Bài giảng Quy hoạch thực nghiệm - Chương 5: Qui hoạch Simplex
Kết luận
Phương pháp tối ưu hóa Simplex có thể sử dụng để tối
ưu nhiều yếu tố, nhằm giảm số thí nghiệm cần thiết
Giải thuật simplex là một quá trình phát triển dựa trên
kết quả trước để cải thiện thí nghiện kế tiếp
Sequential Simplex được sử dụng nhiều trong công
nghiệp
55 trang |
Chia sẻ: HoaNT3298 | Lượt xem: 684 | Lượt tải: 0
Bạn đang xem trước 20 trang tài liệu Bài giảng Quy hoạch thực nghiệm - Chương 5: Qui hoạch Simplex, để xem tài liệu hoàn chỉnh bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên
Chương 7
Qui hoạch Simplex
Khái niệm chung
Qui hoạch Simplex Lattice
Qui hoạch Simplex Centroid
Tối ưu hóa bằng phương pháp Sequential Simplex
7.1. Khái niệm chung
Simplex là vùng khảo sát khi các yếu tố khảo sát bị
ràng buộc bởi các điều kiện:
xi = const.
và xi 0 i = 1, 2, , q
Simplex thường được sử dụng để khảo sát hỗn hợp với
yếu tố khảo sát là thành phần các cấu tử. Trong trường
hợp này các yếu tố không còn mang tính độc lập mà
phụ thuộc nhau. Thành phần các cấu tử có thể biểu
diển bằng phần trăm (%) khối lượng hay phân mol.
Simplex bậc 2 cho hệ 2 cấu tử
Simple bậc 3 cho hệ 3 cấu tử
Simplex bậc 4 cho hệ 4 cấu tử
Tính chất của Simplex
Simplex có tính modul, nghĩa là Simplex bậc cao được
cấu tạo bởi các simplex bậc thấp. Thí dụ simplex tứ
diện sẽ bao gồm các simplex tam giác, simplex đoạn
thẳng và simplex điểm.
Tổng số các simplex bậc thấp trong simplex bậc cao
cho bởi công thức sau
là Simplex bậc 1 (1 cấu tử trong hệ q cấu tử)
simplex bậc 1 biểu diển bởi đỉnh của simplex
Tạo độ Simplex
Điểm biểu diển thành phần 100% của cấu tử nằm ở
đỉnh simplex
Điểm biểu diển thành phần 0% của cấu tử nằm ở
simplex con bậc q-1, đối diện với đỉnh simplex tương
ứng. Thí dụ với hệ 3 cấu tử điểm biểu diển 100% cấu
tử nằm ở đỉnh tam giác, điểm biểu diển 0% cấu tử nằm
ở cạnh đối diện
Hệ trục tọa độ simplex bậc 3
Đối với hệ đa cấu tử qui hoạch thí nghiệm cho phép
giảm thiểu đáng kể khối lượng thí nghiệm vì có thể xác
định các tính chất của hệ từ các phương trình hồi qui.
Bề mặt đáp ứng của hệ đa cấu tử rất phức tạp. Scheffe
đề xuất mô tả tính chất của hỗn hợp theo đa thức rút
gọn.
Xét trường hợp hệ 3 cấu tử.
