Bài giảng môn Toán cao cấp C1

TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHIỆP THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH KHOA KHOA HỌC CƠ BẢN – TỔ TOÁN BÀI GIẢNG : TOÁN CAO CẤP C1 HỆ ĐẠI HỌC NĂM HỌC 2014 - 2015 9/6/2014 1 TOÁN CAO CẤP C1 ĐẠI HỌC Giảng viên: ThS. Huỳnh Văn Hiếu Tải bài giảng tailieuhvh.webnode.vn 2. Nguyễn Đình Trí – Toán cao cấp (Tập 2, 3) – NXB Giáo dục. 3. Lê Văn Hốt – Toán cao cấp C2 – ĐH Kinh tế TP. HCM. 4. Lê Quang Hoàng Nhân – Toán cao cấp (Giải tích) – ĐH Kinh tế - Tài chính TP. HCM – NXB Thống kê. 5. Đỗ Công Khanh – Toán cao cấp (Tập 1, 3, 4) – NXBĐHQG TP.HCM. 6. Nguyễn Viết Đông – Toán cao cấp (Tập 1, 2) – NXB Giáo dục. Tài liệu tham khảo 1. Nguyễn Phú Vinh – Giáo trình Toán cao cấp A1–C1 – ĐH Công nghiệp TP. HCM. PHÂN PHỐI CHƢƠNG TRÌNH SỐ TIẾT : 30 PHẦN I : ÔN TẬP VÀ BỔ TRỢ KIẾN THỨC CƠ BẢN CHƢƠNG 1 : HÀM SỐ MỘT BIẾN SỐ CHƢƠNG 2 : PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM SỐ MỘT BIẾN SỐ CHƢƠNG 3 : PHÉP TÍNH TÍCH PHÂN HÀM SỐ MỘT BIẾN SỐ PHẦN II : KIẾN THỨC TRỌNG TÂM CHƢƠNG 4 : TÍCH PHÂN SUY RỘNG HÀM SỐ MỘT BIẾN SỐ CHƢƠNG 5 : HÀM SỐ NHIỀU BIẾN SỐ - BÀI TOÁN KINH TẾ CHƢƠNG 6 : PHƢƠNG TRÌNH VI PHÂN CHƢƠNG 7 : LÝ THUYẾT CHUỖI  Chƣơng 1. Hàm số một biến số §1. Bổ túc về hàm số §2. Giới hạn của hàm số §3. Đại lƣợng vô cùng bé – vô cùng lớn §4. Hàm số liên tục . §1. BỔ TÚC VỀ HÀM SỐ 1.1. Khái niệm cơ bản 1.1.1. Định nghĩa hàm số • Cho ,X Y khác rỗng. Ánh xạ :f X Y với ( )x y f x là một hàm số. Khi đó: – Miền xác định (MXĐ) của f, ký hiệu Df, là tập X. – Miền giá trị (MGT) của f là: ( )G y f x x X .  Chƣơng 1. Hàm số một biến số – Nếu 1 2 1 2( ) ( )f x f x x x thì f là đơn ánh. – Nếu f(X) = Y thì f là toàn ánh. – Nếu f vừa đơn ánh vừa toàn ánh thì f là song ánh. VD 1. a) Hàm số :f thỏa ( ) 2xy f x là đơn ánh. b) Hàm số : [0; )f thỏa 2( )f x x là toàn ánh. c) Hsố : (0; )f thỏa ( ) lnf x x là song ánh. • Hàm số ( )y f x đƣợc gọi là hàm chẵn nếu: ( ) ( ), .ff x f x x D • Hàm số ( )y f x đƣợc gọi là hàm lẻ nếu: ( ) ( ), .ff x f x x D  Chƣơng 1. Hàm số một biến số Nhận xét – Đồ thị của hàm số chẵn đối xứng qua trục tung. – Đồ thị của hàm số lẻ đối xứng qua gốc tọa độ. 1.1.2. Hàm số hợp • Cho hai hàm số f và g thỏa điều kiện g fG D . Khi đó, hàm số ( ) ( )( ) [ ( )]h x f g x f g x đƣợc gọi là hàm số hợp của f và g. Chú ý ( )( ) ( )( ).f g x g f x VD 2. Hàm số 2 2 22( 1) 1y x x là hàm hợp của 2( ) 2f x x x và 2( ) 1g x x . 