Bài giảng Toán cao cấp - Chương 8. Phương trình vi phân

10/13/2012 1 Ø Chương 8. Phương trình vi phân §1. Phương trình vi phân cấp 1 §2. Phương trình vi phân cấp 2 §1. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP I 1.1. Khái niệm cơ bản về phương trình vi phân cấp 1 • Phương trình vi phân cấp 1 là phương trình có dạng tổng quát ( , , ) 0F x y y   (*). Nếu từ (*) ta giải được theo y thì (*) trở thành ( , )y f x y  . • Nghiệm của (*) có dạng ( )y y x chứa hằng số C được gọi là nghiệm tổng quát. Khi thế điều kiện 0 0( )y y x cho trước (thường gọi là điều kiện đầu) vào nghiệm tổng quát ta được giá trị 0C cụ thể và nghiệm lúc này được gọi là nghiệm riêng của (*). Ø Chương 8. Phương trình vi phân VD 1. Cho phương trình vi phân 0y x   (*). Xét hàm số 2 2 x y C  , ta có: 0y x   thỏa phương trình (*). Suy ra 2 2 x y C  là nghiệm tổng quát của (*). Thế 2, 1x y  vào 2 2 x y C  , ta được: 2 1 1 2 x C y     là nghiệm riêng của (*) ứng với điều kiện đầu (2) 1y  . Ø Chương 8. Phương trình vi phân Ø Phương pháp giải Lấy tích phân hai vế của (1) ta được nghiệm tổng quát: ( ) ( ) .f x dx g y dy C   Giải. Ta có: 2 2 2 2 0 1 1 1 1 xdx ydy xdx ydy C x y x y            1.2. Một số phương trình vi phân cấp 1 cơ bản 1.2.1. Phương trình vi phân cấp 1 với biến phân ly Ø Phương trình vi phân với biến phân ly có dạng: ( ) ( ) 0 (1).f x dx g y dy  VD 2. Giải phương trình vi phân 2 2 0 1 1 xdx ydy x y     . Ø Chương 8. Phương trình vi phân 2 2 2 2 (1 ) (1 ) 2 1 1 d x d y C x y          2 2ln(1 ) ln(1 ) 2x y C     2 2 1ln (1 )(1 ) lnx y C        . Vậy 2 2(1 )(1 )x y C   . Giải. ( 2) ( 2)dyy xy y xy y dx       ( 2) dy xdx y y    1 1 2 2 dy xdx y y         VD 3. Giải phương trình vi phân ( 2)y xy y   . Ø Chương 8. Phương trình vi phân 22ln . 2 2 xy yx C C e y y        . Giải. 2 3 1 0 11 x y pt dx dy yx      3 3 1 ( 1) 2 1 3 11 d x dy C yx            31 ln 1 2 ln 1 3 x y y C      3 6 1 ln 3 3 ( 1) x C y y      3 6 31 ( 1) .yx C y e    VD 4. Giải ptvp 2 3( 1) ( 1)( 1) 0x y dx x y dy     . Ø Chương 8. Phương trình vi phân Giải. 2 2dyxy y y x y y dx       2 1 1 1 dy dx dx dy x y y xy y            1 1ln ln ln lny yx C Cx y y        1y Cxy   (*). Thay 11, 2 x y  vào (*) ta được 1y xy  . VD 5. Giải ptvp 2xy y y   thỏa điều kiện 1(1) 2 y  . 10/13/2012 2 Ø Chương 8. Phương trình vi phân Chẳng hạn, hàm số: ( , ) 2 3 x y f x y x y    là đẳng cấp bậc 0, 24 3 ( , ) 5 x xy f x y x y    là đẳng cấp bậc 1, 2( , ) 3 2f x y x xy  là đẳng cấp bậc 2. 