Bài giảng Toán kinh tế 1 - Chương 3: Hàm số và giới hạn hàm số - Nguyễn Ngọc Lam

55 PHẦN II. ĐẠO HÀM, VI PHÂN Chương 3. HÀM SỐ - GIỚI HẠN HÀM SỐ Chương 4. ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN chương 5. HÀM NHIỀU BIẾN chương 6. TÍCH PHÂN chương 7. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN 56 C3. HÀM SỐ - GIỚI HẠN HÀM SỐ 1. MỘT SỐ KHÁI NIỆM VỀ HÀM SỐ MỘT BIẾN Định nghĩa ánh xạ: Cho X, Y là hai tập bất kỳ. Nếu x  X, cho tương ứng duy nhất một y = f(x)  Y theo qui tắc f, thì f gọi là một ánh xạ từ X vào Y. Ký hiệu: )( : xfyx YXf    )(xfx • Đơn ánh: x1, x2  X, x1 ≠ x2 => f(x1) ≠ f(x2) • Toàn ánh: Với mỗi y  Y, x  X: y = f(x) • Song ánh: Nếu f vừa là đơn ánh và toàn ánh • Nếu f: XY là song ánh thì f-1: YX là ánh xạ ngược của f 57 C3. HÀM SỐ - GIỚI HẠN HÀM SỐ Định nghĩa hàm số: Với X,Y  R, ta gọi ánh xạ f:XY là một hàm số một biến. Ký hiệu là y = f(x). x: biến độc lập y: biến phụ thuộc. Tập X: miền xác định Tập f(X) = {f(x): x  X}: miền giá trị của f 58 C3. HÀM SỐ - GIỚI HẠN HÀM SỐ Định nghĩa phép toán: Cho f, g cùng mxđ X: • f = g: f(x) = g(x),  x  X • f  g = f(x)  g(x), xX • fg = f(x)g(x), xX • af = af(x), xX • f/g = f(x)/g(x), xX, g(x)0 59 C3. HÀM SỐ - GIỚI HẠN HÀM SỐ Hàm số hợp: Giả sử y = f(u) đồng thời u = g(x). Khi đó f = f[g(x)] là hàm số hợp của biến độc lập x thông qua biến trung gian u. Ký hiệu fog. Ví dụ: Tìm gof, goh, fog, hog với g = lg2x, f = sinx, h=ex Hàm số ngược: Cho hàm số f có miền xác định X. Nếu f: XY là một song ánh thì f-1: YX được gọi là hàm số ngược của f. • Đồ thị của f, f-1 đối xứng nhau qua đường y = x. 60 C3. HÀM SỐ - GIỚI HẠN HÀM SỐ Hàm số đơn điệu: • f gọi là tăng (giảm) trên (a,b) nếu: x1,x2  (a,b): x1 f(x1)  f(x2) (f(x1)  f(x2)) • f gọi là tăng (giảm) nghiêm ngặt trên (a,b) nếu: x1,x2  (a,b): x1 f(x1) f(x2)) • Hàm số tăng hoặc giảm trên (a,b) được gọi đơn điệu. Hàm số bị chặn: • f gọi bị chặn nếu M: |f(x)|  M, x • f gọi bị chặn trên nếu M: f(x)  M, x • f gọi bị chặn dưới nếu m: f(x)  m, x 61 C3. HÀM SỐ - GIỚI HẠN HÀM SỐ Hàm số tuần hoàn: Cho hàm số f có miền xác định X. Hàm số được gọi là tuần hoàn nếu: T ≠ 0: f(x+T) = f(x),  x  X Số T0 > 0 nhỏ nhất (nếu có) của T được gọi là chu kỳ cơ sở của hàm số f. Ví dụ: • Hàm số y= sinx, y = cos(x) với chu kỳ cơ sở là T0 = 2. • Hàm số y = tg(x), y = cotgx với chu kỳ cơ sở là T0 = . 