Bài giảng Xử lý tín hiệu số - Chương IV: Biến đổi Fourier

Chương 4 Biến đổi Fourier Giảng viên: Nguyễn Thị Phương Thảo Bộ môn: Kỹ thuật Máy tính và Mạng Email: thaont@tlu.edu.vn Website: https://sites.google.com/a/wru.vn/thaont/ Giới thiệu • Phép biến đổi Fourier đưa tín hiệu từ dạng biểu diễn trong miền thời gian sang miền tần số bằng cách phân tích tín hiệu thành các tín hiệu cơ bản có dạng sin • Ví dụ: ánh sáng trong tự nhiên là tổng hợp của 7 ánh sáng đơn sắc. • Ánh sáng là 1 loại tín hiệu • Mỗi ánh sáng đơn sắc là 1 tín hiệu cơ bản • Mỗi ánh sáng đơn sắc có 1 bước sóng khác nhau  tần số khác nhau • Dải tần số của ánh sáng trắng được gọi là phổ của tín hiệu Nội dung 1. Biến đổi Fourier 2. Tính chất của biến đổi Fourier 3. Hệ thống TTBB: Bộ lọc số 4.1 Biến đổi Fourier (FT – Fourier Transform) Biến đổi Fourier của tín hiệu được định nghĩa: 𝑋 𝜔 = 𝑛=−∞ +∞ 𝑥 𝑛 𝑒−𝑗𝜔𝑛 Ký hiệu: 𝐹𝑇[𝑥(𝑛)] = 𝑋(𝜔) 𝑋(𝜔) = 𝑋 𝜔 𝑒𝑗𝑎𝑟𝑔 𝑋 𝜔 • 𝑋 𝜔 : phổ biên độ của tín hiệu • arg 𝑋 𝜔 : phổ pha của tín hiệu  Sự tồn tại của BĐ F: Biến đổi Fourier chỉ tồn tại nếu: 𝑛=−∞ +∞ 𝑥(𝑛) < ∞  Tín hiệu năng lượng luôn tồn tại biến đổi Fourier 1. Định nghĩa 4.1 Biến đổi Fourier (FT – Fourier Transform) Đặc tính phổ tần số của tín hiệu: 𝑋 𝜔 + 𝑘2𝜋 = 𝑛=−∞ +∞ 𝑥 𝑛 𝑒−𝑗 𝜔+𝑘2𝜋 𝑛 = 𝑛=−∞ +∞ 𝑥 𝑛 𝑒−𝑗𝜔𝑛 = 𝑋 𝜔  Như vậy, 𝑋 𝜔 tuần hoàn với chu kỳ 2𝜋  Với 𝑥(𝑛) là tín hiệu thực, 𝑋(𝜔) đối xứng qua trục tung  Khi nghiên cứu phổ của tín hiệu, ta chỉ cần xét phổ đó trong khoảng 𝜔 ∈ −𝜋, 𝜋 hoặc 𝜔 ∈ 0,2𝜋  Biến đổi Fourier là công cụ nghiên cứu phổ của tín hiệu hoặc đặc tính tần số của hệ thống:  𝐹𝑇 𝑥(𝑛) = 𝑋 𝜔 : phổ của tín hiệu 𝑥(𝑛)  𝐹𝑇 ℎ(𝑛) = 𝐻 𝜔 : đặc tính tần số của hệ thống 1. Định nghĩa 4.1 Biến đổi Fourier (FT – Fourier Transform) a. Dạng phần thực