1.2.2. Phương trình vi phân đẳng cấp cấp 1 a) Hàm đẳng cấp hai biến số • Hàm hai biến ( , )f x y được gọi là đẳng cấp bậc n nếu với mọi 0k  thì ( , ) ( , )nf kx ky k f x y . Ø Chương 8. Phương trình vi phân b) Phương trình vi phân đẳng cấp • Phương trình vi phân đẳng cấp cấp 1 có dạng: ( , ) (2).y f x y  Trong đó, ( , )f x y là hàm số đẳng cấp bậc 0. Phương pháp giải Bước 1. Biến đổi (2) yy x         . Bước 2. Đặt yu y u xu x      . Bước 3. (2) ( ) ( ) du dx u xu u u u x          ( ) 0u u x    (đây là ptvp có biến phân ly). Ø Chương 8. Phương trình vi phân Giải. 2 2 2 1 y y x xx xy y y y xy y x            . Đặt yu y u xu x      . 21 1u u du u pt u xu x u dx u        1 0 1 1 1 udu dx dx du C u x u x              VD 6. Giải phương trình vi phân 2 2x xy y y xy    . Ø Chương 8. Phương trình vi phân ln ( 1) 1 . y xyu x u C x C e x            . Vậy . y xy x C e    . Giải. 1 , 1 x y u y y u xu u x y u x          2 2 2 1 1 1 1 1 du u u dx x du dx u xu u              VD 7. Giải phương trình vi phân x yy x y    với điều kiện đầu (1) 0y  . Ø Chương 8. Phương trình vi phân 21 ln(1 ) ln 2 arctgu u x C     2 2 2 ln x y y x arctg C xx     (*). Thay 1, 0x y  vào (*) ta được 0C  . Vậy 2 2 2 y arctg xx yx e x   . Ø Chương 8. Phương trình vi phân • Nghiệm tổng quát của (3) là ( , )u x y C . Nhận xét / /( , ) ( , ), ( , ) ( , )x yu x y P x y u x y Q x y  . 1.2.3. Phương trình vi phân toàn phần • Cho hai hàm số ( , ), ( , )P x y Q x y và các đạo hàm riêng của chúng liên tục trong miền mở D , thỏa điều kiện / /, ( , )x yQ P x y D   . Nếu tồn tại hàm ( , )u x y sao cho ( , ) ( , ) ( , )du x y P x y dx Q x y dy  thì phương trình vi phân có dạng: ( , ) ( , ) 0 (3)P x y dx Q x y dy  được gọi là phương trình vi phân toàn phần. 10/13/2012 3 Ø Chương 8. Phương trình vi phân Bước 2. Lấy tích phân (3a) theo biến x ta được: ( , ) ( , ) ( , ) ( )u x y P x y dx x y C y    (3c). Trong đó, ( )C y là hàm theo biến y . Phương pháp giải Bước 1. Từ (3) ta có /xu P (3a) và / yu Q (3b). Bước 3. Đạo hàm (3c) theo biến y ta được: / / ( )y yu C y   (3d). Bước 4. So sánh (3b) và (3d) ta tìm được ( )C y . Thay ( )C y vào (3c) ta được ( , )u x y . Ø Chương 8. Phương trình vi phân Giải 1) 2 / 2 / 3 2 2 6 2 6 3 2 6 y x P y xy x P y x Q x xy Q x y                    đpcm. 2) Ta có: / 2 / 2 3 2 2 ( ) 6 3 ( ) x y u y xy x a u x xy b        VD 8. Cho phương trình vi phân: 2 2(3 2 2 ) ( 6 3) 0y xy x dx x xy dy      (*). 