Bài giảng Toán tin - Phần 6 Lý thuyết đồ thị

1. Khái niệm cơ bản 2. Đồ thị có hướng & vô hướng 3. Đồ thị đặc biệt 4. Chu trình & Đường đi 5. Các bài toán liên quan 3 Định nghĩa 1: Đồ thị vô hướng G = (V, E) gồm: i) V là tập hợp khác rỗng mà các phần tử của nó gọi là đỉnh (vertex) của G. ii) E là đa tập hợp gồm các cặp không sắp thứ tự của hai đỉnh. Mỗi phần tử của E được gọi là một cạnh (edge) của G. Ký hiệu uv.  Nếu uv là một cung (cạnh) thì ta nói:  Đỉnh u và v kề nhau.  Đỉnh u gọi là đỉnh đầu (gốc), đỉnh v là đỉnh cuối (ngọn) của cung uv. Đỉnh v là đỉnh sau của đỉnh u.  Hai cung có cùng gốc và ngọn gọi là cung song song.  Cung có điểm gốc và ngọn trùng nhau gọi là khuyên. 5 6 b d a k e h g c a b c d b c a d  Định nghĩa 2. Đồ thị vô hướng không có cạnh song song và không có khuyên gọi là đơn đồ thị vô hướng.  Định nghĩa 3. Đồ thị vô hướng cho phép có cạnh song song nhưng không có khuyên gọi là đa đồ thị vô hướng.  Định nghĩa 4. Đồ thị vô hướng cho phép có cạnh song song và có khuyên gọi là giả đồ thị 7 8 Đa đồ thị có hướng G =(V,E) gồm: i) V là tập hợp khác rỗng mà các phần tử của nó gọi là đỉnh của G. ii) E là đa tập hợp gồm các cặp có sắp thứ tự của hai đỉnh. Mỗi phần tử của E được gọi là một cung (cạnh) của G. Ký hiệu uv. Ta nói cung uv đi từ u đến v, cung uv kề với u,v 9 b c a d a b c d Định nghĩa 6. Đa đồ thị có hướng không chứa các cạnh song song gọi là đồ thị có hướng 10  Cho hai đồ thị G1=(V1,E1) và G2=(V2,E2). Ta nói G2 là đồ thị con của G1 nếu V2  V1 và E2  E1.  Trong trường hợp V1=V2 thì G2 gọi là con bao trùm của G1. G1, G2, G3 và G4 là các đồ thị con của G, trong đó G2 và G4 là đồ thị con bao trùm của G, còn G5 không phải là đồ thị con của G.  Đơn đồ thị G’=(V,E’) được gọi là đồ thị bù của đơn đồ thị G=(V,E) nếu G và G’ không có cạnh chung nào (E  E’=) và G  G’là đồ thị đầy đủ.  Cho đồ thị vô hướng G = (V,E). Bậc của đỉnh v, ký hiệu deg(v), là số cạnh kề với v, trong đó một khuyên tại một đỉnh được đếm hai lần cho bậc của đỉnh ấy. 15 Bậc của đỉnh 16 c a b d Bậc đỉnh a: deg(a) = 2 Bậc đỉnh b: deg(b) = 5 Bậc đỉnh c: deg(c) = 3 Bậc đỉnh d: deg(d) = 2 1) deg-(v):= số cung có đỉnh cuối là v, gọi là bậc vào của v. 2) deg +(v):= số cung có đỉnh đầu là v,gọi là bậc ra của v 3) deg(v):= deg- (v) + deg+(v)  Đỉnh bậc 0 gọi là đỉnh cô lập. Đỉnh bậc 1 gọi là đỉnh treo 17 Cho đồ thị có hướng G = (V, E), vV 18 a b d c f e Bậc của các đỉnh? 19 a b d c f e Bậc đỉnh a: Bậc đỉnh b: Bậc đỉnh c: Bậc đỉnh d: Bậc đỉnh e: Bậc đỉnh f: deg-(a)= 1 ; deg+(a)=1 deg-(b)= 1 ; deg+(b)=3 deg-(c)= 1 ; deg+(c)=2 deg-(d)= 0 ; deg+(d)=0 deg-(e)= 1 ; deg+(e)=0 deg-(f)= 2 ; deg+(f)=0 Cho đồ thị G = (V,E), m là số cạnh (cung) 2 deg( ) v V m v   20 Định lí 1) 2) Nếu