệu sau. Số lượng bán ra (lít) Số ngày 20 – 30 30 – 40 40 – 50 50 – 60 60 – 70 70 – 80 80 – 90 90 – 100 > 100 3 8 30 45 20 25 17 9 4 Hãy ước lượng số lít nước mắm bán ra trung bình mỗi ngày với độ tin cậy 99% trong hai trường hợp a) biết phương sai 2 = 132,25; b) chưa biết phương sai. Giải Ta lập bảng tính các đặc trưng của mẫu định lượng. xi ni xini i 2 i nx 161 10075 X  = 62, 5776 ; 161 681825 X2  = 4234,9379 ; 2^ S = 318,9819 ; 2S = 320,9755 ; S = 17,9158. 25 35 45 55 65 75 85 95 105 3 8 30 45 20 25 17 9 4 75 280 1350 2475 1300 1875 1445 855 420 1875 9800 60750 136125 84500 140625 122825 81225 44100  161 10075 681825 Với  = 99% ta có Z = 2,58. 67 a) Theo đề bài, phương sai của tổng thể đã biết 2 = 132,65 nên  = 11,5174. Do đó  = Z n σ = 2,58 . 161 5174,11 = 2,3419. Vậy, số lít nước mắm bán ra trung bình mỗi ngày ở cửa hàng đó là  = X   = 62,5776  2,3419. hay 60,2357    64,9195 (lít). b) Phương sai của tổng thể chưa biết, n  30 nên độ chính xác là  = Z n S = 2,58 . 161 9158,17 = 3,6429. Vậy  = 62,5776  3,6429 (lít). Bài 6. Đo đường kính của 20 trục máy do một máy tiện tự động sản xuất ra, ta được kết quả sau (tính bằng mm) 250 ; 249 ; 251 ; 253 ; 248 ; 250 ; 250 ; 252 ; 257 ; 245 ; 248 ; 247 ; 249 ; 249 ; 250 ; 280 ; 250 ; 247 ; 253 ; 256. Giả sử đường kính của các trục máy là đại lượng ngẫu nhiên có phân phối chuẩn. Hãy ước lượng đường kính trung bình của các trục máy do máy tiện sản xuất với độ tin cậy 95%. Giải Tổng thể là toàn bộ trục máy do máy tiện sản xuất. Ta cần ước lượng đường kính trung bình  của tổng thể với độ tin cậy 95% và kích thước mẫu n < 30, chưa biết phương sai. Từ mẫu định lượng đã cho, ta tính được X = 251,7 ; S = 7,2670. Tra bảng phân phối Student dòng 19, cột 0,05, ta được T = 2,093. Suy ra  = 2,093 . 20 267,7 = 3,4010. Vậy  = 251,7  3,401 (mm). 4. Xác định kích thước mẫu định lượng Từ công thức tính độ chính xác suy ra công thức tìm số phần tử của mẫu mới với S được tính từ mẫu ban đầu. Chẳng hạn, n =         2 22   SZ + 1. 68 Bài 7. Sai số đo của một loại dụng cụ đo có phân phối chuẩn với độ lệch bằng 20. Cần phải tiến hành bao nhiêu phép đo độc lập để sai số phạm phải không vượt quá 5 với độ tin cậy 90%? Giải Đây là bài toán tìm kích thước mẫu định lượng biết độ tin cậy  = 0,9, độ chính xác  = 5, độ lệch chuẩn của tổng thể  = 20 đã biết. Theo công thức tính độ chính xác, ta có  = Z n σ . Suy ra n =               2  Z + 1. Tra bảng hàm số Laplace, ta thấy  (1,65) = 2 9,0 = 0,45. Do đó Z = 1,65. Vậy, n =               2 20.65,1 5 + 1 = 44. Cần tiến hành 44 phép đo độc lập. 5. Ước lượng phương sai Bài 8. Theo dõi số hàng bán được trong một ngày ở một cửa hàng, ta được kết quả ghi ở bảng sau. Số hàng bán được (kg) Số ngày 1900 – 1950 1950 – 2000 2000 – 2050 2050 - 2100 2 10 8 5 Hãy ước lượng phương sai của lượng hàng bán được mỗi ngày với độ tin cậy 95% Giải Từ mẫu định lượng đã cho, ta tính được n = 25, S2 = 2058,3333. Tra bảng phân phối “khi bình phương” dòng 24, cột 0,05 và cột 0,95, ta được 1 = 36,415 , 2 = 13,848. Suy ra 1 2)1(  Sn  = 1356,5838 ; 2 2S)1n( χ  = 3567,3021. Vậy, khoảng ước lượng của phương sai của tổng thể là 1356,5838 < 2 < 3567,3021. 