62 C3. HÀM SỐ - GIỚI HẠN HÀM SỐ Hàm số chẵn, lẻ: f có miền xác định X, với x, -x  X. • f được gọi là hàm số chẵn nếu: f(-x) = f(x),  x  X • f được gọi là hàm số lẻ nếu: f(-x) = -f(x),  x  X Ví dụ: f(x) = cosx + x- x2 Hàm số chẵn )1log()( 2  xxxg Hàm số lẻ Ghi chú: • Hàm số chẵn đối xứng qua Oy • Hàm số lẻ đối xứng qua gốc toạ độ 63 C3. HÀM SỐ - GIỚI HẠN HÀM SỐ 1. Hàm số luỹ thừa: y = x , với   R •   N: mxđ R •  nguyên âm: mxđ x ≠ 0. •  có dạng 1/p, p  Z: mxđ phụ thuộc vào p chẵn, lẻ •  là số vô tỉ: qui ước chỉ xét y = x tại mọi x  0,  > 0 và tại mọi x > 0 nếu  < 0. 2. PHÂN LOẠI HÀM SỐ Đồ thị của y = x luôn qua điểm (1,1) và đi qua góc toạ độ (0,0) nếu  > 0, không đi qua góc toạ độ nếu  < 0. 64 C3. HÀM SỐ - GIỚI HẠN HÀM SỐ 2. Hàm số mũ: y = ax (a > 0, a ≠ 1) • Hàm số mũ xác định với mọi x. • Hàm số mũ tăng khi a > 1. • Hàm số mũ giảm khi a < 1. • Điểm (0,1) luôn nằm trên đồ thị của hàm số mũ. 65 C3. HÀM SỐ - GIỚI HẠN HÀM SỐ 3. Hàm số logarit: y = logax, a > 0, a ≠ 1 • Hàm số logarit chỉ xác định với x > 0. • Hàm số logax tăng khi a > 1 • Hàm số logax giảm khi a < 1 • Điểm (1,0) luôn nằm trên đồ thị • Hàm số y = logax là hàm số ngược của số y = a x 66 C3. HÀM SỐ - GIỚI HẠN HÀM SỐ )()(log)(log 21 2 1 xLogx x x aaa  baab log a b b c c a log log log   Một số tính chất của logax: loga(x1x2) = loga(x1) + loga(x2) logax α = αlogax 67 C3. HÀM SỐ - GIỚI HẠN HÀM SỐ 4. Hàm số lượng giác: • y = sinx, miền giá trị [-1,1], hàm lẻ, chu kỳ 2 • y = cosx, miền giá trị [-1,1], hàm chẵn, chu kỳ 2 • y = tgx, mxđ  x ≠ (2k+1)/2, hàm lẻ, chu kỳ  • y = cotgx, mxđ  x ≠ k, k  Z, hàm lẻ, chu kỳ  68 C3. HÀM SỐ - GIỚI HẠN HÀM SỐ 5. Hàm số lượng giác ngược: • Hàm số y = arcsinx: Miền xác định [-1,1], miền giá trị [-/2,/2] và là hàm số tăng. • Hàm số y = arccosx: Miền xác định [-1,1] và miền giá trị [0,] là hàm số giảm • Hàm số y = arctgx: Miền xác định R và miền giá trị (-/2,/2) và là hàm số tăng. • Hàm số y = arccotgx: Miền xác định R và miền giá trị (0,) là hàm số giảm. 69 C3. HÀM SỐ - GIỚI HẠN HÀM SỐ • Định nghĩa: Các hàm số hằng số, luỹ thừa, mũ, logarit, lượng giác và các hàm số ngược được gọi là các hàm số sơ cấp cơ bản.            2x 3)xsin(2 log)x(f 2 2 3 Ví dụ: f(x) là hàm số sơ cấp, g(x) không là hàm sơ cấp • Định nghĩa: Các hàm số nhận được bằng cách thực hiện một số hữu hạn các phép toán tổng, hiệu, tích thương, phép lấy hàm hợp trên các hàm số sơ cấp cơ bản được gọi chung là hàm số sơ cấp. x)x(g  70 C3. HÀM SỐ - GIỚI HẠN HÀM SỐ 3. GIỚI HẠN HÀM SỐ Định nghĩa lân cận: • x thuộc lân cận của x0  >0 nhỏ bất kỳ: 0<x-x0 <  Lân cận một phía: • x thuộc lân cận phải của x0 và x > x0  x0 < x < x0 +  • x