9/6/2014 2  Chƣơng 1. Hàm số một biến số 1.1.3. Hàm số ngƣợc • Hàm số g đƣợc gọi là hàm số ngƣợc của f, ký hiệu 1g f , nếu ( ), fx g y y G . Nhận xét – Đồ thị hàm số 1( )y f x đối xứng với đồ thị của hàm số ( )y f x qua đƣờng thẳng y x . VD 3. Cho ( ) 2xf x thì 1 2( ) logf x x , mọi x > 0.  Chƣơng 1. Hàm số một biến số 1.2. Hàm số lƣợng giác ngƣợc 1.2.1. Hàm số y = arcsin x • Hàm số siny x có hàm ngƣợc trên ; 2 2 là 1 : [ 1; 1] ; 2 2 f arcsinx y x . VD 4. arcsin0 0; arcsin( 1) 2 ; 3 arcsin 2 3 .  Chƣơng 1. Hàm số một biến số Chú ý arcsin arccos , [ 1; 1]. 2 x x x 1.2.2. Hàm số y = arccos x • Hàm số cosy x có hàm ngƣợc trên [0; ] là 1 : [ 1; 1] [0; ]f arccosx y x . VD 5. arccos0 2 ; arccos( 1) ; 3 arccos 2 6 ; 1 2 arccos 2 3 .  Chƣơng 1. Hàm số một biến số 1.2.3. Hàm số y = arctan x • Hàm số tany x có hàm ngƣợc trên ; 2 2 là 1 : ; 2 2 f arctanx y x . VD 6. arctan0 0; arctan( 1) 4 ; arctan 3 3 . Quy ước. arctan , arctan . 2 2  Chƣơng 1. Hàm số một biến số 1.2.4. Hàm số y = arccot x • Hàm số coty x có hàm ngƣợc trên (0; ) là 1 : (0; )f cotx y arc x . VD 7. cot0 2 arc ; 3 cot( 1) 4 arc ; cot 3 6 arc . Quy ước. cot( ) 0, cot( ) .arc arc  Chƣơng 1. Hàm số một biến số §2. GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ 2.1. Các định nghĩa Định nghĩa 1 • Cho hàm số f(x) xác định trên (a; b). Ta nói f(x) có giới hạn là L (hữu hạn) khi 0 [ ; ]x x a b , ký hiệu 0 lim ( ) x x f x L , nếu 0 cho trƣớc ta tìm đƣợc 0 sao cho khi 00 x x thì ( )f x L . Định nghĩa 2 (định nghĩa theo dãy) • Cho hàm số f(x) xác định trên (a; b). Ta nói f(x) có giới hạn là L (hữu hạn) khi 0 [ ; ]x x a b , ký hiệu 0 lim ( ) x x f x L , nếu mọi dãy {xn} trong 0( ; )\ { }a b x mà 0nx x thì lim ( )nn f x L . 9/6/2014 3  Chƣơng 1. Hàm số một biến số Định nghĩa 3 (giới hạn tại vô cùng) • Ta nói f(x) có giới hạn là L (hữu hạn) khi x , ký hiệu lim ( ) x f x L , nếu 0 cho trƣớc ta tìm đƣợc N > 0 đủ lớn sao cho khi x > N thì ( )f x L . • Tƣơng tự, ký hiệu lim ( ) x f x L, nếu 0 cho trƣớc ta tìm đƣợc N < 0 có trị tuyệt đối đủ lớn sao cho khi x < N thì ( )f x L . Định nghĩa 4 (giới hạn vô cùng) • Ta nói f(x) có giới hạn là khi 0x x , ký hiệu 0 lim ( ) x x f x , nếu 0M lớn tùy ý cho trƣớc ta tìm đƣợc 0 sao cho khi 00 x x thì ( )f x M .  