Bài giảng Phân tích thiết kế giải thuật và cấu trúc dữ liệu (P1)

có thể thực hiện trên mô hình toán học được dùng làm cơ sở cho mô hình dữ liệu. Có rất nhiều phép toán trên danh sách. Trong các ứng dụng, thông thường chúng ta chỉ sử dụng một nhóm các phép toán nào đó. Sau đây là một số phép toán chính trên danh sách. Giả sử L là một danh sách (List), các phần tử của nó có kiểu dữ liệu Item nào đó, p là một vị trí (position) trong danh sách. Các phép toán sẽ được mô tả bởi các thủ tục hoặc hàm. 1. Khởi tạo danh sách rỗng procedure Initialize (var L : List) ; 2. Xác định độ dài của danh sách. function Length (L : List) : integer 3. Loại phần tử ở vị trí thứ p của danh sách procedure Delete (p : position ; var L : List) ; 4. Xen phần tử x vào danh sách sau vị trí thứ p procedure Insert After (p : position ; x : Item ; var L: List) ; 5. Xen phần tử x vào danh sách trước vị trí thứ p procedure Insert Before (p : position ; x : Item ; var L:List); 6. Tìm xem trong danh sách có chứa phần tử x hay không ? 15 procedure Search (x : Item ; L : List : var found : boolean) ; 7. Kiểm tra danh sách có rỗng không ? function Empty (L : List) : boolean ; 8. Kiểm tra danh sách có đầy không ? function Full (L : List) : boolean ; 9. Đi qua danh sách. Trong nhiều áp dụng chúng ta cần phải đi qua danh sách, từ đầu đến hết danh sách, và thực hiện một nhóm hành động nào đó với mỗi phần tử của danh sách. procedure Traverse (var L : List); 10. Các phép toán khác. Còn có thể kể ra nhiều phép toán khác. Chẳng hạn truy cập đến phần tử ở vị trí thứ i của danh sách (để tham khảo hoặc thay thế), kết hợp hai danh sách thành một danh sách, phân tích một danh sách thành nhiều danh sách, ... Ví dụ : Giả sử L là danh sách L = (3,2,1,5). Khi đó, thực hiện Delete (3,L) ta được danh sách (3,2,5). Kết quả của InsertBefor (1, 6, L) là danh sách (6, 3, 2, 1, 5). 1.3.2. Danh sách cài đặt bởi mảng Phương pháp tự nhiên nhất để cài đặt một danh sách là sử dụng mảng, trong đó mỗi thành phần của mảng sẽ lưu giữ một phần tử nào đó của danh sách, và các phần tử kế nhau của danh sách được lưu giữ trong các thành phần kế nhau của mảng. Giả sử độ dài tối đa của danh sách (maxlength) là một số N nào đó, các phần tử của danh sách có kiểu dữ liệu là Item. Item có thể là các kiểu dữ liệu đơn, hoặc các dữ liệu có cấu trúc, thông thường Item là bản ghi. Chúng ta biểu diễn danh sách (List) bởi bản ghi gồm hai trường. Trường thứ nhất là mảng các Item phần tử thứ i của danh sách được lưu giữ trong thành phần thứ i của mảng. Trường thứ hai ghi chỉ số của thành phần mảng lưu giữ phần tử cuối cùng của danh sách (xem hình 3.1). Chúng ta có các khai báo như sau: 16 const maxlength = N; type List = record element : array [1 ... maxlength] of Item ; count : 0 ... maxlength ; end ; var L : List ; Trong cách cài đặt danh sách bởi mảng, các phép toán trên danh sách được thực hiện rất dễ dàng. Để khởi tạo một danh sách rỗng, chỉ gần một lệnh gán : L.count : = 0 ; Độ dài của danh sách là L.count. Danh sách đầy, nếu L.count = maxlength. Sau đây là các thủ tục thực hiện các phép toán xen một phần tử mới vào danh sách và loại một phần tử khỏi danh sách. Thủ tục loại bỏ. procedure Delete (p : 1 ... maxlength ; var L : List ; var OK : boolean) ; 17 var i : 1 ... maxlength ; begin OK : = false ; with L do if p < = count then begin i : = p; while i < count do begin element [i] : = element [i + 1] ; i: = i + 1 end ; count : = count -1 ; OK : = true ; end ; end ; Thủ tục trên thực hiện phép loại bỏ phần tử ở vị trí p khỏi danh sách. Phép toán chỉ được thực hiện khi danh sách không rỗng và p chỉ vào một phần tử trong danh sách. Tham biến OK ghi lại phép toán có được thực hiện thành công hay không. Khi loại bỏ, chúng ta phải dồn các phần tử các vị trí p+1, p + 2, ... lên trên một vị trí. Thủ tục xen vào. procedure InsertBefore (p : 1 ... maxlength ; x : Item ; var L : List ; var OK : boolean) ; var i : 1... maxlength ; 18 begin OK: = false ; with L do if (count < maxlength) and ( p <= count) then begin i: = count + 1 ; while i > p do begin element[i]:= element[i-1] ; i:=i-1 ; end ; element [p] : = x ; count : = count + 1 ; OK : = true ; end ; end ; Thủ tục trên thực hiện việc xen phần tử mới x vào trước phần tử ở vị trí p trong danh sách. Phép toán này chỉ được thực hiện khi danh sách chưa đầy (count < maxlength) và p chỉ vào một phần tử trong danh sách (p <= count). Chúng ta phải dồn các phần tử ở các vị trí p, p+1, ... xuống dưới một vị trí để lấy chỗ cho x. Nếu n là độ dài của danh sách ; dễ dàng thấy rằng, cả hai phép toán loại bỏ và xen vào được thực hiện trong thời gian O(n). Việc tìm kiếm trong danh sách là một phép toán được sử dụng thường xuyên trong các ứng dụng. Chúng ta sẽ xét riêng phép toán này trong mục sau. 19 * Nhận xét về phương pháp biểu diễn danh sách bới mảng. Chúng ta đã cài đặt danh sách bới mảng, tức là dùng mảng để lưu giữ các phần tử của danh sách. Do tính chất của mảng, phương pháp này cho phép ta truy cập trực tiếp đến phần tử ở vị trí bất kỳ trong danh sách. Các phép toán khác đều được thực hiện rất dễ dàng. Tuy nhiên phương pháp này không thuận tiện để thực hiện phép toán xen vào và loại bỏ. Như đã chỉ ra ở trên, mỗi lần cần xen phần tử mới vào danh sách ở vị trí p (hoặc loại bỏ phần tử ở vị trí p) ta phải đẩy xuống dưới (hoặc lên trên) một vị trí tất cả các phần từ đi sau phần tử thứ p. Nhưng hạn chế chủ yếu của cách cài đặt này là ở không gian nhớ cố định giành để lưu giữ các phần tử của danh sách. Không gian nhớ này bị quy định bởi cỡ của mảng. Do đó danh sách không thể phát triển quá cỡ của mảng, phép toán xen vào sẽ không được thực hiện khi mảng đã đầy. 1.3.3. Danh sách liên kết Trong mục này chúng ta sẽ biểu diễn danh sách bởi cấu trúc dữ liệu khác, đó là danh sách liên kết. Trong cách cài đặt này, danh sách liên kết được tạo nên từ các tế bào mỗi tế bào là một bản ghi gồm hai trường, trường infor "chứa" phần tử của