Bài giảng Xử lý tín hiệu số - Chương II: Tín hiệu và hệ thống rời rạc thời gian

Hệ thống và tín hiệu rời rạc thời gian Bài giảng: Xử lý tín hiệu số Chương 2. Tín hiệu và hệ thống rời rạc thời gian 1. Tín hiệu rời rạc thời gian 2. Hệ thống rời rạc thời gian 3. Hệ thống tuyến tính bất biến 4. Phương trình sai phân tuyến tính hệ số hằng 2.1 Tín hiệu rời rạc thời gian Định nghĩa a. Định nghĩa: Tín hiệu rời rạc là hàm của biến độc lập có giá trị nguyên  Ký hiệu: x(n) với n thuộc Z  Chú ý:  Tín hiệu x(n) thể được tạo ra bằng cách lấy mẫu tín hiệu x(t) với chu kỳ lấy mẫu ts  x(n) có thể có giá trị thực hoặc phức  Với n không nguyên không phải 𝑥(𝑛) = 0, mà chỉ đơn giản là ta ko xét đến giá trị của x(n)  n có thể có giá trị từ -∞  +∞ Định nghĩa (tiếp) b. Biểu diễn tín hiệu  Biểu diễn bằng đồ thị  Biểu diễn dưới dạng hàm: 𝑥 𝑛 = 1, 𝑣ớ𝑖 𝑛 = 1,3 4, 𝑣ớ𝑖 𝑛 = 2 0, 𝑐ò𝑛 𝑙ạ𝑖  Biểu diễn dưới dạng liệt kê: 𝑛 𝑥(𝑛) − 2 − 1 0 1 2 3 4 5 0 0 0 1 4 1 0 0  Biểu diễn dưới dạng dãy: Gốc thời gian (𝑛 = 0) của một tín hiệu hoặc dãy vô hạn được chỉ thị bởi ký hiệu ↑ như sau: 𝑥 𝑛 = 0,1,4,1,0 2.1.1 Một vài tín hiệu cơ bản Một số dạng tín hiệu cơ bản thường xuyên xuất hiện và đóng vai trò quan trọng a. Dãy xung đơn vị: ký hiệu 𝛿(𝑛) Dãy xung đơn vị bằng 1 với 𝑛 = 0 và bằng 0 với mọi n còn lại. Biểu diễn bằng đồ thị b. Dãy nhảy đơn vị: ký hiệu là 𝑢 𝑛 Dãy nhảy đơn vị bằng 1 với 𝑛 ≥ 0 và bằng 0 với n còn lại. Biểu diễn bằng đồ thị 2.1.1 Một vài tín hiệu cơ bản c. Dãy chữ nhật: ký hiệu là rectN 𝑛 rectN 𝑛 = 1 𝑣ớ𝑖 0 ≤ 𝑛 ≤ 𝑁 − 1 0 𝑣ớ𝑖 𝑛 𝑐ò𝑛 𝑙ạ𝑖 Dãy chữ nhật bằng 1 với 0 ≤ 𝑛 ≤ 𝑁 − 1 và bằng 0 với n còn lại. Biểu diễn bằng đồ thị 2.1.1 Một vài tín hiệu cơ bản d. Dãy dốc đơn vị: ký hiệu là 𝑢𝑟(𝑛) Dãy dốc đơn vị bằng 𝑛 với 𝑛 ≥ 0 và bằng 0 với 𝑛 còn lại. Biểu diễn bằng đồ thị 2.1.1 Một vài tín hiệu cơ bản 2.1.1 Một vài tín hiệu cơ bản e. Dãy hàm số mũ là dãy có dạng 𝑥(𝑛) = 𝑎𝑛 với mọi n (a là số thực) 2.1.2. Phân loại tín hiệu rời rạc thời gian  Phân tích đặc điểm của tín hiệu có ý nghĩa quan trọng trong việc lựa chọn và sử dụng các công cụ toán học để xử lý tín hiệu. Mục tiêu của phần này là phân loại tín hiệu dựa trên một số đặc điểm nhất định a) Dãy năng lượng và dãy công suất - Năng lượng của một tín hiệu: 𝐸 = 𝑛=−∞ +∞ 𝑥 𝑛 2 - Năng lượng của tín hiệu có thể hữu hạn hoặc vô hạn - Nếu E là hữu hạn (có nghĩa là 0 < E < ∞), thì x(n) được gọi là dãy năng lượng. 