thuộc lân cận trái của x0 và x < x0  x0 -  < x < x0 Lân cận ở vô cùng: • x thuộc lân cận của +  M>0 lớn bất kỳ: x > M • x thuộc lân cận của -  N<0 nhỏ bất kỳ: x < N 71 C3. HÀM SỐ - GIỚI HẠN HÀM SỐ 1. Định nghĩa giới hạn hữu hạn: Cho hàm f(x) xác định trên một khoảng chứa x0 (riêng tại x0, f(x) có thể không tồn tại). Số L được gọi là giới hạn của hàm số f(x) khi x x0, nếu  > 0,  > 0: 0 < x – x0 <   f(x) – L < . Ký hiệu: Lxf xx   )(lim 0 Ví dụ, Áp dụng định nghĩa chứng minh rằng 7)12(lim 3   x x Định lý: Nếu f là hàm số sơ cấp xác định trong lân cận của điểm x0 thì: )()(lim 0 0 xfxf xx   72 C3. HÀM SỐ - GIỚI HẠN HÀM SỐ Lxf xx   )(lim 0 Lxf xx   )(lim 0 Định nghĩa giới hạn một bên: • Bên phải:  > 0,  > 0: x0 < x < x0 +   f(x) – L <  • Bên trái:  > 0,  > 0: x0 -  < x < x0  f(x) – L <    Lxf xx )(lim 0 Lxfxf xxxx   )(lim)(lim 00 Định lý: Ví dụ, Tìm giới hạn f(x) khi x0       0 x khix-1 0 x )( khix xf 73 C3. HÀM SỐ - GIỚI HẠN HÀM SỐ . Định nghĩa giới hạn lân cận : Lxf x   )(lim nếu  > 0, N > 0 đủ lớn: x > N  f(x) - L <  Lxf x   )(lim nếu  > 0, N < 0 đủ nhỏ: x < N  f(x) - L <  Ví dụ, chứng minh rằng 0 1 lim   xx 74 C3. HÀM SỐ - GIỚI HẠN HÀM SỐ 2. Giới hạn vô hạn của hàm số:   )(lim 0 xf xx M > 0 lớn tuỳ ý,  > 0: 0 M   )(lim 0 xf xx N 0: 0 < x – x0<   f(x) < N Ví dụ: chứng minh   2)( 1 lim axax 75 C3. HÀM SỐ - GIỚI HẠN HÀM SỐ 3. Các tính chất của giới hạn hàm số: Định lý: nếu lim f(x) = A và lim g(x) = B thì • lim (f ± g) = A ± B • lim (fg) = AB • lim (f/g) = A/B (B ≠ 0) • lim fg = AB • lim C = C • lim [Cf(x)] = CA Ghi chú: Nếu gặp các dạng vô định 0/0, /,  - , 0., 1, 0, 00 thì phải biến đổi để khử chúng. 76 C3. HÀM SỐ - GIỚI HẠN HÀM SỐ Ví dụ: Tìm 2 8 lim ) 3 2    x x a x 2 83 lim ) 2 3    x xx b x )13(lim ) 23   xxc x 77 C3. HÀM SỐ - GIỚI HẠN HÀM SỐ Định lý: Giả sử g(x)  f(x)  h(x) đối với mọi x thuộc lân cận của x0. Nếu   Lxhxg xxxx )(lim)(lim 00 Lxf xx   )(lim 0 Định lý: Trong một quá trình, nếu lim u(x) = L và f là hàm sơ cấp xác định trong lân cận của L, thì limf(u) = f(L) = f(limu)            xx x x 2 2 2 1 sinlim Ví dụ: Tìm )/1(sinlim 24 0 xx x Ví dụ: Tìm 78 C3. HÀM SỐ - GIỚI HẠN HÀM SỐ 1 sin lim 0   x x x e x x x         1 1lim   ex x x   /1 0 1lima x ax x ln 1 lim 0    1 )1ln( lim 0    x x x 4. Một số giới hạn đặc biệt: • Hàm số lũy thừa: 0 xlim ; xlim : 0 0xx      0xx xlim ;0 xlim : 0  79 C3. HÀM SỐ - GIỚI HẠN HÀM SỐ • Hàm mũ: 0a lim ;a lim : 1 xx   xxa   xx a lim ;0a lim : 10 xxa • Hàm logarit:   0x a x a log lim ;log lim : 1 