Bài giảng Phương pháp số - Bài 2: Nghiệm của các phương trình phi tuyến - Nguyễn Thị Vinh

BÀI 2 NGHIỆM CỦA CÁC PHƢƠNG TRÌNH PHI TUYẾN GIẢI PHƯƠNG TRÌNH f(x) = 0 KHÁI NIỆM CHUNG Bài toán Cho hàm f(x) liên tục trên đoạn [a, b] hoặc trên khoảng vô hạn và đƣờng cong y = f(x) chỉ có các nghiệm cô lập, tức là tồn tại các khoảng rời nhau chứa các không điểm của f(x) Các bƣớc giải 1- Tách nghiệm hay tìm khoảng cách li nghiệm (a, b) - chỉ chứa một nghiệm của phƣơng trình f(x) = 0 2- Kiện toàn nghiệm: tính gần đúng nghiệm với độ chính xác cho trƣớc Cơ sở của phƣơng pháp tách nghiệm Nếu hàm f(x) xác định và liên tục trên [a, b], f(a)f(b) < 0 và f’(x) giữ dấu trên (a, b) thì tồn tại duy nhất một nghiệm thực x* ∊ (a, b) của phƣơng trình f(x) = 0 PHƢƠNG PHÁP SỐ-Bài 2 2 GiẢI PHƯƠNG TRÌNH f(x) = 0 PHƢƠNG PHÁP TÁCH NGHIỆM Lập bảng xét dấu của đạo hàm cấp một f‘(x) rồi tìm các khoảng (a, b) thỏa mãn các điều kiện trên Ví dụ: Tìm các khoảng chứa các nghiệm cô lập của phƣơng trình f(x) = x3 – x – 1= 0 Giải: f‘ (x) = 3x2 – 1, lập bảng xét dấu sau x -∞ -2 -1 0 1 1.5 2 ∞ y’ + + + 0 _ 0 + + + y -7 -1 0.875 5 Vậy phƣơng trình trên có một nghiệm cô lập x1∊(1 ; 1.5) PHƢƠNG PHÁP SỐ-Bài 2 3 CÁC PHƢƠNG PHÁP LẶP (1) a=m Bắt đầu Nhập a, b, ε m=(a+b)/2 f(a)f(m)<0 b=m b-a<ε Kết thúc đ s đ s a b x* (a+b)/2 y=f(x) 1 PHƢƠNG PHÁP CHIA ĐÔI Giả thiết Cho f(x) liên tục trên (a, b) và f(a) f(b) < 0 PHƢƠNG PHÁP SỐ-Bài 2 4 CÁC PHƢƠNG PHÁP LẶP (2) 1 PHƢƠNG PHÁP CHIA ĐÔI (tiếp) Thuật toán: Lặp với n = 0, 1, 2, ,.., cho đến khi tìm đƣợc nghiệm đúng x* hoặc nghiệm gần đúng xn đạt đƣợc độ chính xác mong muốn - Đặt m = (an + bn) / 2, nếu f(m) = 0 dừng (m là nghiệm đúng) - Nếu f(an) f(m) < 0, đặt an + 1 = an, bn + 1 = m - Trái lại, đặt an + 1 = m, bn + 1 = bn Vậy f(x) luôn luôn có không điểm trong khoảng [an + 1 ; bn + 1] . Sự hội tụ và sai số: Sử dụng phƣơng pháp chia đôi liên tiếp ta nhận đƣợc dãy khoảng lồng nhau {(an ; bn)} hữu hạn nếu x* là điểm giữa của khoảng thứ n, hay vô hạn co lại: an < x* < bn f(an).f(bn) < 0, bn – an = (b – a) / 2 n Khi n→, do sự liên tục của f(x) nên lim bn= lim an = x* và 1n nn n nn n 2 ab 2 ab x 2 ba x*x        PHƢƠNG PHÁP SỐ-Bài 2 5 CÁC PHƢƠNG PHÁP LẶP (3) 1 PHƢƠNG PHÁP CHIA ĐÔI (tiếp) Giải PT x3-x-1=0 trên đoạn [1; 1.5] với độ chính xác ε = 0.0005 PHƢƠNG PHÁP SỐ-Bài 2 6 n an bn c f(an) f( c) f(an) f( c) Sai