2.1.2. Phân loại tín hiệu rời rạc thời gian a. Dãy năng lượng và dãy công suất (tiếp) - Công suất trung bình của tín hiệu rời rạc thời gian được xác định như sau: 𝑃 = lim 𝑁→∞ 1 2𝑁 + 1 𝑛=−𝑁 +𝑁 𝑥 𝑛 2 - Nếu ta định nghĩa năng lượng của 𝑥(𝑛) trong khoảng hữu hạn – 𝑁 ≤ 𝑛 ≤ 𝑁 như sau: 𝐸𝑁 = 𝑛=−𝑁 +𝑁 𝑥 𝑛 2 - Vậy, năng lượng của tín hiệu được viết lại như sau: 𝐸 = lim 𝑁→∞ 𝐸𝑁 và công suất trung bình của tín hiệu: 𝑃 = lim 𝑁→∞ 1 2𝑁 + 1 𝐸𝑁 - Nếu P hữu hạn (và khác 0), tín hiệu được gọi là tín hiệu công suất.  Tín hiệu x(n) tuần hoàn với chu kỳ N (N>0) khi và chỉ khi x(n + N) = x(n) với mọi n  Giá trị nhỏ nhất của N được gọi là chu kỳ cơ bản  Nếu không tồn tại giá trị nào của N thỏa mãn công thức trên thì tín hiệu x(n) là dãy không tuần hoàn 2.1.2. Phân loại tín hiệu rời rạc thời gian b. Dãy tuần hoàn và dãy không tuần hoàn  Một tín hiệu thực 𝒙(𝒏) được gọi là dãy chẵn nếu: 𝑥 −𝑛 = 𝑥 𝑛  Tín hiệu x(n) được gọi là dãy lẻ nếu: 𝑥(−𝑛) = −𝑥 𝑛 2.1.2. Phân loại tín hiệu rời rạc thời gian c. Dãy chẵn và dãy lẻ  Một tín hiệu 𝑥(𝑛) bất kỳ đều có thể được biểu diễn dưới dạng tổng của 2 tín hiệu chẵn và lẻ  Cụ thể, với tín hiệu bất kỳ x(n):  Ta có 1 tín hiệu chẵn được sinh ra từ x(n) 𝑥𝑐(𝑛) = 1 2 𝑥 𝑛 + 𝑥 −𝑛  1 tín hiệu lẻ được sinh ra từ x(n) 𝑥𝑙(𝑛) = 1 2 𝑥(𝑛)– 𝑥(−𝑛)  Cộng 2 tín hiệu trên ta được: 𝒙(𝒏) = 𝒙𝒄(𝒏) + 𝒙𝒍(𝒏) 2.1.2. Phân loại tín hiệu rời rạc thời gian c. Dãy chẵn và dãy lẻ (tiếp) 2.1.3 Một số phép toán a) Dịch tín hiệu trên miền thời gian(trễ hay tới trước): dịch tín hiệu 𝑥(𝑛) trên miền thời gian bằng cách thế biến số độc lập 𝑛 bằng (𝑛 − 𝑘), với 𝑘 là số nguyên • 𝑘 là số nguyên dương thì ta được tín hiệu trễ 𝑘 mẫu so với 𝑥(𝑛) dịch phải 𝒌 đơn vị • 𝑘 là số nguyên âm thì ta có tín hiệu sớm 𝑘 mẫu so với 𝑥(𝑛)  dịch trái k đơn vị Ví dụ: vẽ 𝑥(𝑛 − 3) và 𝑥(𝑛 + 2), với 𝑥(𝑛) như sau: 2.1.3 Một số phép toán b) Phản xạ (đối xứng) tín hiệu: thế biến độc lập 𝑛 thành − 𝑛, ta thu được tín hiệu 𝑥(−𝑛) lấy đối xứng với tín hiệu 𝒙(𝒏) qua gốc tọa độ Ví dụ: Vẽ đồ thị biểu diễn tín hiệu 𝑥(−𝑛) và 𝑥(−𝑛 + 2), với 𝑥(𝑛) như sau 2.1.3 Một số phép toán c) Phép co giãn thời gian Thay biến số độc lập của tín hiệu 𝑥(𝑛) bằng 𝑎𝑛, với 𝑎 là số nguyên, ta được tín hiệu 𝑥(𝑎𝑛) Ví dụ: Cho tín hiệu 𝑥(𝑛) như hình dưới, vẽ đồ thị biểu diễn tín hiệu 𝑦(𝑛) = 𝑥(2𝑛) 2.1.3 Một số phép toán d) Phép cộng, phép nhân và co giãn biên độ dãy: các phép toán tác động lên biên độ của tín hiệu  Phép co giãn biên độ của tín hiệu theo hằng số A được thực hiện bằng cách nhân giá trị của mỗi mẫu tín hiệu với A. 𝑦 𝑛 = 𝐴𝑥 𝑛 − ∞ < 𝑛 < +∞  Phép cộng hai tín hiệu 𝑥1(𝑛) và 𝑥2(𝑛) thu được tín hiệu 𝑦(𝑛), với mọi giá trị của 𝑦(𝑛) tại một thời điểm bằng tổng giá trị của 2 tín hiệu tương ứng 𝑦 𝑛 = 𝑥1 𝑛 + 𝑥2 𝑛 − ∞ < 𝑛 < +∞  Phép nhân hai tín hiệu cho ta một tín hiệu có giá trị các mẫu bằng tích giá trị hai mẫu tương ứng 𝑦 𝑛 = 𝑥1 𝑛 𝑥2 𝑛 − ∞ < 𝑛 < +∞ Ví dụ: cho hai tín hiệu 𝑥1 𝑛 = {1,2,3,4} và 𝑥2 𝑛 = 𝑟𝑒𝑐𝑡4(𝑛 + 1). Tính: a. 3𝑥1 𝑛 b. 