Bài giảng Toán cao cấp - Chương 7: Lý thuyết chuỗi

10/13/2012 1 Ø Chương 7. Lý thuyết chuỗi §1. KHÁI NIỆM CƠ BẢN VỀ CHUỖI SỐ 1.1. Định nghĩa • Cho dãy số có vô hạn các số hạng 1 2, , ..., ,...nu u u Biểu thức 1 2 1 ... ...n n n u u u u        được gọi là chuỗi số. • Các số 1 2, , ..., ,...nu u u là các số hạng và nu được gọi là số hạng tổng quát của chuỗi số. §1. Khái niệm cơ bản về chuỗi số §2. Chuỗi số dương §3. Chuỗi số có dấu tùy ý • Tổng n số hạng đầu tiên 1 2 ...n nS u u u    được gọi là tổng riêng thứ n của chuỗi số. Ø Chương 7. Lý thuyết chuỗi • Nếu dãy  n nS ¥ hội tụ đến số S hữu hạn thì ta nói chuỗi số hội tụ và có tổng là S , ta ghi là 1 n n u S    . Ngược lại, ta nói chuỗi số phân kỳ. VD 1. Xét sự hội tụ của chuỗi nhân 1 1 n n aq     với 0a  . Giải • 1q  : nS na   chuỗi phân kỳ. • 1q  : 1 1 1 . . 1 1 n n n q q S u a q q       Với 1q  thì nS  chuỗi phân kỳ. Vậy 1 1 n n aq     hội tụ 1q  . VD 2. Xét sự hội tụ của chuỗi số 1 1 ( 1)n n n     . Giải. Ta có: 1 1 1 1... 1.2 2.3 3.4 ( 1)n S n n       1 1 1 1 1 1 1 1 ... 2 2 3 3 4 1n n                                             Với 1q  thì 1n a S q    chuỗi hội tụ. Ø Chương 7. Lý thuyết chuỗi VD 3. Xét sự hội tụ của chuỗi số 1 1 ln 1 n n           . Giải. Ta có: 1ln 1 ln( 1) lnn n n          ( ln1 ln 2) ( ln 2 ln 3)nS       ( ln 3 ln 4) ... [ ln ln( 1)]n n        ln( 1)n    chuỗi phân kỳ. VD 4. Xét sự hội tụ của chuỗi số 1 1 n n    . 11 1 1n      chuỗi hội tụ. Ø Chương 7. Lý thuyết chuỗi Giải. 1 1 1 11 ... 2 3 4 nS n       1 .nS n n n      chuỗi phân kỳ. Ø Chương 7. Lý thuyết chuỗi 1.2. Điều kiện cần để chuỗi số hội tụ • Nếu chuỗi 1 n n u    hội tụ thì lim 0nn u  , ngược lại nếu lim 0nn u   thì 1 n n u    phân kỳ. VD 5. Xét sự hội tụ của chuỗi số 4 4 1 3 2n n n n      . Giải. Ta có: 4 4 1 0 3 2 n n u n n       chuỗi phân kỳ. Ø Chương 7. Lý thuyết chuỗi 10/13/2012 2 VD 6. Xét sự hội tụ của chuỗi số 5 4 1 1n n n     . Giải. Ta có: 5 4 0 1 n n u n      chuỗi phân kỳ. 1.3. Tính chất • Nếu 1 1 , n n n n u v       hội tụ thì: 1 1 1 ( )n n n n n n n u v u v            . • Nếu 1 n n u    hội tụ thì: 1 1 n n n n u u         . • Tính chất hội tụ hay phân kỳ của chuỗi số không đổi nếu ta thêm hoặc bớt đi hữu hạn số hạng. Ø Chương 7. Lý thuyết chuỗi §2. CHUỖI SỐ DƯƠNG 2.1. Định nghĩa • 1 n n u    được gọi là chuỗi số dương nếu 0, nu n  . Khi 0, nu n  thì chuỗi số là dương thực sự. 2.2. Các định lý so sánh Định lý 1. Cho hai chuỗi số dương 1 1 , n n n n u v       thỏa: 00 , n nu v n n    . • Nếu 1 n n v    hội tụ thì 1 n n u    hội tụ. • Nếu 1 n n u    