số 0 1.0000 1.5000 1.2500 -1.0000 -0.2969 0.29688 0.2500 1 1.2500 1.5000 1.3750 -0.2969 0.2246 -0.06668 0.0625 2 1.2500 1.3750 1.3125 -0.2969 -0.0515 0.01529 0.0156 3 1.3125 1.3750 1.3438 -0.0515 0.0826 -0.00426 0.0039 4 1.3125 1.3438 1.3281 -0.0515 0.0146 -0.00075 0.0010 5 1.3125 1.3281 1.3203 -0.0515 -0.0187 0.00096 0.0002 9 1.3242 1.3252 1.3247 -0.0021 0.0000 0.00000 0.000001 CÁC PHƢƠNG PHÁP LẶP (4) 1. PHƢƠNG PHÁP CHIA ĐÔI (tiếp): CÀI ĐẶT double chiaDoi (double a, double b, double epsilon) { int lanlap = 0; // Khoi tao so lan lap double m ; do { lanlap++ ; m = (a + b) / 2.0 ; if (f(m) == 0) break; // m la nghiem dung else if (f(a)*f(m) > 0) a = m; else b = m; } while (! ( (b − a) / 2.0 1000) ); cout <<“So lanlap = " << lanlap << endl; return m; } PHƢƠNG PHÁP SỐ-Bài 2 7 CÁC PHƢƠNG PHÁP LẶP (5) 2 PHƢƠNG PHÁP THỬ SAI: Ý tưởng: Tăng tốc độ hội tụ của phƣơng pháp chia đôi bằng việc kiểm tra f(x) tại điểm trung bình có trọng số gần 0 hơn Thuật toán: Lặp với n = 0, 1, 2, ,.., cho đến khi tìm đƣợc nghiệm đúng x* hoặc nghiệm gần đúng xn đạt đƣợc độ chính xác mong muốn Tính w = [f(bn)an – f(an)bn] / [f(bn) – f(an)], nếu f(w) = 0 dừng - Nếu f(an)f(w) < 0, đặt an + 1 = an, bn + 1 = w - Trái lại, đặt an + 1 = w, bn + 1 = bn f(a)f(b) f(a).bf(b).a |f(a)||f(b)| .b|f(a)|.a|f(b)| w       PHƢƠNG PHÁP SỐ-Bài 2 8 CÁC PHƢƠNG PHÁP LẶP (6) 2 PHƢƠNG PHÁP THỬ SAI (tiếp) )f(a)f(b )bf(a)af(b w nn nnnn    w là điểm mà tại đó đƣờng thẳng cắt trục Ox và đi qua các điểm [an, f(an)] [bn, f(bn)] (một dây cung của f(x)) NHẬN XÉT: Phƣơng pháp này không ƣớc lƣợng đƣợc khoảng chứa nghiệm PHƢƠNG PHÁP SỐ-Bài 2 9 CÁC PHƢƠNG PHÁP LẶP (7) 2 PHƢƠNG PHÁP THỬ SAI (tiếp): Giải PT x3-x-1=0 trên đoạn [1; 1.5] n a n b n f(a n ) f(b n ) w f(w) f(a n ) f(w) 0 1.0000 1.5000 -1.0000 0.8750 1.2667 -0.2344 0.2344 1 1.2667 1.5000 -0.2344 0.8750 1.3160 -0.0370 0.0087 2 1.3160 1.5000 -0.0370 0.8750 1.3234 -0.0055 0.0002 3 1.3234 1.5000 -0.0055 0.8750 1.3245 -0.0008 0.0000 4 1.3245 1.5000 -0.0008 0.8750 1.3247 -0.0001 0.0000 PHƢƠNG PHÁP SỐ-Bài 2 10 CÁC PHƢƠNG PHÁP LẶP (8) 3 PHƢƠNG PHÁP DÂY CUNG: Cho hàm f(x) liên tục và 2 điểm x−1, x0. Coi xi+1 là nghiệm xấp xỉ thứ i+1 trên đoạn [xi -1 ; xi] ta nhận đƣợc công thức )f(x)f(x )xf(x)xf(x x 1-ii i1-i1-ii 1i    )f(x)f(x xx )f(xxx 1ii 1ii ii1i       NHẬN XÉT: f(xi -1) và f(xi) không nhất