𝑥1 𝑛 + 2𝑥2(𝑛) c. 𝑥1 2(𝑛) d. 𝑥1 𝑛 . 𝑥2(𝑛) Bài tập 1. Biểu diễn các tín hiệu sau: a. 𝛿(𝑛 − 3), 𝑟𝑒𝑐𝑡4(𝑛 + 1), 𝑢(−𝑛), 𝑢(−𝑛 + 2), 𝑢(−𝑛 − 3) b. 2𝑛𝑢 𝑛 , 1 2 𝑛−3 𝑟𝑒𝑐𝑡3(𝑛 − 3) 2. Cho tín hiệu 𝑥1(𝑛) và 𝑥2(𝑛) như hình dưới đây, xác định và biểu diễn các t/h sau dưới dạng đồ thị 3. Biểu diễn các tín hiệu trong câu 2 theo 𝛿(𝑛 − 𝑘) a. 𝑥1 𝑛 𝑟𝑒𝑐𝑡5(𝑛) b. 𝑥1(𝑛). 𝑥2(𝑛) c. 𝑥2(2𝑛) d. 𝑥1(𝑛) + 2𝑥2(𝑛) e. 𝑥1(−𝑛 + 3) f. 𝑥1 𝑛 + 𝑥2 𝑛 𝛿(𝑛 − 2) 2.2 Hệ thống rời rạc thời gian  Một thiết bị thực hiện các tác động lên tín hiệu rời rạc ta gọi đó là hệ thống rời rạc thời gian  Tín hiệu vào x(n) gọi là kích thích của hệ thống  Tín hiệu ra y(n) gọi là đáp ứng của hệ thống  Ký hiệu 1 hệ thống 𝑦(𝑛) = 𝑇[𝑥(𝑛)] Hệ thống rời rạc thời gian Tín hiệu vào Tín hiệu ra 2.2.1 Mô tả vào – ra của hệ thống  Mỗi hệ thống sẽ được đặc trưng bởi một mô tả toán học cho biết mối quan hệ giữa tín hiệu vào và tín hiệu ra VD: Các hệ thống được mô tả như sau: 1. 𝑦(𝑛) = 𝑥(𝑛 − 1) 2. 𝑦(𝑛) = 𝑥(𝑛 + 2) 3. 𝑦(𝑛) = 1 2 [𝑥(𝑛) + 𝑥(𝑛 − 1) + 𝑥(𝑛 + 2)] 4. y(𝑛) = 𝑦(𝑛 − 1) + 1 2 𝑥(𝑛) Ví dụ  VÍ DỤ 2.2.1 Tính các đáp ứng của các hệ thống sau với tín hiệu vào: 𝑥 𝑛 = 𝑛 𝑣ớ𝑖 − 3 ≤ 𝑛 ≤ 3 0 𝑣ớ𝑖 𝑛 𝑐ò𝑛 𝑙ạ𝑖 (a) 𝑦 𝑛 = 𝑥(𝑛) (hệ thống đồng nhất) (b) 𝑦(𝑛) = 𝑥(𝑛 − 1) (hệ thống trễ) (c) 𝑦(𝑛) = 𝑥(𝑛 + 1) (hệ thống tới trước) (d) 𝑦(𝑛) = 1 3 [𝑥(𝑛 + 1) + 𝑥(𝑛) + 𝑥(𝑛 − 1)] (bộ lọc trung bình) 2.2.2 Biểu diễn hệ thống bằng sơ đồ khối  Bộ cộng tín hiệu y(n) = x1(n) + x2(n)  Bộ nhân tín hiệu với hằng số y(n) = α.x(n) 2.2.2 Biểu diễn hệ thống bằng sơ đồ khối  Bộ nhân 2 tín hiệu y(n) = x1(n).x2(n)  Bộ trễ tín hiệu y(n) = x(n-1)  Bộ tới trước y(n) = x(n+1) Ví dụ  Sử dụng các khối cấu trúc cơ bản được giới thiệu ở trên, biểu diễn hệ thống rời rạc thời gian được mô tả bằng mối quan hệ vào-ra sau 𝑦 𝑛 = 1 4 𝑦 𝑛 − 1 + 1 2 𝑥 𝑛 + 1 2 𝑥 𝑛 − 1 trong đó x(n) là tín hiệu vào và y(n) là đáp ứng ra của hệ thống 2.2.3 Phân loại hệ thống a. Hệ thống động và hệ thống tĩnh  Hệ thống tĩnh (hay hệ thống không có nhớ) là hệ thống mà tín hiệu ra chỉ là hàm của tín hiệu vào mà không có trễ hay tới trước Ví dụ: y(n) = x(n) y(n) = x2(n) + 3x(n)  Hệ thống động là hệ thống mà tín hiệu ra là hàm có trễ hoặc tới trước của tín hiệu vào Ví dụ: y(n) = 1/2x(n+1) + x(n) + x(n-1) Hệ thống động có bộ trễ hay tới trước Ví dụ: hệ thống nào dưới đây là hệ thống tĩnh hoặc hệ thống động 1. 𝑦 𝑛 = 𝑥 𝑛 − 3𝑥(𝑛 − 3) 2. 𝑦 𝑛 = 𝑛𝑥 𝑛 − 9 3. 𝑦 𝑛 = 3 − 𝑛 𝑥 𝑛 4. 𝑦 𝑛 = 𝑛 − 1 𝑦 𝑛 − 1 + 𝑥 𝑛 5. 