Bài giảng Toán cao cấp - Bài 4 Các dạng toán về không gian vecto

CÁC DẠNG TOÁN VỀ KGVT( PHẦN 1 )BÀI 4Dạng 1XÉT XEM V CÓ LÀ KGVT PP: Dùng định nghĩa. x, y, z thuộc tập hợp V. p thuộc trường K. hai phép toán (+ , .)(V,+, .) là KGVT trên K khi và chỉ khi(V,+, .) 1. x+y = y+x5. 1.x = x6. p.(q.x) = (p.q). x7. (p+q).x = p.x + q.x8. p(x+y) = p.x + p.y000c2. x+(y+z) = (x+y)+z3. V: x+ = x4. (-x) V: (-x)+x = c x+y = (x1+y1, x2+y2, . . ., xn+yn) p.x = x = (x1, x2, . . ., xn), y = (y1, y2, . . ., yn)(px1, px2, . . ., pxn) (V, +, .)x, yCV, pCKVí dụ 1: (V,+,.) = V = K=RnRRnCnCnCCn( , C) (x1, x2)+(y1, y2) = (x1+y2, x2+y1) p(x1,x2) = (px1, px2); p RCVí dụ 2: ( , +, . )R2 là KGVT? ĐK1: x+y = y+xChọn: x=(0,1) , y=(1,1) x+y =(1,2) y+x =(2,1) x+y = y+x ( , +, . )R2 không là KGVTVí dụ 3: = (px1, x2); p RCx = (1, 2), p=3, q=4 (p+q).x = p.x + q.x7(1, 2)= (x1, x2)+(y1, y2) = (x1+y1, x2+y2) (7, 2) ( , +, . )R2 là KGVT? ĐK7: 3(1, 2)+ 4(1, 2) = (3, 2)+ (4, 2) (7, 4)= Vậy: (p+q).x = p.x + q.xp(x1,x2) (p+q)x = px+qx = ( , +, . )R2 không là KGVTDạng 2XÉT XEM W CÓ LÀ KGC PP1: Dùng định nghĩaTập con W khác rỗng của kgvt V là KGC của V khi:W với hai phép toán (+) và (.) được định nghĩa trên V cũng là một KGVT PP2: Dùng định lýTập con W khác rỗng của kgvt V là KGC của V khi thỏa một trong 2 đk sau: ° x+y W c x,y W, c ° mx W c m K, c mx+y W c1.2.Chú ýV và { } là hai KGC của KGVT V 0 W = { x = (x1,x2,x3) /x1+x2+x3 = 0 }Ví dụ 1: CMR: W là KGC của R3 mx+y = m (x1,x2,x3)+ (y1,y2,y3) ( , , )= mx1+y1mx2+y2mx3+y3 mx1+y1+mx2+y2+mx3+y3= m(x1+x2+x3)+(y1+y2+y3)= m.+0 0=0 mx+y cW W là KGCm x, y W cR, c mx+y cW CM: W = { x = (x1,x2,x3) /x1+x2+x3 = 1 }Ví dụ 2: CMR: W không là KGC của R3 ° x+y W c x,y W, c ° mx W c m Kc1.Chọn: x=(1,0,0) y=(0,1,0) x+y=(1,1,0) x+y Không thuộc W y thuộc W x thuộc W W không là KGC của R3 CÁC DẠNG TOÁN VỀ KGVT( PHẦN 2 )BÀI 4PP: Dùng định lýTập con W khác rỗng của kgvt V là KGC của V khi thỏa một trong 2 đk sau: ° x+y W c x,y W, c ° mx W c m K, c mx+y W c1.2.Chú ýV và { } là hai KGC của KGVT V 0 W = { x=(x1,x2,x3)/ }Ví dụ 3: CMR: W là KGC của R3 - x3 x1 + = 0 x22x1 + = 0 3x2 1 1 3 2 -1 0 0A = 0 1 1 1 0 -1 0 0 0 d2-2d1 