Ví dụ: Với Q = 25 L0,5 K0, 5, PL = 3, PK = 12 và Q0 =
1250. Yêu cầu cực tiểu hoá hàm số: L = 3L + 12K với điều kiện
25 L0,5 K0, 5 = 1250, giải bài toán này theo phương pháp
Lagrange ta tìm được phương án sử dụng các yếu tố sản xuất
với chi phí tối thiểu là: L = 100, K = 25
48 trang |
Chia sẻ: truongthinh92 | Lượt xem: 20230 | Lượt tải: 4
Bạn đang xem trước 20 trang tài liệu Bài giảng Toán kinh tế - Chương 3 Bài toán tối ưu hoá sản xuất và tiêu dùng, để xem tài liệu hoàn chỉnh bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên
CHƯƠNG 3
BÀI TOÁN TỐI ƯU HOÁ SẢN XUẤT VÀ TIÊU
DÙNG
I . CÁC BÀI TOÁN
1. Bài toán sản xuất
2. Bài toán tiêu dùng
II. PHƯƠNG PHÁP TÌM CỰC TRỊ TỰ DO CỦA HÀM SỐ
1. Trường hợp bài toán chỉ có 1 biến lựa chọn
2. Trường hợp bài toán có nhiều biến lựa chọn
3. Ứng dụng trong phân tích kinh tế
III. TỐI ƯU HOÁ VỚI RÀNG BUỘC ĐẲNG THỨC
(CỰC TRỊ CÓ ĐIỀU KIỆN)
TÀI LIỆU THAM KHẢO
1. TS. Trần Đình Tuấn, Lý thuyết mô hình toán kinh tế,
NXB Khoa học kỹ thuật,Hà Nội, 2004
2. To¸n cao cÊp cho c¸c nhµ kinh tÕ – phÇn I gi¶i tÝch ®¹i sè
– Lª §×nh Thuý - §HKTQD Hµ néi
3. Mike Rosser, Basic Mathematics for
Economists, Taylor & Francis e-Library, 2003.
4. Alpha C. Chiang, Optimization Problem: Fundamental
Methods of Mathematical Economics – Third Edition ,
Bài toán sản xuất
Giả sử xét một doanh nghiệp sản xuất ra sản phẩm hàng hoá. Để sẩn
xuất ra sản phẩm đó, doanh nghiệp cần sử dụng N yếu tố đầu
vào khác nhau. Khi biết được chi phí cho mỗi một đơn vị yếu
tố đầu vào sản xuất, lúc đó doanh nghiệp có thể gặp phải 2 tình
hưống sau:
Một là, với số kinh phí đầu tư ấn định trước, doanh nghiệp muốn lựa
chọn tổ hợp sử dụng các yếu tố sao cho mức sản lượng là cao
nhất - tối đa hoá sản lượng.
Hai là, với mức sản lượng dự kiến sản xuất, doanh nghiệp phải tiêu
tốn một khoản chi phí để thực hiện, đương nhiên là doanh
nghiệp mong muốn lựa chọn tổ hợp sử dụng các yếu tố sao cho
mức chi phí là thấp nhất - cực tiểu hoá chi phí.
Bài toán sản xuất
Trường hợp 1: Tối đa sản lượng
Gọi K là kinh phí doanh nghiệp dự kiến đầu tư mua các yếu tố với
mức X1,........,Xn để sản xuất. Do biết được giá của mỗi đơn vị
yếu tố đâù vào, ta có thể viết được hàm tổng chi phí sau: P1X1
+ P2X2 ++ PnXn= Khi đó bài toán trở thành:
Xác định Xj>0 (j=1n) để cho hàm số: Q= F(x1, x2xn) Max (
sản lượng cực đại).
Nhưng với điều kiện ràng buộc về tổng chi phí sản xuất:
j
n
j
j XP
1
KXP j
n
j
j
1
Bài toán sản xuất
Trường hợp 2: Cực tiểu chi phí
Ta gọi Q0 là mức sản lượng doanh nghiệp dự kiến sản xuất.
