Bài giảng Toán kinh tế - Chương 3: Vi tích phân hàm hai biến

KHOA TOÁN – THỐNG KÊ BỘ MÔN TOÁN KINH TẾ MÔN TOÁN KINH TẾ 1 CHƯƠNG 3. VI PHÂN HÀM HAI BIẾN TOÁN KINH TẾ 16/02/2016 C01120 - VI PHÂN HÀM HAI BIẾN 1 KHÁI NIỆM HÀM HAI BIẾN 2Cho , moät aùnh xaï : goïi laø haøm 2 bieán , xaùc ñònh treân . Kí hieäu: ( , ). goïi laø mieàn xaùc ñònh cuûa . D f D x y D f x y D f   f ( , )x y z D 16/02/2016 C01120 - VI PHÂN HÀM HAI BIẾN 2 KHOA TOÁN – THỐNG KÊ BỘ MÔN TOÁN KINH TẾ MÔN TOÁN KINH TẾ 2 Ý NGHĨA 16/02/2016 C01120 - VI PHÂN HÀM HAI BIẾN 3 MỘT SỐ VÍ DỤ 2 1) ( , ) ln( )f x y x y x   Tập xác định 16/02/2016 C01120 - VI PHÂN HÀM HAI BIẾN 4 KHOA TOÁN – THỐNG KÊ BỘ MÔN TOÁN KINH TẾ MÔN TOÁN KINH TẾ 3 2 2 9 2) ( , ) x y f x y x    MỘT SỐ VÍ DỤ  Tập xác định 16/02/2016 C01120 - VI PHÂN HÀM HAI BIẾN 5 3) Hàm sản xuất: mô tả những số lượng sản phẩm (đầu ra) tối đa có thể sản xuất bởi một số lượng các yếu tố sản xuất (đầu vào) nhất định, tương ứng với trình kỹ thuật nhất định. Để đơn giản, các yếu tố sản xuất chia thành hai loại là vốn (K) và lao động (L), hàm sản xuất có dạng: Q = f(K,L) 16/02/2016 C01120 - VI PHÂN HÀM HAI BIẾN 6 MỘT SỐ VÍ DỤ KHOA TOÁN – THỐNG KÊ BỘ MÔN TOÁN KINH TẾ MÔN TOÁN KINH TẾ 4 ( , )Q K L aK L   trong ñoù a, , laø haèng soá thoûa 1 : chi phí ñaàu vaøo (nguyeân lieäu, maùy moùc, nhaø xöôûng,...) : soá giôø coâng lao ñoäng trong naêm K L      16/02/2016 C01120 - VI PHÂN HÀM HAI BIẾN 7 4) Hàm sản xuất Cobb – Douglas: MỘT SỐ VÍ DỤ ĐỒ THỊ HÀM HAI BIẾN 16/02/2016 C01120 - VI PHÂN HÀM HAI BIẾN 8 KHOA TOÁN – THỐNG KÊ BỘ MÔN TOÁN KINH TẾ MÔN TOÁN KINH TẾ 5 ĐỒ THỊ HÀM HAI BIẾN 16/02/2016 C01120 - VI PHÂN HÀM HAI BIẾN 9 ĐỒ THỊ HÀM HAI BIẾN 16/02/2016 C01120 - VI PHÂN HÀM HAI BIẾN 10 KHOA TOÁN – THỐNG KÊ BỘ MÔN TOÁN KINH TẾ MÔN TOÁN KINH TẾ 6 ĐẠO HÀM RIÊNG                   ' 0 ' 0 ' ' Cho haøm soá ( , ). Ñaïo haøm rieâng caáp 1 cuûa öùng vôùi bieán , ñöôïc ñònh nghóa nhö sau: ( , ) ( , ) ( , ) lim ( , ) ( , ) ( , ) lim Kí hieääu: , hay , x x y y x x f x y f x y f x x y f x y f x y x f x y y f x y f x y y f f f f x y 16/02/2016 C01120 - VI PHÂN HÀM HAI BIẾN 11 ĐẠO HÀM RIÊNG CẤP 