IV. XẤP XỈ QUY LUẬT NHỊ THỨC
2. Xấp xỉ quy luật nhị thức bởi quy luật chuẩn
Ví dụ
Một ký túc xá có 650 sinh viên, Xác suất để một sinh viên
đến xem phim tại câu lạc bộ tối thứ 7 là 0,7.
a. Tính xác suất để số sinh viên đến xem phim tối thứ 7 ít
hơn 440 người.
b. Cần phải chuẩn bị bao nhiêu ghế để với xác suất 0,99 ta
có thể bảo đảm đủ ghế cho người đến xem.
45 trang |
Chia sẻ: nguyenlam99 | Lượt xem: 2893 | Lượt tải: 1
Bạn đang xem trước 20 trang tài liệu Bài giảng xác suất thống kê - Chương 3: Luật số lớn và định lý giới hạn trung tâm, để xem tài liệu hoàn chỉnh bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên
Giảng viên:
Chu Bình Minh
Bài giảng
Xác suất thống kê
Nam Dinh,Februay, 2008
PHẦN 1
XÁC SUẤT
CHƯƠNG 3
LuẬT SỐ LỚN VÀ ĐỊNH LÝ GiỚI HẠN TRUNG TÂM
Cho 𝑍1 ,𝑍2 , ,𝑍𝑛 là dãy biến ngẫu nhiên phụ thuộc vào
chỉ số n. Chương này nhằm mục đích nghiên cứu xem
khi n khá lớn thì 𝑍𝑛 có tính chất gì đặc biệt hay không.
Trước hết ta cần định nghĩa sự hội tụ của 𝑍𝑛 về một
biến ngẫu nhiên khác có ý nghĩa như thế nào. Sau đây
sẽ trình bày hai kiểu hội tụ cơ bản.
1. Hội tụ theo xác suất
Định nghĩa
Dãy biến ngâu nhiên 𝑍1 ,𝑍2 , gọi là hội tụ theo xác suất
về biến ngẫu nhiên Z khi 𝑛 → ∞ nếu:
Với mọi ε > 0, 𝑃 𝑍𝑛 − 𝑍 > 𝜀 → 0 𝑘𝑖 𝑛 → ∞ (tương
đương với 𝑃 𝑍𝑛 − 𝑍 ≤ 𝜀 → 1 𝑘𝑖 𝑛 → ∞)
Ký hiệu: 𝑍𝑛
𝑃
→ 𝑍
Nghĩa là với mọi ε,δ cho trước nhỏ tùy ý thì với xác suất
ít nhất 1 – δ ta sẽ có |𝑍𝑛 − 𝑍| ≤ 𝜀 nếu n đủ lớn.
I. CÁC DẠNG HỘI TỤ CỦA DÃY BIẾN NGẪU NHIÊN
1. Hội tụ theo xác suất
Ví dụ
Cho day biến ngẫu nhiên 𝑍𝑛 có hàm mật độ:
𝑓𝑛(𝑥) =
0 𝑘𝑖 𝑥 < 0
𝑛. 𝜆𝑒−𝑛𝜆𝑥 𝑘𝑖 𝑥 ≥ 0
,𝑛 ∈ 𝑁, 𝜆 > 0
Chứng minh 𝑍𝑛
𝑃
→ 0
Giải
Với mọi ε > 0 cho trước ta có:
𝑃 𝑍𝑛 − 0 > 𝜀 = 𝑃 𝑍𝑛 > 𝜀 = 𝑛. 𝜆𝑒
−𝑛𝜆𝑥 𝑑𝑥
+∞
𝜀
= − 𝑒−𝑛𝜆𝑥
𝜀
+∞
= 𝑒−𝑛𝜆𝜀
𝑛→+∞
0
I. CÁC DẠNG HỘI TỤ CỦA DÃY BIẾN NGẪU NHIÊN
I. CÁC DẠNG HỘI TỤ CỦA DÃY BIẾN NGẪU NHIÊN
2. Hội tụ theo phân phối
Định nghĩa
Dãy biến ngâu nhiên 𝑍1 ,𝑍2 , gọi là hội tụ theo phân phối
về biến ngẫu nhiên Z khi 𝑛 → ∞ nếu:
lim
𝑛→+∞
𝐹𝑍𝑛 𝑥 = 𝐹𝑍(𝑥) ,∀𝑥 ∈ 𝑅
⇔ lim
𝑛→+∞
𝑃(𝑍𝑛 < 𝑥) = 𝑃(𝑍 < 𝑥)
Ký hiệu: 𝑍𝑛
𝐹
→ 𝑍
Với 𝐹𝑍𝑛 𝑥 ,𝐹𝑍(𝑥) là các hàm phân phối của 𝑍𝑛 , 𝑍.