G có hướng thì: deg ( ) deg ( )m v v v V v V       3) Số đỉnh bậc lẻ của đồ thị là số chẵn Ta sử dụng ma trận kề. Cho G = (V,E) với V={1,2,,n}. Ma trận kề của G là ma trận A = (aij)n xác định như sau: aij = số cạnh (số cung) đi từ đỉnh i đến đỉnh j 21 Biểu diễn ma trận của đồ thị. 22 c a b d             0 1 1 0 1 0 1 1 1 1 0 1 0 1 1 0 b a c d a b c d Tìm ma trận kề 23 a b d c f e                    0 2 1 0 0 0 2 0 1 0 1 1 1 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 1 0 0 0 a b c d e f a b c d e f Tìm ma trận kề  Với mỗi đỉnh của đồ thị ta xây dựng một danh sách móc nối chứa các đỉnh kề với đỉnh này: Danh sách này được gọi là danh sách kề.  Một đồ thị được biểu diễn bằng một mảng các danh sách kề a b e d c Cho hai đơn đồ thị G = (V,E) và G’= (V’,E’). Ta nói rằng G đẳng cấu G’, ký hiệu G  G’, nếu tồn tại song ánh f :V→ V’sao cho: uv là cạnh của G  f(u)f(v) là cạnh của G’ 26 Đẳng cấu 27  Nếu G và G’ là các đơn đồ thị vô hướng đẳng cấu qua ánh xạ f thì chúng có:  Cùng số đỉnh  Cùng số cạnh  Cùng số đỉnh với bậc cho sẵn (vd: số đỉnh bậc 2 của G và G’ bằng nhau)  deg v = deg f(v) Đẳng cấu 28 Đẳng cấu a b c d e a b c d e deg(e) = 1 Không có đỉnh bậc 1 Không đẳng cấu 29 Ví dụ a b c d e f 1 2 3 6 5 4 30 Đẳng cấu a b 4 d e 1 2 3 c 5 31 Không đẳng cấu 32 a b c d e  Đồ thị đầy đủ  Đồ thị phẳng  Đồ thị thành phần, đồ thị con  Đồ thị đầy đủ n đỉnh, ký hiệu là Kn, là đơn đồ thị mà hai đỉnh phân biệt bất kỳ của nó luôn liền kề. Kn có cạnh và mỗi đỉnh của Kn có bậc là n1. 2 )1( nn  Đơn đồ thị n đỉnh v1, v2, ..., vn (n3) và n cạnh (v1,v2), (v2,v3), ..., (vn-1,vn), (vn,v1) được gọi là đồ thị vòng, ký hiệu là Cn. Như vậy, mỗi đỉnh của Cn có bậc là 2.  Từ đồ thị vòng Cn, thêm vào đỉnh vn+1 và các cạnh (vn+1,v1), (vn+1,v2), ..., (vn+1,vn), ta nhận được đơn đồ thị gọi là đồ thị bánh xe, ký hiệu là Wn. Như vậy, đồ thị Wn có n+1 đỉnh, 2n cạnh, một đỉnh bậc n và n đỉnh bậc 3.  Đơn đồ thị 2n đỉnh, tương ứng với 2n xâu nhị phân độ dài n và hai đỉnh kề nhau khi và chỉ khi 2 xâu nhị phân tương ứng với hai đỉnh này chỉ khác nhau đúng một bit được gọi là đồ thị lập phương, ký hiệu là Qn.  Mỗi đỉnh của Qn có bậc là n và số cạnh của Qn là n.2 n- 1 (từ công thức 2|E| = ).  Vv v)deg(  Đơn đồ thị G=(V,E) sao cho V=V1V2, V1V2=, V1, V2 và mỗi cạnh của G được nối một đỉnh trong V1 và một đỉnh trong V2 được gọi là đồ thị phân đôi.  Nếu đồ thị phân đôi G=(V1V2,E) sao cho với mọi v1V1, v2V2, (v1,v2)E thì G được gọi là đồ thị phân đôi đầy đủ. Nếu |V1|=m, |V2|=n thì đồ thị phân đôi đầy đủ G ký hiệu là Km,n. Như vậy Km,n có m.n cạnh, các đỉnh của V1 có bậc n và các đỉnh của V2 có bậc m.  