Chƣơng 1. Hàm số một biến số • Tƣơng tự, ký hiệu 0 lim ( ) x x f x , nếu 0M có trị tuyệt đối lớn tùy ý cho trƣớc ta tìm đƣợc 0 sao cho khi 00 x x thì ( )f x M . Định nghĩa 5 (giới hạn 1 phía) • Nếu f(x) có giới hạn là L (có thể là vô cùng) khi 0x x với 0x x thì ta nói f(x) có giới hạn phải tại x0 (hữu hạn), ký hiệu 0 0 lim ( ) x x f x L hoặc 0 lim ( ) x x f x L . • Nếu f(x) có giới hạn là L (có thể là vô cùng) khi 0x x với 0x x thì ta nói f(x) có giới hạn trái tại x0 (hữu hạn), ký hiệu 0 0 lim ( ) x x f x L hoặc 0 lim ( ) x x f x L . Chú ý. 0 0 0 lim ( ) lim ( ) lim ( ) . x x x x x x f x L f x f x L  Chƣơng 1. Hàm số một biến số 2.2. Tính chất Cho 0 lim ( ) x x f x a và 0 lim ( ) x x g x b . Khi đó: 1) 0 lim [ . ( )] . x x C f x C a (C là hằng số). 2) 0 lim [ ( ) ( )] x x f x g x a b . 3) 0 lim [ ( ) ( )] x x f x g x ab ; 4) 0 ( ) lim , 0 ( )x x f x a b g x b ; 5) Nếu 0 0( ) ( ), ( ; )f x g x x x x thì a b . 6) Nếu 0 0( ) ( ) ( ), ( ; )f x h x g x x x x và 0 0 lim ( ) lim ( ) x x x x f x g x L thì 0 lim ( ) x x h x L .  Chƣơng 1. Hàm số một biến số Các kết quả cần nhớ 1) 0 0 1 1 lim , lim x xx x . 2) Xét 1 1 0 1 1 0 ... lim ... n n n n m mx m m a x a x a L b x b x b , ta có: a) n n a L b nếu n m; b) 0L nếu n m; c) L nếu n m . 3) 0 0 sin tan lim lim 1 x x x x x x .  Chƣơng 1. Hàm số một biến số VD 1. Tìm giới hạn 2 12 lim 3 x x x x L x . A. 9L ; B. 4L ; C. 1L ; D. 0L . Định lý Nếu 0 0 lim ( ) 0, lim ( ) x x x x u x a v x b thì: 0 ( )lim [ ( )] .v x b x x u x a VD 2. Tìm giới hạn 2 2 3 lim 1 2 1 x x x L x . A. L ; B. 3L e ; C. 2L e ; D. 1L .  Chƣơng 1. Hàm số một biến số VD 3. Tìm giới hạn 1 2 4 0 lim 1 tan x x L x . A. L ; B. 1L ; C. 4L e ; D. L e . 9/6/2014 4  Chƣơng 1. Hàm số một biến số §3. ĐẠI LƢỢNG VÔ CÙNG BÉ – VÔ CÙNG LỚN 3.1. Đại lƣợng vô cùng bé a) Định nghĩa Hàm số ( )x đƣợc gọi là đại lượng vô cùng bé (VCB) khi 0x x nếu 0 lim ( ) 0 x x x ( 0 x có thể là vô cùng). VD 1. 3( ) tan sin 1x x là VCB khi 1x ; 2 1 ( ) ln x x là VCB khi x .  Chƣơng 1. Hàm số một biến số b) Tính chất của VCB 1) Nếu ( ), ( )x x là các VCB khi 0x x thì ( ) ( )x x và ( ). ( )x x là VCB khi 0x x . 2) Nếu ( )x là VCB và ( )x bị chận trong lân cận 0x thì ( ). ( )x x là VCB khi 0x x . 