II. LUẬT SỐ LỚN
1. Bất đẳng thức Chebysev
Định lý
Cho Y biến ngẫu nhiên không âm. Khi đó với mọi a > 0
ta có:
𝑃 𝑌 > 𝑎 ≤
𝐸𝑌
𝑎
II. LUẬT SỐ LỚN
1. Bất đẳng thức Chebysev
Chứng minh
Cho Y là biến ngẫu nhiên rời rạc, giả sử C là tập giá trị
của Y.
Khi đó
𝐸𝑌 = 𝑐𝑖𝑝𝑖
𝑐𝑖∈𝐶
= 𝑐𝑖𝑝𝑖
𝑐𝑖≤𝑎
+ 𝑐𝑖𝑝𝑖
𝑐𝑖>𝑎
≥ 𝑐𝑖𝑝𝑖
𝑐𝑖>𝑎
≥ 𝑎 𝑝𝑖
𝑐𝑖>𝑎
= 𝑎𝑃(𝑌 > 𝑎)
Trường hợp Y là biến ngẫu nhiên liên tục chứng minh
tương tự.
II. LUẬT SỐ LỚN
1. Bất đẳng thức Chebysev
Hệ quả
Cho X là biến ngẫu nhiên với EX = μ. Khi đó với mọi ε >
0 ta có:
𝑃 𝑋 − 𝜇 > 𝜀 ≤
𝐷𝑋
𝜀2
Tương đương với
𝑃 𝑋 − 𝜇 ≤ 𝜀 > 1 −
𝐷𝑋
𝜀2
II. LUẬT SỐ LỚN
1. Bất đẳng thức Chebysev
Chứng minh
Đặt 𝑌 = (𝑋 − 𝜇)2, khi đó:
𝑃 𝑋 − 𝜇 > 𝜀 = 𝑃 𝑌 > 𝜀2 ≤
𝐸𝑌
𝜀2
=
𝐸 𝑋 − 𝜇 2
𝜀2
=
𝐷𝑋
𝜀2
II. LUẬT SỐ LỚN
1. Bất đẳng thức Chebysev
Ví dụ
Một cửa hàng vải muốn ước lượng nhanh chóng sai số số
vải bán ra trong một tháng của mình. Số vải của mỗi
khách hàng được làm tròn bởi số nguyên gần nhất ( Thí
dụ trong sổ ghi 195,6 m thì làm tròn thành 196 m). Kí
hiệu 𝑋𝑖 là sai số giữa số mét vải thực bán và số mét vải
đã tính tròn của khách hàng thứ i. Với xác suất ít nhất
0,99 hãy ước lượng sai số giữa số mét vải thực bán và số
mét vải đã làm tròn trong tháng biết số khách mua hàng
trong tháng là 1 vạn khách.