x1 + = 0 x2 = 0 - x3 x2 x1 + = 0 x2 = 0 - x3 x2x3 = tx2 = tx1 = -t(t R)Cx3= tx2= tx1= -t x = ( -t, t, t ) y = ( -m, m, m ) K RC W = { x = ( -t, t, t ) / }(t R)C kx+y = ( , , ) -kt-m kt+mkt+mĐặt: p=kt+m kx+y = (-p, p, p) kx+y W cW là KGC của R3cW Ví dụ 4: CMR: Nếu U và W là KGC của V thì: U+W = { x+y/ x U và y W }cc U W = { x/ x U và x W }cc là KGC của V U+W m u, v R, mu+v U+W U+W ccccxU, u=x+y, cyWcuU+WczU, v=z+t, ctWcvU+W mu+v = m(x+y) +(z+t)= (mx+my) +(z+t)= (mx+z)+( my+t)cUcW mu+vU+W cU+W là KGC UU WcuU vàcuWcuUU WcvU vàcvWcvUU WcuU cvU mu+v cU cuW cvW mu+v cW mu+v cUU W là KGC UU WVí dụ 5: M={x1, x2, . . . , xn}U V={y/ y là thtt của x1, x2, . . . , xn}CMR: là KGC của V u=cui=1n tixi v=cvi=1n kixim u, v cK, c mu+v c CM: u=i=1n tixi v=i=1n kixim u, v K, mu+v CM: ccc mu+v=i=1n kixi= tixi m + i=1ni=1n(mti+ki)xi=i=1npixi mu+v c là KGC của V U+W: là tổng của U và W UU W: là giao của U và W GHI CHÚ: Nếu U và W là KGC của V thì các tập hợp sau đây cũng là KGC của V U + W: là tổng trực tiếp của U và W UU W= : là KGC sinh bởi MDạng 3 ĐỘC LẬP TUYẾN TÍNH PHỤ THUỘC TUYẾN TÍNH PP1: Dùng định nghĩaPP2: Dùng tính chấtPP3: Dùng hạng của ma trận liên kết với hệ vectơPP1: Dùng định nghĩa t1 = t2 =. . . = tn = 0 t1x1 + t2x2 +. . . + tnxn = 0{x1, x2, . . . , xn} ĐLTTVí dụ1: Xét sự ĐLTT PTTT của hệ x = (1+i, i) trong C2(R) và C2(C) y = (-1+i, -1) {x1, x2, . . . , xn} PTTT khi không ĐLTT t1x + t2y =0 ( , ) ( , ) ( , ) = (0, 0) it1-t2 = (0, 0) t1+it1 it1 t1-t2+i(t1+t2) -t2+it2-t2 + t1-t2+i(t1+t2) = 0 -t2+it1 = 0(*)C2(R) (t1, t2 R)c(*) t1-t2 = 0 -t2 = 0 t1 = 0 t1+t2 = 0 t1(1+i,i)0 t1 = 0 t2 = 0 { x, y } đltt + t2(-1+i,-1) = 1-i+i(1+i) = 0 -i+i = 0(*) C2(R) (t1, t2 C)c { x, y } pttt Chọn t1 = 1, t2 = it1, t2 thỏa (*) t1-t2+i(t1+t2) = 0 -t2+it1 = 0(*)Ví dụ2: Trong kgvt V, cho x, y, z ĐLTT. u=x+y-2zv=x+3y-zw=y+mz Tìm m để u, v, w PTTT u, v, w PTTTEk, t, p không đồng thời bằng 0: ku+tv+pw = 0 ku+tv+pw = 0 k( )u=x+y-2zv=x+3y-zw=y+mzx+y-2z+ t( )x+3y-z+ p( )y+mz = 0 ( )xk+t+p+ ( )yk+3t+ ( )-2k-t+pm z = 0k+t+p = 0k+3t = 0-2k-t+pm = 0(*) u, v, w PTTT có n0 khác (0,0,0)(*)k+t+p = 0k+3t = 0-2k-t+pm = 0(*) có n0 khác (0,0,0)(*)011-213-110mm =12m-2 = 0 CÁC DẠNG TOÁN VỀ KGVT( PHẦN 3 )BÀI 4Dạng 3 ĐỘC LẬP TUYẾN TÍNH PHỤ THUỘC TUYẾN TÍNH PP1: Dùng định nghĩaPP2: Dùng tính chấtPP3: Dùng hạng của ma trận liên kết với hệ vectơPP2: Dùng tính chất (ĐLTT)1.