3) 0 lim ( ) ( ) ( ) x x f x a f x a x , trong đó ( )x là VCB khi 0x x .  Chƣơng 1. Hàm số một biến số c) So sánh các VCB • Định nghĩa Cho ( ), ( )x x là các VCB khi 0x x , 0 ( ) lim ( )x x x k x . Khi đó: – Nếu 0k , ta nói ( )x là VCB cấp cao hơn ( )x , ký hiệu ( ) 0( ( ))x x . – Nếu k , ta nói ( )x là VCB cấp thấp hơn ( )x . – Nếu 0 k , ta nói ( )x và ( )x là các VCB cùng cấp. – Đặc biệt, nếu 1k , ta nói ( )x và ( )x là các VCB tương đương, ký hiệu ( ) ( )x x .  Chƣơng 1. Hàm số một biến số VD 2. • 1 cosx là VCB cùng cấp với 2x khi 0x vì: 2 2 20 0 2 sin1 cos 12lim lim 2 4 2 x x x x x x . • 2 2sin 3( 1) 9( 1)x x khi 1x .  Chƣơng 1. Hàm số một biến số • Tính chất của VCB tƣơng đƣơng khi x → x0 1) ( ) ( ) ( ) ( ) 0( ( )) 0( ( ))x x x x x x . 2) Nếu ( ) ( ), ( ) ( )x x x x thì ( ) ( )x x . 3) Nếu 1 1 2 2( ) ( ), ( ) ( )x x x x thì 1 2 1 2( ) ( ) ( ) ( )x x x x . 4) Nếu ( ) 0( ( ))x x thì ( ) ( ) ( )x x x .  Chƣơng 1. Hàm số một biến số • Quy tắc ngắt bỏ VCB cấp cao Cho ( ), ( )x x là tổng các VCB khác cấp khi 0x x thì 0 ( ) lim ( )x x x x bằng giới hạn tỉ số hai VCB cấp thấp nhất của tử và mẫu. VD 3. Tìm giới hạn 3 4 20 cos 1 lim x x x L x x . Giải. 0 2 3 4 (1 cos lim ) x x L x x x 20 1 cos 1 lim 2x x x . 9/6/2014 5  Chƣơng 1. Hàm số một biến số • Các VCB tƣơng đƣơng cần nhớ khi x → 0 1) sinx x ; 2) tanx x ; 3) arcsinx x ; 4) arctanx x 5) 2 1 cos 2 x x ; 6) 1xe x ; 7) ln(1 )x x ; 8) 1 1n x x n . Chú ý Nếu ( )u x là VCB khi 0x thì ta có thể thay x bởi ( )u x trong 8 công thức trên.  Chƣơng 1. Hàm số một biến số VD 4. Tính giới hạn 2 20 ln(1 2 sin ) lim sin .tanx x x L x x . VD 5. Tính 2 2 30 sin 1 1 3 tan lim sin 2x x x x L x x .  Chƣơng 1. Hàm số một biến số VD 6. Cho hàm số ( )y f x thỏa: 2 2 4 2 3 x t t y t t . Khi 0x , chọn đáp án đúng? A. 2 ( ) 4 x f x ; B. 2 ( ) 2 x f x ; C. ( ) 2 x f x ; D. 2( ) 3f x x . Giải. Khi 0x thì 0 2( 0) t t yloaïi vì 2 20 2 , ( ) 4 x t x t y t f x A.  Chƣơng 1. Hàm số một biến số Chú ý Quy tắc VCB tƣơng đƣơng không áp dụng được cho hiệu hoặc tổng của các VCB nếu chúng làm triệt tiêu tử hoặc mẫu của phân thức. 3 3 0 0 lim lim tanx x x x x x x x (Sai!). VD. 2 20 0 2 ( 1) ( 1) lim lim x x x x x x e e e e x x 20 ( ) lim 0 x x x x (Sai!).  Chƣơng 1. Hàm số một biến số VD 7. 3 cos 1 2 sin x x x là VCL khi 0x ; 3 2 1 cos 4 3 x x x x là VCL khi x . Nhận xét. Hàm số ( )f x là VCL khi 0x x thì 1 ( )f x là VCB khi 0x x . 