Khi đó bài toán trở thành:
Xác định Xj>0 (j=1n) để cho hàm số:
(chi phí sản xuất nhỏ nhất)
Nhưng với điều kiện ràng buộc về số đơn vị sản phẩm cần sản
xuất:
Q= F(x1, x2xn) = Q0
Đây là dạng bài toán liên quan đến hiệu quả chi phí. Các nhà
sản xuất thường lưu ý tới trường hợp 2 làm sao để hạ giá
thành sản phẩm mà chất lượng hàng hoá không đổi.
min
1
j
n
j
j XP
Bài toán tiêu dùng
Tác nhân hoạt động trên lĩnh vực tiêu thụ hàng hóa gọi là
người tiêu dùng. Trong trường hợp hàng hóa được tiêu thụ là sản
phẩm cuối cùng thì người tiêu dùng được gọi là hộ gia đình. Trong
phạm vi môn học, chúng ta sẽ đề cập tới hành vi của hộ gia đình.
Hành vi của các hộ gia đình trên thị trường hàng hóa là cách thức
họ mua sắm, tiêu thụ các loại hàng hóa, từ đó hình thành mức cầu
các loại hàng hóa của hộ gia đình. Hộ gia đình quyết định chọn
loại hàng nào, mua với khối lượng bao nhiêu phụ thuộc vào :
- Thị hiếu, sở thích
- Thu nhập đem chi tiêu mua hàng hóa ( ngân sách của hộ gia
đình )
- Giá cả của hàng hóa
- Mục đích tiêu dùng.
Bài toán sản xuất
Trường hợp 1:
Kí hiệu M là ngân sách tiêu dùng, P1 ,P2......, Pn là giá các loại
hàng và U(X) là hàm thoả dụng của hộ gia đình. Khi hộ gia
đình dự kiến mua giỏ hàng X=(X1, X2.......,Xn) thì sẽ đạt
mức thoả dụng là U(X) và cần chi tiêu một khoản .Từ các
yêu cầu ở trên ta có mô hình:
U ( X ) Max
với điều kiện = M
Như vậy: Với giá cả các loại hàng hoá và ngân sách tiêu dùng
cho trước, hộ gia đình cần quyết định chọn mua loại hàng
nào, khối lượng bao nhiêu sao cho số chi tiêu không quá
ngân sách tiêu dùng nhưng phải đáp ứng tốt nhất sở thích.
j
n
j
j XP
1
å
=
n
j
jj XP
1
Bài toán sản xuất
Trường hợp 2:
Người tiêu dùng cần đạt mức lợi ích đã định trước
U = U0 thì phải tổ chức mua sao cho chi phí
tiêu dùng là thấp nhất.
Hàm mục tiêu: P1X1 + P2X2 + ... PnXn => Min
Ràng buộc: U = U (X1, X2 ..., Xn) = U0
j
n
j
j XP
1
II. PHƯƠNG PHÁP TÌM CỰC TRỊ TỰ DO
CỦA HÀM SỐ
1. Trường hợp bài toán chỉ có 1 biến lựa
chọn
2. Trường hợp bài toán có nhiều biến lựa
chọn
3. Ứng dụng trong phân tích kinh tế
Trường hợp bài toán chỉ có 2 biến
lựa chọn
Chúng ta biết rằng : Đối với hàm số y = f(x). Điều kiện cần
để hàm số có cực trị dy = 0 (vi phần cấp 1). dy = f'(x1) . dx1 =>
dy = 0 f'(x) = 0
- Điều kiện đủ để hàm số có cực đại: d2y < 0
- Điều kiện đủ để hàm số có cực tiểu: d2y > 0
+ dy = f'(x) dx
+ d2y = d(f'(x, dx) = f''(x) d2x
d2y < 0 khi f''(x) < 0
d2y > 0 khi f''(x) > 0
Như vậy ta có thể mở rộng ra trong trường hợp bài toán
có 2 biến số
Trường hợp bài toán chỉ có 1 biến
lựa chọn
+ Điều kiện cần để hàm số có cực trị dy = 0
dy = f1dx1 + f2dx2 =0
hay: f1 =0
f2=0
Giải hệ hai phương trình 2 biến trên ta xác
định được một điểm dừng của hàm số M(x1, x2).