𝑦 𝑛 = 𝑛 − 1 𝑥 𝑛 + 3𝑥2(𝑛) 2.2.3 Phân loại hệ thống b. Hệ thống bất biến và biến thiên thời gian Ta có:  𝑦(𝑛) = 𝑇[𝑥(𝑛)]  Trễ 𝑥(𝑛) đi 𝑘 mẫu ta có 𝑥(𝑛 − 𝑘)  Cho 𝑥(𝑛 − 𝑘) qua hệ thống 𝑦2(𝑛, 𝑘) = 𝑇[𝑥(𝑛 − 𝑘)] Hệ thống bất biến khi 𝑦2 𝑛, 𝑘 = 𝑦(𝑛 − 𝑘) 𝒚(𝒏 − 𝒌) = 𝑻[𝒙(𝒏 − 𝒌)] Ngược lại, hệ thống biến thiên thời gian 2.2.3 Phân loại hệ thống Ví dụ: các hệ thống sau, xét xem hệ thống có bất biến không 2.2.3 Phân loại hệ thống c. Hệ thống tuyến tính và phi tuyến  Hệ thống là tuyến tính nếu nó thỏa mãn nguyên lý xếp chồng: 𝑇 𝑎1𝑥1 𝑛 + 𝑎2𝑥2 𝑛 = 𝑎1𝑇 𝑥1 𝑛 + 𝑎2𝑇 𝑥2 𝑛 T x1(n) y1(n) T x2(n) y2(n) T T T x1(n) x2(n) Hệ thống tuyến tính 2.2.3 Phân loại hệ thống  Nguyên lý xếp chồng có thể chia thành 2 phần:  Tính tỷ lệ: 𝑇[𝑎. 𝑥(𝑛)] = 𝑎. 𝑇[𝑥(𝑛)]  Tính tổ hợp: 𝑇[𝑥1(𝑛) + 𝑥2(𝑛)] = 𝑇[𝑥1(𝑛)] + 𝑇[𝑥2(𝑛)] = 𝑦1(𝑛) + 𝑦2(𝑛)  Hệ thống không thỏa mãn 2 điều kiện trên thì hệ thống là phi tuyến Chú ý:  Đối với hệ thống tuyến tính, khi có nhiều kích thích tác động vào hệ thống ta có thể xử lý riêng biệt các kích thích này sau đó tổng hợp các đáp ứng để thu được kết quả. Ví dụ: xét tính tuyến tính của các hệ thống sau đây a. 𝑦 𝑛 = 𝑛𝑥 𝑛 b. 𝑦 𝑛 = 𝑥2 𝑛 c. 𝑦 𝑛 = 𝐴𝑥 𝑛 + 𝐵 d. 𝑦 𝑛 = 𝑒𝑥 𝑛 2.2.3 Phân loại hệ thống d. Hệ thống nhân quả và hệ thống phi nhân quả Định nghĩa: Một hệ thống được gọi là nhân quả nếu như đầu ra của hệ thống tại mọi thời điểm n chỉ phụ thuộc vào tín hiệu vào quá khứ và hiện tại [vd: 𝑥(𝑛), 𝑥(𝑛 − 1), 𝑥(𝑛 − 2), ] mà không phụ thuộc tín hiệu đầu vào tương lai [vd: 𝑥(𝑛 + 1), 𝑥(𝑛 + 2), ]. Về mặt toán học: hệ thống nhân quả khi: 𝑦 𝑛 = 𝐹 𝑥 𝑛 , 𝑥 𝑛 − 1 , , 𝑥 𝑛 − 𝑘 Ví dụ: các hệ thống sau đây, hệ thống nào nhân quả a. 𝑦 𝑛 = 𝑥 𝑛 + 𝑥 𝑛 − 1 + 1 2 𝑦 𝑛 − 1 b. 𝑦 𝑛 = 3𝑥2 𝑛 + 𝑛 + 1 𝑦 𝑛 − 1 + 𝑥(𝑛 + 1) 2.3 Hệ thống tuyến tính bất biến 2.3.1 Hệ thống TTBB và đặc trưng của hệ thống: tích chập 2.3.2 Tính chất của tích chập 2.3.3 Ghép nối các hệ thống TTBB 2.3.4 Tính nhân quả và ổn định của hệ thống 2.3.5 Hệ thống có đáp ứng xung hữu hạn và vô hạn 2.3.1 Hệ thống TTBB và đặc trưng của hệ thống: tích chập  Là hệ thống xử lý tín hiệu số có tính tuyến tính và bất biến thời gian.  Phân tích hệ thống TTBB  Yêu cầu: cho tín hiệu 𝑥(𝑛) đi qua hệ thống, xác định tác động của hệ thống lên tín hiệu, từ đó xác định đáp ứng ra của hệ thống  Phương pháp: tách tín hiệu 𝑥(𝑛) thành tổng của nhiều tín hiệu thành phần. Cho các tín hiệu thành phần này đi qua hệ thống để thu được đáp ứng ra tương ứng. Tổng hợp các kết quả đó, ta có đáp ứng ra 𝑦(𝑛) Phương pháp  Phân tách tín hiệu vào thành tổng của nhiều tín hiệu thành phần: 𝑥(𝑛) = 𝑘=−∞ +∞ 𝑐𝑘𝑥𝑘(𝑛)  Cho các tín hiệu 𝑥𝑘(𝑛) đi qua hệ thống, ta được các đáp ứng ra tương ứng là 𝑦𝑘 𝑛 = 𝑇 𝑥𝑘(𝑛) .  