Bài tập Giải tích 2

1Chương 1 Tích phân bội 1.1 Tích phân kép 1.1. Tính các tích phân kép sau: a. I= ∫∫ D (4x+ 2)dxdy, với D là miền: 0 ≤ x ≤ 2; x2 ≤ y ≤ 2x. b. I= ∫∫ D y √ xdxdy, với D là miền: x ≥ 0; y ≥ x2; y ≤ 2− x2. c. I= ∫∫ D y lnxdxdy, với D là miền giới hạn bởi: xy = 1; y = √ x; x = 2. d. I= ∫∫ D xydxdy, với D là nửa trên của hình tròn: (x− 2)2 + y2 ≤ 1; y ≥ 0. e. I= ∫∫ D x+ y x2 + y2 dxdy, với D là nửa trên của hình tròn: (x− 1)2 + y2 ≤ 1; y ≥ 0. f. I= ∫∫ D xydxdy, với D là miền giới hạn bởi: y = √ 2x− x2; y = √3x; y = 0. g. I= ∫∫ D (12− 3x2 − 4y)dxdy với D là miền giới hạn bởi x 2 4 + y2 = 1. h. I= ∫∫ D xy2dxdy, với D là miền giới hạn bởi: x2 + (y − 1)2 = 1; x2 + y2 = 4y. i. I= ∫∫ D dxdy (x2 + y2)2 , với D là miền giới hạn bởi: y = x; y = √ 3x; x2 + y2 = 4x; x2 + y2 = 8x. 1.2. Đổi thứ tự lấy tích phân của các tích phân sau: a. I= 2∫ 1 dx √ 2x−x2∫ 2−x f(x, y)dy. b. I= 2∫ 0 dx √ 2x∫ √ 2x−x2 f(x, y)dy. c. I= e∫ 1 dx lnx∫ 0 f(x, y)dy. d. I= 2∫ 0 dy 1∫ y 2 f(x, y)dx. 1.3. Tính diện tích các hình phẳng giới hạn bởi: Bài tập Giải tích 2 Giảng viên: Phan Đức Tuấn 2 CHƯƠNG 1. TÍCH PHÂN BỘI a. x2 = y; x2 = 2y; y2 = x; y2 = 4x. b. y = 4x− x2; y = 2x2 − 5x. c. x2 + y2 = 2x; x2 + y2 = 2y. d. x2 + y2 = 2x; x2 + y2 = 1. Cho mặt cong S có phương trình z = f(x, y) và hình chiếu của S lên mặt phẳng Oxy là D := chV/Oxy. Khi đó, diện tích của mặt S được tính bởi công thức ∆S = ∫∫ D √ 1 + f ′2x + f ′2 y dxdy. 1.4. Tính diện tích phần các mặt cong được chỉ ra sau đậy: a. Phần mặt phẳng x 2 + y 3 + z 4 = 1, bị chặn bởi các mặt phẳng tọa độ. b. Phần Parabol Eliptic y = 2− x2 − z2, mằn phía trong mặt trụ x2 + z2 = 1. c. Phần mặt nón z = √ x2 + y2, bị chặn bởi mặt trụ x2 + y2 = 2x. d. Phần mặt cầu x2 + y2 + z2 = 1, bị chặn bởi phần mặt trụ z2 = 2y. 1.2 Tích phân bội 3 1.5. Tính các tích phân 3 lớp sau: a. I= ∫∫∫ V (x2 + z2)dxdydz, với V là vật thể giới hạn bởi: x2 + z2 = 2y; y = 2. b. I= ∫∫∫ V z2dxdydz, với V là vật thể giới hạn bởi: x2 + y2 + z2 = 2; z = √ x2 + y2. c. I= ∫∫∫ V x2y2dxdydz, với V là vật thể giới hạn bởi: x2 + y2 = 1; z = 0; z = x2 + y2. d. I= ∫∫∫ V y cos(x + z)dxdydz, với V là vật thể giới hạn bởi: y = √ x; y = 0; z = 0; x+ z = pi 2 . e. I= ∫∫∫ V x2dxdydz, với V là vật thể giới hạn bởi: z = 2− x2− y2; z = 0; x2 + y2 = 1. f. I= ∫∫∫ V xzdxdydz, với V là vật thể giới hạn bởi: x2+y2+z2 = 2; z = √ x2 + y2, (x ≤ 0, y ≥ 0). g. I= ∫∫∫ V √ x2 + y2dxdydz, với V là vật thể giới hạn bởi: x2 + y2 − z2 = 0; z = 1. h. I= ∫∫∫ V xyzdxdydz, với V là vật thể giới hạn bởi: x2 + y2 = 2; y = x2; z = 0; z = 1. 