II. LUẬT SỐ LỚN
1. Bất đẳng thức Chebysev
Giải
Các sai số 𝑋1 ,𝑋2 , ,𝑋𝑛 là các biến ngẫu nhiên độc lập và
có phân phối đều trong đoạn [-0,5; 0,5]. Khi đó
𝐸𝑋𝑖 = 0,𝐷𝑋𝑖 =
1
12
, 𝑖 = 1. .𝑛
Khi đó sai số tổng cộng trong tháng là
𝑆 = 𝑋1 + 𝑋2 + ⋯+ 𝑋𝑛
II. LUẬT SỐ LỚN
1. Bất đẳng thức Chebysev
Ta có:
𝐸𝑆 = 𝐸𝑋𝑖
𝑛
1
= 0
𝐷𝑆 = 𝐷𝑋𝑖
𝑛
1
=
𝑛
12
Áp dụng bất đẳng thức Chebysev ta có:
𝑃 𝑆 − 𝐸𝑆 > 𝜀 = 𝑃 𝑆 > 𝜀 ≤
𝐷𝑆
𝜀2
=
𝑛
12𝜀2
𝑃 𝑆 ≤ 𝜀 ≥ 1 −
𝐷𝑆
𝜀2
= 1 −
𝑛
12𝜀2
II. LUẬT SỐ LỚN
1. Bất đẳng thức Chebysev
Do 𝑛 = 104 khách hàng trong tháng. Theo giả thiết ta
có: 𝑃 𝑆 ≤ 𝜀 ≥ 0,99
Nên
1 −
𝑛
12𝜀2
≥ 0,99 ⇔
𝑛
12𝜀2
≤ 0,01
⇒ 𝜀 ≥
𝑛
12.0,01
= 288,67
Suy ra 𝑃 𝑆 ≤ 288,67 ≥ 0,99 hoặc
II. LUẬT SỐ LỚN
1. Bất đẳng thức Chebysev
𝑃 𝑆 > 288,67 < 0,01
Vậy có thể kết luận: Với xác suất tối thiểu 0,99 sai số
giữa số mét vải thực bán và số vải đã làm tròn không
vượt quá 289 m.
II. LUẬT SỐ LỚN
2. Luật số lớn
Định lý
Giả sử 𝑋1 ,𝑋2 , là các biến ngẫu nhiên độc lập có kỳ vọng
hữu hạn và phương sai bị chặn bởi C (𝐷𝑋𝑖 ≤ 𝐶,∀𝑖). Khi đó
với mọi ε > 0 ta có:
lim
𝑛→+∞
𝑃
𝑋1 + 𝑋2 + ⋯+ 𝑋𝑛
𝑛
−
𝐸𝑋1 + 𝐸𝑋2 + ⋯+ 𝐸𝑋𝑛
𝑛
> 𝜀
= 0
II. LUẬT SỐ LỚN
2. Luật số lớn
Chứng minh
Đặt 𝑆𝑛 =
𝑋1+𝑋2+⋯+𝑋𝑛
𝑛
⇒ 𝐸𝑆𝑛 =
𝐸𝑋1 + 𝐸𝑋2 + ⋯+ 𝐸𝑋𝑛
𝑛
,
𝐷𝑆𝑛 =
𝐷𝑋1 + 𝐷𝑋2 + ⋯+ 𝐷𝑋𝑛
𝑛2
≤
𝐶
𝑛
Áp dụng bất đẳng thức Chebysev
𝑃 𝑆𝑛 − 𝐸𝑆𝑛 > 𝜀 ≤
𝐷𝑆𝑛
𝜀2
≤
𝐶
𝑛𝜀2 𝑛→+∞
0
Suy ra điều phải chứng minh
II. LUẬT SỐ LỚN
2. Luật số lớn
Hệ quả 1
Giả sử 𝑋1,𝑋2 , là các biến ngẫu nhiên độc lập có kỳ vọng
là μ và phương sai bị chặn bởi C (𝐷𝑋𝑖 ≤ 𝐶,∀𝑖). Khi đó ta
có:
𝑋1 + 𝑋2 + ⋯+ 𝑋𝑛
𝑛
𝑃
𝜇, 𝑘𝑖 𝑛 → +∞
Hệ quả 2
Giả sử 𝑋1,𝑋2 , là các biến ngẫu nhiên độc lập có kỳ
vọng là μ và phương sai 𝐷𝑋𝑖 = 𝜎
2 ,∀𝑖. Khi đó ta có:
𝑋1 + 𝑋2 + ⋯+ 𝑋𝑛
𝑛
𝑃
𝜇, 𝑘𝑖 𝑛 → +∞
II. LUẬT SỐ LỚN
2. Luật số lớn
Định lý Chebysev chứng tỏ rằng trung bình số học của các
biến ngẫu nhiên độc lập hội tụ theo xác suất về trung bình
số học của kỳ vọng tương ứng của nó. Nói cách khác nó
chứng tỏ sự ổn định của trung bình số học của một số lớn
các biến ngẫu nhiên xung quanh trung bình số học của các
kỳ vọng của các biến ngẫu nhiên ấy. Như vậy mặc dù từng
biến ngẫu nhiên độc lập có thể nhận giá trị khác nhiều so
với kỳ vọng của chúng, song trung bình số học của một số
lớn của một số lớn các biến ngẫu nhiên lại nhận giá trị gần
bằng trung bình số học của chúng với xác suất rất lớn. Điều
đó cho phép dự đoán giá trị trung bình số học của các biến
ngẫu nhiên.