Đáp ứng ra toàn phần của hệ thống với tín hiệu vào 𝑥(𝑛) là: 𝑦 𝑛 = 𝑇 𝑥(𝑛) = 𝑇 𝑘=−∞ +∞ 𝑐𝑘𝑥𝑘(𝑛) = 𝑘=−∞ +∞ 𝑐𝑘𝑇 𝑥𝑘 𝑛 = 𝑘=−∞ +∞ 𝑐𝑘𝑦𝑘(𝑛) b. Tích chập  Một tín hiệu 𝑥(𝑛) bất kỳ đều có thể được biểu diễn như sau:  Trong đó: 𝑥(𝑘) là giá trị tín hiệu tại thời điểm 𝑛 = 𝑘     k knkxnx )().()(  b. Tích chập (tiếp)  Cho tín hiệu 𝑥 𝑛 qua hệ thống TTBB như sau: 𝑦 𝑛 = 𝑇 𝑥 𝑛 𝑦 𝑛 = 𝑇 𝑘=−∞ +∞ 𝑥(𝑘)𝛿(𝑛 − 𝑘)  Do hệ thống tuyến tính 𝑦 𝑛 = 𝑘=−∞ +∞ 𝑥 𝑘 𝑇 𝛿 𝑛 − 𝑘  Đặt: ℎ(𝑛) = 𝑇[𝛿(𝑛)] ℎ(𝑛) là đáp ứng của HT với kích thích 𝛿(𝑛) ℎ(𝑛, 𝑘) = 𝑇[𝛿(𝑛 − 𝑘)] ℎ(𝑛, 𝑘) là đáp ứng của HT với kích thích 𝛿(𝑛 − 𝑘) 𝑦 𝑛 = 𝑘=−∞ +∞ 𝑥 𝑘 ℎ(𝑛, 𝑘)  Do hệ thống bất biến: ℎ(𝑛, 𝑘) = ℎ(𝑛 − 𝑘), ta có 𝑦 𝑛 = 𝑘=−∞ +∞ 𝑥 𝑘 ℎ(𝑛 − 𝑘)  Công thức trên gọi là tích chập của 𝑥(𝑛) và ℎ(𝑛)  Ký hiệu: 𝑦(𝑛) = 𝑥(𝑛) ∗ ℎ(𝑛)  Trong đó: ℎ(𝑛) là đáp ứng của HT với kích thích 𝛿(𝑛) (gọi tắt là đáp ứng xung của hệ thống)  Ý nghĩa:  Đáp ứng xung của hệ thống TTBB đặc trưng hoàn toàn cho hệ thống  Tích chập thể hiện mối quan hệ giữa tín hiệu vào và tín hiệu ra. Để xác định đáp ứng ra đối với một tín hiệu vào bất kỳ, ta chỉ cần thực hiện tích chập trên b. Tích chập (tiếp) Cách tính tích chập (Convolution Sum)  Để tính tích chập, ta cần đổi biến 𝑥 𝑛 → 𝑥 𝑘 , h 𝑛 → ℎ 𝑘  Tại thời điểm 𝑛 = 𝑛0 , ta có: 𝑦 𝑛0 = 𝑘=−∞ +∞ 𝑥 𝑘 ℎ(𝑛0 − 𝑘)  Các bước tính 𝑦(𝑛0):  Đảo. Lấy đối xứng ℎ(𝑘) qua trục tung ta được ℎ(−𝑘).  Dịch chuyển. Dịch ℎ(−𝑘) đi 𝑛0 mẫu về phía bên phải (trái) nếu 𝑛0 dương (âm), ta được h(no-k)  Nhân. Nhân 𝑥(𝑘) với ℎ(𝑛0 − 𝑘) được dãy tích 𝑣𝑛0(𝑘) ≡ 𝑥 𝑘 ℎ(𝑛0 − 𝑘)  Tổng. Cộng tất cả các xung của 𝑣𝑛0 𝑘 , ta được 𝑦(𝑛0). Ví dụ tích chập  Cho hệ thống TTBB có đáp ứng xung ℎ(𝑛) như sau ℎ 𝑛 = 1 − 𝑛 3 𝑣ớ𝑖 0 ≤ 𝑛 ≤ 3 0 𝑣ớ𝑖 𝑛 𝑐ò𝑛 𝑙ạ𝑖 Cho tín hiệu 𝑥(𝑛) = 𝑟𝑒𝑐𝑡4(𝑛) qua hệ thống, tính 𝑦(𝑛)  Bài giải:  Do hệ thống TTBB, ta có mối quan hệ giữa đáp ứng ra 𝑦 𝑛 và tín hiệu vào 𝑥 𝑛 như sau: 𝑦 𝑛 = 𝑥 𝑛 ∗ ℎ 𝑛 hay: 𝑦 𝑛 = 𝑘=−∞ +∞ 𝑥 𝑘 ℎ(𝑛 − 𝑘)  Vậy để xác định đáp ứng ra của hệ thống, ta cần thực hiện tích chập trên Thực hiện bằng đồ thị y(0) = 1 y(1) = 1 + 2/3 = 5/3 y(2) = 1 + 2/3 + 1/3 = 2 y(3) = 1 + 2/3 + 1/3 = 2 y(4) = 2/3 + 1/3 = 1 y(5) = 1/3 Ví dụ: Tính đáp ứng ra của các hệ thống TTBB và t/h vào như sau: 1. 𝑥(𝑛) = 𝑟𝑒𝑐𝑡5(𝑛), ℎ(𝑛) = 𝛿(𝑛 + 1) 2. 𝑥(𝑛) = 𝛿(𝑛 − 2), ℎ(𝑛) = 𝑢(𝑛) 3. 𝑥(𝑛) = 𝑢(𝑛), ℎ(𝑛) = 𝑟𝑒𝑐𝑡4(𝑛 − 1) 4. 𝑥 𝑛 = 2𝑛. 𝛿 𝑛 − 2 + 𝛿(𝑛) , ℎ 𝑛 = 1, 2, 3,4,5 5. 