1.6. Đổi biến thích hợp để tính các tích phân sau: a. I= √ 3∫ 0 dx √ 3−x2∫ 0 dy √ 4−x2−y2∫ (x2+y2)/3 dz. b. I= 1∫ −1 dx √ 1−x2∫ −√1−x2 dy 2∫ 2(x2+y2) √ x2 + y2dz. Bài tập Giải tích 2 Giảng viên: Phan Đức Tuấn 1.2. TÍCH PHÂN BỘI 3 3 c. I= 1∫ 0 dx √ 1−x2∫ 0 dy √ 2−x2−y2∫ √ x2+y2 dz. d. I= a∫ 0 dx √ a2−x2∫ 0 dy √ a2−x2−y2∫ 0 zdz. 1.7. Tính thể tích vật thể giới hạn bởi các mặt sau: a. z = 4−y2; z = y2+2; x = −1; x = 2. b. z = x2 + y2; z = 2x2 + 2y2; y = x2; y = x. c. z = x2 + y2; y = x2; y = 1; z = 0. d. z = x2+y2; z = x2+y2+1;x2+y2 = 1. e. y = x2; y + z = 1; z = 0. f. z = 4− x2; x2 + y2 = 4; z = 0. g. z = x2 + y2; z = x+ y. Bài tập Giải tích 2 Giảng viên: Phan Đức Tuấn 4Chương 2 Tích phân đường 2.1 Tích phân đường loại 1 2.1. Tính các tích phân đường loại 1 trong R2 sau: a. I= ∫ C x3dl, với C là cung y = x2 2 , (0 ≤ x ≤ √3). b. I= ∫ C xydl, với C là chu tuyến của hình vuông |x|+ |y| = 1. c. I= ∫ C y2dl, với C là cung Cycloit: x = t− sin t, y = 1− cos t, (0 ≤ t ≤ 2pi). d. I= ∫ C ( x 4 3 + y 4 3 ) dl, với C là đường Astroit: x = cos3 t, y = sin3 t, (0 ≤ t ≤ 2pi). e. I= ∫ C (y2 − x2)dl, với C là cung x2 + y2 = a2, (x ≤ 0, y ≥ 0). f. I= ∫ C xydl, với C là đường gấp khúc nối O(0, 0);A(1, 3);B(2, 4). g. I= ∫ C (y − x)dl, với C là cung x2 + y2 = 4x, (y ≥ 0). h. I= ∫ C √ x2 + y2dl, với C là cung x2 + y2 = 2y, (y ≥ 1). 2.2. Tính các tích phân đường loại 1 trong R3 sau: a. I= ∫ C (x2 + y2 + z2)dl, với C là đường x = cos3 t, y = sin3 t, z = t, (0 ≤ t ≤ 2pi). b. I= ∫ C xyzdl, với C là một phần giao tuyến của 2 mặt x2 + y2 + z2 = 4; x2 + y2 = 1, (x ≥ 0, y ≥ 0, z ≥ 0). c. I= ∫ C √ 2y2 + z2dl, với C là một phần giao tuyến của 2 mặt: x2 + y2 + z2 = 2; y = x. d. I= ∫ C (2z −√x2 + y2)dl, với C là đường xoắn ốc x = t cos t, y = t sin t, z = t, (0 ≤ t ≤ 2pi). Bài tập Giải tích 2 Giảng viên: Phan Đức Tuấn 2.2. TÍCH PHÂN ĐƯỜNG LOẠI 2 5 2.2 Tích phân đường loại 2 2.3. Tính các tích phân đường loại 2 sau: a. I= ∫ C (2− y)dx+ xdy, với C là cung Cycloit x = t− sin t, y = 1− cos t, (t : 0→ 2pi). b. I= ∫ C (x2 − 2xy)dx + (2xy + y2)dy, với C là chu tuyến dương của miền giới hạn bởi y = x2, y = 0, x = 1. c. I= ∫ C ydx− (y + x2)dy, với C là phần cung y = 3x− x2, nằm phía trên Ox và theo chiều ngược kim đồng hồ. d. I= ∫ C (xy − 1)dx+ x2ydy, với C là phần cung x = 1− y 2 4 , lấy từ A(1, 0) đến B(0, 2). e. I= ∫ C (x2 + y2)dx+ (x2 − y2)dy, với C