II. LUẬT SỐ LỚN
2. Luật số lớn
Chẳng hạn, gieo một con xúc xắc cân đối. Giả sử X là số
nốt xuất hiện ở mặt trên con xúc xắc. Ta có EX = 3,5. Một
nhà thống kê đã gieo một con xúc xắc cân đối 1 triệu lần
(nhờ sự trợ giúp của máy vi tính) và ghi lại số nốt xuất hiện
ở mặt trên con xúc xắc. Số trung bình của 1 triệu lần gieo
được tìm thấy là
𝑥1 + 𝑥2 + ⋯+ 𝑥106
106
≈ 3,500867 ≈ 3,5 = 𝐸𝑋
II. LUẬT SỐ LỚN
3. Luật số lớn Bernoulli (Becnuli)
Xét phép thử (C) và A là một biến cố liên quan đến phép
thử. Thực hiện phép thử (C) n lần độc lập và gọi 𝑘𝑛 là số
lần A xuất hiện trong n lần thực hiện phép thử. Khi đó tần
suất xuất hiện của A là: 𝑓𝑛 =
𝑘𝑛
𝑛
Định lý
𝑓𝑛
𝑃
𝑝 = 𝑃 𝐴 , 𝑘𝑖 𝑛 → +∞
Hay với mọi ε >0, δ > 0 nhỏ tùy ý, tồn tại 𝑛0 > 0 sao cho
với mọi 𝑛 > 𝑛0 ta có
𝑃 𝑓𝑛 − 𝑝 > 𝜀 ≥ 1 − 𝛿
II. LUẬT SỐ LỚN
3. Luật số lớn Bernoulli (Becnuli)
Chứng minh
Xét dãy biến ngẫu nhiên:
𝑋𝑘 =
1 𝑘𝑖 𝐴 𝑥𝑢ấ𝑡 𝑖ệ𝑛 ở 𝑙ầ𝑛 𝑡ử 𝑘
0 𝑘𝑖 𝐴 𝑘ô𝑛𝑔 𝑥𝑢ấ𝑡 𝑖ệ𝑛 ở 𝑙ầ𝑛 𝑡ử 𝑘
Khi đó 𝑃 𝑋𝑘 = 1 = 𝑃 𝐴 = 𝑝 nên 𝑋𝑘~𝐴 𝑝 suy ra
𝐸𝑋𝑘 = 𝑝,𝐷𝑋𝑘 = 𝑝𝑞,∀𝑘
Mặt khác 𝑋1 ,𝑋2 , độc lập nên theo hệ quả 2 ta có:
𝑋1 + 𝑋2 + ⋯+ 𝑋𝑛
𝑛
=
𝑘𝑛
𝑛
= 𝑓𝑛
𝑃
𝑝, 𝑘𝑖 𝑛 → +∞
II. LUẬT SỐ LỚN
3. Luật số lớn Bernoulli (Becnuli)
Định lý Bernoulli chỉ ra rằng tần suất xuất hiện của biến
cố trong n phép thử độc lập sẽ hội tụ theo xác suất về
xác suất của biến cố đó khi số lần thử tăng lên vô hạn.