và phần ảo 𝑋 𝜔 = 𝑋𝑅 𝜔 + 𝑗𝑋𝐼(𝜔) Từ công thức định nghĩa ta có: 𝑋 𝜔 = 𝑛=−∞ +∞ 𝑥 𝑛 𝑒−𝑗𝜔𝑛 = 𝑛=−∞ +∞ 𝑥 𝑛 cos 𝜔𝑛 − 𝑗 sin 𝜔𝑛 Vậy: Phần thực: 𝑋𝑅 𝜔 = 𝑛=−∞ +∞ 𝑥 𝑛 cos 𝜔𝑛 Phần thực: 𝑋𝐼 𝜔 = − 𝑛=−∞ +∞ 𝑥 𝑛 sin 𝜔𝑛 2. Các dạng biểu diễn của BĐ Fourier 4.1 Biến đổi Fourier (FT – Fourier Transform) b. Dạng module và argumen 𝑋 𝜔 = 𝑋(𝜔) 𝑒𝑗𝜑 𝜔 2. Các dạng biểu diễn của BĐ Fourier 4.1 Biến đổi Fourier (FT – Fourier Transform) b. Dạng độ lớn và pha 𝑋 𝜔 = 𝑋(𝜔) 𝑒𝑗𝜑 𝜔 2. Các dạng biểu diễn của BĐ Fourier 4.1 Biến đổi Fourier (FT – Fourier Transform) 3. Quan hệ giữa BĐ Fourier và BĐ Z Biến đổi Z 𝑋 𝑧 = 𝑍 𝑥(𝑛) = 𝑛=−∞ +∞ 𝑥 𝑛 𝑧−𝑛 z là biến phức  𝑧 = 𝑟𝑒𝑗𝜔 𝑋 𝑧 = 𝑛=−∞ +∞ 𝑥 𝑛 𝑟−𝑛𝑒−𝑗𝜔𝑛 Nếu đánh giá 𝑋(𝑧) trên vòng tròn đơn vị  𝑟 = 1 𝑋 𝑧 𝑧=𝑒𝑗𝜔 = 𝑛=−∞ +∞ 𝑥 𝑛 𝑒−𝑗𝜔𝑛 = 𝑋(𝜔) Như vậy, BĐ Fourier chính là BĐ Z được đánh giá trên vòng tròn đơn vị 4.1 Biến đổi Fourier (FT – Fourier Transform) 3. Quan hệ giữa BĐ Fourier và BĐ Z Biến đổi F chỉ tồn tại nếu MHT của BĐ Z chứa vòng tròn đơn vị 4.1 Biến đổi Fourier (FT – Fourier Transform) 4. Biến đổi Fourier ngược  Công thức 𝑥 𝑛 = 1 2𝜋 −𝜋 𝜋 𝑋 𝜔 𝑒𝑗𝜔𝑛𝑑𝜔  Ký hiệu 𝐼𝐹𝑇 𝑋 𝜔 = 𝑥(𝑛) Hoặc 𝑋(𝜔) 𝐼𝐹𝑇 𝑥(𝑛) 4.2 Tính chất của biến đổi Fourier 1. Tính tuyến tính  Có 2 tín hiệu 𝑥1(𝑛) và 𝑥2(𝑛): 𝐹𝑇[𝑥1(𝑛)] = 𝑋1(𝜔) 𝐹𝑇[𝑥2(𝑛)] = 𝑋2(𝜔) 𝑥(𝑛) = 𝑎1𝑥1(𝑛) + 𝑎2𝑥2(𝑛) 𝐹𝑇[𝑎1𝑥1(𝑛) + 𝑎2𝑥2(𝑛)] = 𝑎1𝑋1(𝜔) + 𝑎2𝑋2(𝜔) Ý nghĩa: Đối với tín hiệu là tổng hợp của nhiều tín hiệu thành phần, ta có thể sd BĐ F đối với từng thành phần sau đó tổng hợp lại • Tín hiệu 𝑥 𝑛 𝐹𝑇[𝑥 (𝑛)] = 𝑋(𝜔) • Nếu tín hiệu 𝑥′ 𝑛 = 𝑥 𝑛 − 𝑘 thì 𝐹𝑇 𝑥′ 𝑛 = 𝑋′ 𝜔 = 𝑒−𝑗𝜔𝑘𝑋(𝜔) 4.2 Tính chất của biến đổi Fourier 2. Tính chất trễ • Tín hiệu 𝑥 𝑛 𝐹𝑇[𝑥 (𝑛)] = 𝑋(𝜔) • Nếu tín hiệu 𝑥′ 𝑛 = 𝑥 −𝑛 thì 𝐹𝑇 𝑥′ 𝑛 = 𝑋′ 𝜔 = 𝑋(−𝜔) 3. Tính chất đảo miền thời gian • Tích chập miền thời gian sẽ trở thành tích nhân trong miền tần số: 𝐹𝑇[𝑥1(𝑛) ∗ 𝑥2(𝑛)] = 𝑋1 𝜔 𝑋2(𝜔) • Ý nghĩa: chuyển tín hiệu và hệ thống TTBB từ dạng biểu diễn trên miền thời gian sang dạng biểu diễn trên miền tần số ℎ(𝑛) 𝑥(𝑛) 𝑦(𝑛) = 𝑥(𝑛) ∗ ℎ(𝑛) 𝐹𝑇 𝐻(𝜔) 𝑋(𝜔) 𝑌(𝜔) = 𝑋(𝜔). 