3.2. Đại lƣợng vô cùng lớn a) Định nghĩa Hàm số ( )f x đƣợc gọi là đại lượng vô cùng lớn (VCL) khi 0x x nếu 0 lim ( ) x x f x ( 0 x có thể là vô cùng).  Chƣơng 1. Hàm số một biến số b) So sánh các VCL • Định nghĩa Cho ( ), ( )f x g x là các VCL khi 0x x , 0 ( ) lim ( )x x f x k g x . Khi đó: – Nếu 0k , ta nói ( )f x là VCL cấp thấp hơn ( )g x . – Nếu k , ta nói ( )f x là VCL cấp cao hơn ( )g x . – Nếu 0 k , ta nói ( )f x và ( )g x là các VCL cùng cấp. – Đặc biệt, nếu 1k , ta nói ( )f x và ( )g x là các VCL tương đương. Ký hiệu ( ) ( )f x g x . 9/6/2014 6  Chƣơng 1. Hàm số một biến số VD 8. • 3 3 x là VCL khác cấp với 3 1 2x x khi 0x vì: 3 3 3 3 30 0 0 3 1 2 lim : 3 lim 3 lim 2x x x x x x x x x x x . • 3 32 1 2x x x khi x .  Chƣơng 1. Hàm số một biến số • Quy tắc ngắt bỏ VCL cấp thấp Cho ( )f x và ( )g x là tổng các VCL khác cấp khi 0x x thì 0 ( ) lim ( )x x f x g x bằng giới hạn tỉ số hai VCL cấp cao nhất của tử và mẫu.  Chƣơng 1. Hàm số một biến số Giải. 3 3 1 lim 33x x A x . 3 7 1 lim lim 0 22x x x B xx . VD 9. Tính các giới hạn: 3 3 cos 1 lim 3 2x x x A x x ; 3 2 7 2 2 1 lim 2 sinx x x B x x .  Chƣơng 1. Hàm số một biến số §4. HÀM SỐ LIÊN TỤC • Hàm số ( )f x liên tục tại 0 x nếu 0 0lim ( ) ( )x x f x f x . • Hàm số ( )f x liên tục trên tập X nếu ( )f x liên tục tại mọi điểm 0x X . 4.1. Định nghĩa • Số 0 fx D đƣợc gọi là điểm cô lập của ( )f x nếu 0 0 00 : ( ; )\ { }x x x x thì fx D . Chú ý. Hàm ( )f x liên tục trên đoạn [ ; ]a b thì có đồ thị là một đường liền nét (không đứt khúc) trên đoạn đó. Quy ước. Hàm ( )f x liên tục tại mọi điểm cô lập của nó.  Chƣơng 1. Hàm số một biến số 4.2. Định lý • Tổng, hiệu, tích và thƣơng của các hàm số liên tục tại 0 x là hàm số liên tục tại 0 x . • Hàm số sơ cấp xác định ở đâu thì liên tục ở đó. • Hàm số liên tục trên một đoạn thì đạt giá trị lớn nhất và nhỏ nhất trên đoạn đó.  Chƣơng 1. Hàm số một biến số • Định lý Hàm số ( )f x liên tục tại 0 x nếu 0 0 0lim ( ) lim ( ) ( ). x x x x f x f x f x 4.3. Hàm số liên tục một phía • Định nghĩa Hàm số ( )f x đƣợc gọi là liên tục trái (phải) tại 0 x nếu 0 0lim ( ) ( ) x x f x f x ( 0 0lim ( ) ( ) x x f x f x ). 9/6/2014 7  Chƣơng 1. Hàm số một biến số VD 1. Cho hàm số 2 23 tan sin , 0( ) 2 , 0 x x xf x x x . Giá trị của để hàm số liên tục tại 0x là: A. 0; B. 1 2 ; C. 1; D. 3 2 .  