danh sách, trường next là con trỏ trỏ đến phần tử đi sau trong danh sách. Chúng ta sẽ sử dụng con trỏ head trỏ tới đầu danh sách. Như vậy một danh sách (a1, a2, ...an) có thể biểu diễn bởi cấu trúc dữ liệu danh sách liên kết được minh hoạ trong hình 3.2. Một danh sách liên kết được hoàn toàn xác định bởi con trỏ head trỏ tới đầu danh sách, do đó, ta có thể khai báo như sau. type pointer = ^ cell cell = record infor : Item ; next : pointer 20 end ; var head : pointer ; Chú ý : Không nên nhầm lẫn danh sách và danh sách liên kết. Danh sách và danh sách liên kết là hai khái niệm hoàn toàn khác nhau. Danh sách là một mô hình dữ liệu, nó có thể được cài đặt bởi các cấu trúc dữ liệu khác nhau. Còn danh sách liên kết là một cấu trúc dữ liệu, ở đây nó được sử dụng để biểu diễn danh sách. * Các phép toán trên danh sách liên kết. Sau đây chúng ta sẽ xét xem các phép toán trên danh sách được thực hiện như thế nào khi mà danh sách được cài đặt bởi danh sách liên kết. Điều kiện để một danh sách liên kết rỗng là head = NULL Do đó, muốn khởi tạo một danh sách rỗng, ta chỉ cần lệnh gán : head : = NULL Danh sách liên kết chỉ đầy khi không còn không gian nhớ để cấp phát cho các thành phần mới của danh sách. Chúng ta sẽ giả thiết điều này không xẩy ra, tức là danh sách liên kết không khi nào đầy. Do đó phép toán xen một phần tử mới vào danh sách sẽ luôn luôn được thực hiện. * Phép toán xen vào. Giả sử Q là một con trỏ trỏ vào một thành phần của danh sách liên kết, và trong trường hợp danh sách rỗng (head = NULL) thì Q = NULL. Chúng ta cần xen một thành phần mới với infor là x vào sau thành phần của danh sách được trỏ bởi Q. Phép toán này được thực hiện bởi thủ tục sau : procedure InsertAfter (x : Item ; Q : pointer ; var head : pointer) ; var P : pointer ; begin new (P) ; P^ . infor : = x ; 21 if head = NULL then begin P^. next : = NULL ; head : = P ; end else begin P^. next : = Q^. next ; Q^. next : = P ; end ; end ; Các hành động trong thủ tục InsertAfter được minh hoạ trong hình 3.3 Giả sử bây giờ ta cần xen thành phần mới với infor là x vào trước thành phần của danh sách được trỏ bởi Q. Phép toán này (InsertBefore) phức tạp hơn. Khó khăn ở đây là, nếu Q không là thành phần đầu tiên của danh sách (tức là Q  head) thì ta không định vị được thành phần đi trước thành phần Q để kết nối với thành phần sẽ được xen vào. Có thể giải quyết khó khăn này bằng cách, đầu tiên ta vẫn xen thành phần mới vào sau thành phần Q, sau đó trao đổi giá trị chứa trong phần infor giữa thành phần mới và thành phần Q. procedure InsertBefore (x : Item; Q : pointer ; var head : pointer); var P : pointer ; begin new (P) ; if Q = head then begin P^. infor : = x ; P^. next : = Q ; 22 head : = P end else begin P^.next : = Q^. next ; Q^.next : = P ; P^.infor : = Q^.infor ; Q^.infor : = x ; end ; end ; * Phép toán loại bỏ. Giả sử ta có một danh sách liên kết không rỗng (head  NULL) Q là một con trỏ trỏ vào một thành phần trong danh sách. Giả sử ta cần loại bỏ thành phần Q khỏi danh sách. Ở đây ta cũng gặp khó khăn như khi muốn xen một thành phần mới vào trước thành phần Q. Do đó, ta cần đưa vào một con trỏ R đi trước con trỏ Q một bước, tức là nếu Q không phải là thành phần đầu tiên, thì Q = R^.next. Khi đó phép toán loại bỏ thành phần Q khỏi danh sách được thực hiện rất dễ dàng (Hình 3.4). Ta có thủ tục sau: procedure Delete (Q,R : pointer ; var head : pointer ; var x : Item), X P Q Hình 3.3. Xen thành phần mới vào danh sách sau Q. 23 begin x : = Q^.Infor ; if Q = head then head : = Q^.next else R^.next : = Q^.next ; end ; Hình 3.4. Minh hoạ các thao tác trong thủ tục Delete. * Phép toán tìm kiếm. Đối với danh sách liên kết, ta chỉ có thể áp dụng phương pháp tìm kiếm tuần tự. Cho dù danh sách đã được sắp xếp theo thứ tự không tăng (hoặc không giảm) của khoá tìm kiếm, ta cũng không thể áp dụng được phương pháp tìm kiếm nhị phân. Lý do là, ta không dễ dàng xác định được thành phần ở giữa của danh sách liên kết. Giả sử chúng ta cần tìm trong danh sách thành phần với infor là x cho trước. Trong thủ tục tìm kiếm sau đây, ta sẽ cho con trỏ P chạy từ đầu danh sách, lần lượt qua các thành phần của danh sách và dừng lại ở thành phần với infor = x. Biến found được sử dụng để ghi lại sự tìm kiếm thành công hay không. procedure Search (x : Item ; head : pointer ; var P : pointer var found : boolean) ; begin P : = head ; found : = false ; while (P NULL ) and (not found) do Q R X X Hình 3.4. Xoá thành phần Q khỏi danh sách. 24 if P^.infor = x then found : = true else P : = P^.next end ; Thông thường ta cần tìm kiếm để thực hiện các thao tác khác với danh sách. Chẳng hạn, ta cần loại bỏ khỏi danh sách thành phần với infor = x hoặc xen một thành phần mới vào trước (hoặc sau) thành phần với infor = x. Muốn thế, trước hết ta phải tìm trong danh sách thành phần với infor là x cho trước. Để cho phép loại bỏ và xen vào có thể thực hiện dễ dàng, ta đưa vào thủ tục tìm kiếm hai con trỏ đi cách nhau một bước. Con trỏ Q trỏ vào thành phần cần tìm, còn R trỏ vào thành phần đi trước. Ta có thủ tục sau : procedure Search (x : Item ; head : pointer ; var Q, R : pointer ; var found : boolean) ; begin R : = NULL ; Q : = head ; found : = false : while (Q NULL) and (not found) do if Q^.infor = x then found : = true else begin R:=Q ; Q : = Q^. next ; end ; end ; * Phép toán đi qua danh sách. Trong nhiều áp dụng, ta phải đi qua danh sách, 'thăm' tất cả các thành phần của danh sách. Với mỗi thành phần, ta cần thực hiện một số phép toán nào đó với các dữ liệu chứa trong phần infor. Các phép toán này, giả sử được mô tả trong thủ tục Visit. Ta có thủ tục sau. 25 procedure traverse (var head : pointer) ; var P : pointer ; begin P : = head ; while P NULL do begin Visit (P^) ; P : = P^. next end ; end ; . * So sánh hai phương pháp. Chúng ta đã trình bầy hai phương pháp cài đặt danh sách : cài đặt danh sách bởi mảng và cài đặt danh sách bởi danh sách liên kết. Một