thiết phải trái dấu, thậm chí nếu f(xi -1) = f(xi) thì không tính đƣợc xi+1 PHƢƠNG PHÁP SỐ-Bài 2 11 CÁC PHƢƠNG PHÁP LẶP (9) VÍ DỤ: Giải PT x3-x-1=0 trên đoạn [1; 1.5] với độ chính xác ε = 0.0005 bằng phƣơng pháp dây cung PHƢƠNG PHÁP SỐ-Bài 2 12 n xn-1 xn xn - xn-1 f(xn-1) f(xn) f(xn) - f(xn-1) Điều chỉnh Sai số -1 1.0000 1.5000 0.5000 -1.0000 0.8750 1.8750 0.2333 0.9375 0 1.5000 1.2667 -0.2333 0.8750 -0.2344 -1.1094 -0.0493 0.4375 1 1.2667 1.3160 0.0493 -0.2344 -0.0370 0.1973 -0.0093 0.0924 2 1.3160 1.3252 0.0093 -0.0370 0.0021 0.0392 0.0005 0.0173 3 1.3252 1.3247 -0.0005 0.0021 0.0000 -0.0021 0.0000 0.0009 4 1.3247 1.3247 0.0000 CÁC PHƢƠNG PHÁP LẶP (10) SAI SỐ CỦA CỦA PHƢƠNG PHÁP DÂY CUNG Giả sử 0 < m ≤ |f′(x)| ≤ M với mọi x  [a, b], từ công thức )f(x)f(x )xf(x)xf(x x 1-nn n1-n1-nn 1   n )xx(xx )f(x)f(x )f(x n1n 1nn 1nn n        Theo công thức số gia hữu hạn, giả sử ξ là nghiệm đúng |x|x m mM |x|x )|'(ξ|f )|'(ξf||)(η'f| |x|ξ )x)(x'(ηf)'(ξ)fxxx(ξ hay )x)(x'(ηf )x(x xx )f(x)f(x )f(x)f(ξ)'(ξ)fx(ξ n1nn1n n nn 1n n1nnnn1n1n n1nn n1n 1nn 1nn nnn                  PHƢƠNG PHÁP SỐ-Bài 2 13 CÁC PHƢƠNG PHÁP LẶP (11) 4 PHƢƠNG PHÁP NEWTON Cho f(x) khả vi liên tục và một điểm x0, trong công thức dây cung thay độ nghiêng của dây cung bằng độ nghiêng của tiếp tuyến tại xn, ta nhận đƣợc công thức lặp )(xf )f(x xx n ' n n1n  PHƢƠNG PHÁP SỐ-Bài 2 14 Chọn điểm xuất phát x0? f(x0)f’’(x0) > 0 khi f’’ giữ dấu trên [a, b] CÁC PHƢƠNG PHÁP LẶP (12) VÍ DỤ: Giải PT x3–x–1=0 trên đoạn [1; 1.5] với độ chính xác ε = 0.0005 bằng phƣơng pháp Newton Phương pháp này thường có dãy nghiệm xấp xỉ nằm về một trong hai phía của nghiệm đúng, khi f’’ không đổi dấu PHƢƠNG PHÁP SỐ-Bài 2 15 n xn f(xn) f'(xn) f(xn) / f'(xn) Sai số 0 1.0000 -1.0000 2.0000 -0.5000 1 1.5000 0.8750 5.7500 0.1522 0.5625 2 1.3478 0.1007 4.4499 0.0226 0.0521 3 1.3252 0.0021 4.2685 0.0005 0.0012 4 1.3247 0.00002 Thử lại với x0 = 1.5 ?? SAI SỐ CỦA PHƢƠNG PHÁP NEWTON PHƢƠNG PHÁP SỐ-Bài 2 16 • Từ công thức lặp Newton và khai triển Taylor cấp 1 tại xn (*) |xx| 2 )(ξf )f(x 2n1n n '' 1n   Mặt khác, giả sử 0 < m1 ≤ |f′(x)| và |f′′(x)| ≤ M2 với mọi x є [a, b], ta có 1 1n 1n 1n1n ' 1n1n m |)f(x| |ξ-x| ξ))(x(ςf)f(ξ)f(x)f(x      Thay (*) vào ta đƣợc 2 n1n 1 2 1n |xx| 2m M |ξ-x|   CÁC PHƢƠNG PHÁP LẶP (13) PHÉP LẶP ĐIỂM CỐ ĐỊNH (1) Khái niệm: Nếu phương trình f(x) = 0 (*) ↔ x = g(x) (**) thì một nghiệm bất kì của (**), tức là, bất kì điểm cố định nào của g(x), cũng đều là nghiệm của (*), g(x) được gọi là một hàm lặp để giải phương trình (*) PHƢƠNG PHÁP SỐ-Bài 2 17 Thuật toán 3.6: Phép lặp điểm cố định. Cho hàm lặp g(x) và một điểm xuất phát x0 Với n = 0, 1, 2, , cho đến khi thỏa mãn độ chính xác cho trước, lặp lại việc tính xn+1 = g(xn) PHÉP LẶP ĐIỂM CỐ ĐỊNH (2) Định lý: Cho g(x) thỏa mãn 1.Tồn tại khoảng [a, b] sao cho g(x) xác định trên [a, b] , g(x) є [a, b]. 2. g(x) khả vi trên [a, b], và tồn tại hằng số 0 < K < 1 sao cho:với mọi x є [a, b], , |g’(x)| ≤ K Khi đó: 1. g(x) có đúng một điểm cố định ξ є [a, b], 2. Với điểm x0 є [a, b] bất kì, dãy xn+1 = g(xn) luôn hội tụ về ξ. Hệ quả: Nếu g(x) là khả vi liên tục trong khoảng mở chứa điểm cố định ξ và |g’(ξ)| < 1 thì tồn tại hằng số ε > 0: phép lặp điểm cố định xn+1 = g(xn) hội tụ bất cứ khi nào |x0 – ξ| ≤ ε Điểm cố định ξ mà |g’(ξ)| < 1, đƣợc gọi là điểm hút. Phƣơng pháp Newton là trƣờng hợp riêng của phép lặp điểm cố định PHƢƠNG PHÁP SỐ-Bài 2 18 PHÉP LẶP ĐIỂM CỐ ĐỊNH (3) Ví dụ: Tìm nghiệm dƣơng nhỏ nhất của phƣơng trình f(x) = x3 – x – 1 Giải Bƣớc 1: . Chọn g(x) = (x + 1)1/3, với x є [1 ; 1.5], g(x) є [1; 1.5], Bƣớc 2: g(x) khả vi và g’(x)| = 1/[3(x + 1)2/3] < 1 trên [1; 1.5], phép lặp xn+1 = g(xn) sẽ hội tụ nếu chọn điểm x0 є [1; 1.5], xn+1 = (xn + 1) 1/3 n x n g(x n ) 0 1.0000 1.2599 1 1.2599 1.3123 2 1.3123 1.3224 3 1.3224 1.3243 4 1.3243 1.3246 5 1.3246 1.3247 PHƢƠNG PHÁP SỐ-Bài 2 19 PHÉP LẶP ĐIỂM CỐ ĐỊNH (4) 0<g’<1 -1<g’<0 SỰ HỘI TỤ VÀ PHÂN KÌ CỦA PHÉP LẶP ĐiỂM CỐ ĐỊNH PHƢƠNG PHÁP SỐ-Bài 2 20 g’>1 g’<-1 PHÉP LẶP ĐIỂM CỐ ĐỊNH (5) PHƢƠNG PHÁP SỐ-Bài 2 21 • Sự hội tụ Chọn x0 là điểm bất kì trong [a, b], phép lặp điểm cố định tạo ra dãy x1, x2, . . . nằm trong [a, b]. Kí hiệu sai số ở lần lặp thứ n là en = ξ – xn n = 0, 1, 2, Từ ξ = g(ξ) và xn = g(xn–1), ta có en = ξ – xn = g(ξ) – g(xn–1) = g’(ηn) (ξ – xn) = g’(ηn) en–1 với ηn nằm giữa ξ và xn–1 (theo định lí về giá trị trung bình đối với đạo hàm) PHÉP LẶP ĐIỂM CỐ ĐỊNH (6) PHƢƠNG PHÁP SỐ-Bài 2 22 • Sự hội tụ Vì lim xn =  lim ηn =  nên n n limg'(η ) g'( )   Vì g’(x) liên tục nên, en+1 = g’(ξ)en, ở đây lim en = 0. Do vậy, nếu g’(ξ) ≠ 0 thì với n đủ lớn | en+1 |≈ |g’(ξ)en| ≤ K|en| ≤ K 2 |en–2| ≤ ≤ K n |e0|0 sai số en +1 ở lần lặp thứ (n + 1) phụ thuộc