Bài giảng Toán kinh tế - Chương 1: Ma trận và hệ phương trình tuyến tính

KHOA TOÁN – THỐNG KÊ BỘ MÔN TOÁN KINH TẾ MÔN TOÁN KINH TẾ 1 CHƢƠNG 1. MA TRẬN VÀ HỆ PHƢƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH  Ma trận  Hệ phƣơng trình tuyến tính  Áp dụng các mô hình kinh tế 16/02/2016 C01120 - MA TRẬN VÀ HỆ PHƢƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH 1 MA TRẬN (MATRIX)  Khái niệm và ví dụ  Các loại ma trận  Các phép toán: chuyển vị, cộng, trừ, nhân  Ma trận bậc thang  Các phép biến đổi sơ cấp  Hạng ma trận  Ma trận nghịch đảo  Định thức 16/02/2016 C01120 - MA TRẬN VÀ HỆ PHƢƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH 2 KHOA TOÁN – THỐNG KÊ BỘ MÔN TOÁN KINH TẾ MÔN TOÁN KINH TẾ 2 KHÁI NIỆM MA TRẬN (MATRIX) 11 12 1 21 22 2 1 2 ... ... ... ... ... ... n n m m ij mn a a a a a a a A a a a               Dòng i Cột j m n Kí hiệu: ( )ij m nA a  16/02/2016 C01120 - MA TRẬN VÀ HỆ PHƢƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH 3 VD 1 2 5 0 3 6 A 2 3( )A M 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a KHÁI NIỆM MA TRẬN (MATRIX) KHOA TOÁN – THỐNG KÊ BỘ MÔN TOÁN KINH TẾ MÔN TOÁN KINH TẾ 3 MỘT SỐ VÍ DỤ MA TRẬN 65536 x 256 16/02/2016 C01120 - MA TRẬN VÀ HỆ PHƢƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH 5 8 x 8 MỘT SỐ VÍ DỤ MA TRẬN 16/02/2016 C01120 - MA TRẬN VÀ HỆ PHƢƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH 6 KHOA TOÁN – THỐNG KÊ BỘ MÔN TOÁN KINH TẾ MÔN TOÁN KINH TẾ 4 Pixel (picture element) 1.3 Megapixel (Mpx) = 1280 x 1024 pixel 14.1 Mpx = 4320 x 3240 pixel MỘT SỐ VÍ DỤ MA TRẬN 16/02/2016 C01120 - MA TRẬN VÀ HỆ PHƢƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH 7 MỘT SỐ VÍ DỤ MA TRẬN 16/02/2016 C01120 - MA TRẬN VÀ HỆ PHƢƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH 8 KHOA TOÁN – THỐNG KÊ BỘ MÔN TOÁN KINH TẾ MÔN TOÁN KINH TẾ 5 MỘT SỐ VÍ DỤ MA TRẬN 16/02/2016 C01120 - MA TRẬN VÀ HỆ PHƢƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH 9 Ma trận dòng 11 12 1 1 ( ) ( ) nn A Ma a a Ma trận cột 21 1 11 1 ( ) m m A M a a a CÁC LOẠI MA TRẬN KHOA TOÁN – THỐNG KÊ BỘ MÔN TOÁN KINH TẾ MÔN TOÁN KINH TẾ 6 MA TRẬN VUÔNG 11 12 1 21 22 2 1 2 ... ... ... ... ... ... ... n n n n nn a a a a a a A a a a             n n Đường chéo chính Đường chéo phụ 16/02/2016 C01120 - MA TRẬN VÀ HỆ PHƢƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH 11 MA TRẬN CHÉO Ma trận vuông có các phần tử nằm ngoài đường chéo chính bằng 0. 1 0 0 0 0 0 0 3 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 5 0 0 0 0 0 0 1                   6 x 6 16/02/2016 C01120 - MA TRẬN VÀ HỆ PHƢƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH 12 KHOA TOÁN – THỐNG KÊ BỘ MÔN TOÁN KINH TẾ MÔN TOÁN KINH TẾ 7 MA TRẬN ĐƠN VỊ Ma trận chéo có các phần tử nằm trên đường chéo chính đều bằng 1, kí hiệu In. 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1                    6x6 16/02/2016 C01120 - MA TRẬN VÀ HỆ PHƢƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH 13 MA TRẬN TAM GIÁC TRÊN Ma trận vuông có các phần tử nằm phía dưới đường chéo chính đều bằng 0. 