𝐻(𝜔) 4.2 Tính chất của biến đổi Fourier 4. Tích chập trong miền tần số 5. Dịch chuyển trên miền tần số 4.2 Tính chất của biến đổi Fourier • Tín hiệu 𝑥 𝑛 𝐹𝑇[𝑥 (𝑛)] = 𝑋(𝜔) • Tín hiệu 𝑥′ 𝑛 = 𝑒𝑗𝜔0𝑛𝑥 𝑛 thì 𝐹𝑇 𝑥′ 𝑛 = 𝑋′ 𝜔 = 𝑋(𝜔 − 𝜔0) 6. Điều chế tín hiệu • Trong truyền thông, tín hiệu truyền dưới dạng tần số bình thường không đi xa được → Khi truyền xa (truyền tín hiệu radio, truyền hình) người ta thường đưa tín hiệu lên tần số cao bằng phương pháp điều chế (nhân tín hiệu với 1 tín hiệu có tần số cao): 𝑥(𝑛)cos𝜔0𝑛 Trong đó: • 𝑥 𝑛 : tín hiệu cần truyền dẫn • cos𝜔0𝑛: thành phần mang thông tin • 𝜔0: tần số sóng mang • Với phương pháp điều chế này, ta được phổ của tín hiệu truyền đi như sau (với 𝑋 𝜔 là phổ của tín hiệu 𝑥(𝑛) 𝐹𝑇 𝑥(𝑛)cos𝜔0𝑛 = 𝑋𝑇𝐷 𝜔 = 1 2 𝑋 𝜔 + 𝜔0 + 1 2 𝑋(𝜔 − 𝜔0) 4.2 Tính chất của biến đổi Fourier 4.2 Tính chất của biến đổi Fourier • Tín hiệu 𝑥 𝑛 𝐹𝑇[𝑥 (𝑛)] = 𝑋(𝜔) • Nếu tín hiệu 𝑥′ 𝑛 = 𝑛𝑥 𝑛 thì 𝐹𝑇 𝑥′ 𝑛 = 𝑋′ 𝜔 = 𝑗 𝑑𝑋(𝜔) 𝑑𝜔 7. Vi phân trong miền tần số • Hệ thống TTBB: • Biểu diễn trong miền tần số • Trong đó: 𝐻(𝜔) gọi là đáp ứng tần số • Biểu diễn 𝐻(𝜔) dưới dạng module và argument 𝐻 𝜔 = 𝐻(𝜔) 𝑒arg 𝐻(𝜔)  𝐻(𝜔) : Đáp ứng tần số biên độ của hệ thống  arg 𝐻(𝜔) : Đáp ứng tần số pha (đáp ứng pha) của hệ thống • Cách xác định 𝐻(𝜔) của hệ thống được mô tả dưới dạng PT SP TT HSH cũng tương tự như trong miền z 4.3 Hệ thống TTBB: Bộ lọc số 1. Hệ thống TTBB trong miền tần số ℎ(𝑛) 𝑥(𝑛) 𝑦(𝑛) = 𝑥(𝑛) ∗ ℎ(𝑛) 𝐻(𝜔) 𝑋(𝜔) 𝑌(𝜔) = 𝑋(𝜔). 