phân kỳ thì 1 n n v    phân kỳ. Ø Chương 7. Lý thuyết chuỗi VD 1. Xét sự hội tụ của chuỗi số 1 1 .2nn n    . Giải. Ta có: 1 1 , 1 .2 2n n n n    . Do 1 1 2nn    hội tụ nên 1 1 .2nn n    hội tụ. VD 2. Xét sự hội tụ của chuỗi điều hòa 1 1 n n    bằng cách so sánh với 1 1 ln 1 n n           . Ø Chương 7. Lý thuyết chuỗi Giải. Xét hàm số ( ) ln(1 )f t t t   ta có: ( ) 0, 0 ( ) 0, 0 1 t f t t f t t t           1 1ln 1 0, 1n n n           . Do 1 1 ln 1 n n           phân kỳ nên 1 1 n n    phân kỳ. Ø Chương 7. Lý thuyết chuỗi Định lý 2 Cho hai chuỗi số 1 1 , n n n n u v       thỏa: 0nu  và 0nv  với n đủ lớn và lim n n n u k v  . • Nếu 0k  thì 1 n n u    phân kỳ 1 n n v    phân kỳ. • Nếu k   thì 1 n n u    hội tụ 1 n n v    hội tụ. • Nếu 0 k  thì 1 1 , n n n n u v       cùng tính chất. Ø Chương 7. Lý thuyết chuỗi VD 3. Xét sự hội tụ của chuỗi số 1 1 2 ( 1) .3 n n n n n     bằng cách so sánh với 1 2 3 n n          . Giải. Ta có 1 2 ( 1) 2 1 1 : 3 3 3.3 nn n n n nn          . Do 1 2 3 n n          hội tụ nên 1 1 2 ( 1) .3 n n n n n     hội tụ. Chú ý Chuỗi 1 1 n n     hội tụ khi 1  và phân kỳ khi 1  . Ø Chương 7. Lý thuyết chuỗi 10/13/2012 3 VD 4. Xét sự hội tụ của chuỗi số 51 1 2 3n n n      . Giải. Ta có 5 3 1 1 1 : 22 3 n n n    . Do 31 1 n n    hội tụ nên 51 1 2 3n n n      hội tụ. Cách khác Khi n  thì: 5 35 2 2 1 1 2 3 2. 2. n n n n n    : . Ø Chương 7. Lý thuyết chuỗi Do 3 1 2 1 2. n n    hội tụ nên 51 1 2 3n n n      hội tụ. Ø Chương 7. Lý thuyết chuỗi 2.3. Các tiêu chuẩn hội tụ 2.3.1. Tiêu chuẩn D’Alembert Cho chuỗi số dương 1 n n u    và 1lim n n n u D u    . • Nếu 1D  thì chuỗi hội tụ. • Nếu 1D  thì chuỗi phân kỳ. • Nếu 1D  thì chưa thể kết luận. VD 5. Xét sự hội tụ của chuỗi số 1 1 1 1 3 n n n n           . Giải. Ta có: 1 1 1 1 2 1 1 : 13 3 n n n n n n u n n u n n                    Ø Chương 7. Lý thuyết chuỗi 2 2 2 2 1 1 3( 1) 32 1 n n n n n n n              chuỗi hội tụ. VD 6. Xét sự hội tụ của chuỗi số 2 1 5 ( !) (2 )! n n n n    . Giải. Ta có: 1 1 5 ( 1)!( 1)! 5 . ! !: (2 2)! (2 )! n n n n u n n n n u n n      25( 1) 5 1 (2 2)(2 1) 4 n n n        chuỗi phân kỳ. Ø Chương 7. Lý thuyết chuỗi 2.3.2. Tiêu chuẩn Cauchy Cho chuỗi số dương 1 n n u    và lim n nn u C  . • Nếu 1C  thì chuỗi hội tụ. • Nếu 1C  thì chuỗi phân kỳ. • Nếu 1C  thì chưa thể kết luận. VD 7. Xét sự hội tụ của chuỗi số 2 1 1 2 n n          . Giải. Ta có: 1 0 1 2 n n nu         chuỗi hội tụ. Ø Chương 7. Lý thuyết chuỗi VD 8. Xét sự hội tụ của chuỗi số 1 3 n n n n   . Giải. Ta có: 3 n n n u    chuỗi phân kỳ. Ø Chương 7. Lý thuyết