là đường cong y = 1− |1− x|, với x tăng từ 0 đến 2. f. I= ∫ C (x+ y)dx− (x2 + y2)dy, với C là nửa trên đường tròn x2 + y2 = 1, đi từ A(1, 0) đến B(−1, 0). g. I= ∫ C xdy − ydx√ 1 + x2 + y2 , với C là 1 4 đường tròn x2 + y2 = 4, đi từ A(2, 0) đến B(0, 2). h. I= ∫ C (x+ y)dx− (x− y)dy x2 + y2 , với C là đường tròn x2 + y2 = 4, lấy ngược chiều kim đồng hồ. i. I= ∮ C x2ydx+ x3dy, với C là chu tuyến miền giới hạn bởi y = x2, x = y2. j. I= ∮ C (6y + x)dx+ (3y + 2x)dy, với C là đường tròn (x− 2)2 + (y − 3)2 = 4. k. I= ∫ C (ex sin y+ 5xy)dx+ (ex cos y− 5)dy, với C là nửa trên đường tròn x2 + y2 = 2x, đi từ A(2, 0) đến O(0, 0). l. I= ∮ C (xy + x+ y)dx+ (xy + x− y)dy, với C là đường Elip x 2 a2 + y2 b2 = 1. m. I= ∫ C (ey sinx − x)dx + (ey cosx − 1)dy, với C là 1 4 đường tròn x2 + y2 = 2x, đi từ O(0, 0) đến A(1, 1). n. I= (3,2)∫ (1,1) xdx+ ydy x2 + y2 , theo đường cong không đi qua gốc O. o. I= (3,0)∫ (−2,−1) (x4 + 4xy3)dx+ (6x2y2 − 5y4)dy. Bài tập Giải tích 2 Giảng viên: Phan Đức Tuấn 6 CHƯƠNG 2. TÍCH PHÂN ĐƯỜNG p. I= (1,0)∫ (0,−1) xdy − ydx (x− y)2 , theo đường cong không cắt đường thẳng y = x. 2.4. Tìm các tham số để các tích phân sau không phụ thuộc vào đường lấy tích phân a. I= ∫ C (x+ y)(xdy − ydx) (x2 + y2)n , với n là tham số và C là đường cong không đi qua gốc tọa độ. b. I= ∫ C (1− ax2)dy + 2bxydx (1− x2)2 + y2 , với a, b là tham số và C là đường cong không đi qua các điểm (1, 0) và (−1, 0). c. I= ∫ C (x− y)dx+ (x+ y)dy (x2 + y2)n , với n là tham số và C là đường cong không đi qua gốc tọa độ. Bài tập Giải tích 2 Giảng viên: Phan Đức Tuấn 7Chương 3 Tích phân mặt 3.1 Tích phâm mặt loại 1 3.1. Tính các tích phân sau: a. I= ∫∫ S (3x + 2y + z)ds, với S là phần mặt phẳng x + 2y + z = 1 nằm trong miền x ≥ 0, y ≥ 0, z ≥ 0. b. I= ∫∫ S zds, với S là phần mặt Paraboloid z = 2− x2 − y2 nằm trong miền z ≥ 0. c. I= ∫∫ S (x2 + y2)ds, với S là nửa mặt cầu x2 + y2 + z2 = 1 nằm trong miền z ≥ 0. d. I= ∫∫ S xyds, với S là 1 4 mặt cầu x2 + y2 + z2 = 1 nằm trong miền x ≥ 0, y ≥ 0. e. I= ∫∫ S √ x2 + y2ds, với S là phần mặt nón x2+y2−z2 = 0 nằm trong miền 0 ≤ z ≤ 1. f. I= ∫∫ S xyzds, với S là phần mặt trụ x2 + y2 = 1 bị cắt bởi các mặt y + z = 1, z = 0 và nằm trong miền x ≥ 0. g. I= ∫∫ S xzds, với S là phần mặt phẳng y + 2z = 6 nằm trong mặt trụ x2 + y2 = 2y. h. I= ∫∫ S (xy + yz + zx)ds, với S là phần mặt nón z = √ x2 + y2 nằm trong mặt trụ x2 + y2 = 2x. 3.2. Tính diện tích phần mặt phẳng x + 2y + 2z = 5 nằm trong 2 mặt trụ y = x2 và y = 2− x2. 