𝑥(𝑛) = 𝛿(𝑛) , ℎ(𝑛) = 𝑟𝑒𝑐𝑡5(𝑛) Rút ra các kết luận 2.3.2 Tính chất của tích chập a. Tính chất đồng nhất và dịch chuyển: dãy xung đơn vị 𝛿(𝑛) là thành phần đơn vị trong tính chập 𝑥(𝑛) ∗ 𝛿(𝑛) = 𝑥(𝑛) Nếu dịch 𝛿(𝑛) đi 𝑘 mẫu (𝛿(𝑛 − 𝑘 )), dãy chập cũng bị dịch chuyển k mẫu 𝑥(𝑛) ∗ 𝛿(𝑛 − 𝑘 ) = 𝑥(𝑛 − 𝑘) 2.3.2 Tính chất của tích chập b. Tính giao hoán 𝑥(𝑛) ∗ ℎ(𝑛) = ℎ(𝑛) ∗ 𝑥(𝑛) c. Tính chất kết hợp 𝑥 𝑛 ∗ ℎ1(𝑛) ∗ ℎ2(𝑛) = 𝑥 𝑛 ∗ ℎ1(𝑛) ∗ ℎ2(𝑛) d. Tính chất phân phối 𝑥 𝑛 ∗ ℎ1 𝑛 + ℎ2 𝑛 = 𝑥 𝑛 ∗ ℎ1 𝑛 + 𝑥 𝑛 ∗ ℎ2(𝑛) 2.3.3 Ghép nối các hệ thống TTBB a) Hai hệ thống mắc nối tiếp tương đương với một hệ thống có đáp ứng xung bằng tích chập hai đáp ứng xung của hai hệ thống thành phần 2.3.3 Ghép nối các hệ thống TTBB b) Hai hệ thống mắc song song tương đương với một hệ thống có đáp ứng xung bằng tổng đáp ứng xung của hai hệ thống thành phần Ví dụ: Tính đáp ứng xung của hệ thống nối tầng sau ℎ 𝑛 = 1, 2, 3,4 ℎ1 𝑛 = 1,2,3,4 ℎ2 𝑛 = ℎ3 𝑛 = 𝛿 𝑛 − 2 ℎ4 𝑛 = 2 𝑛𝑟𝑒𝑐𝑡4(𝑛 + 1) 2.3.4 Tính nhân quả và ổn định của hệ thống TTBB  Nếu một hệ thống TTBB có tính nhân quả 𝑦(𝑛) = 𝐹[𝑥(𝑛), 𝑥(𝑛 − 1), , 𝑥(𝑛 − 𝑘) ]  Cho 𝛿(𝑛) qua hệ thống: ℎ(𝑛) = 𝐹[𝛿(𝑛), 𝛿(𝑛 − 1), , 𝛿(𝑛 − 𝑘) ]  Ta thấy, ℎ 𝑛 = 0 với 𝑛 < 0 (không có 𝛿(𝑛 + 𝑘))  Do đó, hệ thống TTBB nhân quả khi đáp ứng xung 𝒉(𝒏) = 𝟎 với 𝒏 < 𝟎  Hệ thống nhân quả là hệ thống duy nhất thực hiện được về mặt vật lý a) Hệ thống TTBB nhân quả  Khái niệm dãy nhân quả, dãy phản nhân quả, dãy hai phía:  𝑥(𝑛) nhân quả khi 𝑥 𝑛 = 0 với 𝑛 < 0  y(𝑛) nhân quả khi y 𝑛 = 0 với 𝑛 < 0  𝑥(𝑛) phản nhân quả khi 𝑥 𝑛 = 0 với 𝑛 > 0  y(𝑛) phản nhân quả khi y 𝑛 = 0 với 𝑛 > 0  𝑥 𝑛 , 𝑦(𝑛) là dãy không nhân quả hay dãy hai phía nếu không thỏa mãn hai trường hợp trên.  Hệ quả: cho tín hiệu 𝑥(𝑛) đi qua một hệ thống TTBB nhân quả, ta được đáp ứng ra 𝑦(𝑛). Nếu 𝑥(𝑛) nhân quả thì 𝑦(𝑛) cũng nhân quả 2.3.4 Tính nhân quả và ổn định của hệ thống TTBB a) Hệ thống TTBB nhân quả  Tiêu chuẩn ổn định của hệ thống nói chung: 𝑥 𝑛 < ∞ → 𝑦 𝑛 < ∞  Tiêu chuẩn ổn định của hệ thống TTBB: HT TTBB ổn định khi: 𝑆ℎ = 𝑛=−∞ +∞ ℎ(𝑛) < ∞  Ý nghĩa:  Tính ổn định là một tính chất quan trọng phải được xét đến trong bất kì hệ thống thực tế nào.  Hệ thống không ổn định sẽ hoạt động thất thường và đôi khi có những đáp ứng ra không thể xác định được 2.3.4 Tính nhân quả và ổn định của hệ thống TTBB b) Hệ thống TTBB ổn định Ví dụ: Xét tính nhân quả và ổn định 1) Xét tính nhân quả và ổn định của các hệ thống sau: a. ℎ 𝑛 = (1, −2, 9 ↑ , −3,1,−5) b. ℎ 𝑛 = 𝑟𝑒𝑐𝑡100 𝑛 c. ℎ 𝑛 = 𝑢(𝑛 + 3) d. ℎ 𝑛 = 1 2 𝑛 𝑢(𝑛 − 2) e. ℎ 𝑛 = 2𝑛+1𝑢(𝑛 + 1) f. ℎ 𝑛 = 𝑎𝑛 𝑣ớ𝑖 𝑛 ≥ 0 0 𝑣ớ𝑖 𝑛 < 0 2.3.5 Hệ thống có đáp ứng xung hữu hạn (FIR) và vô hạn (IIR) Các hệ thống tuyến tính bất biến thành hai loại:  Hệ thống có đáp ứng xung hữu hạn  Hệ thống có đáp ứng xung vô hạn 2.4 Phương trình sai phân tuyến tính hệ số hằng 2.4.1 Phương trình SP TT HSH 2.4.2 Hệ thống đệ quy và hệ thống không đệ quy 2.4.3 Giải