1 2 5 0 6 0 0 2 0 1 0 7 0 0 1 0 0 3 0 0 0 2 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 1                   6x6 16/02/2016 C01120 - MA TRẬN VÀ HỆ PHƢƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH 14 KHOA TOÁN – THỐNG KÊ BỘ MÔN TOÁN KINH TẾ MÔN TOÁN KINH TẾ 8 11 21 22 1 2 0 ... 0 ... 0 ... n n nn a a a a a a MA TRẬN TAM GIÁC DƢỚI 1 1 0 3 4 3 3 5 4 0 0 1 2 2 25 MA TRẬN ĐỐI XỨNG KHOA TOÁN – THỐNG KÊ BỘ MÔN TOÁN KINH TẾ MÔN TOÁN KINH TẾ 9 CÁC PHÉP TOÁN TRÊN MA TRẬN PHÉP CHUYỂN VỊ     Cho ma traän ( ) Ma traän chuyeån vò cuûa kí hieäu laø ( ) ij m n T ji n m A a A A a 16/02/2016 C01120 - MA TRẬN VÀ HỆ PHƢƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH 17 PHÉP CỘNG (TRỪ) Cho ma traän ( ) , ( ) ( ) ij m n ij m n ij ij m n A a B b C A B a b          CÁC PHÉP TOÁN TRÊN MA TRẬN 16/02/2016 C01120 - MA TRẬN VÀ HỆ PHƢƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH 18 KHOA TOÁN – THỐNG KÊ BỘ MÔN TOÁN KINH TẾ MÔN TOÁN KINH TẾ 10 PHÉP NHÂN VỚI SỐ THỰC Cho ma traän ( ) , ( ) ij m n ij m n A a A a         CÁC PHÉP TOÁN TRÊN MA TRẬN 16/02/2016 C01120 - MA TRẬN VÀ HỆ PHƢƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH 19 PHÉP NHÂN 1 Cho ma traän ( ) , ( ) ( ) , ik m kj p n ij m p ij i n n k kj k A a B b C AB c c a b          1 1 2 2 3 3 ... ij i j i j i j in nj c a b a b a b a b     CÁC PHÉP TOÁN TRÊN MA TRẬN 16/02/2016 C01120 - MA TRẬN VÀ HỆ PHƢƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH 20 KHOA TOÁN – THỐNG KÊ BỘ MÔN TOÁN KINH TẾ MÔN TOÁN KINH TẾ 11 PHÉP NHÂN Cột j của ma trận B   1 2 1 2 3 3 ... n n j j i i i i j j b b a a a a b b                   Dòng i của ma trận A 1 1 2 2 3 3 ... ij i j i j i j in nj c a b a b a b a b     CÁC PHÉP TOÁN TRÊN MA TRẬN 16/02/2016 C01120 - MA TRẬN VÀ HỆ PHƢƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH 21 CÁC PHÉP TOÁN TRÊN MA TRẬN PHÉP NHÂN 16/02/2016 C01120 - MA TRẬN VÀ HỆ PHƢƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH 22 KHOA TOÁN – THỐNG KÊ BỘ MÔN TOÁN KINH TẾ MÔN TOÁN KINH TẾ 12 CÁC PHÉP TOÁN TRÊN MA TRẬN PHÉP NHÂN 16/02/2016 C01120 - MA TRẬN VÀ HỆ PHƢƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH 23 TÍNH CHẤT .f .g .h .i 16/02/2016 C01120 - MA TRẬN VÀ HỆ PHƢƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH 24 KHOA TOÁN – THỐNG KÊ BỘ MÔN TOÁN KINH TẾ MÔN TOÁN KINH TẾ 13 NHẬN XÉT 16/02/2016 C01120 - MA TRẬN VÀ HỆ PHƢƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH 25 MA TRẬN BẬC THANG Là ma trận thỏa hai yêu cầu sau:  Các phần tử khác 0 đầu tiên ở mỗi dòng (phần tử được đánh dấu) phải nằm thụt dần vào từ trái sang phải theo thứ tự dòng.  Các dòng 0 (nếu có) luôn nằm dưới các dòng ≠ 0. 