69 C. BÀI TẬP 1. Kiểm tra ngẫu nhiên 500 sản phẩm của một nhà máy thì thấy có 360 sản phẩm loại một. Hãy ước lượng tỉ lệ sản phẩm loại một tối thiểu của cả nhà máy với độ tin cậy 95%. 2. Lấy ngẫu nhiên 400 hộp từ một kho đồ hộp để kiểm tra thì thấy có 20 hộp bị hỏng. Từ kết quả kiểm tra đó, hãy ước lượng tỉ lệ phế phẩm của kho hàng với độ tin cậy 95,45%. 3. Tại một khu rừng nguyên sinh, người ta đeo vòng vào chân của 1200 con chim. Sau một thời gian bắt lại 250 con thì thấy 40 con có đeo vòng. Hãy ước lượng số chim trong khu rừng đó với độ tin cậy 99%. 4. Muốn biết số cá có trong một hồ lớn, người ta bắt lên 2000 con, đánh dấu xong lại thả chúng xuống hồ . Sau đó người ta bắt lên 400 con thì thấy có 55 con bị đánh dấu. Với độ tin cậy 0,95 hãy ước lượng số cá trong hồ. Cho biết mỗi con cá có khối lượng trung bình 800 gam và mỗi kilôgam cá bán được 22000đ. Tính doanh thu tối thiểu khi bán hết số cá trong hồ. 5. Biết tỉ lệ nảy mầm của một loại hạt giống là 0,9. Với độ tin cậy 0,99, nếu muốn độ dài khoảng ước lượng của tỉ lệ nảy mầm không vượt quá 0,02 thì cần phải gieo bao nhiêu hạt? 6. Để xác định định mức thời gian gia công một chi tiết máy, người ta tiến hành thử nghiệm gia công 25 chi tiết. Kết quả trên tập mẫu thu được như sau. Thời gian trung bình X = 20 phút, độ lệch mẫu hiệu chỉnh S = 2,02 phút. Với độ tin cậy 90%, hãy xác định thời gian gia công trung bình tối đa đối với loại chi tiết đó, giả sử thời gian gia công tuân theo quy luật phân phối chuẩn. 7. Cân thử khối lượng của một số gia cầm ở một trại chăn nuôi, ta được kết quả sau (tính bằng kilôgam). 3,25 ; 2,5 ; 4 ; 3,75 ; 3,8 ; 3,9 ; 4,02 ; 3,8 ; 3,2 ; 3,82 ; 3,4 ; 3,6 ; 3,75 ; 4 ; 3,5 Giả sử khối lượng gia cầm tuân theo quy luật phân phối chuẩn với phương sai 0,01. Hãy ước lượng khối lượng trung bình của một con gia cầm với độ tin cậy 99%. 8. Nghiên cứu điểm trung bình môn Toán của 50 sinh viên ta có kết quả : X = 6,1 ; S = 1,0. Tìm khoảng ước lượng cho điểm trung bình với độ tin cậy 95%. Nếu khoảng ước lượng có độ dài bằng 2 thì độ tin cậy đạt được là bao nhiêu ? 9. Người ta đo chiều sâu của biển, sai lệch ngẫu nhiên được giả thiết phân phối theo quy luật chuẩn với độ lệch là 30m. Cần đo bao nhiêu lần để xác định chiều sâu của biển với sai lệch không quá 12m và độ tin cậy đạt được 99,73%. 