Bài giảng Toán cao cấp - Bài 1 Các dạng toán về định thức

BÀI 1 CÁC DẠNG TOÁN VỀ ĐỊNH THỨCTh1: Định thức D là định thức đặc biệt1.a. Có một dòng hoặc một cột bằng 0b. Có hai dòng hoặc hai cột bằng nhauc. Có hai dòng hoặc hai cột tỉ lệD = 02. Có dạng tam giác hoặc dạng chéoD = tích các phần tử trên đường chéo chínhTÍNH ĐỊNH THỨC D = detAndạng 1Ví dụ: 8287606943492527= 08287016900030027= 4800007990181321886644220000000000n=1:detA = -1Ví dụ: Tính detA , Ta có a = A = (2 -1 0)13-1 = -1 2 -3 - 0 A = ( a ) A = ( -1 ) 1x33x1 A = (a) thì detA = a Th2: D=detAn không đặc biệta11a12a21a22=1-i431+i(1-i)(1+i)-3(4) Ví dụ:a22-a21a12=a11n=2:= -10a11a12a13a23a22a21a31a32a33=a11a22a33-a32a23a11a33a21a12a12a23a31a13a21a32a31a22a13-++-a11a12a13a23a22a21a31a32a33a11a12a22a21a31a32Dùng Quy tắc Sariusn=3:Cách 1Ví dụ: Tính định thức sau đây:1x012x3221x012x3221x2x324+3x+0-0-2-2x2=-2x2 +3x+2D =D =Cách 2Đưa về định thức đặc biệt  TC1: Định thức không thay đổi khi lấy một dòng cộng với k lần một dòng khác  TC3: Nhân tử chung của một dòng có thể đưa ra ngoài dấu định thức  TC2: Định thức đổi dấu khi đổi chỗ hai dònga+bc11bc+ab+caD =1a+b+cc11c+a+bb+c+aa =1b1c1111a =1b(a+b+c) = 0Ví dụ : Tính định thức sau đây:111111n 4:Cách 1Khai triển theo một dòng hoặc một cột (Chọn dòng hoặc cột có nhiều số 0)Ví dụ : Tính định thức sau đây91210-10005423141=a21(-1)2+1D21(-1)2+2D22a23(-1)2+3D23a24(-1)2+4D24+++a220-10091210-10005423141=(-1)2+2D22a22=(-1)921042341=-360-1001921042341A =(0)DCBCB(0)DD(0)BCBCD(0)detA = detB.detD( B, D là ma trận vuông )Cách 2Dùng hệ quả của khai triển Laplace213415230-2201200Ví dụ: Tính định thức sau đây:(-10)(1) = -103-2222315D =D =3523-2212 =Cách 3Đưa về định thức đặc biệtVí dụ 1: Tính định thức1310121-11341033013100-10-100310330 d2-d1= d3-d113100-10-100310330 d4-d313100-10-100310020==-6Ví dụ 2: Tính định thức sau đây:3222232222322223D = =111123222322223299999232222322223D= Lấy d2, d3, d4 trừ 2d1= 9D = 11110100010000109Cách 4Dùng tính chất detA = detATVí dụ: Tính định thức012D = 3-1034-2-305-3-4-50 (-1)5D = 0-1-2-310-3-4230-53450(-1)5 D = D- D = DD = 0-4-5-67456704557-4-5-6-70BÀI 1 CÁC DẠNG TOÁN VỀ ĐỊNH THỨC(PHẦN 2)SO SÁNH HAI ĐỊNH THỨCDạng 2PP1: Tính hai định thứcPP2: Dùng các tính chất của định thức  Rút nhân tử chung của các dòng và các cột ra ngoài dấu định thức Đổi chỗ thích hợp các dòng hoặc các cột0513296132440311234015324209361A =B =Ví dụ 1 : So sánh hai định thức sau đây: Đổi chỗ cột 1 và cột 2 của A34532061A = =B 1201249312012493120124932-332313609132010B =Ví dụ 2 : So sánh hai định thức sau đây:21234022821201360A =0228123401142120136 A =20A =1234011421201362044001230112120136= 2.401100A =1230112120136 2.4.011001230112120136B = 3.3.01100Vậy: A/8 = B/9332313609132010B =233093011330030513296132410312134396124201053A =B =Ví du ï3: So sánh hai định thức sau đây: Đặt nhân tử chung của dòng 3 ra ngoài2134396112101053A = 2 = -2B2420 Đổi chỗ dòng 1 và dòng 4 của A10533961-1 GIẢI PT detA = f(x)Dạng 3PP1: Tính detA và giải PTPP2: Nhẩm nghiệm khi f(x) = 0a. một dòng hoặc một cột bằng 0b. hai dòng hoặc hai cột bằng nhauc. hai dòng hoặc hai cột tỉ lệ detA = 0 khi A cóVí dụ 1: Giải PT sau đây:2134x5x30-220x2003-22x23x535x3-22x2 = 10x2 = 10x2 (-6-2x)(6-5x) = 10x2 x = 20x63x021x3005x42Ví dụ 2: Giải PT sau đây: = 063210042x tùy ý1111xx2x3x424816-11-11 = 0x = 1, 2, -1, 0X-2X+1XXXX+1XXXVí dụ 3: CMR PT sau đây có nghiệm X-2X-2X-2X-2X-1X+1X-2= 0 f(0) = -210001000-2-2-2-2-11-2 f(0) = -1 f(2) = 0322232220000130 f(2) = 27 ĐPCM f(x)= Bài toán về quan hệ giữa detA, detkA, detA-1, detATDạng 4PP: Dựa vào tính chất sau đây:det(kAn) = kn detAn detA = det(AT) detA. det(A-1) = 1 det(AB)= detAdetBVí dụ 1:Nếu A là ma trận vuông cấp 4 có detA = -2. Tính det(2AT)det(kAn) = kn detAn detA = det(AT) det(2AT) = = 24detA = -32 24detATVí dụ 2:Nếu A là ma trận vuông cấp 3 có det(2A) = -24. Tính det(3A-1)det(kAn) = kn detAn det(2A) = -24detA. det(A-1) = 1 23detA = -24detA = -3det(A-1) = -1/3det(3A-1) = = -27/3 = -9 33 det(A-1)Ví dụ 3:Tìm cấp của ma trận vuông A biết:Det(A-1 )= 1/3 (1) Det(2AT) = 48 (2)(1) DetA = 3 DetAT = 3 (2) 2nDetAT = 48 2n = 16 n = 4Gỉa sử A có cấp là nVí dụ 4:Các mệnh đề sau đây đúng hay sai: det(-An )= -detAn det(-An )== (-1)n detAn = -detAn, nếu n lẻdetAn, nếu n chẵnVậy mệnh đề chỉ đúng khi n lẻ hoặc detAn = 0 det(-1.An)  det(An+Bn )= detAn+detBnVậy mệnh đề trên sai0110A =0-1-10B = detA = 1 detB = 1 detA+detB = 20000A+B = det(A+B) = 0 det[(An)k]= [detAn]kVậy mệnh đề trên đúng det(An)k= det(AnAn. . . An)k lần = detAn.detAn. . .detAnk lần = [detAn]k