phương trình SP TT HSH 2.4.4 Thực hiện hệ thống rời rạc 2.4.1 Phương trình SP TT HSH  Hệ thống TTBB mô tả dưới dạng PT SP TT HSH như sau: 𝑦 𝑛 = − 𝑟=1 𝑁 𝑎𝑟𝑦(𝑛 − 𝑟) + 𝑘=0 𝑀 𝑏𝑘𝑥(𝑛 − 𝑘)  Hoặc  Trong đó:  𝑎𝑟 , 𝑏𝑘 là các hệ số  𝑁 là bậc của hệ thống 𝑟=0 𝑁 𝑎𝑟𝑦(𝑛 − 𝑟) = 𝑘=0 𝑀 𝑏𝑘𝑥(𝑛 − 𝑘) 𝑣ớ𝑖 𝑎0 = 1 2.4.2 Hệ thống đệ quy và hệ thống không đệ quy  Hệ thống không đệ quy: hệ thống có đáp ứng ra chỉ phụ thuộc vào tín hiệu vào  Đáp ứng xung của hệ thống:  Với hệ thống không đệ quy chúng ta có thể tính đầu ra 𝑦(𝑛0) ngay lập tức với 𝑛0 bất kỳ  Hệ thống k đệ quy là hệ thống FIR  Hệ thống k đệ quy luôn ổn định 𝑦 𝑛 = 𝑘=0 𝑀 𝑏𝑘𝑥(𝑛 − 𝑘) ℎ 𝑛 = 𝑘=0 𝑀 𝑏𝑘𝛿(𝑛 − 𝑘) 𝑦 𝑛0 = 𝑘=0 𝑀 𝑏𝑘𝑥(𝑛0 − 𝑘)  Hệ thống đệ quy là hệ thống có đáp ứng ra 𝑦(𝑛) không chỉ phụ thuộc t/h vào mà còn giá trị quá khứ của đầu ra 𝑦 𝑛 = − 𝑟=1 𝑁 𝑎𝑟𝑦(𝑛 − 𝑟) + 𝑘=0 𝑀 𝑏𝑘𝑥(𝑛 − 𝑘)  Hệ thống đệ quy có đáp ứng xung vô hạn: IIR  Đáp ứng ra của hệ thống tại thời điểm 𝑛0, 𝑦(𝑛0) không thể xác định được ngay lập tức mà phải tính toán qua các giá trị trước đó của 𝑦(𝑛0) 2.4.2 Hệ thống đệ quy và hệ thống không đệ quy Ví dụ:  Cho hệ thống đệ quy như sau: 𝑦 𝑛 = 1 2 𝑥 𝑛 + 3𝑦 𝑛 − 1 a. Biết hệ thống nhân quả, xác định đáp ứng xung ℎ(𝑛) b. Cho tín hiệu 𝑥 𝑛 = 𝑟𝑒𝑐𝑡3(𝑛) đi qua hệ thống xác định đáp ứng ra 𝑦 𝑛 của tín hiệu trên. 2.4.3 Giải phương trình sai phân tuyến tính hệ số hằng  Khảo sát các hệ thống TTBB được mô tả bởi phương trình sai phân tuyến tính hệ số hằng:  Hệ thống không đệ quy: sử dụng tích chập và các phương pháp thông thường đã học (ví dụ đã trình bày)  Hệ thống đệ quy: phương pháp thế (ví dụ đã trình bày) và phương pháp tổng quát (phần sau), phương pháp gián tiếp (chương 3) 2.4.3 Giải phương trình SP TT HSH Phương pháp tổng quát:  Mục đích: xác định đáp ứng ra 𝑦(𝑛), 𝑛 ≥ 0 của hệ thống tương ứng với đầu vào 𝑥(𝑛), 𝑛 ≥ 0 và một tập các điều kiện đầu đã biết.  Nghiệm tổng quát 𝑦(𝑛) là tổng của hai thành phần: 𝑦(𝑛) = 𝑦ℎ(𝑛) + 𝑦𝑝(𝑛)  𝑦ℎ(𝑛) là nghiệm thuần nhất  𝑦𝑝(𝑛) là nghiệm riêng a. Tìm nghiệm thuần nhất  Tìm nghiệm của phương trình thuần nhất 𝑘=0 𝑁 𝑎𝑘𝑦(𝑛 − 𝑘) = 0  Giả sử nghiệm có dạng: 𝑦ℎ 𝑛 = 𝜆 𝑛  Thế vào phương trình thuần nhất ta có: 𝑘=0 𝑁 𝑎𝑘𝜆 𝑛−𝑘 = 0  Tương đương 𝜆𝑛−𝑁 𝜆𝑁 + 𝑎1𝜆 𝑁−1 + 𝑎2𝜆 𝑁−2 + ⋯+ 𝑎𝑁−1𝜆 + 𝑎𝑁 = 0 a. Tìm nghiệm thuần nhất (tiếp)  Đa thức đặc trưng: 𝝀𝑵 + 𝒂𝟏𝝀 𝑵−𝟏 + 𝒂𝟐𝝀 𝑵−𝟐 + ⋯ + 𝒂𝑵−𝟏𝝀 + 𝒂𝑵 có N nghiệm 𝜆1, 𝜆2, 𝜆3, , 𝜆𝑁.  