10. Quan sát năng suất của 100 công nhân trong một xí nghiệp, người ta tính được năng suất trung bình của một công nhân là X = 12 sản phẩm / ngày và S2 = 25. a) Hãy ước lượng năng suất trung bình của một công nhân trong xí nghiệp với độ tin cậy 99%. b) Muốn ước lượng năng suất trung bình của một công nhân trong xí nghiệp với độ tin cậy 98,36% thì độ chính xác đạt được bao nhiêu ? 70 c) Muốn ước lượng năng suất trung bình của một công nhân trong xí nghiệp với độ tin cậy 99,73% và độ chính xác  = 1 thì cần quan sát năng suất của bao nhiêu công nhân nữa ? 11. Đường kính trục của một loại sản phẩm là đại lượng ngẫu nhiên có phân phối chuẩn. Kiểm tra 6 trục chọn ngẫu nhiên ta có kết quả (tính bằng centimet) 7,1 ; 6,6 ; 9,7 ; 10,6 ; 7,5 ; 9,1. a) Tìm ước lượng không chệch cho phương sai đường kính trục. b) Tìm khoảng ước lượng cho phương sai đó với độ tin cậy 0,95. 12. Kiểm tra ngẫu nhiên 28 sản phẩm cùng loại do một máy sản xuất, ta thu được kết quả Khối lượng sản phẩm (kg) 3,94 3,97 4,00 4,03 4,06 Số sản phẩm 2 7 10 6 3 a) Với độ tin cậy 0,95, hãy tìm khoảng ước lượng của khối lượng trung bình của sản phẩm do máy đó sản xuất. b) Hãy ước lượng phương sai của khối lượng sản phẩm do máy sản xuất với độ tin cậy 0,95, biết rằng khối lượng sản phẩm có phân phối chuẩn. 13. Đo áp lực X (tính bằng kg/cm2) của một số thùng chứa, ta được bảng kết quả sau. Áp lực 200 210 220 230 240 250 Số thùng 10 26 56 64 30 14 Biết rằng áp lực là một đại lượng có phân phối chuẩn. a) Với  = 0,99, hãy tìm khoảng ước lượng của áp lực trung bình. b) Tìm khoảng ước lượng của phương sai của áp lực với độ tin cậy 0,95. 14. Cân thử 100 trái cây của một nông trường, ta có kết quả sau đây. Khối lượng (g) Số trái 35 – 55 55 – 75 75 – 95 95 – 115 115 – 135 135 – 155 155 - 175 3 10 25 35 20 6 1 a) Tìm ước lượng không chệch cho khối lượng trung bình của một trái cây trong nông trường. b) Tìm ước lượng không chệch cho phương sai của khối lượng trái cây trong nông trường. c) Xem các trái có khối lượng không quá 95gam là trái cây loại hai. Tìm ước lượng không chệch cho tỉ lệ trái cây loại hai trong nông trường. 71 15. Đo đường kính của một số chi tiết do một máy sản xuất, ta có số liệu sau: Đường kính (mm) Số chi tiết 19,80 – 19,85 19,85 – 19,90 19,90 – 19,95 19,95 – 20,00 20,00 – 20,05 20,05 – 20,10 20,10 – 20,15 20,15 – 20,20 3 5 16 28 23 14 7 4 d) Khi ước lượng đường kính trung bình của các chi tiết đạt tiêu chuẩn, nếu muốn độ chính xác đạt được 0,02mm và độ tin cậy 99% thì cần đo thêm bao nhiêu chi tiết nữa ? e) Nếu muốn độ chính xác khi ước lượng tỉ lệ chi tiết đạt tiêu chuẩn là 5% với cùng độ tin cậy 99% thì cần đo bao nhiêu chi tiết ? Quy định những chi tiết có đường kính từ 19,9 mm đến 20,1 mm là những chi tiết đạt tiêu chuẩn. a) Ước lượng đường kính trung bình của các chi tiết do máy đó sản xuất với độ tin cậy 95%. b) Ước lượng tỉ lệ chi tiết đạt tiêu chuẩn với độ tin cậy 95,45%. c) Ước lượng đường kính trung bình của các chi tiết đạt tiêu chuẩn với độ tin cậy 96%.