3.3. Tính diện tích phần mặt cầu x2 + y2 + z2 = 2 nằm trong mặt nón z = √ x2 + y2. 3.4. Tính diện tích xung quanh của vật thể giới hạn bởi x2 + y2 = 1, x+ z = 1 và z = 0. 3.5. Tính diện tích xung quanh của vật thể giới hạn bởi z = √ x2 + y2, z = 2− x2 − y2. Bài tập Giải tích 2 Giảng viên: Phan Đức Tuấn 8 CHƯƠNG 3. TÍCH PHÂN MẶT 3.2 Tích phân mặt loại 2 3.6. Tính trực tiếp các tích phân mặt loại 2 sau a. I= ∫∫ S xyzdxdy, với S là mặt phía ngoài của 1 4 mặt cầu x2+y2+z2 = 4, (x ≥ 0, y ≥ 0). b. I= ∫∫ S xdydz, với S là mặt phía trên (theo hướng Oz) của nửa mặt cầu x2+y2+z2 = 4, (z ≥ 0). c. I= ∫∫ S zdxdy, với S là phần mặt Paraboloid z = x2 + y2 nằm trong miền 0 ≤ z ≤ 1, lấy phía ngoài. d. I= ∫∫ S y2dxdz, với S là mặt phía ngoài của phần mặt Paraboloid z = x2 + y2 nằm trong miền 0 ≤ z ≤ 1. e. I= ∫∫ S z2dydz+xdxdz−3zdxdy, với S là mặt phía trong của phần mặt trụ z = 4−y2 nằm trong miền 0 ≤ x ≤ 1, z ≥ 0. f. I= ∫∫ S xdydz + ydxdz + zdxdy, với S là mặt phía trong của phần mặt trụ y = x2 nằm trong miền 0 ≤ z ≤ 1, y ≤ 1. g. I= ∫∫ S xydydz+ yzdzdx+ zxdxdy, với S là mặt phía trên (theo hướng Oz) của phần mặt phẳng y + z = 2 nằm trong trụ x2 + y2 = 1. 3.7. Dùng công thức Ostrogratxki - Gauss để tính các tích phân sau a. I= ∫∫ S yzdydz + yxdxdz + y2dxdy, với S là biên phía ngoài của tứ diện x+ y + z ≤ 1, x ≥ 0, y ≥ 0 và z ≥ 0. b. I= ∫∫ S xzdydz + zydxdz + xydxdy, với S là biên phía trong của vật thể giới hạn bởi x2 + y2 = z2, 0 ≤ z ≤ 1. c. I= ∫∫ S xzdydz+zydxdz+xydxdy, với S là mặt phía ngoài của phần mặt nón x2+y2 = z2, nằm trong miền 0 ≤ z ≤ 1. d. I= ∫∫ S z2dxdy, với S là mặt phía ngoài của ellipsoid x2 4 + y2 9 + z2 16 = 1. e. I= ∫∫ S xdydz+ydxdz+zdxdy, với S là mặt phía ngoài của phần mặt cầu x2+y2+z2 = 2z, nằm trong miền 0 ≤ z ≤ 1. f. I= ∫∫ S yzdxdz + xzdydz + xydxdy, với S là biên phía ngoài của vật thể xác định bởi 0 ≤ z ≤ x2 + y2, x2 + y2 ≤ 4, ;x ≥ 0 và y ≥ 0. Bài tập Giải tích 2 Giảng viên: Phan Đức Tuấn 9Chương 4 Phương trình vi phân 4.1. Giải các phương trình vi phân cấp 1 sau: a. tan ydx− x lnxdy = 0 b. x(1 + x2)y′ − y(x2 + 1) + 2x = 0 c. xy′ = e y x + y + x d. y′ − 2y tanx+ y2 sin2 x = 0 e. y′ cosx = y f. y′ − 2y = sin 2x g. x(y′ − sin y x ) = y h. 3y + 2 x+ 1 y′ = y2 + 4√ x2 + 4x+ 13 i. y′ = 1 + cosx j. (x2 + y)dx+ (x− 2y)dy = 0 k. x2y′ + y2 + xy + x2 = 0 l. ydx− (x+ y2 sin y)dy = 0 m. x2y2y′ + xy3 = 1 n. y′ = 1 2x+ y o. 2ydx = (2y3 − x)dy p. (y + 2 x2 )dx+ (x− 3 y2 )dy = 0 q. y′ = √ 2x+ y − 3 r. y′ = 3 √ (4x− y + 1)2 s. y′ + y = xe3x t. (x2 − xy)dy + y2dx = 0 u. y′ = y(y3 cosx+ tanx) v. y′ = x− y − 1 x− y − 2 w. y′ = sin(y − x− 1) x. (x+ 2y)dx− xdy = 0 4.2. Tìm nghiệm riêng của các phương trình sau với điều kiện ban đầu đã cho tương ứng: a. x2(y3 + 5)dx+ (x3 + 5)y2dy = 0, thỏa mãn y(0) = 1. b. xy′ = y ln y x , thỏa mãn y(1) = 1. c. 3dy + (y + 3y4) sinxdx = 0, thỏa mãn y(pi 2 ) = 1. d. y′ = −3x− 1 + 3y 2(x+ y) , thỏa mãn y(0) = 2. e. ( √ xy − x)dy + ydx = 0, thỏa mãn y(1) = 1. f. (y + √ x2 + y2)dx− xdy = 0, thỏa mãn y(1) = 0. Bài tập Giải tích 2 Giảng viên: Phan Đức Tuấn 10 CHƯƠNG 4. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN g. y′ √ 1 + x2 + y = arcsinx, thỏa mãn y(0) = 0. h. 2ydx+ (2x− x3y)dy = 0, thỏa mãn y(1 2 ) = 1. 4.3. Giải các phương trình vi phân tuyến tính cấp 2 sau: a. (1− lnx)y′′ + y ′ x − y x2 = 0, biết phương trình có một nghiệm riêng là y = lnx. b. y′′ + y′ tanx− cos2 x = 0, biết phương trình có một nghiệm riêng có dạng y = eαx. c. x2y′′ − xy′ + y = 0, biết phương trình có một nghiệm riêng dạng đa thức. d. x2y′′ − 2y = x2, biết PT thuần nhất tương ứng có một nghiệm riêng là y = 1 x . e. (2x+ 1)y′′+ (2x− 1)y′− 2y = x2 +x, biết PT thuần nhất tương ứng có một nghiệm riêng dạng đa thức. 4.4. Giải các phương trình vi phân tuyến tính cấp 2 hệ số hằng sau: a. y′′ − 3y′ + 2y = 2x2 − 6 b. y′′ + 2y′ − 3y = 4ex c. y′′ − 3y′ = 3x+ 7 d. y′′ + 4y′ + 4y = e2x e. y′′ − 6y′ + 10y = sin 2x f. y′′ − 2y = x+ e3x Bài tập Giải tích 2 Giảng viên: Phan Đức Tuấn 11 Chương 5 Lý thuyết chuỗi 5.1. Xét sự hội tụ của các chuỗi số sau: a. ∞∑ n=1 (n+ 1) sin pi n b. ∞∑ n=1 1√ n(n+ 2) c. ∞∑ n=1 2n + n 3n + 1 d. ∞∑ n=1 (2n+ 1)!! n! e. ∞∑ n=1 ( n2 + 2 2n2 + n )n f. ∞∑ n=1 ( n+ 1 n+ 2 )2n2 . g. ∞∑ n=1 ln ( n+ 3 n+ 1 ) h. ∞∑ n=1 n3 + n en i. ∞∑ n=1 n− 1 ln2 n j. ∞∑ n=1 ( n2 + n n2 + 1 )n k. ∞∑ n=1 (2n+ 1)! 2n.n2 l. ∞∑ n=1 2n ( 1− 2 n )n(n+1) m. ∞∑ n=1 (−1)n n! (2n)!! n. ∞∑ n=1 ( n2 + 2n 2n2 + 3 )2 o. ∞∑ n=1 ( n− n2 n2 + 1 )n p. ∞∑ n=1 1 n! (n e )n q. ∞∑ n=1 √ n+ 1−√n− 1 n r. ∞∑ n=1 3n(n!)2 (2n)! s. ∞∑ n=1 (−1)n tan 1√ n 5.2. Tìm miền hội tụ của các chuỗi hàm sau: a. ∞∑ n=1 n+ √ n 2n xn. b. ∞∑ n=1 ( 3n2 + 1 5n2 − 1 )n xn. c. ∞∑ n=1 n! nnxn . d. ∞∑ n=1 1 n32n(x+ 1)n . e. ∞∑ n=1 3nx2n 2n+ 1 . f. ∞∑ n=1 (−1)n−1 n2n (2x− 3)n. 5.3. Tính tổng a. ∞∑ n=1 x4n−3 4n− 3 . b. ∞∑ n=1 (−1)n−1 (2n− 1)3n−1 . c. ∞∑ n=1 n(n+ 1)xn−1. d. ∞∑ n=1 (−1)n−1(2n− 1)x2n−2. Bài tập Giải tích 2 Giảng viên: Phan Đức Tuấn