câu hỏi đặt ra là, phương pháp nào tốt hơn ? Chúng ta chỉ có thể nói rằng, mỗi phương pháp đều có ưu điểm và hạn chế, việc lựa chọn phương pháp nào, mảng hay danh sách liên kết để biểu diễn danh sách, tuỳ thuộc vào từng áp dụng. Sau đây là các nhận xét so sánh hai phương pháp. 1. Khi biểu diễn danh sách bởi mảng, chúng ta phải ước lượng độ dài tối đa của danh sách để khai báo cỡ của mảng. Sẽ xẩy ra lãng phí bộ nhớ khi danh sách còn nhỏ. Nhưng trong thời gian chạy chương trình, nếu phép toán xen vào được thực hiện thường xuyên, sẽ có khả năng dẫn đến danh sách đầy. Trong khi đó nếu biểu diễn danh sách bởi danh sách liên kết, ta chỉ cần một lượng không gian nhớ cần thiết cho các phần tử hiện có của danh sách. Với cách biểu diễn này, sẽ không xẩy ra tình trạng danh sách đầy, trừ khi không gian nhớ để cấp phát không còn nữa. Tuy nhiên nó cũng tiêu tốn bộ nhớ cho các con trỏ ở mỗi tế bào. 2. Trong cách biểu diễn danh sách bới mảng, các phép toán truy cập đến mỗi phần tử của danh sách, xác định độ dài của danh sách... được thực hiện trong thời gian hằng. Trong khi đó các phép toán xen vào và loại bỏ đòi 26 hỏi thời gian tỉ lệ với độ dài của danh sách. Đối với danh sách liên kết, các phép toán xen vào và loại bỏ lại được thực hiện trong thời gian hằng, còn các phép toán khác lại cần thời gian tuyến tính. Do đó, trong áp dụng của mình, ta cần xét xem phép toán nào trên danh sách được sử dụng nhiều nhất, để lựa chọn phương pháp biểu diễn cho thích hợp. 1.3.4. Ngăn xếp (stack) 1.3.4.1 Khái niệm Trong khoa học máy tính, một ngăn xếp (còn gọi là bộ xếp chồng, tiếng Anh: stack) là một cấu trúc dữ liệu trừu tượng hoạt động theo nguyên lý "vào sau ra trước" (Last In First Out (LIFO). Trong mục này chúng ta sẽ xét stack, một dạng hạn chế của danh sách, trong đó phép toán xen một phần tử mới vào danh sách và loại bỏ một phần tử khỏi danh sách, chỉ được phép thực hiện ở một đầu của danh sách. Đầu này được gọi là đỉnh của stack. Ta có thể hình dung stack như một chồng đĩa, ta chỉ có thể đặt thêm đĩa mới lên trên đĩa trên cùng, hoặc lấy đĩa trên cùng ra khỏi chồng. Như vậy chiếc đĩa đặt vào chồng sau cùng, khi lấy ra sẽ được lấy ra đầu tiên. Vì thế, stack còn được gọi là danh sách LIFO (viết tắt của Last In First Out, nghĩa là, cái vào sau cùng ra đầu tiên). Nói chung, với một mô hình dữ liệu (chẳng hạn, mô hình dữ liệu danh sách, cây, tập hợp, ...), lớp các phép toán có thể thực hiện trên mô hình rất đa dạng và phong phú. Song trong các ứng dụng chỉ có một số nhóm phép toán được sử dụng thường xuyên. Khi xét một mô hình dữ liệu với một tập hợp xác định các phép toán được phép thực hiện, ta có một kiểu dữ liệu trừu tượng (abstract data type). Như vậy stack là một kiểu dữ liệu trừu tượng dựa trên mô hình dữ liệu danh sách, với các phép toán sau đây. Giả sử S là stack các phần tử của nó có kiểu Item và x là một phần tử cùng kiểu với các phần tử của stack. 1. Khởi tạo stack rỗng (stack không chứa phần tử nào) procedure Initialize (var S : stack) 2. Kiểm tra stack rỗng 27 function Emty (var S : stack) : boolean ; Emty nhận giá trị true nếu S rỗng và false nếu S không rỗng. 3. Kiểm tra stack đầy function Full (var S : stack) : boolean ; Full nhận giá trị true nếu S đầy và false nếu không. 4.Thêm một phần tử mới x vào đỉnh của stack procedure Push (x : Item, var S : stack) 5. Loại phần tử ở đỉnh stack và gán giá trị của phần tử này cho x. procedure Pop (var S : stack ; var x : Item) ; Chú ý rằng, phép toán Push chỉ được thực hiện nếu stack không đây, còn phép toán Pop chỉ được thực hiện nếu stack không rỗng. Ví dụ : Nếu S là stack, S = (a1, a2, ..., an) và đỉnh của stack là đầu bên phải. Khi đó thực hiện Push (x, S) ta được S = (a1, ..., an, x). Nếu n  1 thì khi thực hiện Pop (S, x) ta được s = (a1, a2, ..., an-1) và x = an. 1.3.4.2. Cài đặt stack bới mảng. Chúng ta có thể sử dụng các phương pháp cài đặt danh sách để cài đặt stack. Trước hết ta cài đặt stack bởi mảng. Giả sử độ dài tối đa của stack là max, các phần tử của stack có kiểu dữ liệu là Item, đỉnh của stack được chỉ bởi biến top. Khi đó stack S=(a1,a2,...an) được biểu diễn bởi mảng như trong hình 3.11. a1 a2 an 1 max 2 top Hình 3.11: Cấu trúc Satck 28 Cấu trúc dữ liệu để biểu diễn stack có thể được khai báo như sau : const max = N ; type Stack = record top : 0 ... max ; element : array [1 ... max] of Item ; end ; var S : Stack ; Với cách cài đặt này, S là Stack rỗng, nếu S. top = 0, và nó sẽ đầy nếu S.top = max. Sau đây là các thủ tục và hàm thực hiện các phép toán trên ngăn xếp procedure Initialize ( S : Stack) ; begin S.top : = 0 end ; function Emty (var S : Stack) : boolean ; begin 29 Emty : = (S.top = 0) end ; function Full (var S : Stack) : boolean ; begin Full : = (S.top = max) end ; procedure Push (x : Item ; var S : Stack ; var OK : boolean) ; begin with S do if Full(S) then OK : = false else begin top : = top + 1 element [top] : = x ; OK : = true end ; end ; procedure Pop (var S : Stack ; var x : Item ; var OK : boolean) begin with S do if Emty (S) then OK : = false else begin x : = element [top] ; top : = top - 1 ; OK : = true end ; 30 end ; Trong các thủ tục Push và Pop, chúng ta đã đưa vào tham biến OK để ghi lại tình trạng khi thực hiện phép toán, nó nhận giá trị true khi phép toán thực hiện thành công và false nếu thất bại. * Ứng dụng của stack : xác định giá trị của một biểu thức. Trong các chương trình ta thường viết các lệnh gán X : = trong đó, vế phải là một biểu thức (số học hoặc logic). Khi thực hiện chương trình, gặp các lệnh gán, máy tính cần phải xác định giá trị của biểu thức và gán kết quả cho biến X. Do đó vấn đề đặt ra là, làm thế nào thiết kế được thuật toán xác định giá trị của biểu thức. Ta sẽ xét các biểu thức số học. Một cách không hình thức, biểu thức số học là một dãy các toán hạng (hằng, biến hoặc hàm) nối với nhau bởi các phép toán số học. Trong các biểu thức có thể chứa các dấu ngoặc tròn. Để đơn giản ta chỉ xét các biểu thức số học chứa các phép toán hai toán hạng +,-* và /. Khi tính giá trị của biểu thức, các phép toán trong ngoặc được thực hiện trước, rồi đến các phép toán * và / ,sau đó đến các phép toán + và - . Trong cùng mức ưu tiên, các phép toán được thực hiện từ trái sang phải. Chẳng hạn, xét biểu thức 5 + 8 / ( 3 + 1) * 3 Giá trị của biểu thức này được tính như sau : 5 + 8/(3+1)*3 = 5+8/4 * 3 = 5+2 * 3 = 5+6 = 11 Sau đây ta đưa ra thuật toán xác định giá trị của một biểu thức số học. Thuật toán này gồm hai giai đoạn. 1. Chuyển biểu thức số học thông thường (dạng infix) sang biểu thức số học Ba lan postfix. 