Trường hợp bài toán chỉ có 2 biến
lựa chọn
+ Kiểm tra điều kiện đủ tại M
dy2 = d (f1dx1 + f2dx2)
= f11d
2x1 + f12dx1dx2 + f21 dx2dx1 + f22d
2x2
, , ,
- Theo tính chất đối xứng thì f12 = f21
1
1
11
x
F
f
2
1
12
x
F
f
1
2
21
x
F
f
2
2
22
x
F
f
Trường hợp bài toán chỉ có 2 biến
lựa chọn
Điều kiện đủ để hàm số có cực đại là:
f11 < 0
f11 * f22 > f
2
12
Điều kiện đủ để hàm số có cực tiểu là:
f11 > 0
f11 . f22 > f
2
12
Trường hợp bài toán chỉ có 2 biến
lựa chọn
Ví dụ
Tìm cực trị của hàm số
y = 8x31 + 2x1x2 - 3x12 + x22 + 1
+ Điều kiện cần để hàm số có cực trị là: dy = 0
(24x21 + 2x2 - 3) dx1 + (2x1 + 2x2) dx2 = 0
24x21 + 2x2 - 6x1= 0 x1 = 0 x1=1/3
M1 hoặc là M2
2x1 + 2x2 = 0 x2 = 0 x2=-1/3
+ Điều kiện đủ để hàm số có cực trị:
Tại điểm dừng M1(x1,x2)=(0,0) ta có f11= 48x1- 6=- 6<0 ; f12= 2 ; f22
= 2 do vậy không thoả mãn
• Tại điểm dừng M2(x1,x2)=(1/3,-1/3)
• f11 = 48x1 - 6 =48/3 - 6 =10 > 0 ; f11 . f22 = 10* 2=20 > 22
=>hàm số đạt cực tiểu tại điểm M2(x1,x2)=(1/3,-1/3).
Trường hợp bài toán chỉ có 3 biến
lựa chọn
Giả sử ta có hàm số gồm 3 biến x1, x2, x3 : y = f (x1, x2,
x3) + Điều kiện cần để hàm số có cực trị là:
dy= f1dx1 + f2dx2 + f3dx3 = 0
hay: f1 = 0
f2= 0
f3= 0
Ta giải hệ để tìm điểm dừng của hàm số: M(x1, x2, x3)
+ Điều kiện đủ để hàm số đạt cực trị tại điểm M
Để tìm điều kiện cực trị của hàm số trên chúng ta xét vi
phân toàn phần cấp 2 (dy2)
Trường hợp bài toán chỉ có 3 biến
lựa chọn
Ta có thể hình dung dy2 (i,j =1..3 ) sẽ lập thành 1 ma trận
cấp 3
H = - ma trận Hessian
- Theo tính chất đối xứng của Young (fxy = fyx) => f13 =
f31, f21 = f12, f32 = f23
Từ ma trận H ta lập nên các định thức con |HK| (k=1-3)
được tạo từ K dòng đầu và K cột k đầu của ma trận H (tính từ
dòng và cột đầu tiên).
ú
ú
ú
û
ù
ê
ê
ê
ë
é
333231
232221
131211
fff
fff
fff
Trường hợp bài toán chỉ có 3 biến
lựa chọn
Ví dụ: Cho định thức với y = x21 + 6x22 + 3x
2
3 - 2x1x2 tìm
cực trị của hàm số trên.
Giải:
Từ hàm số ta có:
f1 = 2x1 – 2x2 ; f2 = 12x2 – 2x1; f3 = 6x3
+ Điều kiện cần để hàm số có cực trị là : dy=0 hay :
f1 = 2x1 – 2x2 = 0 x1= 0
f2 = 12x2 – 2x1 = 0 giải hệ ta xác định được M x2= 0
f3 = 6x3 = 0 x3= 0
Trường hợp bài toán chỉ có 3 biến
lựa chọn
Giải: (tiếp)
+ Kiểm tra điều kiện đủ tại M(0,0,0)
Ta đi tính các đạo hàm riêng cấp 2: f11= 2 ; f12=f21=-2; f13
=f31=0;f23 =f32=0; f22 =12; f33=6
Và lập thành ma trận Hessian như sau:
Do:
|H1| = 2 > 0 và |H3| = 6 |H2| = 120 > 0
Theo phương pháp trên ta kết luận rằng dy2 xác định dương,
hay hàm số đạt cực tiểu tại M(0,0,0).
ú
ú
ú
û
ù
ê
ê
ê
ë
é
-
-
=
600
0122
022
H
Trường hợp bài toán có n biến lựa
chọn
Cho hàm số: y = f (x1, x2 ..., xn).