1) Chứng tỏ (*) là phương trình vi phân toàn phần. 2) Giải phương trình (*). Ø Chương 8. Phương trình vi phân 2( ) (3 2 2 )a u y xy x dx    2 2 23 ( )xy x y x C y    / 26 ( )yu xy x C y    (c). So sánh (b) và (c), ta được: ( ) 3 ( ) 3C y C y y    . Vậy (*) có nghiệm 2 2 23 3xy x y x y C    . Giải. Ta có: / / 1 ( ) ( ) x y y u x y a u e x b       VD 9. Giải ptvp ( 1) ( ) 0yx y dx e x dy     . Ø Chương 8. Phương trình vi phân 2 ( ) ( 1) ( ) 2 x a u x y dx xy x C y        / ( )yu x C y   (c). So sánh (b) và (c), ta được: ( ) ( )y yC y e C y e    . Vậy phương trình có nghiệm 2 2 yx xy x e C    . Ø Chương 8. Phương trình vi phân Phương pháp giải (phương pháp biến thiên hằng số Lagrange) Bước 1. Tìm biểu thức ( )( ) p x dxA x e . Bước 2. Tìm biểu thức ( )( ) ( ). p x dxB x q x e dx  . Bước 3. Nghiệm tổng quát là ( ) ( )y A x B x C     . 1.2.4. Phương trình vi phân tuyến tính cấp 1 • Phương trình vi phân tuyến tính cấp 1 có dạng: ( ) ( ) (4).y p x y q x   • Khi ( ) 0q x  thì (4) được gọi là phương trình vi phân tuyến tính cấp 1 thuần nhất. Ø Chương 8. Phương trình vi phân Chú ý • Khi tính các tích phân trên, ta chọn hằng số là 0. • Phương pháp biến thiên hằng số là đi tìm nghiệm tổng quát của (4) dưới dạng: ( ) ( ) . p x dx y C x e  Nhận xét. ( ) ( )( ) ( ). . ( ) p x dx q x B x q x e dx dx A x    VD 10. Trong phương pháp biến thiên hằng số, ta đi tìm nghiệm tổng quát của 2 4 lnyy x x x    dưới dạng: A. 2 ( )C x y x  ; B. 3 ( )C x y x  ; C. ( )C xy x  ; D. ( )C xy x  . 10/13/2012 4 Ø Chương 8. Phương trình vi phân Giải. 2( ) 2 ( ) ( ) ( ) dx p x dx x C xy C x e C x e A x      . Giải. Ta có: 2( ) , ( ) 0p x x q x   . 3 2( ) 3( ) x p x dx x dx A x e e e     . ( )( ) ( ). 0p x dxB x q x e dx  3 3 x y Ce  là nghiệm tổng quát của phương trình. VD 11. Giải phương trình vi phân 2 0y x y   thỏa điều kiện 9 3x y e   . Ø Chương 8. Phương trình vi phân Từ điều kiện đầu, ta có nghiệm riêng 3 3 x y e  . Giải. Ta có: sin( ) cos , ( ) xp x x q x e  . cos sin( ) xdx xA x e e   . cossin( ) . xdxxB x e e dx x   . Vậy sin ( )xy e x C  . VD 12. Giải phương trình sincos xy y x e   . Ø Chương 8. Phương trình vi phân • Khi 0  hoặc 1  thì (5) là tuyến tính cấp 1. • Khi ( ) ( ) 1p x q x  thì (5) là pt có biến phân ly. Phương pháp giải (với α khác 0 và 1) Bước 1. Với 0y  , ta chia hai vế cho y: (5) ( ) ( ) y y p x q x y y      1( ) ( )y y p x y q x    . 1.2.5. Phương trình vi phân Bernoulli • Phương trình vi phân Bernoulli có dạng: ( ) ( ) (5).y p x y q x y   Ø Chương 8. Phương trình vi phân Bước 2. Đặt 1 (1 )z y z y y      , ta được: (5) (1 ) ( ) (1 ) ( )z p x z q x     (đây là phương trình tuyến tính cấp 1). Giải. Ta có: 2 2 11 .yy xy y y y x x x        . Đặt 1 2z y z y y     , ta được: 1 1 . .pt z z x z z x x x         . VD 13. Giải phương trình vi phân 2yy xy x    với điều kiện đầu 1, 1x y  . Ø Chương 8. Phương trình vi phân ( ) , ( ) . dx dx x xA x e x B x x e dx x        21( )z x x C x Cx y        . Vậy từ điều kiện đầu, ta có nghiệm 2 2 1 0x y xy   . Giải. 3 4 4 3 32 2y xy x y y y xy x       . Đặt 3 43z y z y y     . 