2. Tính giá trị của biểu thức số học Balan postfix 31 Trước hết ta cần xác định thế nào là biểu thức số học Balan postfix. Trong cách viết thông thường, phép toán được đặt giữa hai toán hạng, chẳnghạn, a + b, a * b. Còn trong cách biết Balan, phép toán được đặt sau các toán hạng. Chẳng hạn, các biểu thức a + b, a * b trong cách viết Balan được viết là ab +, ab *. Một số ví dụ khác. Biểu thức thông thường Biểu thức Balan a * b/ c ab * c / a * (b + c) - d/e abc + * de / - Cần lưu ý rằng, biểu thực số học Balan không chứa các dấu ngoặc, nó chỉ gồm các toán hạng và các dấu phép toán. Sau đây ta sẽ trình bày thuật toán xác định giá trị của biểu thức số học Balan. Trong thuật toán này, ta sẽ sử dụng một stack S để lưu giữ các toán hạng và các kết quả tính toán trung gian. Thuật toán như sau: 1. Đọc lần lượt các thành phần của biểu thức Balan từ trái sang phải. Nếu gặp hạng tử thì đẩy nó vào stack. Nếu gặp phép toán, thì rút hai hạng tử ở đỉnh stack ra và thực hiện phép toán này. Kết quả nhận được lại đẩy vào stack. 2. Lặp lại quá trình trên cho tới khi toàn bộ biểu thức được đọc qua. Lúc đó đỉnh của stack chứa giá trị các biểu thức. Giả sử E là biểu thức số học Balan nào đó. Ta đưa thêm vào cuối biểu thức ký hiệu # để đánh dấu hết biểu thức. Trong thuật toán tính giá trị của biểu thức E, ta sẽ sử dụng các thủ tục sau. Thủ tục Read (E, z). Đọc một thành phần của biểu thức E và gán nó cho z. Đầu đọc được chuyển sang phải một vị trí. Thủ tục Push (x,S). Đẩy x vào đỉnh stack S. Thủ tục Pop(S,x). Loại phần tử ở đỉnh của stack và gán nó cho x. Ta có thể mô tả thuật toán xác định giá trị của biểu thức số học Balan bởi thủ tục sau. procedure Eval (E : biểu thức) ; 32 begin Read (E,z) ; while z # do begin if z là toán hạng then Push (z, S) else begin Pop (S,y); {Rút các toán hạng ở đỉnh stack} Pop (S,x) ; w : = x z y; {Thực hiện phép toán z với các toán hạng x và y } Push (w,s) end ; Read (E,z) end ; end ; Sau đây chúng ta sẽ thiết kế thuật toán chuyển biểu thức số học thông thường sang biểu thức số học Balan. Khác với thuật toán tính giá trị của biểu thức số học Balan, trong thuật toán này, chúng ta sẽ sử dụng stack S để lưu các dấu mở ngoặc (và các dấu phép toán + , -, * và /. Ta đưa vào ký hiệu $ để đánh dấu đáy của stack. Khi đỉnh stack chứa $, có nghĩa là stack rỗng. Trên tập hợp các ký hiệu $, (, +, -, *, / ta xác định hàm Pri (hàm ưu tiên) như sau : Pri ($) < Pri (( ) < Pri (+) = Pri (-) < Pri (*) = Pri(/). Giả sử ta cần chuyển biểu thức số học thông thường E sang biểu thức số học Balan E1. Ta thêm vào bên phải biểu thức E ký hiệu # để đánh dấu hết biểu thức. Thuật toán gồm các bước sau : 1. Đọc một thành phần của biểu thức E (Đọc lần lượt từ trái sang phải) Giả sử thành phần được đọc là x. 1.1. Nếu x là toán hạng thì viết nó vào bên phải biểu thức E1. 33 1.2. Nếu x là dấu mở ngoặc (thì đẩy nó vào stack 1.3. Nếu x là một trong các dấu phép toan + , -, *, / thì a. Xét phần tử y ở đỉnh stack b. Nếu Pri (y)  Pri(x) thì loại y khỏi stack, viết y vào bên phải E1 và quay lại bước a) c. Nếu Pri (y) < Pri(x) thì đẩy x vào stack 1.4. Nếu x là dấu đóng ngoặc ) thì a. Xét phần tử y ở đỉnh của stack b. Nếu y là dấu phép toán thì loại y khỏi stack, viết y vào bên phải E1 và quay lại a) c. Nếu y là dấu mở ngoặc (thì loại nó khỏi stack 2. Lặp lại bước 1 cho tới khi toàn bộ biểu thức E được đọc qua. 3. Loại phần tử ở đỉnh stack và viết nó vào bên phải E1. Lặp lại bước này cho tới khi stack rỗng. Trong thuật toán ta sử dụng các thủ tục sau. Read (E,x). Đọc một thành phần của biểu thức E và gán cho : x Write (x,E1). Viết x vào bên phải biểu thức Balan E1. Push (x,S). Đẩy x vào stack Pop (S,x). Loại phần tử ở đỉnh stack và gán cho x Gọi phần tử ở đỉnh của stack là top Chúng ta mô tả thuật toán chuyển biểu thức số học thông thường E sang biểu thức số học Balan E1 bởi thủ tục sau. procedure Postfix (E: biểu-thức ;var E1 : biểu-thức) ; begin Push($,S) ; Read (E,x) ; while x # do 34 begin if x là toán hạng then Write (x,E1) else if x = (then Push (x,S) else if x = ) then begin while top (do begin Pop(S,y) ; Write (y, E1) end ; Pop (S,y) ; end else begin while Pri(top) >= Pri(x) do begin Pop (S,y) ; Write (y, E1) end ; Push (x,S) end ; Read (E,x) end ; { hết lệnh while x # } write (#, E1) end ; Ví dụ. Xét biểu thức : 35 E = a * (b + c) - d # Kết quả các bước thực hiện thuật toán được cho trong bảng sau : Thành phần trong biểu thức E Stack Biểu thức Balan E1 $ a $ a * $* a ( $*( a b $*( ab + $*(+ ab c $*(+ abc ) $*( abc+ $* abc+ - $ abc+* $- abc +* d $- abc+*d # $ abc+*d- abc + * d- # 1.3.5. Hàng đợi (Queue) 1.3.5.1 Hàng đợi Một kiểu dữ liệu trìu tượng quan trọng khác được xây dựng trên cở sở mô hình dữ liệu danh sách là hàng. Hàng là một danh sách với hai phép toán quan trọng nhất là thêm một phần tử mới vào một đầu danh sách (đầu này được gọi là cuối hàng) và loại phần tử khỏi danh sách ở một đầu khác (đầu 36 này gọi là đầu hàng). Trong đời sống hàng ngày, ta thường xuyên gặp hàng. Chẳng hạn, hàng người chờ đợi được phục vụ (chờ mua vé tàu, chẳng hạn). Người ta chỉ có thể đi vào hàng ở cuối hàng, người được phục vụ và ra khỏi hàng là người ở đầu hàng tức là ai vào hàng trước sẽ được phục vụ trước. Vì vậy, hàng còn được gọi là danh sách FIFO (viết tắt của First In First Out, nghĩa