Chính vì vậy định lý Bernoulli là cơ sở lý thuyết của
định nghĩa thống kê về xác suất.
II. LUẬT SỐ LỚN
3. Luật số lớn Bernoulli (Becnuli)
Ở thế kỷ 18, nhà toán học Pháp Buffon gieo một đồng
tiền 4040 lần và ghi được 2048 lần xuất hiện mặt ngửa,
tần suất là 0,507. Một nhà thống kê người Anh gieo đồng
tiền 12000 lần và thu được 6019 lần xuất hiện mặt ngửa,
tần suất tương ứng 0,5016. Trong một thí nghiệm
khác,ông ta gieo 24000 lần và thu được 12012 lần xuất
hiện mặt ngửa, tần suất tương ứng là 0,5005. Như vây ta
thấy rằng khi số phép thử tăng lên thì tần suất tương ứng
sẽ càng gần 0,5.
III. ĐỊNH LÝ GIỚI HẠN TRUNG TÂM
1. Định lý giới hạn trung tâm
Định lý giới hạn trung tâm nói về sự hội tụ theo phân
phối của trung bình cộng các biến ngẫu nhiên, nó có vai
trò qua trọng trong xác suất thống kê. Tuy nhiên do
chứng minh phức tạp nên trong phạm vi chương trình này
ta không chứng minh.
III. ĐỊNH LÝ GIỚI HẠN TRUNG TÂM
1. Định lý giới hạn trung tâm
Định lý
Giả sử 𝑋1 ,𝑋2 , là các biến ngẫu nhiên độc lập có kỳ vọng
là μ và phương sai 𝐷𝑋𝑖 = 𝜎
2 ,∀𝑖. Khi đó ta có:
𝑆𝑛 =
𝑋1 + 𝑋2 + ⋯+ 𝑋𝑛 − 𝑛𝜇
𝜎 𝑛
𝐹
𝑍~𝑁 0; 1 , 𝑘𝑖 𝑛
→ +∞
Tức là:
lim
𝑛→+∞
𝑃(𝑆𝑛 < 𝑥) = 𝑃 𝑍 < 𝑥 = Φ(𝑥)
III. ĐỊNH LÝ GIỚI HẠN TRUNG TÂM
1. Định lý giới hạn trung tâm
Khi n >> 0 thì
𝑋1+𝑋2+⋯+𝑋𝑛−𝑛𝜇
𝜎 𝑛
có quy luật xấp xỉ quy luật
chuẩn tắc nên 𝑋1 + 𝑋2 + ⋯+ 𝑋𝑛 có quy luật xấp xỉ
𝑁(𝑛𝜇;𝑛𝜎2)
Vậy qua định lý giới hạn trung tâm ta thấy trung bình
cộng của một số lớn các biến ngẫu nhiên độc lập có cùng
kỳ vọng và phương sai có quy luật phân phối xấp xỉ quy
luật phân phối chuẩn.
III. ĐỊNH LÝ GIỚI HẠN TRUNG TÂM
1. Định lý giới hạn trung tâm
Ví dụ
Gieo một con xúc sắc 30 lần, tính xác suất để tổng số
chấm xuất hiện lớn hơn 120.
III. ĐỊNH LÝ GIỚI HẠN TRUNG TÂM
1. Định lý giới hạn trung tâm
Ví dụ
Gieo một con xúc sắc 30 lần, tính xác suất để tổng số
chấm xuất hiện lớn hơn 120.