Lấy vi phân toàn phần: dy = f1 dx1 + f2dx2 + ... + fndxn
+ Điều kiện cần để hàm số có cực trị :
là dy = 0 hay f1 = f2 = ... fn = 0
Giải hệ ta xác định điểm M(x1, x2,,xn) thoả mãn để
dy=0
+ Điều kiện đủ:
Ta đi tính các đạo hàm riêng cấp 2 của hàm số: fij=
Chúng ta cũng lập ma trận Hessian
n)j(1i,;
2
¸
¶¶
¶
ji xx
y
Trường hợp bài toán có n biến lựa
chọn
Chúng ta cũng lập ma trận Hessian
|H| ={fij}
Chúng ta lần lượt lập các định thức con |HK| từ k dòng
đầu và k cột đầu của |H|.
f11 = |H1|, |H2| = ... |Hn| = |H|
Hàm số đạt cực tiểu tại M khi d2y xác định dương, tức là :
|H1| > 0
|H2| > 0
|Hn| > 0
Hàm số đạt cực đại tại M khi d2y
xác định âm, tức là :
|H1| 0;;(-1)n |Hn| > 0
Ứng dụng trong phân tích kinh tế
1. Tìm lợi nhuận tối đa trong doanh nghiệp sản xuất nhiều
loại hàng hoá ở thị trường cạnh tranh hoàn hảo
Chúng ta biết rằng khi tham gia vào thị trường canh
tranh hoàn hảo, doanh nghiệp không có quyền quyết định tới
giá bán của sản phẩm. Và vì vậy để tối đa lợi nhuận, doanh
nghiệp chỉ có thể nên quyết định bán các sản phẩm ra trên thị
trường là bao nhiêu. Trong thị trường CTHH giá sản phẩm do
cung cầu trên thị trường quyết định.
Ứng dụng trong phân tích kinh tế
1. Tìm lợi nhuận tối đa trong doanh nghiệp sản xuất nhiều loại
hàng hoá ở thị trường cạnh tranh hoàn hảo
Một cách tổng quát: ta giả sử DN sản xuất ra n sản phẩm và đem
bán ra trên thị trường với sản lượng lần lượt là Qj(j=1n), gọi Pj
(j=1n) là giá của sản phẩm j trên thị trường(giá này biết trước). Khi đó
tổng doanh thu bán hàng của doanh nghiệp là:
TR(Q1,Q2,,Qn)= P1Q1+ P2Q2++ PnQn=
Gọi TC(Q1,Q2,,Qn) là hàm tổng chi phí sản xuất ra các sản
phẩm. Từ đó ta sẽ tính được tổng lợi nhuận của doanh nghiệp thu được
từ việc bán các sản phẩm :
=TR-TC=- TC(Q1,Q2,,Qn); như vậy bài toán trở thành : xác
định Qj để cho tổng lợi nhuận của doanh nghiệp cực đại.
å
=
n
j
jj
QP
1
Ứng dụng trong phân tích kinh tế
1. Tìm lợi nhuận tối đa trong doanh nghiệp sản xuất
nhiều loại hàng hoá ở thị trường cạnh tranh hoàn hảo
* Điều kiện cần để max
d=0 hay : 1 = 0 MR1= P1 =MC1
2 = 0 ==> MR2=P2 =MC2
.
n = 0 MRn=Pn =MCn
giải hệ trên ta sẽ xác định được M(Q1,Q2,,Qn)
* Ta kiểm tra điều kiện đủ tạ M
Ứng dụng trong phân tích kinh tế
* Điều kiện cần để max
d=0 hay : 1 = 0 MR1= P1 =MC1
2 = 0 ==> MR2=P2 =MC2
.
n = 0 MRn=Pn =MCn
giải hệ trên ta sẽ xác định được M(Q1,Q2,,Qn)
• Ta kiểm tra điều kiện đủ tạ M
Lập ma trận Hessian :
ở đây ij =-TCij
Ta đi kiểm tra dấu của các định thức |Hk|
nn2n1n
n22221
n11211
TC......TCTC
.......................
TC.....TCTC
TC.....TCTC
H
Ứng dụng trong phân tích kinh tế
Tối đa hoá lợi nhuận trong doanh nghiệp sản xuất nhiều loại hàng hoá
ở thị trường độc quyền
- Giả sử doanh nghiệp độc quyền có hàm chi phí là TC (Q1, Q2) = Q
2
1
+ Q1Q2 + Q
2
2 qua điều tra thị trường doanh nghiệp xác định hàm cầu về
sản phẩm Q1, Q2 như sau:
Q1 = 14 - P1 + P2 P1 - P2 = -Q1 + 14 (1)
Q2 = 24 + P1 - 2P2 P1 - 2P2 = Q2 - 24 (2)
Yêu cầu xác định Q1, Q2, P1, P2 để lợi nhuận doanh nghiệp đạt tối
ưu.