là, ai vào đầu tiên ra đầu tiên). Sau đây là tập hợp đầy đủ các phép toán mà ta có thể thực hiện trên hàng. Giả sử Q là một hàng các đối tượng nào đó có kiểu dữ liệu Item và x là một phần tử cùng kiểu với các đối tượng của hàng. 1. Khởi tạo hàng rỗng. procedure Initialize (var Q : Queue) ; 2. Kiểm tra hàng rỗng function Emty (var Q : Queue) : boolean ; Emty nhận giá trị true nếu Q rỗng và false nếu không 3. Kiểm tra hàng đầy function Full (var Q : Quen) : boolean ; Full nhận giá trị true nếu Q đầy và false nếu không 4. Thêm một phần tử mới x vào cuối hàng procedure AddQueue ( x : Item ; var Q : Queue) ; 5. Loại phần tử ở đầu hàng, giá trị của phần tử này được lưu vào x. procedure DeleteQueue (var Q : Queue, var x : Item) 1.3.5.2 Cài đặt hàng bởi mảng. Ta có thể biểu diễn hàng bởi mảng và sử dụng hai chỉ số front chỉ vị trí đầu hàng và rear chỉ vị trí cuối hàng. Có thể khai báo cấu trúc dữ liệu biểu diễn hàng như sau const max = N type Queue = record 37 front, rear : 0 ... max ; element : array [1 ... mã] of Item ; end ; var Q : Queue ; Trong cách cài đặt này, hàng rỗng nếu rear = 0 và hàng đầy nếu rear = max. Sau đây là các thủ tục và hàm thực hiện các phép toán trên hàng procedure Initialize (var Q : Queue) ; begin with Q do begin front : = 1 ; rear : = 0 ; end ; end ; function Emty (var Q : Queue) : boolean ; begin if Q.rear = 0 then Emty : = true else Emty : = false end ; function Full (var Q : Queue) : boolean ; begin if Q.rear = max then Full : = true else Full : = false end ; procudure AddQueue (x : Item ; var Q:Queue ; var OK : boolean) ; begin 38 with Q do if rear = max then OK : = false else begin rear := rear + 1 element [rear] : = x ; OK : = true end ; end ; procedure DeleteQueue (var Q : Queue ; var x : Item ;var OK : boolean) ; begin with Q do if rear = 0 then OK : = false else begin x : = element [front] ; if front = rear then begin front : = 1 ; rear : = 0 end else front : = front + 1 ; OK : = true end ; end ; 39 Chương 2 THUẬT TOÁN 2.1. Thuật toán 2.1.1. Khái niệm Thuật toán (algorithm) là một trong những khái niệm quan trọng nhất trong tin học. Thuật ngữ thuật toán xuất phát từ nhà toán học A rập Abu Ja'far Mohammed ibn Musa al Khowarizmi (khoảng năm 825). Tuy nhiên lúc bấy giờ và trong nhiều thế kỷ sau, nó không mang nội dung như ngày nay chúng ta quan niệm. Thuật toán nổi tiếng nhất, có từ thời cổ Hy lạp là thuật toán Euclid, thuật toán tìm ước chung lớn nhất của hai số nguyên. Có thể mô tả thuật toán này như sau : Thuật toán Euclid. Input : m, n nguyên dương Output : g, ước chung lớn nhất của m và n Phương pháp : Bước 1 : Tìm r, phần dư của phép chia m cho n Bước 2 : Nếu r = O, thì g  n (gán giá trị của n cho g) và dừng lại. Trong trường hợp ngược lại (r  0), thì m  n, n  r và quay lại bước 1. Chúng ta có thể quan niệm các bước cần thực hiện để làm một món ăn, được mô tả trong các sách dạy chế biến món ăn, là một thuật toán. Cũng có thể xem các bước cần tiến hành để gấp đồ chơi bằng giấy, được trình bầy trong sách dạy gấp đồ chơi bằng giấy, là thuật toán. Phương pháp thực hiện phép cộng, nhân các số nguyên, chúng ta đã học cũng là các thuật toán. Trong sách này chúng ta chỉ cần đến định nghĩa không hình thức về thuật toán : Thuật toán là một dãy các câu lệnh chặt chẽ và rõ ràng xác định một trình tự các thao tác trên một số đối tượng nào đó sao cho sau một số hữu hạn bước thực hiện ta đạt được kết quả mong muốn. 40 2.1.2. Đặc trưng của thuật toán Mỗi thuật toán có 5 đặc trưng sau: 1. Input. Mỗi thuật toán cần có một số (có thể bằng không) dữ liệu vào (input). Đó là các giá trị cần đưa vào khi thuật toán bắt đầu làm việc. Các dữ liệu này cần được lấy từ các tập hợp giá trị cụ thể nào đó. Chẳng hạn, trong thuật toán Euclid trên, m và n là các dữ liệu vào lấy từ tập các số nguyên dương Z. 2. Output. Mỗi thuật toán cần có một hoặc nhiều dữ liệu ra (output). Đó là các giá trị có quan hệ hoàn toàn xác định với các dữ liệu vào và là kết quả của sự thực hiện thuật toán. Trong thuật toán Euclid có một dữ liệu ra, đó là g, khi thực hiện đến bước 2 và phải dừng lại (trường hợp r = 0), giá trị của g là ước chung lớn nhất của m và n. 3. Tính xác định. Mỗi bước của thuật toán cần phải được mô tả một cách chính xác, chỉ có một cách hiểu duy nhất. Hiển nhiên, đây là một đòi hỏi rất quan trọng. Bởi vì, nếu một bước có thể hiểu theo nhiều cách khác nhau, thì cùng một dữ liệu vào, những người thực hiện thuật toán khác nhau có thể dẫn đến các kết quả khác nhau. Nếu ta mô tả thuật toán bằng ngôn ngữ thông thường, không có gì đảm bảo người đọc hiểu đúng ý của người viết thuật toán. Để đảm bảo đòi hỏi này, thuật toán cần được mô tả trong các ngôn ngữ lập trình (ngôn ngữ máy, hợp ngữ hoặc ngôn ngữ bậc cao như Pascal, Fortran, C, ...). Trong các ngôn ngữ này, các mệnh đề được tạo thành theo các qui tắc cú pháp nghiêm ngặt và chỉ có một ý nghĩa duy nhất. 4. Tính khả thi. Tất cả các phép toán có mặt trong các bước của thuật toán phải đủ đơn giản. Điều đó có nghĩa là, các phép toán phải sao cho, ít nhất về nguyên tắc có thể thực hiện được bởi con người chỉ bằng giấy trắng và bút chì trong một khoảng thời gian hữu hạn. Chẳng hạn trong thuật toán Euclid, ta chỉ cần thực hiện các phép chia các số nguyên, các phép gán và các phép so sánh để biết r = 0 hay r  0. 