xxa   0x a x a log lim ;log lim : 10 xxa • Hàm ngược lượng giác: 2 arctgx lim ; 2 arctgx lim xx      xx arccotgx lim ;0arccotgx lim 80 C3. HÀM SỐ - GIỚI HẠN HÀM SỐ Ví dụ: Chứng minh: 1lim 0   x tgx x 1 arcsin lim 0   x x x 1lim 0   x arctgx x Ví dụ: Tìm: x x x x         3 lim 3 1 2 lim           x x x x 4. Vô cùng bé và vô cùng lớn: Định nghĩa: Hàm số f(x) được gọi là vô cùng bé (vô cùng lớn) trong một quá trình nếu limf(x) = 0 (limf(x) = ) 81 C3. HÀM SỐ - GIỚI HẠN HÀM SỐ Định nghĩa: Cho f(x), g(x) là hai VCB trong một quá trình và lim(f/g) = A, nếu: • A = 0: f là VCB bậc cao hơn g. Ký hiệu: f(x) = 0g(x) • A = : f là VCB bậc thấp hơn g • A (hằng số  0, ): f, g là hai VCB cùng bậc • A = 1: f, g là hai VCB tương đương. Ký hiệu f(x)~g(x) • Nghịch đảo của VCB (VCL) là VCL (VCB) 82 C3. HÀM SỐ - GIỚI HẠN HÀM SỐ Định lý: Nếu f, g là hai VCB, nếu f~f1, g~g1 thì lim(f/g) = lim(f1/g1) Định lý (qui tắc ngắt bỏ VCB bậc cao): Nếu g là VCB bậc cao hơn f trong cùng quá trình thì f + g ~ f Ví dụ: Chứng minh 3 2 3 arcsin2sin lim 22 0    x xarctgxx x 32~sin xxxx  Khi x 0+ 83 C3. HÀM SỐ - GIỚI HẠN HÀM SỐ 3. HÀM SỐ LIÊN TỤC Định nghĩa: Hàm số f được gọi là liên tục tại x0 nếu: )()(lim 0 0 xfxf xx   • Liên tục trái: )()(lim 0 0 xfxf xx   Liên tục một bên: • Liên tục phải: )()(lim 0 0 xfxf xx   Định lý: f liên tục tại x0 khi và chỉ khi f liên tục phải và liên tục trái tại x0 84 C3. HÀM SỐ - GIỚI HẠN HÀM SỐ Định nghĩa: Hàm số f(x) được gọi là gián đoạn tại x0 nếu nó không liên tục tại x0. Hàm số f(x) gián đoạn tại x0 trong các trường hợp sau: - f không xác định tại x0 - f xác định tại x0 nhưng lim f(x) ≠ f(x0) khi x  x0 - không tồn tại lim f(x) khi x  x0       0 x khi1 0 xkhi1 )( x x xf x xf 1 )(  Ví dụ: Xác định tính liên tục tại x0 = 0 85 C3. HÀM SỐ - GIỚI HẠN HÀM SỐ Định nghĩa: f được gọi là liên tục trong khoảng mở (a,b) nếu nó liên tục tại mọi điểm thuộc khoảng đó. Định nghĩa: f được gọi là liên tục trong khoảng đóng [a,b] nếu nó liên tục tại mọi điểm thuộc khoảng mở (a,b), liên tục bên phải tại a và liên tục bên trái tại b. 86 C3. HÀM SỐ - GIỚI HẠN HÀM SỐ Định lý: Nếu f, g là các hàm số liên tục tại x0 thì các hàm số sau cũng liên tục tại x0: kf (k hằng số), f+g, fg, f/g (g(x0)≠0). Định lý: Trong cùng một quá trình nếu limu(x) = u0 và f liên tục tại u0 thì limf(u(x)) = f(lim u(x)) = f(u0) Định lý: Nếu f liên tục trên [a,b] và f(a)f(b) < 0 thì x0  (a,b): f(x0) = 0. Định lý: Nếu f liên tục trên [a,b] thì f đạt giá trị lớn nhất, nhỏ nhất trên [a,b]