Giải
Gọi 𝑋𝑖 là số chấm xuất hiện ở lần gieo thứ i. Ta có
𝑋1 ,𝑋2 , độc lập và 𝐸𝑋𝑖 = 3,5,𝐷𝑋𝑖 =
35
12
. Theo định lý
giới hạn trung tâm:
𝑆𝑛 =
𝑋1 + 𝑋2 + ⋯+ 𝑋𝑛 − 3,5𝑛
35𝑛
12
𝐹
𝑍~𝑁 0; 1 ,
𝑘𝑖 𝑛 → +∞
III. ĐỊNH LÝ GIỚI HẠN TRUNG TÂM
1. Định lý giới hạn trung tâm
Khi n >> 0 thì
𝑋1+𝑋2+⋯+𝑋𝑛−3,5𝑛
35𝑛
12
có quy quy luật xấp xỉ quy
quy luật chuẩn tắc. Nên 𝑆 =
𝑋1+𝑋2+⋯+𝑋30−105
87,5
có quy quy
luật xấp xỉ quy quy luật chuẩn tắc
đặt 𝑋1 + 𝑋2 + ⋯+ 𝑋30 = 𝑇 thì
𝑃 𝑇 > 120 = 1 − 𝑃 𝑇 ≤ 120
= 1 − 𝑃
𝑇 − 105
87,5
≤
120 − 105
87,5
= 1 − 𝑃(𝑆 ≤
120 − 105
87,5
)
III. ĐỊNH LÝ GIỚI HẠN TRUNG TÂM
1. Định lý giới hạn trung tâm
𝑃 𝑇 > 120 ≈ 1 −Φ
120 − 105
87,5
= 1 −Φ 1,6
= 0,054
III. ĐỊNH LÝ GIỚI HẠN TRUNG TÂM
1. Định lý giới hạn trung tâm
Ví dụ
Trong một khu phố có 180 hộ gia đình ít người (số thành
viên không quá 4 người) và 50 hộ gia đình đông người
(số thành viên hơn 4 người). Lượng nước sinh hoạt của
các hộ gia đình ít người dùng trong một ngày là biến ngẫu
nhiên với trung bình là 0,6 𝑚3 và độ lệch chuẩn là
0,04 𝑚3 còn lượng nước sinh hoạt của các hộ gia đình
đông người dùng trong một ngày là biến ngẫu nhiên với
trung bình là 1,9 𝑚3 và độ lệch chuẩn là 0,14 𝑚3. Tính
xác suất để trong một ngày khu phố đó sử dụng hơn
205 𝑚3 nước.
III. ĐỊNH LÝ GIỚI HẠN TRUNG TÂM
1. Định lý giới hạn trung tâm
Giải.
Gọi 𝑋𝑖 là lượng nước mà gia đình ít người thứ i dùng trong
ngày. 𝑋1 ,𝑋2 , ,𝑋180 độc lập và có cùng kỳ vọng là 0,6 và
độ lệch chuẩn là 0,04. Đặt 𝑈 = 𝑋1 + 𝑋2 + ⋯+ 𝑋180 ,𝐸𝑈 =
180.0,6 = 108,𝐷𝑈 = 0,288
Do đó U có quy luật xấp xỉ N(108;0,288)
Gọi 𝑌𝑖 là lượng nước mà gia đình đông người thứ i dùng
trong ngày. 𝑌1 ,𝑌2 , ,𝑌50 độc lập và có cùng kỳ vọng là 1,9
và độ lệch chuẩn là 0,14. Đặt 𝑉 = 𝑌1 + 𝑌2 + ⋯+
𝑌50 ,𝐸𝑉 = 95,𝐷𝑉 = 0,98
III. ĐỊNH LÝ GIỚI HẠN TRUNG TÂM
1. Định lý giới hạn trung tâm
Do đó V có quy luật xấp xỉ N(95;0,98)
Lượng nước khu phố dùng trong ngày là U + V cũng có
quy luật xấp xỉ N(203;1,268)
Vậy
𝑃 𝑈 + 𝑉 > 205 = 1 − 𝑃 𝑈 + 𝑉 ≤ 205
≈ 1 −Φ
205 − 203
1,268
= 1 −Φ 1,78 = 0,0379
III. ĐỊNH LÝ GIỚI HẠN TRUNG TÂM
2. Định lý Moivre – Laplace
Định lý
Giả sử 𝑋1 ,𝑋2 , là các biến ngẫu nhiên độc lập và
𝑋𝑖~𝐴(𝑝). Khi đó
lim
𝑛→+∞
𝑃
𝑋1 + 𝑋2 + ⋯+ 𝑋𝑛 − 𝑛𝑝
𝑛𝑝𝑞
< 𝑥 = Φ 𝑥 ,∀𝑥 ∈ 𝑅
III. ĐỊNH LÝ GIỚI HẠN TRUNG TÂM
2. Định lý Moivre – Laplace
Chứng minh
Do 𝐸𝑋𝑖 = 𝑝,𝐷𝑋𝑖 = 𝑝𝑞 nên áp dụng định lý giới hạn
trung tâm ta có điều phải chứng minh.
