Bài giảng Toán rời rạc - Chương 3: Suy luận. Chứng minh

Giảng viên: ThS. Trần Quang Khải TOÁN RỜI RẠC Chương 3: Suy luận – Chứng minh Toán rời rạc: 2011-2012 Nội dung 1. Giới thiệu. 2. Các quy tắc suy luận 3. Phương pháp chứng minh. Quy nạp toán học. 4. Phát biểu đệ quy. 5. Bài tập – Hỏi đáp. Chương 3: Suy luận - Chứng minh 2 Toán rời rạc: 2011-2012 Giới thiệu Chương 3: Suy luận - Chứng minh 3 Hai vấn đề trong toán học: 1. Khi nào một suy luận toán học là ĐÚNG? 2. PHƢƠNG PHÁP nào để xây dựng các suy luận toán học? Toán rời rạc: 2011-2012 Giới thiệu – Trong toán học Chương 3: Suy luận - Chứng minh 4 Toán rời rạc: 2011-2012 OK Giới thiệu - Trong tin học Chương 3: Suy luận - Chứng minh 5 ProgramDữ liệu 1 Kết quả 1 ProgramDữ liệu 2 Kết quả 2 ProgramDữ liệu n Kết quả n Hmmm! Tầm bậy! OK Toán rời rạc: 2011-2012 Các khái niệm Định lý: theorem = a TRUE statement một phát biểu hoặc công thức được suy luận ra từ các tiên đề dựa vào các quy tắc suy luận sự chứng minh. Tiên đề (Axiom – còn gọi là định đề) một mệnh đề không phụ thuộc vào sự chứng minh.  giả thiết cơ sở của các cấu trúc toán học. Giả thiết (Hypothesis) Những mệnh đề/phát biểu đúng được sử dụng để tranh luận hoặc nghiên cứu. Chương 3: Suy luận - Chứng minh 6 Toán rời rạc: 2011-2012 Chứng minh là gì? Chương 3: Suy luận - Chứng minh 7 Quy tắc suy luận Định lý Định lý đã được CM Tiên đề Giả thiết của định lý Quy tắc suy luận = cơ chế rút ra kết luận từ những điều đã được khẳng định khác.  Sự chứng minh có thể thực hiện bằng việc kết hợp các bước chứng minh. Toán rời rạc: 2011-2012 Các quy tắc suy luận (1) Chương 3: Suy luận - Chứng minh 8 Simplification (Luật rút gọn) Addition (Luật cộng) Modus ponens (Luật tách rời) Toán rời rạc: 2011-2012 Các quy tắc suy luận (2) Chương 3: Suy luận - Chứng minh 9 Hypothetical syslogism (Tam đoạn luận giả định) Disjunctive syslogism (Tam đoạn luận tuyển) Modus tollens Toán rời rạc: 2011-2012 Ví dụ 1. “Kaka từng đoạt quả bóng vàng Thế Giới. Do đó Kaka từng đoạt quả bóng vàng Thế Giới hoặc giải học sinh giỏi toán rời rạc cấp phường.” 2. “Trời thì nóng nực và bạn đang quăng bom. Do đó bạn đang quăng bom.” 3. “Nếu bạn chém gió thì bạn của bạn cảm lạnh. Nếu bạn của bạn cảm lạnh thì bạn ấy hắt xì. Vậy nếu bạn chém gió thì bạn của bạn hắt xì.” 4. “Nếu lợn biết lập trình thì gà biết chơi Game. Gà không biết chơi game. Vậy lợn biết lập trình.” Chương 3: Suy luận - Chứng minh 10 Toán rời rạc: 2011-2012 Quy tắc suy luận với lượng từ Chương 3: Suy luận - Chứng minh 11 Universal instantiation (Sự cụ thể hóa ∀) Universal generalization (Sự tổng quát hóa ∀) Existential instantiation (Sự cụ thể hóa ∃) Existantial generalization (Sự tổng quát hóa ∃) với bất kỳ với một số với một số Toán rời rạc: 2011-2012 Phương pháp chứng minh 1. Chứng minh trực tiếp (direct). 2. Chứng minh gián tiếp (indirect). 3. Chứng minh bằng phản chứng (contradiction). 