Bài giảng Toán Kỹ Thuật - Chương 1 Chuỗi Fourier (2)

Chương 1 Chuỗi Fourier Bài giảng Toán Kỹ Thuật 2012  1.1 Hàm tuần hoàn  1.2 Chuỗi Fourier của hàm tuần hoàn  1.3 Các công thức khác để tính các hệ số Fourier  1.4 Khai triển bán kỳ  1.5 Các dạng khác của chuỗi Fourier  1.6 Ứng dụng của chuỗi Fourier 1  Hàm tuần hoàn đối xứng chẵn ( ) ( )f t f t= − 2 0 0 2 0 0 4 ( ) 4 ( ) cos( ) 0 T T n n a f t dt T a f t n t dt T b ω = = = ∫ ∫ Bài giảng Toán Kỹ Thuật 2012 2 1.4 Khai triển bán kỳ cho f(t) đối xứng  Các hệ số khai triển Fourier Chuỗi Fourier côsin Bài giảng Toán Kỹ Thuật 2012 3  Định lý 1.7: Nếu f là hàm tuần hoàn chẵn, thỏa điều kiện Dirichlet thì chuỗi Fourier của nó có dạng: 0 0 1 ( ) cos( ) 2 nn af t a n tω +∞ = = +∑ 2 2 0 0 0 0 4 4( ) ; ( ) co s( ) T T na f t dt a f t n t dtT T ω= =∫ ∫ 1.4 Khai triển bán kỳ cho f(t) đối xứng  Hàm tuần hoàn đối xứng lẻ ( ) ( )f t f t= − − 0 2 0 0 0 0 4 ( )sin( ) n T n a a b f t n t dt T ω = = = ∫ Bài giảng Toán Kỹ Thuật 2012 4 1.4 Khai triển bán kỳ cho f(t) đối xứng  Các hệ số khai triển Fourier Chuỗi Fourier Sin Bài giảng Toán Kỹ Thuật 2012 5  Định lý 1.8: Nếu f là hàm tuần hoàn lẻ, thỏa điều kiện Dirichlet thì chuỗi Fourier của nó có dạng: 0 1 ( ) sin( )n n f t b n tω +∞ = =∑ 1.4 Khai triển bán kỳ cho f(t) đối xứng 2 0 0 4 ( )sin( ) T nb f t n t dtT ω= ∫  Hàm tuần hoàn đối xứng nửa sóng ( ) 2 Tf t f t = − ±    0 2 0 0 2 0 0 0 0 ( 2 ) 4 ( )cos( ) ( 2 1) 0 ( 2 ) 4 ( )sin( ) ( 2 1) T n T n a n k a f t n t dt n k T n k b f t n t dt n k T ω ω = =  =  = +  =  =  = +  ∫ ∫ Bài giảng Toán Kỹ Thuật 2012 6 1.4 Khai triển bán kỳ cho f(t) đối xứng  Các hệ số khai triển Fourier Bài giảng Toán Kỹ Thuật 2012 7  Định lý : Nếu f là hàm tuần hoàn nửa sóng, thỏa điều kiện Dirichlet thì chuỗi Fourier của nó có dạng: ( )0 0 1 ( 2 1) ( ) cos( ) sin( )n n n n k f t a n t b n tω ω +∞ = = + = +∑ 2 0 0 4 ( )sin( ) T nb f t n t dtT ω= ∫ 2 0 0 4 ( ) cos( ) T na f t n t dtT ω= ∫ 1.4 Khai triển bán kỳ cho f(t) đối xứng Dời trục tọa độ Bài giảng Toán Kỹ Thuật 2012 8 f(t) t g(t) t τ h ( ) ( )f t h g t τ= ± + ± Ví dụ chuỗi Fourier cho tín hiệu đối xứng Bài giảng Toán Kỹ Thuật 2012 9  Ta biểu diễn f(t) theo g(t):  g(t) là tín hiệu đối xứng lẻ nên có chuỗi Fourier: Giải Cho hàm f(t) định nghĩa bởi : f(t) = t + π ( – π < t < π) và f(t) = f(t + 2π). Xác định chuỗi Fourier biểu diễn cho f(t) ? f(t) = π + g(t) T = 2π; ω0 = 1; g(t) = t (0 < t < π) Bài giảng Toán Kỹ Thuật 2012 10 Ví dụ chuỗi Fourier cho tín hiệu đối xứng π π 0 0 n 0 2 0 00 0 0 tcos(nω t) sin(nω t)4 2 2b tsin(nω t)dt cos(nπ) 2 nω (n ω) n    = = − + = −    ∫ π π π  Chuỗi Fourier của g(t): 1 ( ) sin( )n n g t b nt ∞ = =∑  Chuỗi Fourier của f(t): 1 cos( )( ) 2 sin( ) n nf t nt n ππ ∞ = − = + ∑ 1.4.3 Chuỗi Fourier của hàm chỉ xác định trên [0,T/2] Bài giảng Toán Kỹ Thuật 2012 11  Xét hàm f(t) chỉ xác định trên khoảng kín [0,T/2]  Ta cần tìm khai triển Fourier của f(t) Mở rộng hàm f(t) thành hàm F(t) tuần hoàn 2 2 ( ) 0 ( ) ( ) ( ) T T t t F t f t o t F t T t ϕ − < < = ≤ ≤  + ∀  Theo ĐL Dirichlet F(t) có khai triển Fourier và hội tụ về F(t) tại các điểm mà F(t) liên tục ⇒ bất chấp ϕ(t) chuỗi Fourier của F(t) cũng hội tụ về f(t) trong đoạn [0,T/2]  Chọn ϕ(t) ?  Chọn ϕ(t) = f(-t) → F(t) hàm chẵn  Chọn ϕ(t) = -f(-t) → F(t) hàm lẻ 1.4.3 Chuỗi Fourier của hàm chỉ xác định trên [0,T/2] Bài giảng Toán Kỹ Thuật 2012 12  Định lý 1.9: Nếu f(t) là hàm chỉ xác định trên khoảng kín [0, T/2] và thỏa điều kiện Dirichlet thì nó có thể được khai triển thành : 0 0 1 ( ) cos( ) 2 nn af t a n tω +∞ = = +∑ 0 1 ( ) sin( )n n f t b n tω +∞ = =∑ Khai triển bán kỳHoặc thành chuỗi Fourier sin Chuỗi Fourier côsin Ví dụ khai triển bán kỳ  Cho hàm f(t) định nghĩa bởi f(t)= t+2 ( 0 < t < 2)  Xác định chuỗi Fourier sin biểu diễn cho f(t)  Thiết lập hàm lẻ F(t)  Xác định hệ số bn Bài giảng Toán Kỹ Thuật 2012 13 f(t) t 2 2 4 Giải F(t) t 2 2 4 4-2 -2 -4 4 (1 2cos )nb nn π π = −  Chuỗi Fourier sin của f(t) ( ) ( ) ( ) ( )12 2 4 12 2 2 2( ) sin sin 2 sin 3 sin 4 ...f t t t t tπ π π ππ π π π= − + − + 1.5 Các dạng khác của chuỗi Fourier  Dạng sóng hài cosin  Dạng sóng hài sin Bài giảng Toán Kỹ Thuật 2012 14  Chuỗi Fourier dạng sóng hài 0 0 1 ( ) cos( )n n n f t C C n tω α +∞ = = + +∑ 0 0 1 ( ) sin( )n n n f t C C n tω β +∞ = = + +∑  Các hệ số khai triển 2 20 0 ;2 ; n n n n n n n n n aC C a b b aarctg arctg a b α β = = + = − = 1.5 Các dạng khác của chuỗi Fourier Bài giảng Toán Kỹ Thuật 2012 15  Chuỗi Fourier dạng mũ phức 0( ) jn tn n f t D e ω +∞ • =−∞ = ∑  Các hệ số khai triển phức 0 0 0 2 2 2 2 2 n n n n n n n n n n n aD C a jb CD a jb CD D α α • • • ∗ − = = − = = ∠ + = = ∠− = 2 0 2 1 ( ) T T jn t nD f t e dt T ω • − − = ∫  Quan hệ với các hệ số của khai triển lượng giác và khai triển hài 1.5 Các dạng khác của chuỗi Fourier Bài giảng Toán Kỹ Thuật 2012 16  Phổ biên độ của hàm f(t) 0( ) jn tn n n n n f t D e D D ω α +∞ • =−∞ • = = ∠ ∑  Có tần số cơ bản ω0 = 2π/T  Các họa tần (hài) ωn = nω0 = 2nπ/T  Hàm f(t) có khai triển phức Phổ biên độ còn gọi là phổ tần số hay tần phổ.  Định nghĩa : Phổ biên độ của chuỗi Fourier mũ phức của hàm tuần hoàn f(t) là đồ thị các điểm (nω0, |Dn|). Ví dụ phổ biên độ Bài giảng Toán Kỹ Thuật 2012 17 0 ( 2 1) 2( ) jn t n n k Af t j e n ω π +∞ =−∞ = + = −∑ Và khai triển phức  Khai triển lượng giác f(t) t A -A T/2-T/2 0 T 0 1 ( 2 1) 4( ) sin( ) n n k Af t n t n ω π +∞ = = + = ∑  Phổ biên độ Dn 2A/π 2A/3π 2A/5π 2A/7π 1 3 5 7-1-3-5-7 0 ω ω