Dạng tổng quát của đa thức:
Y = b0 + b1x1 + b2x2 + b3x3 + b12x1x2 + b13x1x3 + b23x2x3 + b11x1
2
+ b22x2
2 + b33x3
2
Hệ 3 cấu tử
Dạng tổng quát của đa thức bậc 2:
Y = b0 + b1x1 + b2x2 + b3x3 + b12x1x2 + b13x1x3 + b23x2x3 + b11x1
2
+ b22x2
2 + b33x3
2
Vì 1 = x1 + x2 + x3
b0 = b0x1 + b0x2 + b0x3
x1
2 = x1 – x1x2 – x1x3
x2
2 = x2 – x1x2 – x2x3
x3
2 = x3 – x1x3 – x2x3
Thay thế và thu gọn ta được
Y = 1x1 + 2x2 + 3x3 + 12x1x2 + 13x1x3 + 23x2x3
Với: i = b0 + bi + bii
ij = bij – bii – bji
Tổng quát
Đa thức bậc 2 cho hệ q cấu tử
Đa thức bậc 3 cho hệ q cấu tử
Không đầy đủ:
Đầy đủ
qi qi
jiijii XXXY
1 1
qi qji
kj
qkji
iijk
qji
jijiijjiijii XXXXXXXXXXY
1 1 11
)(
qi qji
kj
qkji
iijkjiijii XXXXXXY
1 1 1
Đa thức bậc 4 cho hệ q cấu tử
qkji qlkji
lkjiijklkjiijkk
qkji qkji
kjiijjkkjiiijk
qji
jijiij
qi qji qji
jijiijjiijii
XXXXXXX
XXXXXXXXXX
XXXXXXXY
1 1
2
1 1
22
1
1 1 1
)(
)(
Việc xác định các hệ số trong phương trình rút gon
Scheffe rất phức tạp nên để phân tích qui hoạch
Simplex người ta thường dùng các phần mềm phân
tích thống kê như JMP, Design Expert, Minitab
Các phần mềm này hỗ trợ việc tính toán khi có thí
nghiệm lập để xác định sai số thí nghiệm
Phần mềm JMP cho thí nghiệm lập toàn bộ qui hoạch
Phần mềm Design Expert chỉ cho phép qui hoạch thí nghiệm
lập tại các đỉnh simplex
Phần mềm MiniTab cho phép người sử dụng chọn các điểm
làm thí nghiệm lập
7.2. Qui hoạch Simplex Lattice
Các điểm thí nghiệm phân bố trên khắp simplex (mạng
simplex)
Với hệ q cấu tử, mạng simplex bậc m được ký hiệu là
{q, m}
Đối với mô hình bậc m, thành phần của mỗi cấu tử sẽ
có các giá trị như sau
1,...,
2
,
1
,0
mm
xi
Thí dụ mạng Simplex {4,2} có các điểm
hay
Mạng Simplex {3,3}
Đặc điểm của qui hoạch mạng Simplex
Số điểm khảo sát trong qui hoạch mạng Simplex
{q,m} sẽ bằng số hệ số trong đa thức rút gọn Scheffe
của hệ q cấu tử bậc m. Qui hoạch Scheffe bậc m
thường được gọi là qui hoạch Scheffe {q,m}. Đây là
qui hoạch bảo hòa nên không cho phép đánh giá được
độ tương thích
Với qui hoạch m < q: các hỗn hợp khảo sát sẽ có tối đa m cấu
tử, không có hỗn hợp chứa đầy đủ cấu tử
Với qui hoạch m= q: có một hỗn hợp khảo sát chứa đầy đủ các
cấu tử
Với qui hoạch m > q: có trên một hỗn hợp khảo sát chứa đầy
đủ các cấu tử
Các loại điểm khảo sát trong qui hoạch mạng Simplex
q m
Hổn hợp
Tổng số
1 2 3 4
3
2
3
4
3
3
3
3
6
9
.
1
3
.
.
.
6
10
15
4
2
3
4
4
4
4
6
12
18
.
4
12
.
.
1
10
20
35
5
2
3
4
5
5
5
10
20
30
.
10
30
.
.
5
15
30
70
6
2
3
4
6
6
6
15
30
45
.
20
60
.
.
15
21
56
126
Trong bảng qui hoạch trên cho thấy qui hoạch mạng
Simplex rất ít hỗn hợp có đầy đủ các cấu tử. Các điểm
khảo sát tập trung vào các simplex bậc thấp.Vì vậy các
thông tin thu thập được sẽ tập trung ở biên của qui
hoạch.
Qui hoạch Scheffe {q,m} thường cải tiến để khắc phục
tính chất bảo hòa và thông tin tập trung ở biên bằng
cách tăng cường khảo sát q+1 hỗn hợp đầy đủ cấu tử.
Một trong các điểm tăng cường là tâm của simplex.
Các điểm còn lại nằm giữa tâm simplex và đỉnh
simplex.