TR = P1Q1 + P2Q2;
Từ (1) => P1 = (14 - Q1) + P2 thế vào (2)
ta được 14 - Q1 + P2 - 2P2 = Q2 - 24
Ứng dụng trong phân tích kinh tế
=> P2 = 38 - Q1 - Q2
P1 = 14 - Q1 + 38 - Q1 - Q2 = 52 - 2Q1 - Q2
= TR - TC = (52 - 2Q1 - Q2)Q1 + (38 - Q1 - Q2)Q2 - (Q21 + Q1Q2 +
Q22)
= 52Q1 - 2Q21 - Q1Q2 + 38Q2 - Q1Q2 - Q21 - Q1Q2 - Q22
= -3Q21 - 3Q1Q2 + 52Q1 + 38Q2 - 2Q22
Điều kiện cần để max d = 0 'Q1 = 0
'Q2 = 0
-6Q1 - 3Q2 + 52 = 0 6Q1 + 3Q2 = 52
- 3Q1 + 38 - 4Q2 = 0 3Q1 + 4Q2 = 38
=> Q1 =
=> Q1 =
15
72
Q;
25
94
21
2
D
D
D
D QQ
Ứng dụng trong phân tích kinh tế
Tìm lợi nhuận tối đa trong doanh nghiệp sản xuất 1 loại sản phẩm đem
bán ở nhiều thị trường riêng biệt.
- Mặc dù khi nghiên cứu ở thị trường 1 loại hàng hoá vẫn có thể gặp
nhiều vấn đề về lựa chọn các biến cho phù hợp (2 hoặc thậm chí nhiều hơn
thế những lựa chọn). Khi chúng ta bán 1 sản phẩm ở 2 thị trường trở lên
(cả thị trường trong nước và thị trường nước ngoài) và chúng ta sẽ phải
quyết định lựa chọn xem nên bán ở các thị trường đó với khối lượng sản
phẩm là bao nhiêu để đạt được lợi nhuận tối đa. Để nghiên cứu vấn đề này
chúng ta nghiên cứu 3 thị trường tương ứng với 3 sự lựa chọn.
Chúng ta có các hàm tổng thu doanh thu và chi phí:
TR = TR1(Q1) + TR2(Q2) + TR3(Q3)
TC = TC(Q) ở đây Q = Q1 + Q2 + Q3
Ứng dụng trong phân tích kinh tế
Tìm lợi nhuận tối đa trong doanh nghiệp sản xuất 1 loại sản phẩm đem
bán ở nhiều thị trường riêng biệt.
- Hàm lợi nhuận của doanh nghiệp là:
= TR - TC = TR1(Q1) + TR2(Q2) + TR3(Q3)- TC(Q)
với mỗi đạo hàm riêng i = / Qi (i = 1,2,3)
Để lợi nhuận đạt cực trị (cực đại) 1 = 2 = 3 = 0. Ta có TC'(Q)
= TR'1(Q1) = TR'2(Q2) = TR'3(Q3) điều này có nghĩa là MC = MR1 =
MR2 = MR3
Như vậy ở mỗi thị trường chúng ta luôn phải lấy MRi bằng với MC
của cả khối lượng sản phẩm được bán ra ở cả 3 thị trường. Bây giờ ta xét
mối quan hệ giữa giá cả từ hàng hoá ở từng thị trường với MR ở từng thị
trường đó.
Ứng dụng trong phân tích kinh tế
Tìm lợi nhuận tối đa trong doanh nghiệp sản xuất 1 loại sản phẩm đem
bán ở nhiều thị trường riêng biệt.
Theo như lý thuyết ta có các trường hợp sau:
(1) |H1| = TR1'' - TC'' < 0, có nghĩa là độ dốc (h/s góc) của đường MR1
sẽ nhỏ hơn độ dốc của đường MC.