2                              2 2 ' ' " ' '' ' 2 2 2 ' ' '' ' '' ' 2 Cho haøm soá ( , )coùcaùc 1. Ñaïo haøm rieâng caáp 2 cuûa öùng vôùi bieán , ñöôïc ñònhnghóa nhö sau: xx x xy x x y yx y yy y x y f x y ñaïohaømrieângcaáp f x y f f f f f f x yx f f f f f f y x y 16/02/2016 C01120 - VI PHÂN HÀM HAI BIẾN 12 KHOA TOÁN – THỐNG KÊ BỘ MÔN TOÁN KINH TẾ MÔN TOÁN KINH TẾ 7 Năng suất biên của một yếu tố sản xuất biến đổi là phần thay đổi trong tổng sản lượng khi thay đổi một đơn vị yếu tố sản phẩm biến đổi, kí hiệu MP.  Năng suất biên lao động là phần thay đổi trong tổng sản lượng khi thay đổi một đơn vị lao động trong sử dụng  MP’L = Q’L NĂNG SUẤT BIÊN 16/02/2016 C01120 - VI PHÂN HÀM HAI BIẾN 13 ĐỘ CO GIÃN ĐIỂM THÀNH PHẦN  Khái niệm: đo lường sự thay đổi tương đối giữa chi phí sản xuất theo sản lượng của từng loại sản phẩm  Công thức: Cho hàm chi phí TC(Q1,Q2) '0 0 0 0 ( ) ( )i i i i Q Q i i i TC TC Q Q E TC Q Q TC Q 16/02/2016 C01120 - VI PHÂN HÀM HAI BIẾN 14 KHOA TOÁN – THỐNG KÊ BỘ MÔN TOÁN KINH TẾ MÔN TOÁN KINH TẾ 8 CỰC TRỊ HÀM 2 BIẾN 16/02/2016 C01120 - VI PHÂN HÀM HAI BIẾN 15 2 2 ( , ) 4 6 17f x y x y x y     ĐIỂM CỰC TRỊ 16/02/2016 C01120 - VI PHÂN HÀM HAI BIẾN 16 KHOA TOÁN – THỐNG KÊ BỘ MÔN TOÁN KINH TẾ MÔN TOÁN KINH TẾ 9 ĐIỂM CỰC TRỊ 16/02/2016 C01120 - VI PHÂN HÀM HAI BIẾN 17 2 2 ( , )f x y y x  ĐIỂM CỰC TRỊ 16/02/2016 C01120 - VI PHÂN HÀM HAI BIẾN 18 KHOA TOÁN – THỐNG KÊ BỘ MÔN TOÁN KINH TẾ MÔN TOÁN KINH TẾ 10 THUẬT TOÁN TÌM ĐIỂM CỰC TRỊ 2 Giaû söû haøm ( , ) coù caùc ñaïo haøm rieâng caáp 2 lieân tuïc treân mieàn chöùa ñieåm döøng ( , ). Ñaët: ( , ) " ( , ). " ( , ) " ( , ) * Neáu ( , ) 0 vaø " ( , ) 0 thì ( , ) laø ñieåm xx yy xy xx f x y D a b a b f a b f a b f a b a b f a b a b          cöïc ñaïi. * Neáu ( , ) 0 vaø " ( , ) 0 thì ( , ) laø ñieåm cöïc tieåu. * Neáu ( , ) 0 thì ( , ) khoâng laø ñieåm cöïc trò. xx a b f a b a b a b a b      16/02/2016 C01120 - VI PHÂN HÀM HAI BIẾN 19 CỰC TRỊ RÀNG BUỘC Cho haøm hai bieán ( , ) xaùc ñònh treân . Xeùt baøi toaùn tìm cöïc trò cuûa thoûa ñieàu kieän ( , ) 0 Ñaët ( , ) ( , ) ( , ) 0 B1: Giaûi heä pt 0 ñieåm döøng ( , ) öùng vôùi ( , ) 0 