Chú ý
Khi n >> 0 thì
𝑋1+𝑋2+⋯+𝑋𝑛−𝑛𝑝
𝑛𝑝𝑞
xấp xỉ quy luật N(0;1)
nên 𝑋1 + 𝑋2 + ⋯+ 𝑋𝑛 xấp xỉ quy luật 𝑁(𝑛𝑝,𝑛𝑝𝑞) mà
𝑋1 + 𝑋2 + ⋯+ 𝑋𝑛~𝐵(𝑛;𝑝) nên ta có các công thức
xấp xỉ.
IV. XẤP XỈ QUY LUẬT NHỊ THỨC
1. Xấp xỉ quy luật nhị thức bởi quy luật Poisson
Định lý
Cho 𝑋~𝐵(𝑛;𝑝). Nếu 𝑛 ≫ 0, 𝑝 ≈ 0 thì ta có thể xấp xỉ X
bởi quy luật Poisson với 𝜆 = 𝑛𝑝 (𝑋 ≈ 𝑃(𝑛𝑝))
Ví dụ
Xác suất để làm ra một đinh ốc không đúng quy cách là
0,015. Người ta xếp mỗi hộp gồm 100 chiếc đinh ốc.
a. Tính tỉ lệ hộp chứa toàn đinh ốc đúng quy cách
b. Cần phải xếp mỗi hộp tối thiểu bao nhiêu chiếc đinh ốc
để tỉ lệ mỗi hộp chứa ít nhất 100 đinh ốc đúng quy cách
tối thiểu là 80%.
IV. XẤP XỈ QUY LUẬT NHỊ THỨC
1. Xấp xỉ quy luật nhị thức bởi quy luật Poisson
Giải
a, Gọi X là số đinh ốc không đúng quy cách trong một
hộp thì X ~ B(n; p) với n = 100 và p = 0,015
𝑃 𝑋 = 0 = 𝐶100
0 0,0150 . 0,985100 = 0,985100
= 0,22061
Hoặc ta có thể xấp xỉ X bởi qui luật Poisson với λ = np =
1,5 nên
𝑃 𝑋 = 0 ≈ 𝑒−1,5 = 0,22313
Như vậy, tỉ lệ hộp chứa toàn đinh ốc đúng quy cách xấp
xỉ 22%.
IV. XẤP XỈ QUY LUẬT NHỊ THỨC
1. Xấp xỉ quy luật nhị thức bởi quy luật Poisson
b. Gọi số đinh ốc xếp vào mỗi hộp là n = 100 + k và X là
số đinh ốc không đúng quy cách trong một hộp thì X ~
B(n; p) với n = 100 + k và p = 0,015
Để mỗi hộp chứa ít nhất 100 đinh ốc đúng quy cách thì
số đinh ốc không đúng quy cách phải không lớn hơn k,
tức là 𝑋 ≤ 𝑘. Vậy
𝑃 𝑋 ≤ 𝑘 = 𝑃(𝑋 = 𝑖)
𝑘
𝑖=0
≥ 0.8
IV. XẤP XỈ QUY LUẬT NHỊ THỨC
1. Xấp xỉ quy luật nhị thức bởi quy luật Poisson
Do ta xấp xỉ X bởi quy luật Poisson với λ = np = (100 +
k)0,015 ≈1,5 (k rất nhỏ) nên
𝑃 𝑋 = 𝑖 = 𝑒−1,5
1,5𝑖
𝑖!