3 31 2 6 3 3 pt z xz x z xz x        . VD 14. Giải phương trình vi phân 3 42y xy x y   . Ø Chương 8. Phương trình vi phân 26 3( ) xdx xA x e e    , 263 3 3( ) 3 . 3 xdx xB x x e dx x e dx    2 22 3 2 3 21 13 (3 ) (3 1) 6 6 x xx e d x e x   . Vậy 2 23 3 2 3 1 1 (3 1) 6 x xe e x C y          . 10/13/2012 5 Ø Chương 8. Phương trình vi phân Phương pháp giải • Lấy tích phân hai vế (1) hai lần: 1( ) ( ) ( )y f x y f x dx x C       1 1 2( ) ( )y x dx C x x C x C        . VD 1. Giải phương trình vi phân 2y x  . §2. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP II 2.1. Các dạng phương trình vi phân cấp 2 cơ bản 2.1.1. Phương trình khuyết y và y’ • Phương trình vi phân khuyết y và y  có dạng: ( ) (1).y f x  Ø Chương 8. Phương trình vi phân Giải. 3 2 2 13 x y x y x dx C      3 4 1 1 23 12 x x y C dx y C x C             . VD 2. Giải ptvp 2xy e  với 7 3(0) , (0) 4 2 y y    . Giải. 2 2 1 1 2 x xy e y e C     (a). Thay 30, (0) 2 x y   vào (a) ta được 1 1C  21 1 2 xy e   2 2 1 4 xy e x C    (b). Ø Chương 2. Phương trình vi phân Thay 70, (0) 4 x y  vào (b) ta được 2 2C  . Vậy phương trình có nghiệm riêng 21 2 4 xy e x   . Phương pháp giải • Đặt z y  đưa (2) về phương trình tuyến tính cấp 1. VD 3. Giải phương trình vi phân yy x x     . 2.1.2. Phương trình khuyết y • Phương trình vi phân khuyết y có dạng: ( , ) (2).y f x y  Ø Chương 8. Phương trình vi phân Giải. Đặt z y  ta có: 1yy x z z x x x        . 1 ( ) dx xA x e x    , 31( ) 3 dx xB x xe dx x    . Suy ra 3 2 11 1 1 1 3 3 C z x C y x x x           . Vậy 3 1 2 1 ln 9 y x C x C   . VD 4. Giải pt vi phân ( 1) 0 1 y y x x x        với điều kiện (2) 1, (2) 1y y    . Ø Chương 8. Phương trình vi phân Giải. Đặt z y  ta có: 1 ( 1) 1 pt z z x x x      . 1( ) 1 dx xA x e x     , 21 1( ) ( 1) 2 dx xB x x x e dx x     2 1 1 ( 1) 2 y x x C          . 3 21 1(2) 1 3 3 2 2 y y x x x        Ø Chương 8. Phương trình vi phân 4 3 2 2 3 3 8 6 2 x x x y x C      . 4 3 23 1 (2) 1 3 8 6 2 3 x x x y y x       . 10/13/2012 6 Ø Chương 8. Phương trình vi phân Phương pháp giải • Đặt z y  ta có: . dz dz dy dz y z z dx dy dx dy      . Khi đó, (3) trở thành ptvp với biến số phân ly. VD 5. Giải phương trình vi phân  22 1yy y   . Giải. Đặt z y  dzy z dy   . 