Bài giảng Toán kinh tế 1 - Chương 5: Hàm nhiều biến - Nguyễn Ngọc Lam

118 C5. HÀM NHIỀU BIẾN 1. MỘT SỐ KHÁI NIỆM CƠ BẢN Không gian n chiều: Một bộ gồm n số thực được sắp xếp thứ tự, ký hiệu (x1, x2, xn) (xi  R, i = 1,.. n) được gọi là một điểm n - chiều. Tập hợp các điểm n - chiều được ký hiệu là Rn. Rn = {x = (x1, x2, xn): xi  R, i = 1,.. n} Trong đó xi là toạ độ thứ i của điểm x. 119 C5. HÀM NHIỀU BIẾN Khoảng cách 2 điểm: x = (x1,x2, xn), y = (y1,y2, yn)  R n:    n i ii yxyxd 1 2)(),( Lân cận: Cho x0R n và số r > 0. Tập S(x0, r) = {x  R n: 0 < d(x,x0) < r} được gọi là một lân cận của x0. 120 C5. HÀM NHIỀU BIẾN Điểm biên: Điểm x0  R n được gọi là điểm biên của D  Rn nếu mọi lân cận của x0 đều chứa ít nhất các điểm x, y: x  D, y  D. Tập hợp mọi điểm biên của D được gọi là biên của D. Điểm trong: Điểm x0R n được gọi là điểm trong của D  Rn nếu D chứa một lân cận của x0. Tập đóng: Nếu biên của D thuộc D. Tập mở: Nếu biên của D không thuộc D. 121 C5. HÀM NHIỀU BIẾN Hàm 2 biến: D  R2, một ánh xạ f: D  R, được gọi là hàm số 2 biến. Ký hiệu: ),(),(: yxfzyxf  • D: miền xác định • f(D) = {zD: z = f(x,y), (x,y)  D} gọi là miền giá trị Ví dụ: Tìm miền xác định: z = 2x – 3y +5 z = ln(x + y -1) 221 yxz  Hàm n biến: D  Rn, một ánh xạ f: D  R được gọi là hàm số n biến. Ký hiệu: ),...,(),...,(: 2121 nn xxxfzxxxf  122 C5. HÀM NHIỀU BIẾN 2. GIỚI HẠN VÀ TÍNH LIÊN TỤC CỦA HÀM SỐ Giới hạn hàm số: Cho hàm f(x,y) xác định tại lân cận M0(x0,y0), có thể không xác định tại M0. Số thực L được gọi là giới hạn của f khi M(x,y) tiến đến M0(x0,y0), nếu:  > 0,  > 0: d(M,M0) f(M) – L <  2 0 2 00 )y-(y)x-(x)Md(M,  LMf MM   )(lim 0 Lyxf yxyx   ),(lim ),(),( 00 Lyxf yy xx    ),(lim 0 0 123 C5. HÀM NHIỀU BIẾN • Khái niệm vô hạn cũng được định nghĩa tương tự như đối với hàm số một biến. • Các định lý về giới hạn của tổng, tích, thương đối với hàm số một biến cũng đúng cho hàm số nhiều biến. Ví dụ: 22)0,0(),( lim yx xy yx 22 22 )0,0(),( )sin( lim yx yx yx    124 C5. HÀM NHIỀU BIẾN Liên tục của hàm: f được gọi là liên tục tại (x0,y0) nếu ),(),(lim 00 ),(),( 00 yxfyxf yxyx   Định lý: Nếu f(x,y) liên tục trên một tập đóng và bị chặn trên D  R2 thì: • Tồn tại số A>0: |f(x,y)| ≤ A • f đạt giá trị lớn nhất và nhỏ nhất trên D Tương tự ta có thể định nghĩa giới hạn và sự liên tục của hàm số đối với hàm n biến (n≥3) 125 C5. HÀM NHIỀU BIẾN 3. ĐẠO HÀM RIÊNG Định nghĩa: cho hàm z = f(x,y) xác định trong miền D, M0(x0,y0)  D. Nếu cho y = y0 là hằng số, hàm số một biến f(x,y0) có đạo hàm tại x = x0, được gọi là đạo hàm riêng của f đối với x tại M0. Ký hiệu: ),( z ),,( f ,),( 000000 ' yx x yx x yxf x     Đặt xf = f(x0 + x, y0)-f(x0,y0): Số gia riêng của f tại M0. x fx x     0 ' x limf 126 C5. HÀM NHIỀU BIẾN Tương tự ta cũng có định nghĩa đạo hàm riêng của f theo biến y. y fy y     0 ' y limf Tương tự ta cũng có đạo hàm riêng đối với hàm n biến số (n3). Ví dụ: Tính các đạo hàm riêng: 4234 25 yyxxz  yxu  127 C5. HÀM NHIỀU BIẾN Đạo hàm riêng cấp cao: Cho hàm số f(x,y). Các đạo hàm riêng f’x, f’y được gọi là những đạo hàm riêng cấp 1. Các đạo hàm riêng của đạo hàm riêng cấp 1 nếu tồn tại được gọi là đạo