4. Chứng minh quy nạp (inductive). Chương 3: Suy luận - Chứng minh 12 Toán rời rạc: 2011-2012 1. Chứng minh trực tiếp Chứng minh p  q bằng cách chỉ ra: “Nếu p là đúng thì q phải đúng”. Ví dụ: “Nếu n là số lẻ thì n2 cũng là số lẻ” CM: giả sử n lẻ thì n = 2k + 1 n2 = (2k + 1)2 = 4k2 + 4k + 1 = 2(k2+2k) + 1 (là số lẻ) Chương 3: Suy luận - Chứng minh 13 Toán rời rạc: 2011-2012 2. Chứng minh gián tiếp Chứng minh p  q bằng cách: thực hiện chứng minh trực tiếp ¬q  ¬p. sử dụng (p → q) ⇔ (¬q → ¬p). Ví dụ: “Nếu 3n+2 là số lẻ thì n là số lẻ” CM: Giả sử n chẵn (kết luận ở trên là FALSE): n = 2k 3n + 2 = 6k + 2 = 2(3k + 1) (chẵn) Vậy giả thiết là FALSE. Định lý được chứng minh. Chương 3: Suy luận - Chứng minh 14 Toán rời rạc: 2011-2012 3. Chứng minh bằng phản chứng Mô tả: Cần chứng minh phát biểu p là T. Giả sử tìm được mâu thuẫn q sao cho ¬p → q là T. Tức (¬p → F) là T. Khi đó ¬p phải là F thì p là T.  Được sử dụng khi có thể tìm được mâu thuẫn dạng r ¬r, tức mệnh đề ¬p → (r ¬r) là T. Chương 3: Suy luận - Chứng minh 15 Toán rời rạc: 2011-2012 3. Chứng minh bằng phản chứng Ví dụ: “Chứng minh là số vô tỷ” Giả sử là số hữu tỷ, tức trong đó a và b không có ước chung (phân số tối giản) Khi đó hay . Suy ra a2 là số chẵn hay a cũng là số chẵn. Ta đặt vậy suy ra b là số chẵn. Vậy phân số a/b là không tối giản Mâu thuẫn Chương 3: Suy luận - Chứng minh 16 2 2 b a 2 2 2 2 b a  222 ab  ca 2 22 42 cb  )( rrp  Toán rời rạc: 2011-2012 4. Chứng minh bằng quy nạp Tính được sắp tốt: một tiên đề cơ bản trên tập các số nguyên Chương 3: Suy luận - Chứng minh 17  Mọi tập hợp không rỗng các số nguyên không âm luôn luôn có phần tử nhỏ nhất. }3,9,15,2,4,1{ }9,7,5,3,1{ 2 1   S S Toán rời rạc: 2011-2012 4. Chứng minh bằng quy nạp Chương 3: Suy luận - Chứng minh 18 Hai bƣớc chứng minh: 1. Bƣớc cơ bản: Chứng minh là TRUE. 2. Bƣớc quy nạp: CM là TRUE )1(P )1()(  nPnP n  Phép chứng minh quy nạp thường dùng để chứng minh mệnh đề dạng  Sử dụng tính được sắp tốt của tập hợp. )(nPn Toán rời rạc: 2011-2012 4. Chứng minh bằng quy nạp Ví dụ: “Tổng của n số nguyên lẻ không âm đầu tiên là n2.” CM: 1. Bước cơ bản: với n = 1 ta thấy P(1) là TRUE. 2. Bước quy nạp: giả sử ta có giả thiết P(n) là TRUE khi đó Tức là P(n+1) là TRUE nếu P(n) là TRUE. Chương 3: Suy luận - Chứng minh 19 2)12(...531 nn  12)12()12(...531 2  nnnn 2)1(  n Toán rời rạc: 2011-2012 Đệ quy (Recursion) Recursive definition (định nghĩa đệ quy): Đôi khi khó định nghĩa một đối tượng một cách tường minh. Định nghĩa đối tượng bằng chính nó. Ví dụ: Bạn tặng quà sinh nhật cho bạn mình: “Quà tặng là cái hộp quà đựng cái hộp quà”. Chương 3: Suy luận - Chứng minh 20 Toán rời rạc: 2011-2012 Đệ quy (Recursion) Chương 3: Suy luận - Chứng minh 21 Toán rời rạc: 2011-2012 Đệ quy (Recursion) Chương 3: Suy luận - Chứng minh 22 Toán rời rạc: 2011-2012 Định nghĩa đệ quy Chương 3: Suy luận - Chứng minh 23 Hai bƣớc: 1. Cho giá trị của hàm tại 0. 2. Công thức tính giá trị hàm tại số nguyên n từ các giá trị hàm tại các số nhỏ hơn.  Còn gọi là định nghĩa quy nạp. Toán rời rạc: 2011-2012 Định nghĩa đệ quy Ví dụ: 1. Hàm giai thừa Dễ thấy Vì Nên 2. Dãy Fibonacci: Chương 3: Suy luận - Chứng minh 24 !)( nnF  1)0( F )1(!)1(...3.2.1)!1(  nnnnn )1).(()!1()1(  nnFnnF 21 1 0 1 0     nnn fff f f Toán rời rạc: 2011-2012 Thuật toán đệ quy Chương 3: Suy luận - Chứng minh 25  Giải bài toán ban đầu bằng cách rút gọn nó thành bài toán giống nhƣ vậy nhƣng có dữ liệu đầu vào nhỏ hơn. Ví dụ: thuật toán đệ quy tìm UCLN(a,b) int UCLN(int a, int b){ if(a == 0) return b; else return UCLN(b mod a, a); } Toán rời rạc: 2011-2012 Bài tập – Hỏi đáp 1. Chứng minh nếu a2 là số chẵn thì a cũng là số chẵn. 2. Viết hàm đệ quy (ngôn ngữ C) tính số Fibonacci thứ n. Chương 3: Suy luận - Chứng minh 26