Giả sử các nghiệm riêng biệt Nghiệm thuần nhất của PT SP TT HSH là 𝑦ℎ(𝑛) = 𝐶1𝜆1 𝑛 + 𝐶2𝜆2 𝑛 + ⋯ + 𝐶𝑁𝜆𝑁 𝑛  Giả sử đa thức có nghiệm bội, Nghiệm thuần nhất của PT SP TT HSH là 𝑦ℎ(𝑛) = 𝐶1𝜆1 𝑛 + 𝐶2𝑛𝜆1 𝑛 + 𝐶3𝑛 2𝜆1 𝑛 + ⋯ + 𝐶𝑚𝑛 𝑚−1𝜆1 𝑛 + 𝐶𝑚+1𝜆𝑚+1 𝑛 + ⋯+ 𝐶𝑁𝜆𝑁 𝑛  Trong đó 𝐶1, 𝐶2, , 𝐶𝑁 là các trọng số được xác định thông qua các điều kiện đầu Ví dụ 1. Cho hệ thống được mô tả bởi PTSPTTHSH sau: 𝑦 𝑛 = 𝑥 𝑛 − 1 2 𝑦(𝑛 − 1) a. Xác định nghiệm thuần nhất của hệ thống trên. b. Xác định nghiệm riêng của hệ thống trên biết tín hiệu vào 𝑥 𝑛 = 𝑢 𝑛 . c. Xác định nghiệm tổng quát của hệ thống trên với điều kiện vào là 𝑦 −1 = 0. b. Nghiệm riêng  Thành phần nghiệm riêng 𝑦 𝑝 (𝑛) phải thỏa mãn phương trình sai phân với đầu vào cụ thể 𝑥(𝑛) , 𝑛 ≥ 0. 𝑟=0 𝑁 𝑎𝑟𝑦𝑝(𝑛 − 𝑟) = 𝑘=0 𝑀 𝑏𝑘𝑥(𝑛 − 𝑘) 𝑣ớ𝑖 𝑎0 = 1  𝑦𝑝(𝑛) có dạng phụ thuộc vào dạng của đầu vào 𝑥 𝑛  Ví dụ: 𝑥(𝑛) = 𝑢(𝑛) thì 𝑦𝑝(𝑛) = 𝐾𝑢(𝑛)  Một số dạng của 𝑦𝑝(𝑛) được liệt kê ở bảng sau đây: BẢNG 2.1 Dạng chung của Nghiệm riêng ứng với một số dạng tín hiệu vào Tín hiệu vào 𝑥(𝑛) Nghiệm riêng 𝑦𝑝(𝑛) A (hằng số) K 𝐴𝑀𝑛 𝐾𝑀𝑛 𝐴𝑛𝑀 𝐾0𝑛 𝑀 + 𝐾1𝑛 𝑀−1 + ⋯+ 𝐾𝑀 𝐴𝑐𝑜𝑠𝜔0𝑛 𝐴𝑠𝑖𝑛𝜔0𝑛 𝐾1𝑐𝑜𝑠𝜔0𝑛 + 𝐾2𝑠𝑖𝑛𝜔0𝑛 b. Ngiệm riêng (tiếp)  Các hệ số K được xác định bằng cách thế 𝑦𝑝(𝑛) và 𝑥 𝑛 vào phương trình SPTTHSH.  Thế một giá trị của 𝑛 vào phương trình sao cho không có thành phần nào bị triệt tiêu để tính 𝐾 2.4.4 Thực hiện hệ thống rời rạc a. Hệ thống không đệ quy 𝑦 𝑛 = 𝑘=0 𝑀 𝑏𝑘𝑥(𝑛 − 𝑘) b. Hệ thống đệ quy  Biểu diễn hệ thống TTBB đệ quy 𝑦 𝑛 = − 𝑟=1 𝑁 𝑎𝑟𝑦(𝑛 − 𝑟) + 𝑘=0 𝑀 𝑏𝑘𝑥(𝑛 − 𝑘) Ví dụ 1. Cho tín hiệu 𝑥(𝑛) = 0.5𝑛. 𝑢(𝑛) qua hệ thống có 𝑦 𝑛 = 2𝑦 𝑛 − 1 + 2𝑥 𝑛 a. Vẽ sơ đồ hệ thống, b. Tính đáp ứng xung (biết rằng hệ thống là nhân quả) c. Cho 𝑥(𝑛) qua hệ thống, tính đáp ứng ra của tín hiệu (5 xung đầu tiên) Tổng kết chương 2  Mô tả và biểu diễn tín hiệu trong miền thời gian  Một số tín hiệu cơ bản  Phân loại tín hiệu  Dãy năng lượng, dãy công suất  Dãy tuần hoàn và dãy không tuần hoàn  Dãy chẵn và dãy lẻ  Một số phép toán: trễ, cộng, nhân 2 tín hiệu  Hệ thống rời rạc thời gian  Biểu diễn hệ thống dưới dạng sơ đồ khối  Phân loại hệ thống  Hệ thống động, hệ thống tính  Hệ thống tuyến tính và hệ thống phi tuyến  Hệ thống bất biến và hệ thốngbiến thiên thời gian  Hệ thống nhân quả và hệ thống phi nhân quả Tổng kết chương 2  Hệ thống tuyến tính bất biến thời gian (LTI System)  Đặc trưng bởi đáp ứng xung h(n)  Tích chập  Tính chất của tích chập và hệ thống LTI  Các tính phân phối và giao hoán của tích chập  Đáp ứng xung của hệ thống LTI song song và nối tiếp  Tính nhân quả và ổn định của hệ thống LTI  Hệ thống LTI mô tả dưới dạng phương trình sai phân tuyến tính hệ số hằng  Hệ thống không đệ quy  Phương trình mô tả  Tính toán đáp ứng ra  Biểu diễn hệ thống bằng sơ đồ khối  Hệ thống đệ quy  Phương trình mô tả  Tính đáp ứng ra (đáp ưng xung) bằng phương pháp thế  Biểu diễn hệ thống bằng sơ đồ khối