Suy ra
𝑃 𝑋 ≤ 𝑘 = 𝑒−1,5
1,5𝑖
𝑖!
𝑘
𝑖=0
= 𝑒−1,5
1,5𝑖
𝑖!
𝑘
𝑖=0
≥ 0.8
IV. XẤP XỈ QUY LUẬT NHỊ THỨC
1. Xấp xỉ quy luật nhị thức bởi quy luật Poisson
Với k = 2 ta có
𝑃 𝑋 ≤ 2 = 𝑒−1,5
1,5𝑖
𝑖!
2
𝑖=0
= 0,8022
Vậy ta cần xếp mỗi hộp 102 chiếc đinh ốc để xác suất
trong hộp có ít nhất 100 chiếc đinh ốc đúng quy cách là
80,22 %.
IV. XẤP XỈ QUY LUẬT NHỊ THỨC
2. Xấp xỉ quy luật nhị thức bởi quy luật chuẩn
Định lý
Cho 𝑋~𝐵(𝑛;𝑝). Nếu 𝑛 ≫ 0 và p không quá gần 0 và gần
1 thì ta có thể xấp xỉ X bởi quy luật chuẩn với tham số
𝜇 = 𝑛𝑝 và 𝜎2 = 𝑛𝑝𝑞 (𝑋 ≈ 𝑁 𝑛𝑝,𝑛𝑝𝑞 ). Khi đó
𝑃 𝑎 ≤ 𝑋 ≤ 𝑏 = Φ
𝑏 − 𝑛𝑝
𝑛𝑝𝑞
− Φ
𝑎 − 𝑛𝑝
𝑛𝑝𝑞
Và
𝑃 𝑋 = 𝑘 ≈
1
𝑛𝑝𝑞
𝜑
𝑘 − 𝑛𝑝
𝑛𝑝𝑞
, 𝑣ớ𝑖 𝜑 𝑥
=
1
2𝜋
𝑒−
𝑥2
2 − à𝑚 𝐺𝑎𝑢𝑠𝑠
IV. XẤP XỈ QUY LUẬT NHỊ THỨC
2. Xấp xỉ quy luật nhị thức bởi quy luật chuẩn
Ví dụ
Một ký túc xá có 650 sinh viên, Xác suất để một sinh viên
đến xem phim tại câu lạc bộ tối thứ 7 là 0,7.
a. Tính xác suất để số sinh viên đến xem phim tối thứ 7 ít
hơn 440 người.
b. Cần phải chuẩn bị bao nhiêu ghế để với xác suất 0,99 ta
có thể bảo đảm đủ ghế cho người đến xem.
Giải
IV. XẤP XỈ QUY LUẬT NHỊ THỨC
2. Xấp xỉ quy luật nhị thức bởi quy luật chuẩn
Gọi X là số sinh viên đến câu lạc bộ để xem phin thì X ~
B(650;0,7)
Ta xấp xỉ X bởi quy luật chuẩn với 𝜇 = 𝑛𝑝 = 455,𝜎2 =
𝑛𝑝𝑞 = 136,5
a.
𝑃 𝑋 ≤ 440 ≈ Φ
440 − 455
136,5
= Φ −1,33
= 1 −Φ 1,33 = 0,0923
IV. XẤP XỈ QUY LUẬT NHỊ THỨC
2. Xấp xỉ quy luật nhị thức bởi quy luật chuẩn
b. Gọi k là số ghế cần chuẩn bị, ta có:
𝑃 𝑋 ≤ 𝑘 ≥ 0,99
Mà
Φ
𝑘 − 455
136,5
≈ 𝑃 𝑋 ≤ 𝑘 ≥ 0,99 = Φ 2,33
Suy ra
𝑘 − 455
136,5
≥ 2,33 ⇒ 𝑘 ≥ 481,7
Vậy cần phải chuẩn bị 482 cho ngồi.
Các file đính kèm theo tài liệu này:
- chuong3luatsolonvadlgioihantrungtam_018.pdf