Qui hoạch Scheffe {3,2} tăng cường
Qui hoạch {q,2} thêm q+1 độ tự do cho phép đánh giá
độ tương thích của mô hình
Việc chọn lựa qui hoạch tùy thuộc mô hình mong
muốn cho đáp ứng. Xét 2 qui hoạch mạng Simplex
{3,3} và mạng Simplex tăng cường {3,2}.
Qui hoạch {3,3} hỗ trợ mô hình có các thừa số
Qui hoạch {3,2} hỗ trợ cho mô hình
Qui hoạch mạng Simplex {3,3} và mạng Simplex tăng
cường{3,2}
2.3. Qui hoạch Simplex Centroid
Đối với hệ q cấu tử chỉ có 1 qui hoạch tâm Simplex
Qui hoạch bao gồm tất cả các hỗn hợp có thành phần
nằm ở (trọng) tâm các simplex con trong simplex, bao
gồm:
Tất cả các đỉnh simplex biểu diển 1 cấu tử (1,0,0..,0),
Tất cả các điểm giữa cạnh simplex biểu diển hệ 2 cấu tử
(1/2,1/2,0,0,,0),
Tất cả các điểm giữa cạnh simplex biểu diển hệ 3 cấu tử
(1/3,1/3,1/3,0,,0),
Điểm tâm của Simplex biểu diển hệ q cấu tử (1/q, 1/q, , 1/q)
Số điểm biểu diển của qui hoạch tâm Simplex đầy đủ
là
Số điểm khảo sát tăng rất nhanh theo q. Do đó số thí
nghiệm sẽ rất lớn so với số hệ số của phương trình hồi
qui cần xác định. Với mô hình bậc 2 cho hệ 6 cấu tử
theo Scheffe thì có 21 hệ số trong khi qui hoạch tâm
Simplex đầy đủ có tới 63 điểm. Cũng cần lưu ý các
thừa số xixj(xi-xj) cũng như thừa số xixj(xi-xj)
2 trong
mô hình Scheffe bằng zero trong qui hoạch tâm
Simplex.
Người ta thường sử dụng mô hình đa thức đặc biệt có
cùng số hệ số như qui hoạch tâm Simplex.
Đôi khi người ta sử dụng qui hoạch tâm Simplex từng
phần ở mức độ p, nghĩa là chỉ triển khai đến tập hợp
q/p. Thí dụ qui hoạch Simplex tâm {4,2} và {3,3}
qi qji
qqkj
qkji
iijkjiijii XXXXXXXXXY
1 1
21...12
1
.......
So sánh qui hoạch mạng Simplex và tâm Simplex
Lấy trường hợp hệ 3 cấu tử, với 10 thí nghiệm
Qui hoạch mạng Simplex {3,3}
Qui hoạch tâm Simplex gồm 3 đỉnh simplex, tâm
simplex và 3 điểm tăng cường
)0,0,1(
)3/2,0,3/1(
)3/1,0,3/2(
)0,3/1,3/2(
)0,3/2,3/1(
)3/2,3/1,0()3/1,3/2,0( )1,0,0()0,1,0(
)3/1,3/1,3/1(
)5.0,0,5.0(
)0,5.0,5.0(
)1,0,0()5.0,5.0,0(
)5.0,0,5.0(
)0,1,0(
)3/1,3/1,3/1(
)6/1,6/1,3/2(
)3/2,6/1,6/1()6/1,3/2,6/1(
Mô hình
Qui hoạch mạng Simplex hỗ trợ mô hình
3 thừa số sau cùng cho phép khảo sát dạng bề mặt đáp
ứng bậc cao hơn 2 của hệ 2 cấu tử
)()()( 323223313113212112
221123322331132112332211
xxxxxxxxxxxx
xxxxxxxxxxxxy
Qui hoạch tâm Simplex hỗ trợ mô hình
Mô hình cho phép khảo sát độ cong của bề mặt đáp
ứng bên trong tam giác (hỗn hợp có đầy đủ 3 cấu tử).