tuyến tính vào sai số en ở lần lặp thứ n. Vậy ta nói rằng x0, x1, x2, ... hội tụ tuyến tính về ξ PHÉP LẶP ĐIỂM CỐ ĐỊNH (7) PHƢƠNG PHÁP SỐ-Bài 2 23 • Sai số ξ – xn+1 = g’(ηn)(ξ – xn) = g’(ηn)(ξ – xn+1 + xn+1 – xn) |xx| K1 K |xx| K1 K |xx| )(ηg'1 )(ηg' |xξ| )(ηg'1 )x)(x(ηg' xξ 01 n n1n n1n n n 1n n n1nn 1n                 SỰ HỘI TỤ CỦA PHƢƠNG PHÁP NEWTON PHƢƠNG PHÁP SỐ-Bài 2 24 • Phƣơng pháp Newton là trƣờng hợp riêng của phép lặp điểm cố định, với g(x) = x – f(x)/f’(x) ta có g’(ξ) = 0. • Nếu g(x) khả vi hai lần, từ công thức Taylor en+1 = ξ – xn+1 = g(ξ) – g(xn) = – g’(ξ)( xn – ξ) – g’’(ζn)(xn – ξ ) 2 / 2 với ζn nào đó, nằm giữa ξ và xn, tức là en+1 = g’(ξ)en – g” (ζn)en 2 / 2 Vậy, nếu g’(ξ) = 0 và g”(x) liên tục tại ξ thì en+1 ≈ – g” (ζn)en 2 / 2 đối với n đủ lớn, tức là phƣơng pháp Newton có tốc độ hội tụ bậc 2. NHẬN XÉT CHUNG 1. Phƣơng pháp chia đôi hội tụ chậm nhƣng chắc chắn hội tụ 2. Phƣơng pháp Newton thƣờng hội tụ nhanh về nghiệm khi biết f’’(x) và chọn điểm xuất phát x0 gần nghiệm đúng, ít nhất khi f(x0)f’’(x0) > 0 (Định lí 3.2) 3. Phƣơng pháp dây cung thƣờng hiệu quả và đƣợc ƣa chuộng hơn. 4. Phép lặp điểm cố định chỉ hội tụ tuyến tính, nên không thực sự cạnh tranh với phƣơng pháp dây cung Bảng so sánh tốc độ hội tụ về nghiệm đúng của các phƣơng pháp lặp tìm nghiệm của phƣơng trình x3 – x – 1 = 0 với 5 chữ số có nghĩa Chia đôi Thử sai Dây cung Newton Lặp điểm cố định n 9 5 5 4 5 PHƢƠNG PHÁP SỐ-Bài 2 25 NGHIỆM CỦA ĐA THỨC (1) PHƢƠNG PHÁP SỐ-Bài 2 26 • ĐỊNH VỊ VÀ PHÂN LOẠI NGHIỆM CỦA ĐA THỨC 1. Định lí cơ bản của đại số Mọi đa thức bậc n với an ≠ 0 đều có đúng n nghiệm, kể cả thực và phức, nếu các nghiệm có bội r thì nó đƣợc tính r lần 2. Luật về dấu của Descartes Số np các nghiệm dƣơng của một đa thức p(x) là nhỏ hơn hay bằng số lần thay đổi về dấu υ của các hệ số p(x). Hơn nữa, hiệu υ – np là một số nguyên chẵn không âm  xác định đƣợc số nghiệm thực của một đa thức với các hệ số thực NGHIỆM CỦA ĐA THỨC (2) PHƢƠNG PHÁP SỐ-Bài 2 27 • ĐỊNH VỊ VÀ PHÂN LOẠI NGHIỆM CỦA ĐA THỨC 3. Định lí về các biên của các nghiệm của đa thức Nếu p(x) là một đa thức với các hệ số ak nhƣ trong dạng lũy thừa, thì p(x) có ít nhất một nghiệm trong hình tròn |x| ≤ R xác định bởi R = min{p1, pn}, trong đó |a| |a| np 1 0 1  n n 0 n |a| |a| p  Ví dụ Nếu đa thức là p(x) = x5 – 3.7 x4 + 7.4 x3 – 10.8x2 + 