5. Tính dừng. Với mọi bộ dữ liệu vào thoả mãn các điều kiện của dữ liệu vào (tức là được lấy ra từ các tập giá trị của các dữ liệu vào), thuật toán phải dừng lại sau một số hữu hạn bước thực hiện. Chẳng hạn, thuật toán 41 Euclid thoả mãn điều kiện này. Bởi vì giá trị của r luôn nhỏ hơn n (khi thực hiện bước 1), nếu r  0 thì giá trị của n ở bước 2 là giá trị của r ở bước trước, ta có n > r = n1 > r1 = n2 > r2 ... Dãy số nguyên dương giảm dần cần phải kết thúc ở 0, do đó sau một số bước nào đó giá trị của r phải bằng 0, thuật toán khi đó dừng. Với một vấn đề đặt ra, có thể có một hoặc nhiều thuật toán giải. Một vấn đề có thuật toán giải gọi là vấn đề giải được (bằng thuật toán). Chẳng hạn, vấn đề tìm nghiệm của hệ phương trình tuyến tính là vấn đề giải được. Một vấn đề không tồn tại thuật toán giải gọi là vấn đề không giải được (bằng thuật toán). Một trong những thành tựu xuất sắc nhất của toán học thế kỷ 20 là đã tìm ra những vấn đề không giải được bằng thuật toán. Trên đây chúng ta đã trình bày định nghĩa không hình thức về thuật toán. Có thể xác định khái niệm thuật toán một cách chính xác bằng cách sử dụng các hệ hình thức. Có nhiều hệ hình thức mô tả thuật toán : máy Turing, hệ thuật toán Markôp, văn phạm Chomsky dạng 0, ... Song vấn đề này không thuộc phạm vi những vấn đề mà chúng ta quan tâm. Đối với chúng ta, chỉ sự hiểu biết trực quan, không hình thức về khái niệm thuật toán là đủ. 2.1.3. Đánh giá thuật toán 2.1.3.1. Tính hiệu quả của thuật toán. Khi giải một vấn đề, chúng ta cần chọn trong số các thuật toán, một thuật toán mà chúng ta cho là "tốt" nhất. Vậy ta cần lựa chọn thuật toán dựa trên cơ sở nào ? Thông thường ta dựa trên hai tiêu chuẩn sau đây : 1. Thuật toán đơn giản, dễ hiểu, dễ cài đặt (dễ viết chương trình) 2. Thuật toán sử dụng tiết kiệm nhất các nguồn tài nguyên của máy tính, và đặc biệt, chạy nhanh nhất có thể được. Khi ta viết một chương trình chỉ để sử dụng một số ít lần, và cái giá của thời gian viết chương trình vượt xa cái giá của chạy chưong trình thì tiêu chuẩn (1) là quan trọng nhất. Nhưng có trường hợp ta cần viết các chương trình (hoặc thủ tục, hàm) để sử dụng nhiều lần, cho nhiều người sử dụng, khi đó giá của thời gian chạy chương trình sẽ vượt xa giá viết nó. Chẳng hạn, các thủ tục sắp xếp, tìm kiếm được sử dụng rất nhiều lần, bởi rất nhiều người 42 trong các bài toán khác nhau. Trong trường hợp này ta cần dựa trên tiêu chuẩn (2). Ta sẽ cài đặt thuật toán có thể rất phức tạp, miễn là chương trình nhận được chạy nhanh hơn các chương trình khác. Tiêu chuẩn (2) được xem là tính hiệu quả của thuật toán. Tính hiệu quả của thuật toán bao gồm hai nhân tố cơ bản. 1. Dung lượng không gian nhớ cần thiết để lưu giữ các dữ liệu vào, các kết quả tính toán trung gian và các kết quả của thuật toán. 2. Thời gian cần thiết để thực hiện thuật toán (ta gọi là thời gian chạy). Chúng ta sẽ chỉ quan tâm đến thời gian thực hiện thuật toán. Vì vậy, khi nói đến đánh giá độ phức tạp của thuật toán, có nghĩa là ta nói đến đánh gia thời gian thực hiện. Một thuật toán có hiệu quả được xem là thuật toán có thời gian chạy ít hơn các thuật toán khác. Ký hiệu ô lớn và đánh giá thời gian thực hiện thuật toán bằng ký hiệu ô lớn. Khi đánh giá thời gian thực hiện bằng phương pháp toán học, chúng ta sẽ bỏ qua nhân tố phụ thuộc vào cách cài đặt chỉ tập trung vào xác định độ lớn của thời gian thực hiện T(n). Ký hiệu toán học ô lớn được sử dụng để mô tả độ lớn của hàm T(n). Giả sử n là số nguyên không âm, T(n) và f(n) là các hàm thực không âm. Ta viết T(n) = 0(f(n)) (đọc: T(n) là ô lớn của f(n)), nếu và chỉ nếu tồn tại các hằng số dương c và no sao cho T(n)  c f(n), với mọi n  no. Nếu một thuật toán có thời gian thực hiện T(n) = 0(f(n)), chúng ta sẽ nói rằng thuật toán có thời gian thực hiện cấp f(n). Từ định nghĩa ký hiệu ô lớn, ta có thể xem rằng hàm f(n) là cận trên của T(n). Ví dụ : Giả sử T(n) = 3n2 + 5n + 4. Ta có 3n2 + 5n + 4 <= 3n2 + 5n2 + 4n2 = 12n2, với mọi n  1. Vậy T(n) = 0(n2). Trong trường hợp này ta nói thuật toán có thời gian thực hiện cấp n2, hoặc gọn hơn, thuật toán có thời gian thực hiện bình phương. 43 Dễ dàng thấy rằng, nếu T(n) = 0(f(n)) và f(n) = 0(f1(n)) , thì T(n)=0(f1(n)). Thật vậy, vì T(n) là ô lớn của f(n) và f(n) là ô lớn của f1(n), do đó tồn tại các hằng số co, no, c1, n1 sao cho T(n)  co f(n) với mọi n  no và f(n) c1f1(n) với mọi n  n1. Từ đó ta có T(n)  coc1f1(n) với mọi n  max(no,n1). Khi biểu diễn cấp của thời gian thực hiện thuật toán bởi hàm f(n), chúng ta sẽ chọn f(n) là hàm số nhỏ nhất, đơn giản nhất có thể được sao cho T(n) = 0(f(n)). Thông thường f(n) là các hàm số sau đây : f(n) = 1 ; f(n)=logn; f(n)=n ; f(n) = nlogn ; f(n) = n2, n3, ... và f(n) = 2n. Nếu T(n) = 0(1) điều này có nghĩa là thời gian thực hiện bị chặn trên bởi một hằng số nào đó, trong trường hợp này ta nói thuật toán có thời gian thực hiện hằng. Nếu T(n) =0(n), tức là bắt đầu từ một no nào đó trở đi ta có T(n)<=cn với một hằng số c nào đó, thì ta nói thuật toán có thời gian thực hiện tuyến tính. Bảng sau đây cho ta các cấp thời gian thực hiện thuật toán được sử dụng rộng rãi nhất và tên gọi thông thường của chúng. 2.1.3.2 Các qui tắc để đánh giá thời gian thực hiện thuật toán. Sau đây chúng ta đưa ra một qui tắc cần thiết về ô lớn để đánh giá thời gian thực hiện một thuật toán. Qui tắc tổng : Nếu T1(n) = 0(f1(n) và T2(n) = 0(f2(n) thì T1(n) + T2(n) = 0(max(f1(n), f2(n))). 44 1. Thời gian thực hiện các lệnh đơn : gán, đọc, viết, goto là 0(1). 2. Lệnh hợp thành. Thời gian thực hiện lệnh hợp thành được xác định bởi luật tổng. 3. Lệnh if. Giả sử thời gian thực hiện các lệnh S1, S2 là 0(f1(n)) và 0(f2(n)) tương ứng. Khi đó thời gian thực hiện lệnh if là 0(max(f1(n), f2(n))). 4. Lệnh case. Được đánh giá như lệnh if. 5. Lệnh while. Giả sử thời gian thực hiện lệnh S (thân của lệnh while) là 0(f(n)). Giả sử g(n) là số tối đa các lần thực hiện lệnh S, khi thực hiện lệnh while. Khi đó thời gian thực hiện lệnh while là 0(f(n)g(n). 6. Lệnh repeat. Giả sử thời gian thực hiện khối begin S1, S2, ... Sn end là 0(f(n)). Giả sử g(n) là số tối đa các lần lặp. Khi đó thời gian thực hiện lệnh repeat là 0(f(n)g(n)). 7. Lệnh for. Được đánh giá tương tự lệnh while và repeat. 