(2) |H2| = (TR'' - TC'') (TR2'' - TC'') - (TC'')2 > 0
hoặc TR1'' TR2'' - (TR1'' + TR2'') TC'' > 0
(3) |H3| = TR1'' TR2'' TR3'' - (TR1'' TR2'' + TR1'' TR3'' + TR2'' TR3'')
TC'' < 0
Như vậy điều kiện đủ để doanh nghiệp có lợi nhuận tối đa là:
|H1| 0 ; |H3| < 0
ú
ú
ú
û
ù
ê
ê
ê
ë
é
---
---
---
=
)''TC''TR(TCTC
TC)''TC''TR(TC
TCTC)''TC''TR(
H
2
''''
''
2
''
''''
1
III. TỐI ƯU HOÁ VỚI RÀNG BUỘC ĐẲNG THỨC
(CỰC TRỊ CÓ ĐIỀU KIỆN)
1. Phương pháp nhân tử Lagrange để giải bài
toán cực trị có ràng buộc
2. Trường hợp bài toán có nhiều biến lựa
chọn
3. Ứng dụng trong phân tích kinh tế
Phương pháp nhân tử Lagrange để giải
bài toán cực trị có ràng buộc
- Theo cách trên, ta giải quyết vấn đề bằng cách cài
1 trong 2 biến phụ thuộc vào biến kia. Sau đó dùng
phương pháp thế để giảm bớt ẩn số, nhưng thực tế biểu
thức ràng buộc rất phức tạp, do vậy phương pháp thế
sẽ không còn hiệu quả. Nhà toán học Lagrange đưa ra
một phương pháp mới cho phép bài toán có cực trị có
điều kiện về bài toán cực trị tự do mà vẫn giữ vai trò
bình đẳng của các biến chọn.
Thật vậy: khảo sát cực trị của hàm số sau:
y=f(x,y) với điều kiện G(x,y)=B0
Phương pháp nhân tử Lagrange để
giải bài toán cực trị có ràng buộc
Xuất phát từ hàm mục tiêu và điều kiện ràng buộc ta lập
hàm số, gọi là hàm Lagrange.
L = L (, x, y) = f(x,y) + [ B0 - G(x,y)] (4)
Hàm (4) có thêm 1 biến chọn , gọi là nhân tử Lagrange,
chú ý rằng với tất cả các điểm M(x,y) thoả mãn điều kiện ràng
buộc, tức là khi xét các biến chọn chỉ trong miền biến thiên đã
bị thu hẹp bởi điều kiện ràng buộc, hàm mục tiêu đồng nhất
với hàm số L.
Phương pháp nhân tử Lagrange để giải
bài toán cực trị hai bien có 1 ràng buộc
+ Như vậy điều kiện cần để hàm số f(x,y) với
ràng buộc đạt cực trị quy về điều kiện cần để
hàm Lagrange đạt cực trị không có điều kiện.
0)y,x(GB
L
0
y
G
y
f
y
L
0
x
G
x
f
x
L
0
Phương pháp nhân tử Lagrange để giải
bài toán cực trị hai bien có 1 ràng buộc
+ * Điều kiện đủ:
- Giả sử tại (0, x0, y0) đạo hàm bậc nhất của hàm
Lagrange triệt tiêu khi đó nó là nghiệm của hệ phương trình
(5)
Xét ma trận: Hessian Border
Định lý: Nếu định thức |H| > 0 (<0) thì hàm số L đạt
giá trị cực đại (giá trị cực tiểu) tại điểm M(x0, y0)
22212
12111
21
LLg
LLg
gg0
H
2
2
2221
2
122
2
1121 ;;;;
y
y
LL
yx
L
L
x
L
L
y
g
g
x
g
g
Xét cực trị có điều kiện với n biến chọn và
một phương trình ràng buộc
Xét bài toán: Tìm cực trị hàm số y = f(x1, x2, ..., xn)
(6)
Với điều kiện: G(x1, x2,..., xn) = B0 (7)
+ Hàm số Lagrange:
L = L(, x1, x2..., xn) = f(x1, x2, ..., xn) + [ B0 - G(x1,
x2..., xn)]
+ Điều kiện cần:
Biến (x1, x2,...xn) mà tại đó hàm số (6) có khả năng
đạt cực trị về điều kiện (7) được tìm cùng với một giá trị
= của nhân tử Lagrange từ hệ phương trình:
Xét cực trị có điều kiện với n biến chọn và
một phương trình ràng buộc
Trong đó các đạo hàm riêng:
được tính tại điểm dừng (của hàm Lagrange.
+ Điều kiện đủ (kiểm tra xem cực đại
hay cực tiểu)
Để kiểm tra những điểm thoả mãn
điều kiện cần ta lập ma trận:
( ) )n..1j,i(
xx
L
L;n1i,
x
G
g
ji
2
ij
i
i
=
¶¶
¶
=-=
¶
¶
=
0)x,...,x,x(GB
L
0
x
G
x
f
x
L
............................
0
x
G
x
f
x
L
0
x
G
x
f
x
L
n210
nnn
222
111
nn2n1nn
n222212
n112111
n21
L...LLg
..............