Bài toán : 3 nhà có 3 cái giếng  Một đồ thị được gọi là phẳng nếu nó có thể vẽ được trên một mặt phẳng mà không có các cạnh nào cắt nhau  Định lý : Trong một đồ thị phẳng liên thông tuỳ ý, luôn tồn tại ít nhất một đỉnh có bậc không vượt quá 5. Định nghĩa. Cho G = (V,E). Trên V ta định nghĩa quan hệ tương đương như sau: u~v  u = v hay có một đường đi từ u đến v a) Nếu u~v thì ta nói hai đỉnh u và v liên thông với nhau b) Mỗi lớp tương đương được gọi là một thành phần liên thông của G c) Một đồ thị (vô hướng) được gọi là liên thông nếu có đường đi giữa mọi cặp đỉnh phân biệt của đồ thị. 44 45 Liên thông Không liên thông Cho G = (V,E) là đồ thị vô hướng liên thông a) Đỉnh v được gọi là đỉnh khớp nếu G – v không liên thông (G – v là đồ thị con của G có được bằng cách xoá v và các cạnh kề với v) b) Cạnh e được gọi là cầu nếu G- e không liên thông( G-e là đồ thị con của G có được bằng cách xoá cạnh e). 46 Trong đồ thị trên, các đỉnh khớp là v, w, s và các cầu là (x,v), (w,s). Đỉnh khớp là v, w, s và các cầu là (x,v), (w,s).  Mệnh đề 1 : Đơn đồ thị mà bậc của mỗi đỉnh của nó không nhỏ hơn một nửa số đỉnh là đồ thị liên thông.  Mệnh đề 2: Nếu một đồ thị có đúng hai đỉnh bậc lẻ thì hai đỉnh này phải liên thông, tức là có một đường đi nối chúng.  Mệnh đề 3 : Cho G=(V,E) là một đồ thị liên thông. Khi đó một đỉnh của G là điểm khớp khi và chỉ khi trong G tồn tại hai đỉnh u và v sao cho mỗi đường đi nối u và v đều phải đi qua đỉnh này.  Cho G là một đơn đồ thị có n đỉnh, m cạnh và k thành phần liên thông. Khi đó : 2 )1)((   knkn mkn 2 )1)((   knkn mkn  Đồ thị có hướng G được gọi là liên thông mạnh nếu với hai đỉnh phân biệt bất kỳ u và v của G đều có đường đi từ u tới v và đường đi từ v tới u.  Đồ thị có hướng G được gọi là liên thông yếu nếu đồ thị vô hướng nền của nó là liên thông.  Đồ thị có hướng G được gọi là liên thông một chiều nếu với hai đỉnh phân biệt bất kỳ u và v của G đều có đường đi từ u tới v hoặc đường đi từ v tới u. Đồ thị G là liên thông mạnh nhưng đồ thị G’ là liên thông yếu (không có đường đi từ u tới x cũng như từ x tới u). Cho G = (V,E) là đồ thị vô hướng u,vV a) Đường đi (dây chuyền) có chiều dài k nối hai đỉnh u,v là dãy đỉnh và cạnh liên tiếp nhau v0e1v1e2vk-1ekvk sao cho: v 0=u ,v k = v, e i=v i-1v i , i=1,2,,k 52 a) Đường đi không có cạnh nào xuất hiện quá một lần gọi là đường đi đơn b) Đường đi không có đỉnh nào xuất hiện quá một lần gọi là đường đi sơ cấp c) Đường đi được gọi là chu trình nếu nó bắt đầu và kết thúc tại cùng một đỉnh 53 54 • x, y, z, w, v, y là đường đi đơn (không sơ cấp) độ dài 5; • x, w, v, z, y không là đường đi vì (v, z) không là cạnh; • y, z, w, x, v, u, y là chu trình sơ cấp độ dài 6. Bài toán. Thị trấn Königsberg chia thành 4 phần bởi các nhánh của dòng sông Pregel Bốn phần này được nối kết bởi 7 cây cầu 55 Đường đi Euler Câu hỏi. Có thể đi qua bảy cây cầu mà không có cây cầu nào đi quá 1 lần Định nghĩa. 1. Đường đi Euler là đường đi qua tất cả các cạnh mỗi cạnh (cung) đúng một lần. Chu trình Euler là chu trình đi qua tất cả các cạnh của đồ thị mỗi cạnh đúng một lần. 2. Đồ thị được gọi là đồ thị Euler nếu nó có chu trình Euler 57 Điều kiện cần và đủ. Cho G = (V,E) là đồ thị vô hướng liên thông. G là đồ thị Euler  Mọi đỉnh của G đều có bậc chẵn. Nếu G có hai đỉnh bậc lẻ còn mọi đỉnh khác đều có bậc chẵn thì G có đường đi Euler 58 Nhận xét. - Nếu đồ thị G có 2 đỉnh bậc lẻ thì G có 1 đường đi Euler - Nếu đồ thị G có 2k đỉnh bậc chẵn thì ta có thể vẽ đồ thị bằng k nét Chu trình Euler Không có Euler Đường đi Euler Không có Euler Chu trình Euler Đường đi Euler  Ta có thể vạch được một chu trình Euler trong đồ thị liên thông G có bậc của mọi đỉnh là chẵn theo thuật toán Fleury. Xuất phát từ một đỉnh bất kỳ của G và tuân theo hai quy tắc sau:  1. Mỗi khi đi qua một cạnh nào thì xoá nó đi; sau đó xoá đỉnh cô lập (nếu có);  2. Không bao giờ đi qua một cầu, trừ phi không còn cách đi nào khác. 60 •Xuất phát từ u, ta có thể đi theo cạnh (u,v) hoặc (u,x), giả sử là (u,v) (xoá (u,v)). •Từ v có thể đi qua một trong các cạnh (v,w), (v,x), (v,t), giả sử (v,w) (xoá (v,w)). •Tiếp tục, có thể đi theo một trong các cạnh (w,s), (w,y), (w,z), giả sử (w,s) (xoá (w,s)). •Đi theo cạnh (s,y) (xoá (s,y) và s). Vì (y,x) là cầu nên có thể đi theo một trong hai cạnh (y,w), (y,z), giả sử (y,w) (xoá (y,w)). • Đi theo (w,z) (xoá (w,z) và w) và theo (z,y) (xoá (z,y) và z). •Tiếp tục đi theo cạnh (y,x) (xoá (y,x) và y). Vì (x,u) là cầu nên đi theo cạnh (x,v) hoặc (x,t), giả sử (x,v) (xoá (x,v)). • Tiếp tục đi theo cạnh (v,t) (xoá (v,t) và v), theo cạnh (t,x) (xoá cạnh (t,x) và t), cuối cung đi theo cạnh (x,u) (xoá (x,u), x và u).  Nếu G là một đồ thị liên thông có q cạnh thì hành trình ngắn nhất trong G có chiều dài : q + m(G)  Với m(G) là số cạnh mà hành trình đi qua hai lần và được xác định như sau:  Gọi V0(G) là tập hợp các đỉnh bậc lẻ (2k đỉnh) của G. Ta phân 2k phần tử của G thành k cặp, mỗi tập hợp k cặp gọi là một phân hoạch cặp của V0(G).  Ta gọi độ dài đường đi ngắn nhất từ u đến v là khoảng cách d(u,v). Đối với mọi phân hoạch cặp Pi, ta tính khoảng cách giữa hai đỉnh trong từng cặp, rồi tính tổng d(Pi). Số m(G) bằng cực tiểu của các d(Pi):  Tập hợp các đỉnh bậc lẻ VO(G)={B, G, H, K} và tập hợp các phân hoạch cặp là P={P1, P2, P3}, trong đó :  P1 = {(B, G), (H, K)}  d(P1) = d(B, G)+d(H, K) = 4+1 = 5,  P2 = {(B, H), (G, K)}  d(P2) = d(B, H)+d(G, K) = 2+1 = 3,  P3 = {(B, K), (G, H)}  d(P3) = d(B, K)+d(G, H) = 3+2 = 5.  m(G) = min(d(P1), d(P2), d(P3)) = 3.  