Bài giảng môn Xác suất - Chương 1: Giải tích tổ hợp

CHƯƠNG I GIẢI TÍCH TỔ HỢP1.1 Nguyên lý nhân: Định nghĩa :Một công việc A được chia làm k giai đoạn. Có n1 cách hoàn thành giai đoạn 1, có n2 cách hoàn thành giai đoạn 2, . . . , có nk cách hoàn thành giai đoạn k. Số cách thực hiện công việc A là n = n1 x n2xnk Ví dụ 1. Có bao nhiêu số có 3 chữ số được lập thành từ tập hợp A gồm 4 chữ số cho sau đây : A = ( 1,2,3,5)1.2 Hoán vị: Cho A là tập hợp khác  có số phần tử là n. Một hoán vị của A là một cách sắp xếp có thứ tự các phần tử của A.Ví dụ2: Có bao nhiêu hoán vị của tập hợp A= (a,b,c), hãy viết các hoán vị đó :(a,b,c); (b,a,c);(a,c,b);(c,b.a);(b,c.a); (c,a,b)Mệnh đề. Số hoán vị của tập A có n phần tử bằng P n = 1.2.3n = n! Ví dụ 3: Có bao nhiêu cách sắp xếp cho 5 người ngồi vào 5 chiếc ghế.1.3 Chỉnh hợp. Cho A là tập hợp có n phần tử. Một cách sắp xếp có thứ tự m phần tử trong n phần tử của tập hợp A được gọi là một chỉnh hợp chập m của n phần tửVí dụ 4:Có bao nhiêu số có 3 chữ số khác nhau được lập thành từ tập hợp gồm 4 chữ số( 1,2,3,5).Mệnh đề. Số chỉnh hợp châp m của n phần tử là: 1.4 Chỉnh hợp lặp. Một bộ thứ tự gồm m phần tử không nhất thiết khác nhau cùa 1 tập hợp A gồm n phần tử được gọi là một chình hợp lặp chập m cùa n phần tử,Ví dụ 6: Có bao nhiêu số có 3 chữ số được lập thành từ tập hợp gồm 4 chữ số ( 1,2,3,4). Chọn chữ số hàng trăm có 4 cách chọn; chọn chữ số hàng chục có 4 cách chọn và chữ số hàng đơn vị có 4 cách chọn. Số cách chọn số có 3 chữ số, không nhất thiết các chữ số khác nhau là 4.4.4 = 43Mệnh đề. Số chỉnh hợp lặp chập m của n phận từ bằng:1.5 Tổ hợp. Một cách chọn m phần tử trong một tập hợp gồm n phần tử được gọi là một tổ hợp chập m của n phần tử. Ví dụ 7:Có bao nhiêu tổ hợp chập 2 của tập hợp A= (a,b,c), hãy viết các các tổ hợp đó : Các tổ hợp chập 2 của 3 phần tử đã cho là (a,b); (a,c);(c,b). Mệnh đề. Số tổ hợp chập m của n phần tử bằng: Ví dụ. Có 12 cuốn sách, chia đều cho 4 học sinh hỏi có bao nhiêu cách chia?1.6. Bài tập Từ địa điểm A đến địa điểm B có 4 đường đi; từ địa điểm B đến địa điểm C có 5 đường đi. Hỏi đi từ A đến B rồi về C có bao nhiêu cách đi .Hướng dẫn giải:Đi từ A về C có hai công đoạn : Đi từ A đến B có : 4 cách đi Đi từ b đến C có : 5 cách đi Theo Nguyên lý tích , đi từ A về C có : 4.5 = 20 cách đi 2) Có bao nhiêu số có 3 chữ số thiết lập từ các số 0,1,2,,9Hướng dẫn giải: a) Chọn chữ số hàng trăm : có 9 cách chọn b) Chọn chữ số hàng chục: có 10 cách chọn c) Chọn chữ số hàng đơn vị : có 10 cách chọnVậy có 9.10.10= 900 số có 3 chữ số 3) Có bao nhiêu số có 3 chữ số khác nhau thiết lập từ các số 0,1,2,,9Hướng dẫn giải: a) Chọn chữ số hàng trăm : có 9 cách