Bài giảng Toán cao cấp - Bài 2 Các dạng toán về ma trận

BÀI 2 CÁC DẠNG TOÁN VỀ MA TRẬN( PHẦN 1 )Dạng 1 TÌM ĐK ĐỂ TỒN TẠI A-1 PP: Dùng định lýA khả nghịchdetA khác 0A = ( x 2 3 )Tìm x để A khả nghịch Ví dụ 1:x -x -1 A khả nghịchdetA khác 0A = (x 2 3)x -x -1 = (x2-2x-3) detA = x2-2x-3A khả nghịch x2-2x-30xx-13 1 1 3 4 2 6 m-3-9A = 1 2 m -3 2 1 -6-31-mTìm m để A khả nghịch Ví dụ 2:BCA = B.CdetA = detB.detC 1 1 3 4 2 6 m-3-9A = 1 2 m -3 2 1 -6-31-m 1 3 2 6-3-9 = B.CdetB = 0, mdetA = 0, mA-1 không tồn tại với mọi mn=1:n=2: A-1 =1detAcdabA =Dạng 2 TÌM MA TRẬN An-1 --adcb Nếu A = (a), a = 0 A = (2) A-1=(1/2)1-2-1-3A =Ví dụ: Tìm A-1 biếtthì A-1=( )1/a1-2-1-3A =1-1-23A-1 =15--PP1: Dùng phép biến đổi sơ cấpn 3:PP2: Dùng công thức°Đổi chỗ hai dòng°Nhân một dòng với một số khác 0°Cộng vào một dòng k lần một dòng khácPP1: Dùng phép biến đổi sơ cấpA I Phép bđsc I A-1 Ví dụ : Tìm A-1, biết: A = 01 131111 2AIIA-1A I = 01 131111 2 00 110010 0 d2-2d1 , d3-d1 01 110011 0 00 110-110 -2 01 110011 0 00 110-110 -2 d2-d3 00 110011 0 0-1 110-110 -1 d1-d2 00 110010 0 1-1 110-12-1 -1 1-1 110-12-1 -1 A-1 PP2: Dùng công thức A11A21. . .An1A12A22An2A1nA2nAnn.... . .. . .A-1 = A1  Ai j = (-1)i+j Di j Di j là định thức bỏ dòng i, cột j từ detAVí dụ: Tính tổng các phần tử ở dòng 1 của A-1 A = 01 131111 2 A11A21A31A12A22A32A13A23A33A-1 = A1 A11A21A31A1 S = ( A11A21A31 )A1 ++A = 01 131111 2detA = 1 S = ( ) A11A21A31++A = 01 131111 2 A11=(-1)1+1D11 = D11 = 2 A21=(-1)2+1D21 = -D21 = -1 A31=(-1)3+1D31 = D31 = 1S = A11A21A31++ = 2BÀI 2 CÁC DẠNG TOÁN VỀ MA TRẬN( PHẦN 2)Dạng 3TÍNH CHẤT CỦA A-1TC3: (AB)-1 =TC1: (A-1)-1 = TC2: (AT)-1 =A (A-1)T B-1A-1 Nếu A khả nghịch thì mệnh đề sau đúng hay sai (2A)-1 = 2A-1Ví dụ1:  Nếu A=(a) thì A-1=(1/a), a khác 0 A=(1) 2A =(2A)-1= A-1= 2A-1= Vậy mệnh đề trên sai (2)(1/2)(1/1)=(1)(2) Nếu A, B, C khả nghịch và cùng cấp thì mệnh đề sau đúng hay sai (ABC)-1 = C-1B-1A-1Ví dụ2: TC: (AB)-1 = B-1A-1 (ABC)-1 = = C-1(AB)-1 = C-1B-1A-1 Vậy mệnh đề trên đúng [(AB)C]-1GIẢI PT MA TRẬNdạng 4PP1: Dùng ma trận nghịch đảo PP2: Giải hpt tuyến tínhChú ý Nếu A,B vuông detA=0, detB=0 thì pt AX=B VN  Tìm cấp của X  Tìm phần tử của X AX = B = B X A-1 A-1 A Ví dụ1 : Tìm X để: AX=B(*)4A =00-126-1-1-34B =12-105-100detA =Vậy: pt (*)vô nghiệm 2-16-3= 0detB = 20 0(-1)Ví dụ2 : Tìm X để: AX=B1-2-1-3detA = 50112B =A =1-1-23A-1 =15--Cách1 AX = B = B X A-1 A-1 A X = A-1B =-1-1-23150112 X =-1/5-3/5-2/5-1/5 =-1-3-2-1151-2-1-30112B =A =Cách2 AX = B Cấp của X:2x2 X =ztxy1-2-1-3ztxy0112 = =-y-3t y-2t  Phần tử của X 1 0 2 1-x-3z = x-2z = = -x-3z = 1x-2z = 0-y-3t = 2y-2t = 1x = -2/5y = -1/5z = -1/5t = -3/5 X =-1/5-3/5-2/5-1/5Ví dụ3 : Tìm X để: XA=B1-2-1-30112B =A =Cách11-1-23A-1 =15-- XA = B X A-1 = B A-1 A X =1-1-2315--0112 X = -1-1-4-515 =1-1-2315--0112 BA-1= Cách2 XA = B1-2-1-3ztxy0112 =x = -4/5y = -1z = -1/5t = -1/5 X =-1-1-4-515Ví dụ4: B = (2 3)A = (1 2)24C = AX = B XAT = CTìm X thỏa:  Cấp của X A12 X = B12 X AT21 = C21 X =ztxy Phần tử của X (1 2)ztxy_= (2 3)ztx2124 =yx + 2z = 2y + 2t = 3x + 2y = 4z + 2t = 2B = (2 3)A = (1 2)24C =x + 2z = 2y + 2t = 3x + 2y = 4z + 2t = 2x = 2y = 1z = 0t = 1 X =ztxy0121Ví dụ5: Tìm X để: AXB=C12110112B =A =0111C =0112B-1 =11-1121A-1 =11-- X = C A-1B-1 A-1B-1 A B 011-2B-1 =0111C =A-1-112-1 =-122-3 X = C X = A-1B-1BÀI 2 CÁC DẠNG TOÁN VỀ MA TRẬN( PHẦN 3 )Dạng 5TÌM HẠNG CỦA MA TRẬNPP1: Dùng định nghĩaVí dụ1 : Tìm r(A) , biết: 230304612241124A =0PP2: Đưa về ma trận bậc thang Dùng định nghĩa230304612241124A =023412246 detA = 0B =230302410232 detB = 6 r(A) = 3 r(A) < 4 0Ví dụ2 : Tìm r(A) , biết: 23030461212A =0041046120041046120041 = 1 0104601 = 4r(A) = 3D = D 5X3r(A) = 3 01210151-112210330Ví dụ3 : Tìm r(A) , biết: 0-113A =PP2: Đưa về ma trận bậc thang1210151-1122103300-113 d2-d1 d3-d11210030-1001103300-1131210030-1001103300-113 d4 – 3d31210030-1001100000-110r(A) = 3Ví dụ4: Tìm x để r(A) = 2 biết: 121x151-1242x2A =1215D == 3Vậy r(A)2 =0121x151-1242x2A =121151242D1 =12x15-124x2D2 =21x51-142x2D3 =D2 = 3x2 - 6xD3 = -3x2 + 6xVậy r(A) = 2x = 0 hay x = 2121242 r(A.B) = r[(B)-1] A khả nghịchr(A) = cấp của AVí dụ 5: Nếu A, B cấp 4, khả nghịch CMR: A, B cấp 4, khả nghịch A.B cấp 4, khả nghịch r(A.B) = 4 r(A.B) = 4 B-1 khả nghịch r(B-1)= cấp của B-1 r(B-1) = 4 r(A.B) = r(B)-1 T/C CỦA PHÉP TOÁN TRÊN MA TRẬN1. Phép cộng hai ma trậnDạng 6 A+B = B+A (A+B)+C = A+(B+C) (0)+A = A+(0)= A A+(-A) = (0)2. Phép nhân một số với một ma trậnm(A+B) = mA+mB(m+t)A = mA+tA3. Phép nhân hai ma trậnA(BC)=(AB)C A(0)=(0), (0)A=(0)A(B+C)=AB+AC(AB)T=BTATm(AB)=(mA)B=A(mB)Ví dụ1: Tìm B để AB = BA A = 1 1 0 1 AB = BAx y z t B = x+z y+t z t  Cấp của B  Phần tử của BAB = 1 1 0 1 x y z t = AB = x+z y+t z t = x x+y z z+t x+z = xy+t = x+yt = z+tBA = 1 1 0 1 x y z t AB = BAx+z = xy+t = x+yt = z+tz = 0z = 0t = xx y z t B = (x, y tùy ý) x 0 Ví dụ 2 : CMR các mệnh đề sau đây sai với A, B là hai ma trận vuông cùng cấp bất kỳA2 = B2 A = B V A = -B1.A = 0 1 0 0 B = 0 2 0 0 A2 = B2 0 0 0 0 =A = 0 n 0 0 Ak = 0 0 0 0 AB = (0) A = (0) V B = (0)2.A = 0 1 0 0 B = 0 2 0 0 AB =0 0 0 0 (A – B)2 = A2 - 2AB + B2 3.(A – B)2 = (A – B)(A – B)= A(A – B)B(A – B)= A2 – ABBA + B2 –Để chứng minh 3. sai ta chọn A, B sao cho AB khác BA –A = 0 1 0 0 B = 0 2 0 1 AB =0 1 0 0 BA =0 0 0 0