Bài giảng Vật lý đại cương 2 - Chương 10: Cơ học lượng tử

HỌC VIỆN KỸ THUẬT QUÂN SƯ BỘ MÔN VẬT LÝ NGUYỄN NHƯ XUÂN VẬT LÝ ĐẠI CƯƠNG 2 Chƣơng 10: CƠ HỌC LƢỢNG TỬ IV – Phương trình cơ bản của CHLT III – Hàm sóng và ý nghĩa thống kê của nó II – Hệ thức bất định Heisenberg I – Tính sóng – hạt của vật chất NỘI DUNG I – TÍNH SÓNG – HẠT CỦA VẬT CHẤT 1 – Tính sóng - hạt của ánh sáng:  Các hiện tượng thể hiện tính sóng: Tán sắc, giao thoa, nhiễu xạ ánh sáng.  Các hiện tượng thể hiện tính hạt: Bức xạ nhiệt, Quang điện, Tán xạ Compton.  Các thuyết về bản chất của ánh sáng:  Thuyết hạt của Newton  Thuyết sóng của Huygens  Thuyết sóng điện từ của Maxwell  Thuyết photon của Einstein (1905) I – TÍNH SÓNG – HẠT CỦA VẬT CHẤT: 2 – Hàm sóng phẳng: O n  Sóng phẳng đơn sắc Ou a cos2 t  d = rcos = r .n   M d u a cos 2 ( t ) r n a cos 2 ( t )            r n i 2 i( t ) (Wt p r ) i( t k r )ae ae ae               34h 2 1,05.10 Js    2k n      p k    )  M r  I – TÍNH SÓNG – HẠT CỦA VẬT CHẤT 3 – Giả thuyết của De Brogile: h   W Một hạt tự do có năng lƣợng và động lƣợng xác định thì tƣơng ứng với một sóng phẳng đơn sắc. Năng lƣợng của hạt liên hệ với tần số của sóng tƣơng ứng theo hệ thức: Động lƣợng của hạt liên hệ với bƣớc sóng của sóng tƣơng ứng theo hệ thức: h p hay p k      Ý nghĩa triết học: là hai mặt đối lập, thể hiện sự mâu thuẫn bên trong của các sự vật hiện tƣợng. I – TÍNH SÓNG – HẠT CỦA VẬT CHẤT 4 – Thực nghiệm xác nhận tính chất sóng của electron: -10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 Hoaønh ñoä x (mm) C ö ô øn g ñ o ä t æ ñ o ái I/ Io Sự nhiễu xạ của chùm electron qua khe hẹp chứng tỏ chùm hạt electron có tính chất sóng. I – TÍNH SÓNG – HẠT CỦA VẬT CHẤT Ví dụ 1: Một electron có động năng ban đầu 10eV, đƣợc gia tốc bởi hiệu điện thế 90V. Tìm bƣớc sóng De Brogile của electron sau khi đƣợc gia tốc. Giải Động năng của electron sau khi đƣợc gia tốc: 0W W eU 10 90 100eV     Quan hệ giữa động năng W và động lƣợng p: 2p 2mWBƣớc sóng De Brogile: h h p 2mW    Thay số: 34 10 31 19 6,625.10 1,23.10 m 2.9,1.10 .100.1,6.10        I – TÍNH SÓNG – HẠT CỦA VẬT CHẤT Ví dụ 2: Máy bay khối lƣợng 1 tấn, chuyển động với tốc độ 1440km/h thì có bƣớc sóng De Brogile bằng bao nhiêu? Giải Bƣớc sóng De Brogile của máy bay: h h p mv    346,625.10 1000.400   391,66.10 m II – HỆ THỨC BẤT ĐỊNH HEISENBERG 1 – Hệ thức bất định: Đối với hạt vi mô, có những đại lƣợng xác định chính xác đồng thời, nhƣng cũng có những đại lƣợng không thể xác định chính xác đồng thời. Hệ thức xác định sai số khi đo đồng thời các đại lƣợng đó đƣợc gọi là hệ thức bất định Heisenberg. Tổng quát: 2 2 21( F) .