2.2. Một số thuật toán đơn giản 2.2.1. Tìm Ước chung lớn nhất của 2 số tự nhiên Phân tích thuật toán Euclid. Chúng ta biểu diễn thuật toán Euclid bởi hạm sau. function Euclid (m, n : integer) : integer ; var r : integer ; begin (1) r : = m mod n ; (2) while r 0 do begin (3) m : = n ; (4) n : = r ; (5) r : = m mod n ; end ; 45 (6) Euclid : = n ; end ; Thời gian thực hiện thuật toán phụ thuộc vào số nhỏ nhất trong hai số m và n. Giả sử m  n > 0, do đó cỡ của dữ liệu vào là n. Các lệnh (1) và (6) có thời gian thực hiện là 0(1). Vì vậy thời gian thực hiện thuật toán là thời gian thực hiện lệnh while ta đánh giá thời gian thực hiện lệnh while (2). Thân của lệnh này, là khối gồm ba lệnh (3), (4) và (5). Mỗi lệnh có thời gian thực hiện là 0(1), do đó khối có thời gian thực hiện là 0(1). Còn phải đánh giá số lớn nhất các lần thực hiện lặp khối. Ta có : m = n.q1 + r1 , 0  r1 < n n = r1q2 + r2 , 0  r2 < r1 Nếu r1  n/2 thì r2 n/2 thì q2 = 1, tức là n = r1 + r2 , do đó r2 < n/2. Tóm lại, ta luôn có r2 < n/2 Như vậy, cứ hai lần thực hiện khối thì phần dư r giảm đi một nửa của n. Gọi k là số nguyên lớn nhất sao cho 2k  n. Số lần lặp khối tối đa là 2k+12log2n+1. Do đó thời gian thực hiện lệnh while là 0(log2n). Đó cũng là thời gian thực hiện thuật toán. 2.2.2. Kiểm tra một số tự nhiên có phải là số nguyên tố không Thuật toán kiểm tra số nguyên n (n > 2) có là số nguyên tố hay không. function NGTO (n : integer) : boolean ; var a : integer ; begin NGTO : = true ; a : = 2 ; while a <= sqrt (n) do if n mod a = 0 then NGTO : = false else a : = a +1 ; end ; 46 Chương 3 ĐỆ QUY VÀ GIẢI THUẬT ĐỆ QUY 3.1. Khái niệm đệ quy Ta nói một đối tượng là đệ qui nếu đối tượng này bao gồm chính nó như một bộ phận hoặc đối tượng được định nghĩa dưới dạng của chính nó. Ví dụ1: Trong toán học ta gặp các định nghĩa đệ quy sau: + Số tự nhiên: - 1 là số tự nhiên. - n là số tự nhiên nếu n-1 là số tự nhiên. + Hàm n giai thừa: n! - 0! = 1 - Nếu n>0 thì N! = n(n-1)! Ví dụ 2 : Cấu trúc thư mục là một dạng định nghĩa đệ qui : thư mục chứa thư mục con. 3.2. Giải thuật đệ quy Nếu lời giải của bài toán T được thực hiện thông qua lời giải của một bài toán T’ có kích thước nhỏ hơn T và có dạng giống như T, thì đó là một lời giải đệ qui. Giải thuật tương ứng với lời giải như vậy gọi là giải thuật đệ qui. Ở đây T1 có dạng giống T nhưng theo một nghĩa nào đó T1 phải “nhỏ” hơn T. Trong thủ tục có lời gọi đến chính nó gọi là thủ tục đệ qui. Chẳng hạn với bài toán tính n! thì n! là bài toán T còn (n-1)! là bài toán T1 ta thấy T1 cùng dạng với T nhưng nhỏ hơn (n-1 < n). Xét bài toán tìm một từ trong quyển từ điển. Có thể nêu giải thuật như sau: If từ điển là một trang then 47 tìm từ trong trang này else begin Mở từ điển vào trang “giữa” Xác định xem nửa nào của từ điển chứa từ cần tìm; if từ đó nằm ở nửa trước then tìm từ đó ở nửa trước else tìm từ đó ở nửa sau. end; Giải thuật này được gọi là giải thuật đệ quy. Việc tìm từ trong quyển từ điển được được giải quyết bằng bài toán nhỏ hơn đó là việc tìm từ trong một nửa thích hợp của quyển từ điển. Ta thấy có hai điểm chính cần lưu ý: a) Sau mỗi lần từ điển được tách làm đôi thì một nửa thích hợp sẽ lại được tìm bằng một chiến thuật như đã dùng trước đó (nửa này lại được tách đôi). b) Có một trường hợp đặc biệt, đó là sau nhiều lần tách đôi từ điển chỉ còn một trang. Khi đó việc tách đôi ngừng lại và bài toán trở thành đủ nhỏ để ta có thể tìm từ mong muốn bằng cách tìm tuần tự. Trường hợp này gọi là trường hợp suy biến. * Cấu trúc chung của một thủ tục đệ quy. Một thủ tục đệ qui gồm có hai phần chính 1. Phần cố định: gía trị khởi đầu cho hàm, thủ tục đệ qui. 2. Phần hạ bậc:(phần đệ qui): Tác động của hàm đệ qui được thực hiện thông qua tác động hay giá trị đã được định nghĩa trước. Thủ tục trên được gọi là thủ thục đệ quy. Nó có những đặc điểm cơ bản sau: 48 a) Trong thủ tục đệ quy có lời gọi đến chính thủ tục đó. Ở đây trong thủ tục SEARCH có lời gọi call SEARCH (lời gọi này được gọi là lời gọi đệ quy). b) Sau mỗi lần có lời gọi đệ quy thì kích thước của bài toán được thu nhỏ hơn trước. Ở đây khi có lời gọi call SEARCH thì kích từ điển chỉ còn bằng một nửa so với trước đó. c) Có một trường hợp đặc biệt, trường hợp suy biến là khi lời gọi call SEARCH với từ điển dict chỉ còn là một trang. Khi trường hợp này xảy ra thì bài toán còn lại sẽ được giải quyết theo một cách khác hẳn (tìm từ word trong trang đó bằng cách tìm kiếm tuần tự) và việc gọi đệ quy cũng kết thúc. Chính tình trạng kích thước bài toán giảm dần sau mỗi lần gọi đệ quy sẽ đảm bảo dẫn tới trường hợp suy biến. Một số ngôn ngữ cấp cao như: Pascal, C, Algol v.v... cho phép viết các thủ tục đệ quy. Nếu thủ tục đệ quy chứa lời gọi đến chính nó thì gọi là đệ quy trực tiếp. Cũng có trường hợp thủ chứa lời gọi đến thủ tục khác mà ở thủ tục này lại chứa lời gọi đến nó. Trường hợp này gọi là đệ quy gián tiếp. 3.3 Một số ứng dụng của giải thuật đệ quy Khi bài toán đang xét hoặc dữ liệu đang xử lý được định nghĩa dưới dạng đệ quy thì việc thiết kế các giải thuật đệ quy tỏ ra rất thuận lợi. Hầu như nó phản ánh rất sát nội dung của định nghĩa đó. Ta xét một số bài toán sau: 3.3.1. Hàm n! Hàm này được định nghĩa như sau:       0 n nÕu1)-nFactorial(*n 0 n nÕu 1 )(nFactorial Giải thuật đệ quy được viết dưới dạng hàm dưới đây: Function Factorial(n) Begin if n=0 then Factorial:=1 49 else Factorial := n*Factorial(n-1); End; Trong hàm trên lời gọi đến nó nằm ở câu lệnh gán sau else. Mỗi lần gọi đệ quy đến Factorial, thì giá trị của n giảm đi 1. Ví du, Factorial(4) gọi đến Factorial(3), gọi đến Factorial(2), gọi đến Factorial(1), gọi đến Factorial(0) đây là trường hợp suy biến, nó được tính theo cách đặc biệt Factorial(0) = 1. 