Do đó GT có được từ G bằng cách thêm vào 3 cạnh: (B, I), (I, H), (G, K) và GT là đồ thị Euler. Vậy hành trình ngắn nhất cần tìm là đi theo chu trình Euler trong GT: A, B, C, D, E, F, K, G, K, E, C, J, K, H, J, I, H, I, B, I, A.  Đường đi Hamilton là một đường đi trong đồ thị vô hướng đi qua tất cả các đỉnh của đồ thị, mỗi đỉnh đúng một lần.  Một Chu trình Hamilton là một đường đi Hamilton sau đi qua tất cả các đỉnh của đồ thị thì trở về đỉnh xuất phát. Chu trình Hamilton Đường đi Hamilton Không Hamilton  Định lý Dirac : Nếu G là một đơn đồ thị có n đỉnh và mọi đỉnh của G đều có bậc không nhỏ hơn n/2 thì G là một đồ thị Hamilton.  Hệ quả : Nếu G là đơn đồ thị có n đỉnh và mọi đỉnh của G đều có bậc không nhỏ hơn (n-1)/2 thì G là đồ thị nửa Hamilton.  Định lý Ore : Nếu G là một đơn đồ thị có n đỉnh và bất kỳ hai đỉnh nào không kề nhau cũng có tổng số bậc không nhỏ hơn n thì G là một đồ thị Hamilton.  Định lý: Nếu G là đồ thị 2 phe(phân đôi) với hai tập đỉnh là V1, V2 có số đỉnh cùng bằng n (n  2) và bậc của mỗi đỉnh lớn hơn n/2 thì G là một đồ thị Hamilton  Đồ thị đầy đủ Kn với n lẻ và n  3 có đúng (n-1)/2 chu trình Hamilton phân biệt.  Đồ thị G này có 8 đỉnh, đỉnh nào cũng có bậc 4, nên G là đồ thị Hamilton  Đồ thị G này có 5 đỉnh bậc 4 và 2 đỉnh bậc 2 kề nhau nên tổng số bậc của hai đỉnh không kề nhau bất kỳ bằng 7 hoặc 8, nên G là đồ thị Hamilton  Đồ thị phân đôi này có bậc của mỗi đỉnh bằng 2 hoặc 3 (> 3/2), nên nó là đồ thị Hamilton.  Đồ thị Hamilton với chu trình Hamilton A, B, C, D, E, F, G, H, I, J, K, L, M, N, O, P, Q, R, S, T, A  Cây là một đồ thị vô hướng liên thông, không chứa chu trình và có ít nhất hai đỉnh.  Một đồ thị vô hướng không chứa chu trình và có ít nhất hai đỉnh gọi là một rừng. Trong một rừng, mỗi thành phần liên thông là một cây.  Trong đồ thị liên thông G, nếu ta loại bỏ cạnh nằm trên chu trình nào đó thì ta sẽ được đồ thị vẫn là liên thông.  Nếu cứ loại bỏ các cạnh ở các chu trình khác cho đến khi nào đồ thị không còn chu trình (vẫn liên thông) thì ta thu được một cây nối các đỉnh của G. Cây đó gọi là cây khung hay cây bao trùm của đồ thị G.  Trước hết sắp xếp các cạnh của đồ thị G theo thứ tự không giảm của trọng số. : 1. Bắt đầu từ đồ thị rỗng T có n đỉnh.Sắp xếp các cạnh của G theo thứ tự tăng dần về trọng số. 2. Bắt đầu từ cạnh đầu tiên của dãy này, ta cứ thêm dần các cạnh của dãy đã được xếp vào T theo nguyên tắc cạnh thêm vào không được tạo thành chu trình trong T. 3. Lặp lại Bước 3 cho đến khi nào số cạnh trong T bằng n1, ta thu được cây khung nhỏ nhất cần tìm. Sắp xếp các cạnh của đồ thị theo thứ tự trọng số tăng dần : {(v3, v5), (v4, v6), (v4, v5), (v5, v6), (v3, v4), (v1, v3), (v2, v3), (v2, v4), (v1, v2)}.