L..LLg
L...LLg
g...gg0
H
Xét cực trị có điều kiện với n biến chọn và
một phương trình ràng buộc
Định lý:
Nếu (-1) > 0 với k = 2, 3,...n tức là:
thì hàm số L đạt giá trị cực đại tại điểm M (Nếu với k = 2, 3,...
n thì hàm số L đạt cực tiểu tại điểm M (
Nếu với k = 2, 3,... n thì hàm số L đạt cực tiểu tại
điểm M (
kH
0H)1(;....;0H;0H nn32
),...,, 21 nxxx
0H k
),...,, 21 nxxx
Ứng dụng trong phân tích kinh tế
Tối ưu hoá lợi ích và nhu cầu của người tiêu dùng
Bài toán: Ta xét lại bài toán tối đa hoá lợi ích của người tiêu
dùng trong phần I của chương này. Đó là cực đại hoá hàm lợi ích U
= U(x1, x2, xn) với điều kiện TC(x1, x2, xn) =P1x1 + P2x2++
Pnxn= B0. Trong đó P1, P2, Pn là giá thị trường của các mặt hàng
trong cơ cấu mua sắm (x1, x2, xn); B0 là thu nhập dành cho tiêu
dùng.
Giải:Lập hàm Lagrange: L= U(x1, x2, xn) + (B0 –P1 x1–P2
x2- Pnxn)
* Điều kiện cần:
Chúng ta tính các đạo hàm riêng phần: L, L1, L2 Ln và cho
chúng bằng 0.
02
n
2
2
1
1
B
L
P
MU
...
P
MU
P
MU
Ứng dụng trong phân tích kinh tế
Tối ưu hoá lợi ích và nhu cầu của người tiêu dùng
Nhân tử phản ánh ảnh hưởng của thu nhập đối với lợi ích tối đa của
người tiêu dùng khi có thêm 1 đồng thu nhập, lợi ích tối đa của người tiêu dùng
sẽ tăng thêm khoảng đơn vị.
* Điều kiện đủ:
Ta đi tính các đạo hàm riêng :
)n..1j,i(U
xx
U
xx
L
L;n1i , P
x
TC
g ij
ji
2
ji
2
iji
i
i
nn2n1nn
n222212
n112111
n21
U...UUP
..........
U...UUP
U...UUP
P...PP0
H
Ta lập ma trận Hessian
Boder
Để tối đa lợi ích thì cấn điều kiện:
0H)1(;....;0H;0H nn32
Ứng dụng trong phân tích kinh tế
Sản xuất với sản lượng tối đa
Bài toán: Một hãng sản xuất cạnh tranh một loại sản
phẩm và hàm sản xuất là Q=f(x1, x2, xn). Giả sử hãy tiến
hành sản xuất với một ngân sách B0 cố định chi cho việc mua
các yếu tố sản xuất (x1, x2, xn). Yêu cầu được đặt ra:
Xác định số lượng các yếu tố đầu vào được sử dụng để sản
xuất ra thật nhiều sản phẩm nhưng tổng chi phí dành cho sản
xuất là nhỏ nhất. Tức là:
Cực đại hàm số: Q=f(x1, x2, xn). với điều kiện
TC(x1, x2, xn) =P1X1 + P2X2++ PnXn= B0. Trong đó:
Pj là giá của mỗi một đơn vị đầu vào j.
Ứng dụng trong phân tích kinh tế
Sản xuất với sản lượng tối đa
Giải :
Ta lập hàm L= f(x1, x2, xn)+ [ B0- (P1x1 + P2x2++ Pnxn)]
* Điều kiện cần: dL = 0 => L1 = L2 = ... = L = 0
0Px...PxPxBL
0 PMPP
x
TC
x
Q
L
.........
0 PMPP
x
TC
x
Q
L
0 PMPP
x
TC
x
Q
L
nn22110
nn
nn
n
22
22
2
11
11
1
02
n
2
2
1
1
B
L
P
MPP
...
P
MPP
P
MPP
Ý nghĩa kinh tế của : Khi tổng ngân sách dành cho sản xuất
mà tăng lên 1 đơn vị thì số lượng sản phẩm sản xuất sẽ tăng
thêm một lượng là .
Ứng dụng trong phân tích kinh tế
Sản xuất với sản lượng tối đa
Giải :
* Điều kiện đủ:
Ta đi tính các đạo hàm riêng :
)n..1j,i(Q
xx
Q
xx
L
L;n1i , P
x
TC
g ij
ji
2
ji
2
iji
i
i
nn2n1nn
n222212
n112111
n21
Q...QQP
..........