hàm riêng cấp 2. ),('' 2 2 yxf x f x f x xx             ),('' 2 yxf xy f x f y yx             ),('' 2 yxf yx f y f x xy             ),('' 2 yxf yy f y f y yy             Tương tự, ta có định nghĩa đạo hàm riêng cấp 3, 128 C5. HÀM NHIỀU BIẾN Định lý (Schwartz): Nếu trong lân cận nào đó của M0 hàm số f(x,y) tồn tại các đạo hàm riêng và liên tục tại M0 thì fxy = fyx tại M0. Định lý này cũng đúng cho các đạo hàm riêng cấp cao hơn của n biến số (n3) 129 C5. HÀM NHIỀU BIẾN Đạo hàm của hàm hợp: Nếu hàm z = f(u,v) có các đạo hàm riêng theo u,v và các hàm số u = u(x,y), v = v(x,y) có các đạo hàm riêng theo x,y thì: x v v f x u u f x z             y v v f y u u f y z             Ví dụ: Tính z = exy+lnxcos(x2+xy+y2) 130 C5. HÀM NHIỀU BIẾN Vi phân toàn phần: Nếu hàm z = f(x,y) được gọi là khả vi tại (x0,y0) nếu tồn tại A,B sao cho: f(x0+x,y0+y) - f(x0,y0)=Ax + By + 0x + 0y Biểu thức df = Ax + By được gọi là vi phân toàn phần Định lý: Nếu f(x,y) khả vi tại (x0,y0) A = f’x(x0,y0), B=f’y(x0,y0) Tương tự ta có thể mở rộng cho hàm n biến (n3) Công thức tính xấp xỉ: f(x0+x,y0+y)  f(x0,y0) + f’x(x0,y0)x + f’y(x0,y0)y 131 C5. HÀM NHIỀU BIẾN 3. ĐẠO HÀM HÀM ẨN Định nghĩa hàm số ẩn 1 biến: Cho phương trình F(x,y) = 0 Nếu tồn tại hàm y = f(x) sao cho F(x,f(x)) = 0, x  (A,B) thì f được gọi là hàm số ẩn từ phương trình F(x,y) = 0. Ví dụ: xy – ex + ey = 0 132 C5. HÀM NHIỀU BIẾN Đạo hàm của hàm số ẩn 1 biến: y x F F xfy  )('' Ví dụ: Tính y’ nếu: F(x,y) = x3 + y3 – 3axy = 0 F(x,y) = xy – ex + ey = 0 133 C5. HÀM NHIỀU BIẾN Định nghĩa hàm số ẩn 2 biến: Cho phương trình F(x,y,z) = 0. Nếu tồn tại hàm số hai biến z = f(x,y) sao cho F(x,y,z) = 0, với mọi x, y thuộc miền xác định của f, thì f gọi là hàm ẩn từ phương trình F(x,y,z) = 0. Đạo hàm của hàm số ẩn 2 biến: z x F F x z    z y F F y z    Ví dụ: tính zx, zy nếu xyz = cos(2x+3y+4z) 134 C5. HÀM NHIỀU BIẾN 4. CỰC TRỊ Cực trị tự do: Định nghĩa: Hàm số f(x,y) đạt cực đại (cực tiểu) địa phương tại điểm M0(x0,y0) nếu tồn tại một lân cận  của M0 sao cho f(M)  f(M0), M   (f(M)  f(M0), M  ). f(M0) gọi chung là cực trị. Ví dụ: Tìm cực trị của hàm số z = x2 + y2 Điều kiện cần để có cực trị: Nếu f(x0,y0) là cực trị của f và f có đạo hàm riêng tại (x0,y0) thì: f’x(x0,y0) = 0, f’y(x0,y0) = 0 135 C5. HÀM NHIỀU BIẾN Điều kiện đủ của cực trị: Cho hàm số z = f(x,y). Tại những điểm thỏa zx = zy = 0, ta gọi định thức Hessian: Ví dụ: tìm cực trị hàm số z = x2 + y2 + 4x – 2y + 8, yyyx xyxx zz zz H  Đặt: yyyx xyxx xx zz zz HzH  2 ,1 • Nếu |H1|>0, |H2|>0: z đạt cực tiểu • Nếu |H1|0: z đạt cực đại 136 C5. HÀM NHIỀU BIẾN Điều kiện đủ của cực trị: Cho hàm số z = f(x1,x2xn). Tại những điểm thỏa fx1 = fx2 = fxn = 0, giả sử tại đó tồn tại các đạo hàm riêng cấp 2, đặt Ta có định thức Hessian: jixxij ff  nnnn n n n fff fff fff H ff ff HfH ... ............ ... ... ,..., 21 22221 11211 2221 1211 2111  • Nếu |H1|>0, |H2|>0, |Hn|>0 : z đạt cực tiểu • Nếu |H1|0, (-1) n|Hn|>0 : z đạt cực đại Ví dụ: Tìm cực trị hàm số u = x3 + y2 + 2z2 -3x - 2y – 4z 137 C5. HÀM NHIỀU BIẾN Cực trị có điều kiện: Định nghĩa: Cực trị của hàm số z = f(x,y) với điều kiện g(x,y) = c (c: hằng số) gọi là cực trị có điều kiện.         0),( 0 0 yxgcL gfL gfL yyy xxx     là nhân tử Lagrange, điểm M0(x0,y0) của hệ trên gọi là điểm dừng. Định lý: Nếu M0(x0,y0) là cực trị có điều kiện trên. Đặt hàm Lagrange: L(x,y,) = f(x,y) + (c-g(x,y)) với g’x,g’y không đồng thời bằng 0 thì: 138 C5. HÀM NHIỀU BIẾN Ví dụ: Tìm điểm dừng của z(x,y), với điều kiện x + y = 1. 221 yxz  Mở rộng hàm n biến: Hàm số f(x1,x2,xn) với điều kiện g(x1,x2,xn) = c. Hàm Lagrange L = f + (c-g)             0 0 ........................ 0 0 222 111 gcL gfL gfL gfL nnn     139 C5. HÀM NHIỀU BIẾN Định lý: Nếu f, g có đạo hàm riêng cấp hai liên tục tại điểm dừng M0, xét định thức Hessian đóng: yyyxy xyxxx yx LLg LLg gg H 0 2  : f đạt cực đại (cực tiểu) có điều kiện Ví dụ: Tìm cực trị có điều kiện của hàm số: f = 6 – 4x – 3y với điều kiện x2 + y2 = 1 Điều kiện đủ để có cực trị có điều kiện: )0( 0 22  HH 140 C5. HÀM NHIỀU BIẾN Mở rộng hàm n biến: Xét hàm số f(x1,x2,xn) với điều kiện g(x1,x2,xn) = c. Hàm Lagrange: L = f + (c-g). Xét tại điểm dừng M0, ta xét định thức Hessian đóng: nnnnn n n n n LLLg LLLg LLLg ggg H ... ............... ... ... ...0 21 222212 112111 21  : f đạt cực tiểu : f đạt cực đại 0...0,0 32  nHHH 0)1...(0,0 32  n n HHH 141 C5. HÀM NHIỀU BIẾN Ví dụ: Tìm cực trị hàm số u = x – 2y + 2z với điều kiện x2 + y2 + z2 = 1 Giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm trên một miền đóng và bị chặn: Cho miền D có biên cho bởi phương trình g=c, ta có qui tắc tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất như sau: • Tìm các điểm nghi ngờ có cực trị của f với điều kiện g=c • Tìm các điểm dừng của f thuộc D • fmax, fmin là giá trị lớn nhất, nhỏ nhất trong các giá trị trên. Ví dụ, tìm fmax, fmincủa hàm f(x,y) = x 2 + 2y2 – x trong miền x2 + y2  1 142 C5. HÀM NHIỀU BIẾN 4. MỘT VÀI ỨNG DỤNG Giá trị biên: Cho hàm sản xuất của một doanh nghiệp: 3/13/230 LKQ  Giả sử doanh nghiệp sử dụng 27 đơn vị tư bản và 64 đơn vị lao động, hãy tìm giá trị biên và cho nhận xét. 143 C5. HÀM NHIỀU BIẾN Hệ số co giãn: Ví dụ: Cho hàm cầu tổng quát của một sản phẩm thịt bò: Q1 = 7.300 – 6P1 + 2,5P2 + 0,2Y Trong đó : P1 : Giá thịt bò P2: Giá thịt heo Y: Thu nhập 1) Tính hệ số co giãn của sản phẩm Q1 theo thu nhập và theo giá của sản phẩm có liên quan khi Y = 20.000, P1 = 300, P2 = 200. 2) Nếu giá thịt heo tăng 10% (200 -> 220) thì nhu cầu thịt bò thay đổi bao nhiều phần trăm? 144 MỘT SỐ ỨNG DỤNG Bài toán cực trị tự do: Ví dụ, DN sản xuất 2 loại sản phẩm với hàm cầu: Q1 = 15 – 1/5P1, Q2 = 20 – 1/3P2 với hàm tổng chi phí: TC = Q1 2 + 4Q1Q2 + Q2 2 DN cần sản xuất bao nhiêu để đạt lợi nhuận tối đa. Bài toán max, min: Ví dụ, chi phí sản xuất của hai loại hàng hóa là C = 2x2 + xy + y2 + 1000 Tìm mức sản xuất x,y để chi phí tối thiểu với điều kiện x + y = 200 145 C5. HÀM NHIỀU BIẾN Cực trị có điều kiện: Một công ty cần phải cung ứng cho khách hàng 5.000 sản phẩm. Công ty có 2 xí nghiệp sản xuất sản phẩm này với chi phí như sau : Xí nghiệp 1 : C1 = 0,01x 2 + 70x + 9.300 Xí nghiệp 2 : C2 = 0,01y 2 + 72y + 5.200 Công ty cần phân bổ số lượng sản phẩm như thế nào để chi phí sản xuất thấp nhất.