chuỗi 10/13/2012 4 2.3.3. Tiêu chuẩn Tích phân Maclaurin – Cauchy Cho hàm số ( )f x liên tục, không âm và giảm trên nửa khoảng [ ; ), k k  ¥. Khi đó: ( ) ( ) n k k f n f x dx     hoäi tuï hoäi tuï. VD 9. Xét sự hội tụ của chuỗi số 3 21 1 n n    . Giải. Ta có: 3 2 1 dx x   phân kỳ  chuỗi 3 21 1 n n    phân kỳ. Ø Chương 7. Lý thuyết chuỗi VD 10. Xét sự hội tụ của chuỗi số 3 2 1 lnn n n    . Giải. Ta có: 3 3 2 ln 2ln dx dt x x t     hội tụ  3 2 1 lnn n n    hội tụ. Ø Chương 7. Lý thuyết chuỗi §3. CHUỖI SỐ CÓ DẤU TÙY Ý VD 1. 1 ( 1)n n n    , 1 1 1 2 1 ( 1) 2 n n n n       là các chuỗi đan dấu. 3.1. Chuỗi đan dấu a) Định nghĩa. Chuỗi số 1 ( 1)n n n u    được gọi là chuỗi số đan dấu nếu 0,nu n  . b) Định lý Leibnitz Nếu dãy { }n nu ¥ giảm nghiêm ngặt và 0nu  thì chuỗi 1 ( 1)n n n u    hội tụ. Khi đó, ta gọi là chuỗi Leibnitz. Ø Chương 7. Lý thuyết chuỗi VD 2. Xét sự hội tụ của chuỗi số 1 ( 1)n n n    . Giải. Dãy 1nu n  giảm ngặt và 1 0 n   chuỗi hội tụ. VD 3. Xét sự hội tụ của chuỗi số 1 1 2 1 ( 1) 2 n n n n      . Giải. 1 1 1 1 0 2 22 n n u       không có kết luận. Đặt 1 1 1 2 1 ( 1) 2 n n n n n n v          , ta có: Ø Chương 7. Lý thuyết chuỗi • Với 2 1 1 1 1 2 : 2 22 n k n k v      . • Với 2 2 1 1 1 2 1 : 2 22 n k n k v       . Do lim nn v   nên 1 0n n n v v      phân kỳ. Ø Chương 7. Lý thuyết chuỗi VD 4. Xét sự hội tụ của chuỗi số 2 ( 1) ( 1) n n n n       . Giải ( 1) ( 1)( 1) ( 1) 1 1 1 1( 1) n n n n n n n n n nn              • 2 1 1n n     là chuỗi điều hòa nên phân kỳ. • 2 ( 1) 1 n n n n     là chuỗi Leibnitz nên hội tụ. Vậy chuỗi 2 ( 1) ( 1) n n n n       phân kỳ. Ø Chương 7. Lý thuyết chuỗi 10/13/2012 5 3.2. Chuỗi có dấu tùy ý a) Định nghĩa • Chuỗi 1 ,n n n u u    ¡ được gọi là chuỗi có dấu tùy ý. • 1 n n u    được gọi là hội tụ tuyệt đối nếu 1 n n u    hội tụ. • 1 n n u    được gọi là bán hội tụ nếu 1 n n u    hội tụ và 1 n n u    phân kỳ. VD 5. Chuỗi số 1 ( 1)n n n    là bán hội tụ. Ø Chương 7. Lý thuyết chuỗi b) Định lý Nếu 1 n n u    hội tụ thì chuỗi có dấu tùy ý 1 n n u    hội tụ. VD 6. Xét sự hội tụ của chuỗi số 2 1 cos( )n n n n    . Giải Do 2 1 nu n  và 2 1 1 n n    hội tụ nên 2 1 cos( )n n n n    hội tụ. Vậy chuỗi số đã cho hội tụ tuyệt đối. VD 7. Xét sự hội tụ của chuỗi số 1 1 ( 1) ( 2) 3 n n n n      . Ø Chương 7. Lý thuyết chuỗi Giải. Ta có: 1 1( 1) ( 2) ( 1) ( 2) 3 3 3 n n n n n n n         . Do 1( 2) 2 2. 33 nn n         nên 1 1 ( 2) 3 n n n    hội tụ. Vậy 1 1 ( 1) ( 2) 3 n n n n      hội tụ. Ø Chương 7. Lý thuyết chuỗi Chuỗi 1 ( 1) 3 n n n    hội tụ theo tiêu chuẩn Leibnitz.