Q...QQP
Q...QQP
P...PP0
H
Để tối đa lợi ích thì cấn điều
kiện:
0H)1(;....;0H;0H nn32
Ứng dụng trong phân tích kinh tế
Sản xuất với sản lượng tối đa
Ví dụ: Với hàm sản xuất Q = L0,6 K0,25, WL = 8, WK = 5
và B = 680 hãng phải lựa chọn một tổ hợp yếu tố sản xuất (L,
K) để đạt mức sản xuất lớn nhất trong điều kiện ngân sách có
hạn, tức là cực đại hoá hàm số: Q = f(L, K) = L0,6 K0,25 với
điều kiện: 8L + 5K = 680, giải bài này theo phương pháp nhân
tố Lagrange ta tìm được: L = 60, K = 40.
Ứng dụng trong phân tích kinh tế
Sản xuất với chi phí tối thiểu các đầu vào
Ta gọi Q0 là mức sản lượng doanh nghiệp dự kiến
sản xuất. Khi đó bài toán trở thành:
Xác định xj>0 (j=1n) để cho hàm số:
(chi phí sản xuất nhỏ nhất)
Nhưng với điều kiện ràng buộc về số đơn vị sản
phẩm cần sản xuất:
Q= f(x1, x2xn) = Q0
minxP j
n
1j
j
Ứng dụng trong phân tích kinh tế
Sản xuất với chi phí tối thiểu các đầu vào
Giải:
* Điều kiện đủ:
Ta đi tính các đạo hàm riêng :
)n..1j,i(Q
xx
Q
xx
L
L;n1i , MPP
x
Q
g ij
ji
2
ji
2
iji
i
i
nn2n1nn
n222212
n112111
n21
Q...QQMPP
..........
Q...QQMPP
Q...QQMPP
MPP...MPPMPP0
H
Để tối thiểu hoá
ngân sách dành cho
tiêu dùng thì cấn
điều kiện:
)n...2(k;0Hk
Ứng dụng trong phân tích kinh tế
Ví dụ: Với Q = 25 L0,5 K0, 5, PL = 3, PK = 12 và Q0 =
1250. Yêu cầu cực tiểu hoá hàm số: L = 3L + 12K với điều kiện
25 L0,5 K0, 5 = 1250, giải bài toán này theo phương pháp
Lagrange ta tìm được phương án sử dụng các yếu tố sản xuất
với chi phí tối thiểu là: L = 100, K = 25
Ứng dụng trong phân tích kinh tế
Tối đa hoá lợi nhuận của hãng độc quyền.
Để giải bài toán đặt ra trước hết ta đảo ngược các hàm cầu:
P1 = 210 - 10Q1
P2 = 125 - 2,5Q2
Trong cả 2 trường hợp, tổng doanh thu của cả 2 thị trường là:
TR = P1Q1 + P2Q2 = (210 - 10Q1) Q1 + (125 - 2,5Q2)Q2
Tổng lợi nhuận thu được là: = TR - TC
= (210 - 10Q1) Q1 + (125 - 2,5Q2)Q2 - 2000 - 10(Q1+Q2) =
= -10Q12 -2,5Q22 +200Q1 +115Q2 -2000
Bài toán đặt ra là lựa chọn Q1, Q2 để hàm tổng lợi nhuận đạt giá
trị lớn nhất, nhưng có sự khác giữa trường hợp phân biệt giá và trường
hợp giá bán ở 2 thị trường như nhau
Ứng dụng trong phân tích kinh tế
+ Trong trường hợp không phân biệt giá ta phải giải bài toán
cực đại hoá hàm tổng lợi nhuận với điều kiện ràng buộc:
P1 = P2
210 - 10Q1 = 125 - 2,5Q2 10Q1 - 2,5Q2 = 85
Hàm số Lagrange là:
L = 200Q1 + 115Q2 - 10Q21 - 2,5Q22 - 2000 + (85 - 10Q1
+ 2,5Q2)
Điều kiện cần của cực trị là:
L1 = 200 - 20Q1 - 10 = 0 Q1 = 13,4
L2 = 115 - 5Q2 + 2,5 = 0 Q2 = 19,6
L = 85 - 10Q1 + 2,5Q2 = 0 = -6,8
- Điều kiện đủ: 0LL ;5L ;20L ; 5,2g ;10g 2112221121
Các file đính kèm theo tài liệu này:
- toan_kinh_te_5968.pdf