{ x } ĐLTTx =02.{ x, y } ĐLTTx =0y = kx3.{x1, x2, . . ., xn} ĐLTTy không là thtt của x1, x2, . . ., xn{ y, x1, x2, . . . , xn } ĐLTTMN ĐLTT4.NM ĐLTTU Dùng tính chất ( PTTT)0cMM PTTT1.MM PTTT4.NN PTTTUy là thtt của x1, x2, . . ., xn2.{ y, x1, x2, . . . , xn } PTTTVí dụ1: Trong M2(R) xét sự ĐLTT, PTTT của { A , B } 1-2-1-3A =1-210B ={ A, B } ĐLTT0(ma trận đơn vị)k.AABVí dụ2: Trong P2[x], cho M={u, v, w}u=x2+x+4v=2x2-x+1w=-x2-x+m Tìm m để M ĐLTT u 0( = 0x2+0x+0 )0{ u, v } ĐLTT M ĐLTT w không là thtt của u, vv ku u=x2+x+4v=2x2-x+1w=-x2-x+mw không là thtt của u, v không tồn tại hai số thực k,t thỏa:w=ku+tv không tồn tại hai số thực k,t thỏa: k+2t = 4k+t = m m khác k t = __ 1_ 1_ 4r(A) y=x2+mx+2 u=3x2+2x v=2x2+5x+1 {y, u, v} là hệ sinh của M= dimM=2 khi và chỉ khi A. m = 5 B. m = 6 C. m = 7 D. m = 8 dimM=2 r{y, u, v}=2 y=x2+mx+2 u=3x2+2x v=2x2+5x+1 r{y, u, v}=2 y=tu+kv x2+mx+2=t(3x2+2x) + k(2x2+5x+1) x2+mx+2=( )x2+( )x+( ) 3t+2k2t+5kt+k3t+2k = 12t+5k = mt+k = 1 y là THTT của u, vA. m = 5 B. m = 6 C. m = 7 D. m = 8 3t+2k = 12t+5k = mt+k = 1t = -1k = 2m = 8 U={x=(x1,x2,x3,x4)/x1-3x2+2x3+2x4=0} V={x=(x1,x2,x3,x4)/2x1-2x2+5x3+6x4=0}Tìm số chiều của U+V Ví dụ5: dim(U+V) = dimU + dimV - dim (U V) U dimU= 4-1 =3 dimV= 4-1 =3 dim = 4-2=2U(U V) dim(U+V)=4 CÁC DẠNG TOÁN VỀ KGVT( PHẦN 5 )BÀI 4Dạng 6 TỌA ĐỘ CỦA VECTƠĐỊNH NGHĨA: B = {x1, x2, . . . , xn} là cơ sở của V x = (t1, t2, . . . , tn) x = t1t2..tnx = t1x1 + t2x2 +. . . + tnxn Ví dụ1: Trong R3, tìm tọa độ của x = (1, 0, 3)/B (1,0,3) x = t(1,1,0) + m(1,0,1) + p(0,1,1) = ( , , )t+m B = {(1,1,0); (1,0,1); (0,1,1)}t+pm+px= tmp (1, 0, 3) = ( , , )t+mt+pm+p t + m = 1 t + p = 0 m + p = 3 t = -1 m = 2 p = 1x = -121Ví dụ2: Trong P2[X], tìm tọa độ của x=2x2+x-3 đối với x = t.1 + m(x-1) + p(x-1)2 = ( )x2pt+m+p-2m-2px= tmp B = { 1, (x-1), (x-1)2 } + ( )x + ( ) p = 2 -2m -2p = 2t+m+p = -3 t = -1 m = -3 p = 2x = -1-32 = ( )x2pt+m+p-2m-2p + ( )x + ( )2x2+2x-3