2.1.3. Phương trình khuyết x • Phương trình vi phân khuyết x có dạng: ( , ) (3).y f y y  Ø Chương 8. Phương trình vi phân 2 2 2 2 1 1 dz zdz dy pt yz z dy yz       2 2 2 ( 1) ln( 1) ln 1 d z dy z Cy yz        2 1z Cy   (*). Đạo hàm hai vế (*) theo x : 1 1 22zz Cy y C y C x C         . Vậy 21 2 3y C x C x C   . VD 6. Giải phương trình vi phân 2 (1 2 ) 0y y y    với điều kiện 1(0) 0, (0) 2 y y   . Ø Chương 8. Phương trình vi phân Giải. Đặt z y  dzy z dy   . 2 (1 2 ) 0dzpt z z y dy     22(2 1) 2 2dz y dy z y y C       (a). Thay 10, 0, 2 x y y    vào (a) 1 2 C  2 21 22 2 (2 1) 2 dy y y y y dx        2 2 1 2 1(2 1) dy dx x C yy       (b). Ø Chương 8. Phương trình vi phân Thay 0, 0x y  vào (b) 1C  . Vậy phương trình có nghiệm ( 1)(2 1) 1 0x y    . Ø Chương 8. Phương trình vi phân Ø Trường hợp 1 Phương trình (5) có hai nghiệm thực phân biệt 1 2, k k . Khi đó, (4) có hai nghiệm riêng 1 21 2, k x k xy e y e  và nghiệm tổng quát là 1 21 2 . k x k xy C e C e  Phương pháp giải. Xét phương trình đặc trưng của (4): 2 1 2 0 (5).k a k a   2.2. Phương trình vi phân cấp 2 tuyến tính với hệ số hằng 2.2.1. Phương trình thuần nhất • Phương trình thuần nhất có dạng:  1 2 1 20, , (4).y a y a y a a     ¡ Ø Chương 8. Phương trình vi phân Ø Trường hợp 2 Phương trình (5) có nghiệm kép thực k . Khi đó, (4) có hai nghiệm riêng 1 2, kx kxy e y xe  và nghiệm tổng quát là 1 2 . kx kxy C e C xe  Ø Trường hợp 3 Phương trình (5) có hai nghiệm phức liên hợp k i   . Khi đó, (4) có hai nghiệm riêng: 1 2cos , sin x xy e x y e x     và nghiệm tổng quát là:  1 2cos sin .xy e C x C x    10/13/2012 7 Ø Chương 8. Phương trình vi phân VD 7. Giải phương trình vi phân 2 3 0y y y    . Giải. Phương trình đặc trưng: 2 1 22 3 0 1, 3k k k k      . Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm riêng: 3 1 2, x xy e y e  và nghiệm tổng quát là 31 2 x xy C e C e  . VD 8. Giải phương trình vi phân 6 9 0y y y    . Giải. Phương trình đặc trưng: 2 6 9 0 3k k k     (nghiệm kép). Ø Chương 8. Phương trình vi phân Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm riêng: 3 3 1 2, x xy e y xe  và nghiệm tổng quát là 3 31 2 x xy C e C xe  . VD 9. Giải phương trình vi phân 16 0y y   . Giải. Phương trình đặc trưng: 2 2 2 1,216 0 16 4k k i k i       0, 4     . Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm riêng: 1 2cos 4 , sin 4y x y x  và nghiệm tổng quát là 1 2cos 4 sin 4y C x C x  . Ø Chương 8. Phương trình vi phân VD 10. Giải phương trình vi phân 2 7 0y y y    . Giải. Phương trình đặc trưng 2 2 7 0k k   có: 2 1,26 6 1 6i k i       1, 6    . Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm riêng: 1 2cos 6 , sin 6 x xy e x y e x   và nghiệm tổng quát:  1 2cos 6 sin 6xy e C x C x  . Ø Chương 8. Phương trình vi phân Giải. Phương trình đặc trưng 2 1 0k k   có: 2 1,2 1 3 3 3 2 i i k       1 3, 2 2      . Vậy phương trình đã cho có nghiệm tổng quát: 2 1 2 3 3 cos sin 2 2 x y e C x C x         . VD 11. Tìm nghiệm tổng quát của phương trình: 0y y y    . Ø Chương 8. Phương trình vi phân • Để tìm 1( )C x và 2( )C x , ta giải hệ Wronsky: 1 1 2 2 1 1 2 2 ( ) ( ) ( ) ( ) 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ). C x y x C x y x C x y x C x y x f x            a) Phương pháp giải tổng quát • Nếu (4) có hai nghiệm riêng 1 2( ), ( )y x y x thì (6) có nghiệm tổng quát là 1 1 2 2( ) ( ) ( ) ( ).y C x y x C x y x  2.2.2. Phương trình không thuần nhất • Phương trình không thuần nhất có dạng:  1 1 22 ( ), , (6).ay a y a y f x a     ¡ Ø Chương 8. Phương trình vi phân VD 12. Giải phương trình vi phân 1 cos y y x    (a). Giải. Xét phương trình thuần nhất 0y y   (b) ta có: 2 1 0 0, 1k k i          1 2cos , siny x y x   là 2 nghiệm riêng của (b). Nghiệm tổng quát của (a) có dạng: 1 2( ).cos ( ).siny C x x C x x  . Ta có hệ Wronsky: 1 2 1 2 cos . ( ) sin . ( ) 0 1 sin . ( ) cos . ( ) cos xC x xC x xC x xC x x          10/13/2012 8 Ø Chương 8. Phương trình vi phân 2 1 2 2 1 2 sin cos . ( ) sin . ( ) 0 sin cos . ( ) cos . ( ) 1 x xC x xC x x xC x xC x          1 2 sin ( ) cos ( ) 1 x C x x C x        1 1 2 2 ( ) ln cos ( ) . C x x C C x x C       Vậy phương trình (a) có nghiệm tổng quát là:    1 2ln cos cos siny x C x x C x    . Ø Chương 8. Phương trình vi phân VD 13. Cho phương trình vi phân: 22 2 (2 ) xy y y x e     (*). 1) Chứng tỏ (*) có 1 nghiệm riêng là 2 xy x e . 2) Tìm nghiệm tổng quát của (*). b) CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI ĐẶC BIỆT Ø Phương pháp cộng nghiệm • Định lý Nghiệm tổng quát của phương trình không thuần nhất (6) bằng tổng nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất (4) với 1 nghiệm riêng của (6). Ø Chương 8. Phương trình vi phân Giải 1) 2 2 2(*) ( 4 2) 2(2 ) 2x x xVT x x e x x e x e      2(2 ) (*)xx e VP    đpcm. 2) Xét phương trình thuần nhất 2 2 0y y y    (**): 2 1,22 2 0 1k k k i      . Suy ra (**) có nghiệm tổng quát: 1 2( cos sin ) xy e C x C x  . Vậy (*) có nghiệm tổng quát là: 2 1 2( cos sin ) x xy x e e C x C x   . Ø Chương 8. Phương trình vi phân VD 14. Tìm nghiệm tổng quát của phương trình vi phân: 2 sin 2 4 cos2y y x x    , biết 1 nghiệm riêng là cos2y x . Giải. Phương trình 0y y   có: 2 1 20 0, 1k k k k     0y y    có nghiệm tổng quát 1 2 xy C C e  . Vậy nghiệm tổng quát cần tìm là: 1 2 cos2 xy C C e x   . Ø Chương 8. Phương trình vi phân Ø Phương pháp chồng chất nghiệm • Định lý Cho phương trình vi phân: 1 2 1 2( ) ( ) (7)y a y a y f x f x     . Nếu 1( )y x và 2( )y x lần