16/02/2016 C01120 - MA TRẬN VÀ HỆ PHƢƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH 26 KHOA TOÁN – THỐNG KÊ BỘ MÔN TOÁN KINH TẾ MÔN TOÁN KINH TẾ 14 Tương tự, ta có các phép biến đổi sơ cấp trên cột. CÁC PHÉP BIẾN ĐỔI SƠ CẤP TRÊN DÒNG          ' ' Ñoåi choã hai doøng cho nhau: Nhaân moät doøng cho moät soá khaùc 0: Coäng vaøo moät doøng boäi cuû Loaïi 1: Loaïi 2: L a doøng koaïi 3 h : aùc: , 0 : , : i j i i i i j d d d d d d d j i 16/02/2016 C01120 - MA TRẬN VÀ HỆ PHƢƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH 27 HẠNG MA TRẬN Hạng của ma trận A là tổng số dòng khác 0 khi đưa ma trận đó về dạng bậc thang. Kí hiệu: rank(A) Nhận xét: (i) Nếu A là ma trận cấp mxn thì rank(A) ≤ min{m,n} (ii) rank(A) = rank(AT) 16/02/2016 C01120 - MA TRẬN VÀ HỆ PHƢƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH 28 KHOA TOÁN – THỐNG KÊ BỘ MÔN TOÁN KINH TẾ MÔN TOÁN KINH TẾ 15 MA TRẬN KHẢ NGHỊCH Cho A là ma trận vuông cấp n. Ma trận A được gọi là khả nghịch nếu tồn tại ma trận vuông cấp n B sao cho: A.B = B.A = In. Khi này ma trận B gọi là ma trận nghịch đảo của A và ngược lại. Kí hiệu: A–1. 16/02/2016 C01120 - MA TRẬN VÀ HỆ PHƢƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH 29 MA TRẬN KHẢ NGHỊCH Tính chất: 1 1 1 1 1 1 1 ) ( ) ) rank( ) ) ( ) ) ( ) ( )T T i A A ii A n iii AB B A iv A A            16/02/2016 C01120 - MA TRẬN VÀ HỆ PHƢƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH 30 KHOA TOÁN – THỐNG KÊ BỘ MÔN TOÁN KINH TẾ MÔN TOÁN KINH TẾ 16 ĐỊNH THỨC  Khái niệm  Tính chất  Các cách tính định thức cấp cao 16/02/2016 C01120 - MA TRẬN VÀ HỆ PHƢƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH 31 KHÁI NIỆM ĐỊNH THỨC Cho A là ma trận vuông cấp n. Định thức của A là số thực đặc trưng của ma trận, kí hiệu det(A) hoặc │A│. Định thức được xác định dựa vào cấp ma trận như sau:  Cấp n = 1: det(A) = │a11│= a11  Cấp n = 2:   11 12 11 22 12 21 21 22 det . . a a A a a a a a a    16/02/2016 C01120 - MA TRẬN VÀ HỆ PHƢƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH 32 KHOA TOÁN – THỐNG KÊ BỘ MÔN TOÁN KINH TẾ MÔN TOÁN KINH TẾ 17 KHÁI NIỆM ĐỊNH THỨC  Cấp n = 3: 11 12 13 11 22 33 12 23 31 21 32 13 21 22 23 11 23 32 12 21 33 13 22 31 31 32 33 ) a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a      11 12 13 21 22 23 31 32 33 a a a a a a a a a 11 12 13 21 22 23 31 32 33 a a a a a a a a a 16/02/2016 C01120 - MA TRẬN VÀ HỆ PHƢƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH 33 KHÁI NIỆM ĐỊNH THỨC  Cấp n ≥ 4: dùng phép biến đổi sơ cấp loại 3 đưa ma trận A về dạng bậc thang, khi này định thức của nó bằng tích các phần tử trên đường chéo chính: det(An) = a11.a22.a33ann. 16/02/2016 C01120 - MA TRẬN VÀ HỆ PHƢƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH 34 KHOA TOÁN – THỐNG KÊ BỘ MÔN TOÁN KINH TẾ MÔN TOÁN KINH TẾ 18 Tính chất 1: i) Nếu đổi chỗ hai dòng (cột) bất kì thì định thức đổi dấu. ii) Nếu nhân vào một dòng (cột) với số thực k ≠ 0 thì định thức tăng k lần. iii) Nếu cộng vào một dòng (cột) bội lần của dòng (cột) khác thì định thức không đổi. TÍNH CHẤT ĐỊNH THỨC 16/02/2016 C01120 - MA TRẬN VÀ HỆ PHƢƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH 35 Tính chất 2: Cho A, B là các ma trận vuông cấp n. Ta có: T 1 ( ) det( ) det( ) ( ) det( ) det( ).det( ) ( ) det( ) det( ), 1 ( ) det( ) det( ) n i A A ii AB A B iii cA c A c iv A A       TÍNH CHẤT ĐỊNH THỨC (v) A khả nghịch  detA ≠ 0 16/02/2016 C01120 - MA TRẬN VÀ HỆ PHƢƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH 36 KHOA TOÁN – THỐNG KÊ BỘ MÔN TOÁN KINH TẾ MÔN TOÁN KINH TẾ 20 CÁC CÁCH TÍNH ĐỊNH THỨC CÁC CÁCH TÍNH ĐỊNH THỨC • Định lý Laplace về khai triển định thức Cho ma trận ) ij n a . Gọi ( 1) det( )i j ij ij M là phần bù đại số của phần tử ij a .  Khai triển theo dòng thứ i 1 1 2 2 det ... i i i i in in A a A a A a A  Khai triển theo cột thứ j 1 1 2 2 det ... j j j j nj nj A a A a A a A 16/02/2016 C01120 - MA TRẬN VÀ HỆ PHƢƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH 40 KHOA TOÁN – THỐNG KÊ BỘ MÔN TOÁN KINH TẾ MÔN TOÁN KINH TẾ 21 CÁC CÁCH TÍNH ĐỊNH THỨC • Dạng ma trận chia khối Nếu A, C là hai ma trận vuông và O là ma trận không thì ta có det .det A A A B O C C B CO 16/02/2016 C01120 - MA TRẬN VÀ HỆ PHƢƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH 41 HỆ PHƢƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH  Dạng tổng quát  Phƣơng pháp Gauss 16/02/2016 C01120 - MA TRẬN VÀ HỆ PHƢƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH 42 KHOA TOÁN – THỐNG KÊ BỘ MÔN TOÁN KINH TẾ MÔN TOÁN KINH TẾ 22 DẠNG TỔNG QUÁT 11 1 12 2 1 1 21 1 22 2 2 2 1 1 2 2 ... ... ... n n n n m m mn n m a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b 1,2,.., ( ; 1,2, )..,., . ij i i mb j na 16/02/2016 C01120 - MA TRẬN VÀ HỆ PHƢƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH 43 Ma trận hệ số 11 12 1 21 22 2 1 2 ( ) n n m n m m mn a a a a a a A M a a a DẠNG TỔNG QUÁT 16/02/2016 C01120 - MA TRẬN VÀ HỆ PHƢƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH 44 KHOA TOÁN – THỐNG KÊ BỘ MÔN TOÁN KINH TẾ MÔN TOÁN KINH TẾ 23 Ma trận cột của hệ số tự do 1 2 1 1 ( ) ( ) i m m m b b B b M b DẠNG TỔNG QUÁT 16/02/2016 C01120 - MA TRẬN VÀ HỆ PHƢƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH 45 Ma trận cột của ẩn 1 2 1 1 ( ) ( ) j n n n x x X x M x Hệ phương trình được viết dưới dạng ma trận là AX B DẠNG TỔNG QUÁT 16/02/2016 C01120 - MA TRẬN VÀ HỆ PHƢƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH 46 KHOA TOÁN – THỐNG KÊ BỘ MÔN TOÁN KINH TẾ MÔN TOÁN KINH TẾ 24 • 1 2 n được gọi là một nghiệm của hệ ( )I nếu A B  Quy ước Để cho gọn, ta viết nghiệm dưới dạng 1 2 ( ; ;...; ). n DẠNG TỔNG QUÁT 16/02/2016 C01120 - MA TRẬN VÀ HỆ PHƢƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH 47 PHƢƠNG PHÁP GAUSS Xét hệ AX B ( )I với ma trận mở rộng như sau 11 12 1 1 21 22 2 2 1 2 n n m m mn m a a a b a a a b A A B a a a b . 