( G) K 4    F, G là hai đại lượng đo đồng thời, tương ứng với hai toán tử tuyến tính Hermite Và F,G FG GF iK  II – HỆ THỨC BẤT ĐỊNH HEISENBERG 1 – Hệ thức bất định: Đối với tọa độ và động lượng: x y z x x y y z z x. p hay x. p h 2 y. p hay y. p h 2 z. hay x. p hay y. p hay z. pp hay z. p h 2                            Đối với năng lượng và thời gian: E. t hay E. t h hay 2 E. t        II – HỆ THỨC BẤT ĐỊNH HEISENBERG 2 – Nghiệm lại hệ thức bất định đối với tọa độ: 0 p  xp p.sin   p. b   h h . b b     xx. p h  Vì: x b  nên: x Sau khi qua khe hẹp, các electron có thể rơi vào các cực đại nhiễu xạ. Sai số nhỏ nhất của px ứng với trƣờng hợp hạt rơi vào cực đại giữa: x0 p p.sin   II – HỆ THỨC BẤT ĐỊNH HEISENBERG 3 – Ý nghĩa của hệ thức bất định Heisenberg: Việc không thể xác định chính xác đồng thời các đại lƣợng vật lý là do lƣỡng tính sóng - hạt của vi hạt. Nó mang tính khách quan. Hệ thức bất định Heisenberg là cơ sở toán học cho biết giới hạn ứng dụng của cơ học cổ điển (nhƣng không hạn chế khả năng nhận thức của con ngƣời) về thế giới vi mô. Không thể dùng các khái niệm cổ điển để mô tả qui luật vận động của các vi hạt. II – HỆ THỨC BẤT ĐỊNH HEISENBERG Ví dụ: Electron chuyển động trên trục Ox trong phạm vi 10–8 m. Sử dụng hệ thức bất định Heisenberg, xác định sai số nhỏ nhất trong phép đo tốc độ của electron. Giải Ta có: xx. p   xx.m. v   xv x.m    xmin( v ) max( x).m     34 4 x 8 31 6,625.10 min( v ) 7,3.10 m / s 2 .10 .9,1.10         III– HÀM SÓNG VÀ Ý NGHĨA THỐNG KÊ 1 – Hàm sóng: Mỗi trạng thái của vi hạt đƣợc đặc trƣng bởi một hàm phức gọi là hàm sóng. ( r , t)   Ví dụ: Hàm sóng của một vi hạt tự do có dạng tƣơng tự nhƣ sóng phẳng đơn sắc: i (wt p r ) i( t k r ) o o( r , t) e e           Trong đó biên độ 0 của hàm sóng được xác định bởi: 0 2 = ||2 = * , với * là liên hợp phức của  III– HÀM SÓNG VÀ Ý NGHĨA THÔNG KÊ 2 – Ý nghĩa thống kê của hàm sóng: Bình phƣơng môdun của hàm sóng tỉ lệ với mật độ xác suất tìm thấy hạt. 2| | mat do xac suat Suy ra: Xác suất tìm thấy hạt trong yếu tố thể tích dV là: 2| | .dV Vì xác suất tìm thấy hạt trong toàn không gian luôn bằng 1, nên: 2 toanK/G | | dV 1  (Điều kiện chuẩn hóa của hàm sóng) III– HÀM SÓNG VÀ Ý NGHĨA THÔNG KÊ 3 – Điều kiện của hàm sóng: • Đơn trị • Liên tục • Giới nội • Đạo hàm bậc nhất phải liên tục Hàm sóng đặc trƣng cho trạng thái vật lý của một vi