Bài giảng Toán kinh tế 1 - Chương 2: Hệ phương trình tuyến tính - Nguyễn Ngọc Lam

32 C2. HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH 1 Các khái niệm 2 HPTTT Crame 3 Phương pháp Gauss 4 HPTTT Thuần nhất 5 Một số ứng dụng 33 I. CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN I.1. Dạng tổng quát hệ phương trình tuyến tính: 1. Định nghĩa: là một hệ phương trình đại số bậc nhất gồm m phương trình n ẩn có dạng: (1) ... ............... ... ... 2211 22222121 11212111           mnmnmm nn nn bxaxaxa bxaxaxa bxaxaxa xj là biến aij được gọi là hệ số (của ẩn) bi: được gọi là hệ số tự do 34 I. CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN 2. Ma trận các hệ số:              mnamama naaa naaa A ...21 ............ 2...2221 1...1211 3. Ma trận cột của ẩn và ma trận cột của hệ số tự do:  Tnxxx nx x x X ...21 ... 2 1               Tmbbb mb b b B ...21 ... 2 1              Hệ phương trình (1) có thể viết: AX = B 35 I. CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN 4. Ma trận bổ sung:              mmnmm n n b b b aaa aaa aaa bAA ... ... ............ ... ... ),( 2 1 21 22221 11211 Đây là dạng viết tắt của hệ PTTT 36 II.HỆ PHƯƠNG TRÌNH CRAME 2.1. Định nghĩa: Hệ phương trình Crame là một hệ PTTT n phương trình, n ẩn và det(A)0. 2.2. Định lý Crame: Hệ phương trình Crame có nghiệm duy nhất tính bằng công thức: X = A-1B A A x j j  Aj là ma trận thu được từ A bằng cách thay cột thứ j bằng cột các phần tử tự do. 37 II.HỆ PHƯƠNG TRÌNH CRAME Ví dụ: Giải hệ phương trình:         7452 323 22 321 321 321 xxx xxx xxx 38 III.PHƯƠNG PHÁP GAUSS 3.1. Định nghĩa: 2 hệ PTTT tương đương nếu có chung tập hợp nghiệm. 3.2. Phương pháp: Nghiệm của hệ PTTT không đổi nếu: 1. Đổi chỗ hai phương trình của hệ 2. Nhân một phương trình của hệ với số thực k  0 3. Nhân một phương trình của hệ với với một số thực sau đó cộng vào một phương trình khác • Sử dụng các phép biến đổi sơ cấp biến ma trận bổ sung về ma trận bậc thang. 39 III.PHƯƠNG PHÁP GAUSS Ví dụ: Giải hệ phương trình:         77114 223 4342 321 321 321 xxx xxx xxx            5192483 13254 24653 1342 4321 4321 4321 4321 xxxx xxxx xxxx xxxx 40 III.PHƯƠNG PHÁP GAUSS Hệ quả của định lý Kronecker-Capelli: • r(A)  r(A,b): Hệ vô nghiệm • r(A) = r(A,b): Hệ có nghiệm • r(A) = n: Hệ có 1 nghiệm • r(A) = k < n: Hệ có vô số nghiệm, k ẩn phụ thuộc n-k ẩn còn lại. Ví dụ: Xác định tham số a để hệ phương trình có nghiệm:         1 1 1 321 321 321 axxx xaxx xxax 41 IV.HỆ PTTT THUẦN NHẤT 4.1. Định nghĩa:           0... ............ 0... 0... 2211 2222121 1212111 nmnmm nn nn xaxaxa xaxaxa xaxaxa 4.2. Nghiệm của hệ: • Hệ luôn có nghiệm tầm thường X=(0,0,0)T • Hệ có nghiệm không tầm thường khi hệ có vô số nghiệm (r(A)<n) 42 IV.HỆ PTTT THUẦN NHẤT 4.3. Hệ nghiệm cơ bản: Trường hợp hệ có vô số nghiệm (r(A) = k < n):. x1 x2 ... xk xk+1 xk+2 xn c11 c12 c1k 1 0 ... 0 c11 c12 c1k 0 1 ... 0 ... ... ... ... cn-k,1 cn-k,2 cn-k,k 0 0 ... 