x y f x y D f x y L x y f x y x y L L a b x y               0 2 2 2 2 2 2 2 2 2 B2: Tính ( , ) ( , ) 2 ( , ) ( , ) * Neáu ( , ) 0 ( 0) thì ( , ) laø ñieåm cöïc tieåu. * Neáu ( , ) 0 ( 0) thì ( , ) laø ñieåm cöïc ñaïi. xx xy yy d L a b L a b dx L a b dxdy L a b dy d L a b dx dy a b d L a b dx dy a b          16/02/2016 C01120 - VI PHÂN HÀM HAI BIẾN 20 KHOA TOÁN – THỐNG KÊ BỘ MÔN TOÁN KINH TẾ MÔN TOÁN KINH TẾ 11 TỐI ƯU TRONG KINH TẾ  Lợi nhuận nhiều nhất  Thỏa mãn tiêu dùng nhiều nhất  Chi phí sản xuất, tiêu dùng ít nhất 16/02/2016 C01120 - VI PHÂN HÀM HAI BIẾN 21 LỢI NHUẬN NHIỀU NHẤT Doanh nghiệp sản xuất hai loại sản phẩm liên quan với các yếu tố sản xuất như sau: • Hàm chi phí là C(Qs1;Qs2) • Doanh thu của doanh nghiệp: R = P1.Qs1 + P2.Qs2 • Lợi nhuận của doanh nghiệp: П(Qs1;Qs2) = R – C. Tìm mức sản lượng Q’s1 và Q’s2 cần sản xuất để lợi nhuận đạt được nhiều nhất. 16/02/2016 C01120 - VI PHÂN HÀM HAI BIẾN 22 KHOA TOÁN – THỐNG KÊ BỘ MÔN TOÁN KINH TẾ MÔN TOÁN KINH TẾ 12 Thị trường cạnh tranh hoàn hảo Giá sản phẩm do thị trường quyết định  P1 = P’1 ; P2 = P’2 ấn định trước. Thị trường độc quyền Giá sản phẩm do doanh nghiệp quyết định nhưng doanh nghiệp luôn muốn tiêu thụ được hết sản phẩm  Qs1 = Qd1(P1, P2) và Qs2 = Qd2(P1, P2)  P1(Qs1, Qs2) và P2(Qs1, Qs2) LỢI NHUẬN NHIỀU NHẤT 16/02/2016 C01120 - VI PHÂN HÀM HAI BIẾN 23 THOẢ MÃN TIÊU DÙNG NHIỀU NHẤT Người tiêu dùng chi tiêu số tiền I cho hai loại hàng hoá có giá bán là P1, P2. Nhu cầu sử dụng thể hiện qua hàm tiêu dùng: U(Q1, Q2). Cần tìm số lượng hàng hoá làm thoả mãn nhiều nhất cho người tiêu dùng với số tiền chi tiêu trên, nghĩa là: P1Q1 + P2Q2 = I 16/02/2016 C01120 - VI PHÂN HÀM HAI BIẾN 24 KHOA TOÁN – THỐNG KÊ BỘ MÔN TOÁN KINH TẾ MÔN TOÁN KINH TẾ 13 CHI PHÍ SẢN XUẤT ÍT NHẤT Hàm sản lượng Q(x,y) sản xuất một sản phẩm từ hai nguyên liệu đầu vào, với x và y số lượng hai nguyên liệu. Hai nguyên liệu này có giá mua vào là P1, P2  hàm chi phí: C(x,y) = P1x + P2y Với số lượng sản phẩm cần sản xuất Q(x,y) = Q0 biết trước, hãy tìm số lượng nguyên liệu cần dùng sao cho chi phí sản xuất ít nhất. 16/02/2016 C01120 - VI PHÂN HÀM HAI BIẾN 25