chọn b) Chọn chữ số hàng chục: 9 cách chọn c) Chọn chữ số hàng đơn vị : có 8 cách chọnVậy có 9.9.8= 648 số có 3 chữ số khác nhau 3) Có bao nhiêu số có 3 chữ số khác nhau thiết lập từ các số 0,1,2,,9Hướng dẫn giải: a) Chọn chữ số hàng trăm : có 9 cách chọn b) Chọn chữ số hàng chục: 9 cách chọn c) Chọn chữ số hàng đơn vị : có 8 cách chọnVậy có 9.9.8= 648 số có 3 chữ số khác nhau 4) Có 5 hành khách cần xếp lên 9 toa tàu khác nhau. Hỏi có bao nhiêu cách xếp; a) Sao cho mỗi một hành khách có thể xếp lên một toa bất kỳ b) Sao cho mỗi toa có tối đa một hành khách.Hướng dẫn giải: a) a,b,c,d,e. là hành khách; xếp cho hành khách (a) có 9 cách chọn; xếp chỗ cho người tiếp theo cũng có 9 cách chọn. Vậy số cách xếp là 9.9.9.9.9 = 95 b) Xếp chỗ cho hành khác (a) có 9 cách chọn; xếp chỗ chọ hành khách (b) còn 8 cách chọn, xếp chỗ cho hành khách ( c) còn 7 cách chọn, Vậy số cách chọn là 9.8.7.6.5 = 15.120 cách xếp. Nguyên tắc giải toán :Xác định công việc ?Số công đoạn hoàn thành?Áp dụng Nguyên lý tích. Chú ý : Điều kiện ràng buộc về đối tượng và “phương tiện”. Người ta phát hành bộ vé số có 5 chữ số. Hỏi có thể phát hành bao nhiêu vé ? a) Có bao nhiêu vé số gồm 5 chữ số lẻ không nhất thiết khác nhau? b) Có bao nhiêu vé có số tận cùng là 25 Hướng dẫn giải: a) Mỗi dãy số trên một vé là một chỉnh hợp lặp chập 5 của 10 phần tử 0,1,9 , 105 = 100.000 vé b) Mỗi dãy số trên vé có 5 chữ số lẻ không nhất thiết khác nhau lấy từ tập gổm các chữ số 1,3,5,7,9. Vậy số vé gồm 5 chữ số lẻ là số chỉnh hợp lặp chập 5 của 5 chữ số nói trên , 55 vé c)Một vé số có chữ số tận cùng 25 thì 3 chữ số trước là một chỉnh hợp lặp của 10. Vậy có 103 vé có hai chữ số cuối là 25 6) Lớp học có 30 sinh viên, cần cử ra ban cán sự lớp gồm 1 lớp trưởng, hai lớp phó, 1 phụ trách học tập, một phụ trách đời sống.Hỏi nếu mọi người trong lớp đều có thể giữ một trong các vai trò trên, có bao nhiêu cách lựa chọnHướng dẫn giải: Mỗi cách chọn gồm 3 người có phân biệt vị trí của các phần tử nên mỗi cách chọn là một chỉnh hợp chập 3 của 30;. Vậy số cách chọn là = 7) Có bao nhiêu số có 3 chữ số khác nhau từ các chữ số 1,2,3,4,5.Hướng dẫn giải: Mỗi số có 3 chữ số là một chỉnh hợp chập 3 của 5. Vậy số các số nguyên có 3 chữ số là số chỉnh hợp chập 3 của 5 phần tử = 7) Có bao nhiêu số có 3 chữ số khác nhau hết từ các chữ số 1,2,3,4,5.Hướng dẫn giải: Mỗi số có 3 chữ số là một chỉnh hợp chập 3 của 5. Vậy số các số nguyên có 3 chữ số là số chỉnh hợp chập 3 của 5 phần tử = Nguyên tắc giải toán :Cách 1 : Xác định công việc ?Số công đoạn hàn thành?