lượt là nghiệm riêng của 1 2 1( )y a y a y f x    , 1 2 2( )y a y a y f x    thì nghiệm riêng của (7) là: 1 2( ) ( ).y y x y x  Ø Chương 8. Phương trình vi phân VD 15. Tìm nghiệm tổng quát của 22cosy y x   (*). Cho biết 1y y   và cos2y y x   lần lượt có nghiệm riêng 1y x  , 2 2 1 cos2 sin2 10 10 y x x  . Giải. Ta có: 22 cos 1 cos2y y x y y x         . Suy ra (*) có nghiệm riêng là: 2 1 cos2 sin 2 10 10 y x x x   . 10/13/2012 9 Ø Chương 8. Phương trình vi phân Mặt khác, phương trình thuần nhất 0y y   có nghiệm tổng quát là 1 2 xy C C e  . Vậy phương trình (*) có nghiệm tổng quát là: 1 2 2 1 cos 2 sin 2 10 10 xy C C e x x x     . Ø Chương 8. Phương trình vi phân Ø Phương pháp tìm nghiệm riêng của phương trình vi phân tuyến tính cấp 2 với hệ số hằng Xét phương trình 1 2 ( ) (6)y a y a y f x    và 1 2 0 (4).y a y a y    • Trường hợp 1: f(x) có dạng eαxPn(x) ( ( ) n P x là đa thức bậc n ). Bước 1. Nghiệm riêng của (6) có dạng: ( )m x n y x e Q x ( ( ) n Q x là đa thức đầy đủ bậc n ). Ø Chương 8. Phương trình vi phân Bước 2. Xác định m : 1) Nếu  không là nghiệm của phương trình đặc trưng của (4) thì 0m  . 2) Nếu  là nghiệm đơn của phương trình đặc trưng của (4) thì 1m  . 3) Nếu  là nghiệm kép của phương trình đặc trưng của (4) thì 2m  . Bước 3. Thế . ( )m x n y x e Q x vào (6) và đồng nhất thức ta được nghiệm riêng cần tìm. Ø Chương 8. Phương trình vi phân VD 16. Tìm nghiệm riêng của phương trình vi phân: 3 22 3 ( 1)xy y y e x     . Giải. Ta có 3 2( ) ( 1)xf x e x  , 2 2 3, ( ) 1P x x    . Suy ra nghiệm riêng có dạng: 3 2( )m xy x e Ax Bx C   . Do 3  là nghiệm đơn của phương trình đặc trưng 2 2 3 0k k   nên 1m  . Suy ra nghiệm riêng có dạng 3 2( )xy xe Ax Bx C   . Ø Chương 8. Phương trình vi phân Thế 3 2( )xy xe Ax Bx C   vào phương trình đã cho, đồng nhất thức ta được: 1 1 9 , , 12 16 32 A B C   . Vậy nghiệm riêng là 3 21 1 9 12 16 32 xy xe x x         . Ø Chương 8. Phương trình vi phân VD 17. Tìm dạng nghiệm riêng của phương trình vi phân: 2 2x xy y y xe e     . Giải. Xét phương trình 2 xy y y xe    (1). Ta có ( ) xf x xe , 1 1, ( )P x x   . Dạng nghiệm riêng của (1) là 1 ( )m xy x e Ax B  . Do 1  không là nghiệm của phương trình đặc trưng 2 2 1 0k k   nên 0m  1 ( )xy e Ax B   . 10/13/2012 10 Ø Chương 8. Phương trình vi phân Xét phương trình 2 2 xy y y e    (2). Ta có ( ) 2 xf x e , 0 1, ( ) 2P x   . Nghiệm riêng của (2) có dạng m xy Cx e . Do 1  là nghiệm kép của phương trình đặc trưng 2 2 1 0k k   nên 2m  2 2 xy Cx e  . Áp dụng nguyên lý chồng nghiệm, suy ra nghiệm riêng của phương trình đã cho có dạng: 2 1 2 ( )x xy y y e Ax B Cx e     .