hạt, nên nó phải thỏa mãn các điều kiện: ( r , t)   III– HÀM SÓNG VÀ Ý NGHĨA THÔNG KÊ Ví dụ: Một vi hạt chuyển động dọc theo trục Ox, trong đoạn [0, a]. Hàm sóng của nó có dạng: a) Xác định liên hợp phức và môdun của hàm sóng đó. b) Xác định hệ số A theo a. c) Tính xác suất tìm thấy hạt trong phạm vi từ 0 đến a/2. ikx(x) A.e  Giải ikx*(x) A.e Liên hợp phức: Modun của hàm sóng: 2 2| | . * A | | A      III– HÀM SÓNG VÀ Ý NGHĨA THÔNG KÊ 1 A a   a 2 0 | | dx 1  a 2 0 A dx 1  c) Xác suất tìm hạt trong phạm vi từ 0 đến a/2: a/2 a/2 2 2 0 0 | | dx A dx   b) Từ đk chuẩn hóa của hàm sóng: 2 aA . 0,5 50% 2    IV– PHƯƠNG TRÌNH CƠ BẢN CỦA CHLT 1 – Phương trình cơ bản: Một vi hạt chuyển động trong trường lực thế U( r )  Thì hàm sóng của nó có dạng: 2 2m (r ) [W U(r )] ( r ) 0         Trong đó: W là năng lượng của vi hạt, là i wt ( r , t) e ( r )       ( r )   Phần phụ thuộc tọa độ không gian của hàm sóng, thỏa mãn phương trình: PT trên là pt Schrodinger, hay pt cơ bản của CHLT IV– PHƯƠNG TRÌNH CƠ BẢN CỦA CHLT 2 2m (r ) [W U(r )] ( r ) 0         Toán tử  gọi là toán tử Laplace. Trong hệ tọa độ Descarter: 2 2 2 2 2 2x y z           (*) (*) là phƣơng trình vi phân tuyến tính cấp 2, có vai trò nhƣ phƣơng trình của ĐL II Newton trong CHCĐ. W là năng lƣợng của hạt; U là thế năng của hạt. IV– PHƯƠNG TRÌNH CƠ BẢN CỦA CHLT 2 2m (r ) [W U(r )] ( r ) 0         (*) Trường hợp hạt chuyển động tự do thì U = 0, (*) trở thành: Nếu 1, 2, , n là các nghiệm riêng của (*) thì  = Ci i cũng là nghiệm của (*). 2 2mW 0   (**) Nghiệm của (**) chính là hàm sóng De Broglie: i (Wt p r ) 0(r, t) e      IV– PHƯƠNG TRÌNH CƠ BẢN CỦA CHLT 2 2m (r ) [W U(r )] ( r ) 0         2 – Ứ/dụng PTCB giải bài toán giếng thế 1 chiều: 0 khi 0 x a U khi x 0 x a         • PT cơ bản: • Thế năng: • Suy ra: 2 2mW (r ) ( r ) 0       Vì chỉ xét một phƣơng Ox, nên (1) trở thành: (1) 2 2 2 d 2mW 0 dx     (2) Nghiệm của (2) là: (x) Asin kx Bcoskx   Với A, B là các hằng số tích phân, sẽ được xác định từ điều kiện của bài toán; k là hệ số: O a x U 2 2 2mW k  IV– PHƯƠNG TRÌNH CƠ BẢN CỦA CHLT 2 2 2mW k  (4) Vì hạt chỉ ở trong hố thế, nên: (0) (a) 0   Từ (3) suy ra: B = 0; sinka = 0 (x) Asin kx Bcoskx   (3) n k (n 1,2,...) a     Từ điều kiện chuẩn hóa của hàm sóng: a 2 2 2 0 n x | (x) | dx 1 A sin ( )dx 1 a         Vậy, hàm sóng: n 2 n (x) sin( x) a a    (4) Suy ra năng lượng của vi hạt: 2 2 2 n 2 W n 2ma   (6) 2 A a   IV– PHƯƠNG TRÌNH CƠ BẢN CỦA CHLT n 2 n (x) sin( x) a a    2 2 2 n 2 W n 2ma   Kết luận: Trong giếng thế một chiều, sâu vô hạn, mỗi trạng thái của hạt ứng với một hàm sóng: Và năng lƣợng: Năng lƣợng của hạt biến thiên gián đọan, tỉ lệ thuận với bình phƣơng những số nguyên liên tiếp – ta nói năng lƣơng bị lƣợng tử hóa. IV– PHƯƠNG TRÌNH CƠ BẢN CỦA CHLT Ví dụ: Giả sử c/đ của electron trong nguyên tử Hydro đƣợc coi là chuyển động trong giếng thế một chiều, sâu vô hạn, bề rộng a. Xác suất tìm thấy electron sẽ lớn nhất ở vị trí nào, nếu xét ở trạng thái cơ bản và trang thái kích thích thứ 2? Giải: Hàm sóng của vi hạt trong giếng thế: n 2 n x (x) sin( ) a a    Mật độ xác suất tìm thấy vi hạt: 2 2 n 2 n x (x) | (x) | sin ( ) a a      Xác xuất tìm thấy hạt lớn nhất tại vị trí có mật độ xác suất lớn nhất. 2 max n x (x) sin ( ) 1 a     IV– PHƯƠNG TRÌNH CƠ BẢN CỦA CHLT Với k = 0, 1, 2, . . .; và x < a 2 max n x (x) sin ( ) 1 a     n x sin( ) 1 a     n x k a 2        a ka x 2n n   Ở trạng thái cơ bản: n = 1 a a x ka 2 2     Ở trạng thái kích thích thứ 2: n = 3 a ka x 2.3 3    a a 5a x ; ; 6 2 6   IV– PHƯƠNG TRÌNH CƠ BẢN CỦA CHLT 3 – Hiệu ứng đường ngầm: - Xét vi hạt có khối lượng m có năng lượng W chuyển động theo phương x từ trái sang phải, đập vào hàng rào thế (Hàng rào thế là miền không gian mà tại đó thế năng lớn hơn các miền lân cận nó). + Theo quan điểm của cơ học lượng tử thì vi hạt vẫn có khả năng xuyên qua hàng rào thế năng bằng dời chuyển "đường ngầm" - gọi là hiệu ứng đƣờng ngầm. + Theo quan điểm của CH cổ điển thì một hạt có năng lượng toàn phần W < thế năng Umax hạt không thể vượt ra khỏi hàng rào. hệ số truyền qua hàng rào thế năng có dạng: IV– PHƯƠNG TRÌNH CƠ BẢN CỦA CHLT   2 1 2 exp 2 ( ) W x o x D D m U x dx            - Tuy năng lượng W < UO nhưng D vẫn luôn luôn khác 0, như vậy vẫn có hạt xuyên qua hàng rào thế năng dù ít hay nhiều (tùy thuộc D nhỏ hay lớn). - Với vi hạt có khối lượng m xác định, D phụ thuộc vào bề rộng a của hàng rào: khi a nhỏ thì hệ số D lớn, nghĩa là hiệu ứng đường ngầm chỉ xảy ra rõ nét trong kích thƣớc vi mô và là một hiện tƣợng biểu hiện rõ tính chất sóng của vi hạt, điều mà hạt vĩ mô chuyển động không thể có. ÔN TẬP + Phần lý thuyết gồm các nội dung: Giả thuyết Đơbrơi, các công thức về hệ thức bất định Heisenberg. Khái niệm về hàm sóng Đơbrơi và các tính chất, ý nghĩa thống kê của nó. Phương trình Schrodinger 1 chiều trong các hố thế cao vô hạn. Khái niệm và Giải thích hiệu ứng đường ngầm bằng hệ thức bất định Heisenberg. + Phần bài tập: 5.1-5.6. 5.11, 5.12, 5.13, 5.21, 5.23, 5.24, 5.28