10.8x – 6.8 thì a5 = 1, , a1 = 10.8, a0 = –6.8. ...46.1R...46.1 1 8.6 p...14.3 |8.10| |8.6| 5p 5n1  NGHIỆM CỦA ĐA THỨC (3) PHƢƠNG PHÁP SỐ-Bài 2 28 • ĐỊNH VỊ VÀ PHÂN LOẠI NGHIỆM CỦA ĐA THỨC Ví dụ Xét lại đa thức p(x) = x5 – 3.7 x4 + 7.4 x3 – 10.8x2 + 10.8x – 6.8  P(x) = x5 – 3.7 x4 – 7.4 x3 – 10.8x2 – 10.8x – 6.8  Q(x) = x5 + 3.7 x4 + 7.4 x3 + 10.8x2 + 10.8x – 6.8 Các nghiệm dƣơng của chúng là R = 5.6 , r = 0.63 tƣơng ứng. Vậy mọi nghiệm của p(x) đều phải thỏa mãn 0.63 < |x| ≤ 5.6 4. Định lí Cauchy: Mọi nghiệm của p(x) đều nằm trong miền hình khuyên r ≤ |x| ≤ R Với r và R là các nghiệm dƣơng nhỏ nhất và lớn nhất của 2 đa thức |a|x|a|...x|a|x|a|P(x) 01 1n 1n n n    |a|x|a|...x|a|x|a|Q(x) 01 1n 1n n n    NGHIỆM CỦA ĐA THỨC (4) PHƢƠNG PHÁP SỐ-Bài 2 29 • BIỂU DIỄN ĐA THỨC Dạng lũy thừa p(x) = a0 + a1x+ a2x 2 + anx n Dạng Newton (tránh làm mất các chữ số có nghĩa khi tính) p(x) = a0 + a1 (x – c1) + a2 (x – c1) (x – c2) + a3 (x – c1) (x – c2)(x – c3) + + an(x – c1)(x – c2) (x – cn) Cho trƣớc giá trị z tính p(z): lặp lại các phép gán sau đây 0,...,2n,1ni,)ac(zaa;aa ''' 1i1iiinn   )c(x ... )c)(xc(xa ... )c)(xc(xa)c(xaa(x) q(z) (z)p'z)q(x),-(xp(z) p(x) và p(z)a 1n21n 213121 0 " """ '    q NGHIỆM CỦA ĐA THỨC (5) PHƢƠNG PHÁP SỐ-Bài 2 30 PHƢƠNG PHÁP NEWTON TÌM NGHIỆM THỰC CỦA ĐATHỨC Cho n + 1 hệ số ao, . . . , an của đa thức p(x) dạng lũy thừa và nghiệm lặp ban đầu x0. Khi đó xm+1 = xm - p(xm)/q(xm) Với m = 0, 1, , cho đến khi thỏa mãn, lặp các công việc: z = xm ' n " nn ' n aa,aa  Với k = n – 1, , 1, lặp: " 1 ' 01 ' 10 ' 0 /aaxx zaaa    mm " 1k ' k " k ' 1kk ' k zaaa zaaa     NGHIỆM CỦA ĐA THỨC (6) PHƢƠNG PHÁP SỐ-Bài 2 31 • VÍ DỤ Tìm các nghiệm của phƣơng trình đa thức p(x) = x3 + x – 3 = 0. Đa thức này có một nghiệm thực và hai nghiệm phức. Do p(1) = – 1 và p(2) = 7,  nghiệm thực є (1, 2) chọn x0 = 1.1 NGHIỆM CỦA ĐA THỨC (7) PHƢƠNG PHÁP SỐ-Bài 2 32 • VÍ DỤ Để tìm các nghiệm phức, chúng ta áp dụng các công thức nghiệm của phƣơng trình bậc hai cho phƣơng trình đa thức Điều này dẫn đến các kết quả 02.472361.21341xxaxax 2'1 ' 2 2  1.45061i0.60671 2 2.90122i1.21341- 2 )4a(aa x 1/2' 1 2' 2 ' 2      PHƢƠNG PHÁP SỐ-Bài 2 33 SỬ DỤNG GOAL SEEK TRONG EXCEL (1) BÀI TẬP 1. Bài tập tính toán: 3.1-3, 3.1-5, 3.1-8, 3.2-9, 3.3-2, 3.5-3, 3.5-4, 3.6-1 2. Bài tập lập trình: 3.2-6, 3.2-7, 3.3-3 PHƢƠNG PHÁP SỐ-Bài 2 35