Điều này qui hoạch mạng Simplex không làm được
2
32112333
2
21122332
2
11123
322331132112332211
xxxxxxxxx
xxxxxxxxxy
Phân bố thông tin trong vùng khảo sát
Qui hoạch mạng Simplex cho nhiều thông tin bề mặ
đáp ứng của hệ 2 cấu tử
Qui hoạch tâm Simplex phân bố thông tin đều hơn bên
trong vùng qui hoạch
7.4. Tối ưu hóa bằng Simplex
Phương pháp Simplex trong tối ưu hóa là một quá
trình phát triển (Evolutionary Process - EVOP) trong
đó quá trình lập lại thí nghiệm dựa trên kết quả thí
nghiệm trước.
Trong quá trình lập lại tất cả các yếu tố đều thay đổi giá trị
Không có sự lồng vào nhau của các vòng lập. Điều này đưa tới
số thí nghiệm tăng chậm theo số yếu tố
Số thí nghiệm thường bằng 5 – 10 lần số yếu tố
Số yếu tố Squential Simplex Single Factor
2 6 – 12 4 – 9
4 20 – 30 16 – 81
8 70 – 100 256 – 6561
16 120 – 160 60000+
Nguyên tắc tiến hành
Tất cả các yếu tố thay đổi trong quá trình lập lại
Điểm có đáp ứng xấu nhất được thay thế bằng điểm
chiếu trực tiếp theo gradien của bề mặt đáp ứng.
Có 2 cách tiến hành
Bước cố định: bước phát triển theo gradien bề mặt đáp ứng
với khoảng cách cố định. Sử dụng tốt nhất khi cần kiểm soát
tối đa toàn vùng khảo sát
Bước thay đổi: Cho phép leo nhanh trên bề mặt đáp ứng. Gần
vùng cực trị thì thu nhỏ bước.
Sequential Simplex bước cố định
Sequential Simplex bước thay đổi
Simplex bước cố định với độ dài bước khác nhau
Giải thuật simplex bước cố định
1. Sắp các đỉnh của simpplex vào bảng tính theo thứ tự
giảm dần của đáp ứng. Đặt đỉnh có đáp ứng thấp nhất
vào cột W
2. Tính và ước lượng R
3. Không bao giờ chuyển cột W sang bảng tính mới.
Chuyển cột N sang cột W ở bảng tính mới. Trở về 1
Bảng tính Simplex
Thí dụ khảo sát hệ 2 cấu tử. Xuất phát điểm với 3 thí
nghiệm cho kết quả như sau
TN X1 X2 Đáp ứng
1 10.00 10.00 1.32
2 39.98 17.76 5.63
3 17.76 39.98 10.47
Vòng quay #1
Vòng quay #2
Vòng quay #3
Vòng quay #4
Vòng quay #5
Vòng quay #6
Tổng kết
Giải thuật simplex bước thay đổi
1. Sắp các đỉnh của simpplex vào bảng tính theo thứ tự
giảm dần của đáp ứng. Đặt đỉnh có đáp ứng thấp nhất
vào cột W
2. Tính và ước lượng R
Nếu N R P: sử dụng simplex B..NR. Chuyển tới 3
Nếu R > B, tính E
Nếu E B: sử dụng simplex B..NE. Chuyển đến 3
Nếu E < B: sử dụng simplex B..NR. Chuyển đến 3
Nếu R < N
Nếu R W: tính CR, dùng simplex R..NCR, chuyển đến 3
Nếu R < W: tính CW, dùng simplex B..NC
W, chuyển đến 3
3. Không bao giờ chuyển cột W sang bảng tính mới.
Chuyển cột N sang cột W ở bảng tính mới. Trở về 1
Bản tính Simplex bước thay đổi
Kết luận
Phương pháp tối ưu hóa Simplex có thể sử dụng để tối
ưu nhiều yếu tố, nhằm giảm số thí nghiệm cần thiết
Giải thuật simplex là một quá trình phát triển dựa trên
kết quả trước để cải thiện thí nghiện kế tiếp
Sequential Simplex được sử dụng nhiều trong công
nghiệp
Các file đính kèm theo tài liệu này:
- qhtn_7_88_2009189.pdf