Áp dụng Nguyên lý tích. Cách 2: 1) Mỗi cách chọn là một nhóm, hai nhóm khác nhau nếu khác nhau ít nhất một phần tử hoặc khác nhau về thứ tự. 2) Số cách chọn là số các chỉnh hợp .8) Có bao nhiêu số có 4 chữ số khác nhau từ các chữ số 1,2,3,4.Hướng dẫn giải: Mỗi số có 4 chữ số là một hoán vị của 4 phần tử P4 = 4! = 1.2.3.4 = 24 9) Có bao nhiêu cách sắp xếp 5 quyển sách lên một giá hàng ngang có 5 vị trí.Hướng dẫn giải: Mỗi cách xếp là một hoán vị của 5 phần tử P5 = 5! = 1.2.3.4.5 = 120 1.7. Bài tập Có 5 vị khách mời A,B,C,D,E xếp 5 ghế ngồi theo một dãy hàng ngang.Hỏi có bao nhiêu cách xếp ;a) A ngồi chính giữa;b) A ngồi giữa B và C.c)B và C ngồi ngoài cùng.Hướng dẫn giải:Xếp chỗ cho A, có 1cách chọn;xếp chỗ cho 4 vị còn lại là số hoán vị của 4 phần tử . Số cách xếp :1.4!= 4!Xếp chỗ cho A, có 4 cách chọn; hoán vị của 2 vị trí còn lại cạnh A, C và D hoán vị của 2 vị trí cuối cùng . Vậy số cách xếp: 4.2!.2!B và C hoán vị của hai vị trí đầu dãy, các vị trí còn lại là hoán vị của 3 chỗ ngồi còn lại dành cho 3 vị khách A,C,D. Vậy số cách xếp:2!.3! 11) Có thể thiết lập được bao nhiêu số có 3 chữ số khác nhau, chia hết cho 5 từ 1;2;3;4;5.Hướng dẫn giải:Để chọn 1 số theo yêu cầu phải thực hiện các bước :Chọn chữ số hàng trăm:có 4 cách chọn;Chọn chữ số hành chục: có 3 cách chọn;Chọn chữ số hàng đơn vị: có 1 cách chọnVậy số số có 3 chữ số khác nhau chia hết cho 5, được thiết lập từ 5 chữ số đã cho là 4.3=12 12) Một hôp đựng bị có 10 viên trong đó có 6 viên bi vàng và 4 viên bi xanh Bốc ngẫu nhiên 3 viên hỏi có bao hiêu khả năng xẩy ra?Khả năng để có 2 viên bi xanh trong 3 viên lấy ra?Hướng dẫn giải: a) Mỗi lần bốc là một tổ hợp chập 3 của 10 : b) Lấy 2 viên bi xanh, tổ hợp chập 2 của 4; lấy 1 viên bi vàng, tổ hợp chập 1 của 6 Vậy số lần bốc có 1 bi vàng 2 bi xanh là Có 8 đội bóng đấu vòng tròn một lượt tranh giải.Hỏi tất cả phải đấu bao nhiêu trậnTrong 8 đội chọn 3 đội giải nhất nhì 3, có bao nhiêu khả năng xẩy ra?Hướng dẫn giải: a) Mỗi trận phải có hai đội khác nhau, đấu vòng tròn hết lượt thì thôi, mỗi trận là một tổ hợp chập 2 của 8. Vậy số trận đấu : b) Mỗi cách chọn là một chỉnh hợp chập 3 của 8 vậy số cách chọn là 14) Một đa giác lồi có 20 đường chéo, hỏi đa giác có bao nhiêu đỉnh.Hướng dẫn giải:Gọi số đỉnh của đa giác là nSố cạnh và số đường chéo của đa giác là Vậy ta có phương trình : Điều kiện n nguyên dương. Giải phương trình ta có n = 8 Vậy đa giác đó có 8 đỉnh ( bát giác lồi ) 15) Một bộ vé số 5 chữ số thiết lập từ 10 chữ số( 0, 1,,9). Có bao nhiêu vé gồm 5 chữ số khác nhauCó bao nhiêu vé trong đó đúng 2 số 4Hướng dẫn giải: a) Số vé có 5 chữ số khác nhau là = 10.9.8.7.6b) Để có vé theo yêu cầu 1- Chọn vị trí có 2 số 4 2- Ba vị trí còn lại là chỉnh hợp lặp chập 3 của 9 phần tử ( 0,1,2,3,8,,9) là 93 Vậy số vé có hai số 4 là . 93