𝐻(𝜔) Ví dụ • Tìm đáp ứng tần số của các hệ thống mô tả như sau: a. 𝑦(𝑛) = 𝑎𝑦(𝑛 − 1) + 𝑏𝑥(𝑛) b. 𝑦(𝑛) = 𝑦(𝑛 − 1) + 2𝑥(𝑛) + 𝑥(𝑛 − 1) c. d. e. • Một ứng dụng quan trọng nhất của Xử lý tín hiệu là lọc số • Ứng dụng trong các hệ thống lọc nhiễu và tạp âm • Ứng dụng trong xử lý hình ảnh: • Lọc, trích đặc điểm đặc trưng của vân tay • Xử lý tiếng nói: • Tách âm thanh trong karaoke • Dựa trên các nghiên cứu về phổ tần số của thông tin cần thu nhận (VD: Karaoke: tần số tiếng hát của người phân biệt với tần số nhạc nền)  xây dựng các bộ lọc để trích bỏ các tần số ko cần thiết. • 4 loại bộ lọc số thông thường • Bộ lọc thông thấp • Bộ lọc thông cao • Bộ lọc thông dải • Bộ lọc chắn dải 4.3 Hệ thống TTBB: Bộ lọc số 2. Bộ lọc số a. Bộ lọc thông thấp lý tưởng • Định nghĩa: Bộ lọc thông thấp là bộ lọc có đáp ứng tần số biên độ • |𝐻(𝜔)| = 1 với −𝜔𝑐 ≤ 𝜔 ≤ 𝜔𝑐 • |𝐻(𝜔)| = 0 với 𝜔 còn lại 4.3 Hệ thống TTBB: Bộ lọc số 2. Bộ lọc số • Đáp ứng tần số biên độ: • |𝐻(𝜔)| = 1 với – 𝜋 ≤ 𝜔 ≤ −𝜔𝑐 𝑣à 𝜔𝑐 ≤ 𝜔 ≤ +𝜋 • |𝐻(𝜔)| = 0 với 𝜔 còn lại b. Bộ lọc thông cao lý tưởng 4.3 Hệ thống TTBB: Bộ lọc số 2. Bộ lọc số • Đáp ứng tần số biên độ: • |𝐻(𝜔)| = 1 với – 𝜔𝑐2 ≤ 𝜔 ≤ −𝜔𝑐1 và 𝜔𝑐1 ≤ 𝜔 ≤ 𝜔𝑐2 • |𝐻(𝜔)| = 0 với 𝜔 còn lại c. Bộ lọc thông dải lý tưởng 4.3 Hệ thống TTBB: Bộ lọc số 2. Bộ lọc số • Đáp ứng tần số biên độ: • |𝐻(𝜔)| = 0 với −π ≤ 𝜔 ≤– 𝜔𝑐2 và – 𝜔𝑐1 ≤ 𝜔 ≤ 𝜔𝑐1 và 𝜔𝑐2 ≤ 𝜔 ≤ 𝜋 • |𝐻(𝜔)| = 1 với 𝜔 còn lại d. Bộ lọc chắn dải lý tưởng 4.3 Hệ thống TTBB: Bộ lọc số 2. Bộ lọc số Bài tập 1. Cho đáp ứng tần số của bộ lọc lý tưởng, pha không như sau: 𝐻(𝜔) = 1 với −𝜔𝑐 ≤ 𝜔 ≤ +𝜔𝑐 𝐻(𝜔) = 0 với 𝜔 còn lại a. Bộ lọc trên là bộ lọc gì b. Tìm đáp ứng xung của nó 2. Tìm đáp ứng xung của các bộ lọc số lý tưởng thông cao, thông dải, chắn dải với đáp ứng tần số là 𝐻(𝜔) = 1.