1 Hệ này được gọi là hệ nghiệm cơ bản của hệ PTTT 43 IV.HỆ PTTT THUẦN NHẤT Hệ nghiệm cơ bản: x1 = -1+8x3-7x4 x2 = 1-6x3+5x4 x3 x4 7 -5 1 0 -8 6 0 1 44 V.MỘT VÀI ỨNG DỤNG 5.1. Mô hình cân bằng thị trường: 1. Thị trường 1 loại hàng hóa: Hàm cung : Qs = -a0 + a1P Hàm cầu : Qd = b0 - b1P ai,bi ≥ 0, P giá sản phẩm • Mô hình cân bằng: Qs = Qd => (a1+b1)P = (a0+b0) Ví dụ: Một sản phẩm trên thị trường có các thông tin: Hàm cung : Qs = -1 + P Hàm cầu : Qd = 3 - P 45 V.MỘT VÀI ỨNG DỤNG 2. Thị trường 2 loại hàng hóa: • Sản phẩm 1: Mô hình cân bằng:       22 11 ds ds QQ QQ 21211110 21211110 1 1 PbPbbQ PaPaaQ d s   22212120 22212120 2 2 PbPbbQ PaPaaQ d s   • Sản phẩm 2: 46 V.MỘT VÀI ỨNG DỤNG 3. Thị trường n loại hàng hóa: • Sản phẩm i:       niniiid niniiis PbPbPbbQ PaPaPaaQ i i ... ... 22110 22110 • Hệ phương trình cân bằng:           DnSn DS DS QQ QQ QQ ................. 22 11 47 V.MỘT VÀI ỨNG DỤNG Ví dụ: Giả sử thị trường có 3 sản phẩm:       321 321 28 45 1 1 PPPQ PPPQ d s       321 321 210 42 2 2 PPPQ PPPQ d s       321 321 214 41 3 3 PPPQ PPPQ d s 48 V.MỘT VÀI ỨNG DỤNG 5.2.Mô hình cân đối liên ngành (I/O): Giả sử một quốc gia có nhiều ngành sản xuất Tổng cầu ngành: - Cầu trung gian: sản phẩm dịch vụ hàng hoá ngành này là yếu tố đầu vào phục vụ ngành khách. - Cầu tiêu dùng và xuất khẩu (cầu cuối cùng): phục vụ cho hộ gia đình, chính phủ và xuất khẩu. Để không xảy ra hiện tượng khủng hoảng thừa hoặc khủng hoảng thiếu từng ngành phải sản xuất đúng theo nhu cầu của nền kinh tế. 49 V.MỘT VÀI ỨNG DỤNG I/O 1 2 3 di 1 x11 x12 x1n d1 2 x21 X22 x2n d2 n xn1 xn2 xnn dn xi : tổng cầu của ngành i xịj : là giá trị sản phẩm hàng hóa, dịch vụ của ngành i mà ngành j làm yếu tố đầu vào. di : giá trị sản phẩm hàng hóa dịch vụ ngành i cho tiêu dùng và xuất khẩu. 50 V.MỘT VÀI ỨNG DỤNG j ij ij x x a Đặt: Tổng cầu của ngành i: iiniii bxxxx  ...21 in n inii i bx x x x x x x x x x  ...2 2 2 1 1 1 • aij: Để SX ra 1$ GTSP thì Nj mua của Ni aij$ GTSP • Trong tổng GTSP Nj Ni tham gia vào aij100% 51 V.MỘT VÀI ỨNG DỤNG           nnnnnnn nn nn bxaxaxax bxaxaxax bxaxaxax ... ...................................................... ... ... 2211 222221212 112121111  j ij ij x x a           nnnnnn nn nn bxaxaxa bxaxaxa bxaxaxa )1...( ...................................................... ...)1( ... )1( 2211 22222121 11212111 Từ 52 V.MỘT VÀI ỨNG DỤNG              nnanana naaa naaa A ...21 ............ 2...2221 1...1211 BXAI  )( • A: ma trận hệ số kỹ thuật hay ma trận chi phí trực tiếp • aij: hệ số chi phí cho nhập lượng hay hệ số kỹ thuật • Dòng i: giá trị sản phẩm ngành i bán cho mỗi ngành • Cột j: giá trị sản phẩm ngành j mua mỗi ngành • [I-A] là ma trận Leontief. 53 V.MỘT VÀI ỨNG DỤNG Ví dụ 1: Giả sử nền kinh tế có 3 ngành, ma trận hệ số kỹ thuật như sau:            2,03,01,0 2,01,04,0 2,03,02,0 A 1) Giải thích ý nghĩa con số 0,4 trong ma trận A 2) Cho biết tỷ trọng giá trị gia tăng của các ngành đóng góp cho nền kinh tế. 3) Biết mức cầu cuối cùng là b1=10,b2=5,b3=6. Hãy xác định mức tổng cầu của mỗi ngành. 54 V.MỘT VÀI ỨNG DỤNG Ví dụ: Giả sử nền kinh tế có 3 ngành, thông tin về quan hệ trao đổi như sau: 1) Hãy giải thích ý nghĩa của số 90 trong ma trận 2) Hãy xác lập ma trận hệ số kỹ thuật của nền kinh tế 3) Tìm giá trị gia tăng của từng ngành.             504040503 209020402 602050301 321/ N N N bNNNOI i