16/02/2016 C01120 - MA TRẬN VÀ HỆ PHƢƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH 48 KHOA TOÁN – THỐNG KÊ BỘ MÔN TOÁN KINH TẾ MÔN TOÁN KINH TẾ 25 Định lý Kronecker - Capelli (i) Nếu rank(A) < rank(A|B) thì hệ vô nghiệm. (ii) Nếu rank(A) = rank(A|B) = n thì hệ có nghiệm duy nhất. (iii) Nếu rank(A) = rank(A|B) = r < n thì hệ có vô số nghiệm với (n-r) ẩn tự do. PHƢƠNG PHÁP GAUSS 16/02/2016 C01120 - MA TRẬN VÀ HỆ PHƢƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH 49 Phƣơng pháp giải hệ. • Bƣớc 1. Lập ma trận mở rộng A . • Bƣớc 2. Đưa A về bậc thang bởi các phép biến đổi sơ cấp trên dòng. • Bƣớc 3. Viết lại hệ và giải ngược từ dưới lên trên. PHƢƠNG PHÁP GAUSS 16/02/2016 C01120 - MA TRẬN VÀ HỆ PHƢƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH 50 KHOA TOÁN – THỐNG KÊ BỘ MÔN TOÁN KINH TẾ MÔN TOÁN KINH TẾ 26  Chú ý Trong quá trình thực hiện bƣớc 2, nếu: i) có hai dòng tỉ lệ thì ta xóa đi một dòng; ii) có dòng nào bằng không thì ta xóa đi dòng đó; iii) có ít nhất một dòng ở dạng (0 0 | )b ( 0)b thì ta kết luận hệ ( )I vô nghiệm. PHƢƠNG PHÁP GAUSS Mô hình Input - Output Mô hình cân bằng thị trƣờng Mô hình cân bằng giữa thu nhập quốc dân, tiêu dùng, thuế ỨNG DỤNG CÁC MÔ HÌNH KINH TẾ KHOA TOÁN – THỐNG KÊ BỘ MÔN TOÁN KINH TẾ MÔN TOÁN KINH TẾ 27 Nền kinh tế có n ngành (mỗi ngành sản xuất một loại hàng hóa) liên quan, một ngành có thể là đầu vào của chính nó và các ngành còn lại. Gọi:  cij là sản lượng ngành i mà ngành j cần để sản xuất ra 1 đơn vị sản lượng (để dễ dàng cho việc tính toán giữa các đơn vị tính khác nhau giữa các ngành, người ta thường quy đổi theo đơn vị tiền tệ)  di là lượng cầu tiêu dùng (cầu cuối cùng) ngành i  xi là sản lượng ngành i MÔ HÌNH INPUT – OUTPUT LEONTIEF 16/02/2016 C01120 - MA TRẬN VÀ HỆ PHƢƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH 53 Theo quy luật tổng cầu, ta có hệ phương trình: MÔ HÌNH INPUT – OUTPUT LEONTIEF 1 11 1 12 2 1 1 2 21 1 22 2 2 2 1 1 2 2 ... ... (*) ... n n n n n n n nn n n x c x c x c x d x c x c x c x d x c x c x c x d                    16/02/2016 C01120 - MA TRẬN VÀ HỆ PHƢƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH 54 KHOA TOÁN – THỐNG KÊ BỘ MÔN TOÁN KINH TẾ MÔN TOÁN KINH TẾ 28 Đặt các ma trận sau: MÔ HÌNH INPUT – OUTPUT LEONTIEF 11 12 1 21 22 2 1 2 n n n n nn c c c c c c C c c c             Input Output gọi là ma trận hệ số IO. 16/02/2016 C01120 - MA TRẬN VÀ HỆ PHƢƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH 55 Đặt các ma trận sau: MÔ HÌNH INPUT – OUTPUT LEONTIEF 1 2 n d d D d             Ma trận sản lượng Ma trận cầu tiêu dùng 1 2 n x x X x             16/02/2016 C01120 - MA TRẬN VÀ HỆ PHƢƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH 56 KHOA TOÁN – THỐNG KÊ BỘ MÔN TOÁN KINH TẾ MÔN TOÁN KINH TẾ 29 Hệ phương trình (*) dạng ma trận: X = C.X + D  (I – C).X = D gọi là hệ phương trình IO. Để tính sản lượng cần xuất (đầu ra), ta tìm ma trận X  giải hệ phương trình IO. MÔ HÌNH INPUT – OUTPUT LEONTIEF 16/02/2016 C01120 - MA TRẬN VÀ HỆ PHƢƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH 57  Cầu thị trường: o mô tả số lượng một hàng hoá hay dịch vụ mà người tiêu dùng sẽ mua ở các mức giá khác nhau trong một thời gian cụ thể, trong điều kiện các yếu tố không đổi. Thường được biểu diễn bằng hàm cầu theo giá Qd = f(P). o Quy luật cầu: Cầu thị trường tỉ lệ nghịch mức giá. MÔ HÌNH CÂN BẰNG THỊ TRƢỜNG 16/02/2016 C01120 - MA TRẬN VÀ HỆ PHƢƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH 58 KHOA TOÁN – THỐNG KÊ BỘ MÔN TOÁN KINH TẾ MÔN TOÁN KINH TẾ 30  Cung thị trường: o mô tả số lượng một hàng hoá hay dịch vụ mà người tiêu dùng sẽ mua ở các mức giá khác nhau trong một thời gian cụ thể, trong điều kiện các yếu tố không đổi. Thường được biểu diễn bằng hàm cung theo giá Qs = f(P). o Quy luật cầu: Cung thị trường tỉ lệ thuận mức giá. MÔ HÌNH CÂN BẰNG THỊ TRƢỜNG 16/02/2016 C01120 - MA TRẬN VÀ HỆ PHƢƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH 59  Giá cân bằng: o Kí hiệu P0, là mức giá mà tại đó lượng sản phẩm của những người muốn mua = lượng sản phẩm những người muốn bán: Qd(P0) = Qs(P0). o Nếu giá thị trường cao hơn giá cân bằng thì thị trường xảy ra thặng dư sản phẩm. Ngược lại tạo khan hiếm. MÔ HÌNH CÂN BẰNG THỊ TRƢỜNG 16/02/2016 C01120 - MA TRẬN VÀ HỆ PHƢƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH 60 KHOA TOÁN – THỐNG KÊ BỘ MÔN TOÁN KINH TẾ MÔN TOÁN KINH TẾ 31 MÔ HÌNH CÂN BẰNG THỊ TRƢỜNG Xét mô hình với n loại hàng hóa, trong đó hàm cung và hàm cầu phụ thuộc tuyến tính vào giá. Khi đó ta có các phương trình tuyến tính sau đây: trong đó Qsi , Qdi , pi lần lượt là lượng cung, lượng cầu và giá của hàng hóa thứ i. 0 1 1 2 2 0 1 1 2 2 ... ... si i i i in n di i i i in n Q a a p a p a p Q b b p b p b p 16/02/2016 C01120 - MA TRẬN VÀ HỆ PHƢƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH 61 Theo tính chất kinh tế, mô hình cân bằng thị trường đối với n loại hàng hóa được biểu diễn bởi các đẳng thức: Qsi = Qdi , i = 1,2,...n. Thay phương trình biểu diễn hàm cung và hàm cầu vào các đẳng thức trên, sau đó chuyển vế và đặt: cik = aik – bik, MÔ HÌNH CÂN BẰNG THỊ TRƢỜNG 16/02/2016 C01120 - MA TRẬN VÀ HỆ PHƢƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH 62 KHOA TOÁN – THỐNG KÊ BỘ MÔN TOÁN KINH TẾ MÔN TOÁN KINH TẾ 32 11 1 12 2 1 10 21 1 22 2 2 20 1 1 2 2 0 ... ... ..................... ... n n n n n n nn n n c p c p c p c c p c p c p c c p c p c p c Ta được hệ phương trình tuyến tính: MÔ HÌNH CÂN BẰNG THỊ TRƢỜNG  Nghiệm hệ là giá cân bằng của thị trường. 16/02/2016 C01120 - MA TRẬN VÀ HỆ PHƢƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH 63 MÔ HÌNH CÂN BẰNG GIỮA THU NHẬP QUỐC DÂN, TIÊU DÙNG, THUẾ Y là tổng thu nhập quốc dân, C là tiêu dùng của dân cư, T là thuế. Io là mức đầu tư cố định theo kế hoạch chính phủ. Go là mức chi tiêu cố định của chính phủ. Mức cân bằng giữa thu nhập quốc dân, tiêu dùng và thuế thoả mãn các phương trình kinh tế: 16/02/2016 C01120 - MA TRẬN VÀ HỆ PHƢƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH 64 KHOA TOÁN – THỐNG KÊ BỘ MÔN TOÁN KINH TẾ MÔN TOÁN KINH TẾ 33 0 0 ( ) , 0,0 1 , 0,0 1 Y C I G C a b Y T a b T d tY d t a, b, d, t và I0, G0 là các hằng số. MÔ HÌNH CÂN BẰNG GIỮA THU NHẬP QUỐC DÂN, TIÊU DÙNG, THUẾ 16/02/2016 C01120 - MA TRẬN VÀ HỆ PHƢƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH 65