3.3.2. Bài toán dãy số FIBONACCI. Dãy số Fibonacci bắt nguồn từ bài toán cổ về việc sinh sản của các cặp thỏ. Bài toán được đặt ra như sau: - Các con thỏ không bao giờ chết. - Hai tháng sau khi ra đời một cặp thỏ mới sẽ sinh ra một cặp thỏ con. - Khi đã sinh con rồi thì cứ mỗi tháng tiếp theo chúng lại sinh được một cặp con mới. Giả sử bắt đầu từ một cặp thỏ mới ra đời thì đến tháng thứ n sẽ có bao nhiêu cặp? Ví dụ với n = 6, ta thấy. Tháng thứ 1: 1 cặp (cặp ban đầu) Tháng thứ 2: 1 cặp (cặp ban đầu vẵn chưa đẻ) Tháng thứ 3: 2 cặp (đã có thêm 1 cặp con) Tháng thứ 4: 3 cặp (cặp đầu vẫn đẻ thêm) Tháng thứ 5: 5 cặp (cặp con bắt đầu đẻ) Tháng thứ 6: 8 cặp (cặp con vẫn đẻ tiếp) Đặt F(n) là số cặp thỏ ở tháng thứ n. Ta thấy chỉ những cặp thỏ đã có ở tháng thứ n-2 mới sinh con ở tháng thứ n do đó số cặp thỏ ở tháng thứ n là: F(n) = f(n-2) + F(n-1) vì vậy F(n) có thể được tính như sau:       2 n nÕu1)-F(n 2)-F(n 2 n nÕu 1 )(nF 50 Dãy số thể hiện F(n) ứng với các giá trị của n = 1, 2, 3, 4..., có dạng 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55.... nó được gọi là dãy số Fibonacci. Nó là mô hình của rất nhiều hiện tượng tự nhiên và cũng được sử dụng nhiều trong tin học. Sau đây là thủ tục đệ quy thể hiện giải thuật tính F(n). Function F(n) Begin if n<=2 then F:=1 else F := F(n-2) + F(n-1); End; Ở đây trường hợp suy biến ứng với 2 giá trị F(1) = 1 và F(2) = 1. 3.3.3. Tìm ước số chung lớn nhất của hai số nguyên dương a va b. Phát biểu bài toán: USCLN(a, b) = b , nếu (a mod b)= 0) // trường hợp suy biến USCLN(a, b) := USCLN(b, a mod b), nếu (a mod b) 0) // trường hợp đệ qui CT đệ qui: Function uscln(a: integer, b: integer):integer Begin if ((a mod b) = 0) then uscln:=b; else uscln:=uscln(b, a mod b); End; * Chú ý. 51 Đối với hai bài toán nêu trên thì việc thiết kế các giải thuật đệ quy tương ứng khá thuận lợi vì cả hai đều thuộc dạng tính giá trị hàm mà định nghĩa của nó xác định được dễ dàng. Nhưng không phải lúc nào tính đệ quy trong cách giải bài toán cũng thể hiện rõ nét và đơn giản như vậy. Mà việc thiết kế một giải thuật đệ quy đòi hỏi phải giải đáp được các câu hỏi sau: - Có thể định nghĩa được bài toán dưới dạng một bài toán cùng loại, nhưng nhỏ hơn như thế nào? - Như thế nào là kích thước của bài toán được giảm đi ở mỗi lần gọi đệ quy? - Trường hợp đặc biệt nào của bài toán được gọi là trường hợp suy biến? 3.3.4 Bài toán “Tháp Hà Nội”. Bài toán này mang tính chất là một trò chơi, nội dung như sau: Có n đĩa, kích thước nhỏ dần, mỗi đĩa có lỗ ở giữa. Có thể xếp chồng chúng lên nhau xuyên qua một cọc, đĩa to ở dưới, đĩa nhỏ ở trên để cuối cùng có một chồng đĩa dạng như hình tháp như hình dưới đây. Yêu cầu đặt ra là: Chuyển chồng đĩa từ cọc A sang cọc khác, chẳng hạn cọc C, theo những điều kiện: - Mỗi lần chỉ được chuyển một đĩa. - Không khi nào có tình huống đĩa to ở trên đĩa nhỏ (dù là tạm thời). A B C Hình 1 52 - Được phép sử dụng một cọc trung gian, chẳng hạn cọc B để đặt tạm đĩa (gọi là cọc trung gian). Để đi tới cách giải tổng quát, trước hết ta xét vài trường hợp đơn giản. *) Trường hợp có 1 đĩa: - Chuyển đĩa từ cọc A sang cọc C. *) Trường hợp 2 đĩa: - Chuyển đĩa thứ nhất từ cọc A sang cọc B Chuyển đĩa thứ hai từ cọc A sang cọc C Chuyển đĩa thứ nhất từ cọc B sang cọc C. Ta thấy với trường hợp n đĩa (n>2) nếu coi n-1 đĩa ở trên, đóng vai trò như đĩa thứ nhất thì có thể xử lý giống như trường hợp 2 đĩa được, nghĩa là: - Chuyển n-1 đĩa trên từ A sang B  Chuyển đĩa thứ n từ A sang C  Chuyển n-1 đĩa từ B sang C. Lược đồ thể hiện 3 bước này như sau: A B C A B C A B C A B C Bước 1 Bước 2 Bước 3 53 Như vậy, bài toán “Tháp Hà Nội” tổng quát với n đĩa đã được dẫn đến bài toán tương tự với kích thước nhỏ hơn, chẳng hạn từ chỗ chuyển n đĩa từ cọc A sang cọc C nay là chuyển n-1 đĩa từ cọc A sang cọc B và ở mức này thì giải thuật lại là: - Chuyển n-2 đĩa từ cọc A sang cọc C. - Chuyển 1 đĩa tử cọc A sang cọc B. - Chuyển n-2 đĩa từ cọc B sang cọc C. và cứ như thế cho tới khi trường hợp suy biến xảy ra, đó là trường hợp ứng với bài toán chuyển 1 đĩa. Vậy thì các đặc điểm của đệ quy trong giải thuật đã được xác định và ta có thểviết giải thuật đệ quy của bài toán “Tháp Hà Nôị” như sau: Procedure Chuyen(n, A, B, C) Begin if n=1 then chuyển đĩa từ A sang C else begin call Chuyen(n-1, a, C, B); call Chuyen(1, A, B, C); call Chuyen(n-1, B, A, C) ; end; End; 3.3.5 Bài toán 8 quân hậu và giải thuật đệ qui quay lui. Cho bàn cờ vua 8x8. Hãy xếp 8 con hậu lên bàn cờ sao cho không con nào khống chế con nào. Hai con hậu khống chế nhau nếu chúng ở trên cùng một hàng, một cột hoặc một đường chéo. Phân tích bài toán: Vị trí của mỗi quân hậu được xác định qua số thứ tự của dòng và cột. Do đó ta coi con hậu thứ i ở hàng i và cột x[i]. Vậy nghiệm của bài toán có 54 thể coi là một vector x gồm 8 thành phần với ý nghĩa: 1. Con hậu thứ i được đặt ở hàng i và cột x[i]. x[i] lấy giá trị trong tập {1,2n} 2. Ràng buộc: các giá trị x[i] khác nhau từng đôi một và không có 2 con hậu ở trên cùng một đường chéo. Dùng thêm các mảng đánh dấu để mô tả rằng một đường chéo chính và phụ đã có một con hậu khống chế. Tức là khi ta đặc con hậu i ở vị trí (i,j), ta sẽ đánh dấu đường chéo chính i-j và đường chéo phụ i+j. Như vậy về cấu trúc dữ liệu, ta dùng 4 mảng: 1. Mảng x với ý nghĩa: x[i] là cột ta sẽ đặt con hậu thứ i. 2. Mảng cot với ý nghĩa: cot[j]=1 nếu cột j đã có một con hậu được đặt, ngược lại thì cot[j]=0. 3. Mảng dcc với ý nghĩa: dcc[k]=1 nếu đường chéo chính thứ k đã có một con hậu được đặt, tức là ta đã đặt một con hậu j=k; ngược lại thì dcc[k]=0. 4. Tương tự ta dùng mảng dcp với ý nghĩa: dcp[k]=1 nếu đường chéo phụ thứ k đã có một con hậu được đặt. Giả mã của thuật toán xếp hậu như sau: procedure Try(i); var j; begin for j := 1 to n do if (cot[j]=0) and (dcc[i-j]=0) and (dcp[i+j]=0) then begin x[i] := j; cot[j]:=1; dcc[i-j]:=1; dcp[i+j]:=1;{ghi nhận trạng thái mới} 55 if i=n then Update else Try(i+1); cot[j]:=0; dcc[i-j]:=0; dcp[i+j]:=0; {phục hồi trạng thái cũ} end; end; procedure Update; begin count := count + 1; print(x); end; * Khử đệ quy Khi thay các giải thuật đệ qui bằng các giải thuật không đệ qui, ta gọi là khử đệ qui. Ví dụ 1: n! Function gt(n:integer):integer; Var tg,i:integer; Begin tg:=1; If ((n=0) or (n=1) then gt:=1 Else Begin 56 For i:=1 to n do tg:=tg*i; gt:=tg; End; End; Ví dụ 2: Fibonacci Function Fibo (n:byte):double; Begin If n<=2 then Fibo:=1 Else Begin F1:=1;f2:=1; For i:=3 to n do begin fn:=f1+f2; f1:=f2;f2:=fn end; Fibo:=fn; End;