Chƣơng 1. Hàm số một biến số VD 2. Cho hàm số 2 2 ln(cos ) , 0 ( ) arctan 2 2 3, 0 x x f x x x x . Giá trị của để hàm số liên tục tại 0x là: A. 17 12 ; B. 17 12 ; C. 3 2 ; D. 3 2 .  Chƣơng 1. Hàm số một biến số 4.4. Phân loại điểm gián đoạn • Nếu hàm ( )f x không liên tục tại 0 x thì 0 x đƣợc gọi là điểm gián đoạn của ( )f x . O x y ( )C 0 x • Nếu tồn tại các giới hạn: 0 0lim ( ) ( ) x x f x f x , 0 0lim ( ) ( ) x x f x f x nhƣng 0( )f x , 0( )f x và 0( )f x không đồng thời bằng nhau thì ta nói 0 x là điểm gián đoạn loại một. Ngƣợc lại, 0 x là điểm gián đoạn loại hai.  Chƣơng 2. Phép tính vi phân hàm một biến số §1. Đạo hàm §2. Vi phân §3. Các định lý cơ bản về hàm khả vi – Cực trị §4. Quy tắc L’Hospital §1. ĐẠO HÀM 1.1. Các định nghĩa a) Định nghĩa đạo hàm Cho hàm số ( )y f x xác định trong lân cận ( ; )a b của 0 ( ; )x a b . Giới hạn: 0 0 0 0 ( ) ( ) lim lim x x f x x f xy x x (nếu có) đƣợc gọi là đạo hàm của ( )y f x tại 0 x . Ký hiệu là 0( )f x hay 0( )y x .  Chƣơng 2. Phép tính vi phân hàm một biến số Nhận xét. Do 0x x x nên: 0 0 0 0 ( ) ( ) ( ) lim . x x f x f x f x x x b) Đạo hàm một phía Cho hàm số ( )y f x xác định trong lân cận phải 0( ; )x b của 0x . Giới hạn 0 0 0 ( ) ( ) lim x x f x f x x x (nếu có) đƣợc gọi là đạo hàm bên phải của ( )y f x tại 0 x . Ký hiệu là 0( )f x . Tƣơng tự, 0( )f x . Nhận xét. Hàm số ( )f x có đạo hàm tại 0 x khi và chỉ khi 0 0 0( ) ( ) ( ).f x f x f x  Chƣơng 2. Phép tính vi phân hàm một biến số VD 1. Cho 3( ) (0)f x x f , ( ) (0 )f x x f . c) Đạo hàm vô cùng • Nếu tỉ số y x khi 0x thì ta nói ( )y f x có đạo hàm vô cùng tại 0 x . • Tƣơng tự, ta cũng có các khái niệm đạo hàm vô cùng một phía. Chú ý Nếu ( )f x liên tục và có đạo hàm vô cùng tại 0 x thì tiếp tuyến tại 0 x của đồ thị ( )y f x song song với trục Oy . 9/6/2014 8  Chƣơng 2. Phép tính vi phân hàm một biến số 1.2. Các quy tắc tính đạo hàm 1) Đạo hàm tổng, hiệu, tích và thƣơng của hai hàm số: ( )u v u v ; ( )uv u v uv ; 2 , k kv k v v ; 2 u u v uv v v . 2) Đạo hàm của hàm số hợp ( ) [ ( )]f x y u x : ( ) ( ). ( )f x y u u x hay ( ) ( ). ( )y x y u u x . 3) Đạo hàm hàm số ngƣợc của ( )y y x : 1 ( ) ( ) x y y x .  Chƣơng 2. Phép tính vi phân hàm một biến số Đạo hàm của một số hàm số sơ cấp 1) 1.x x ; 2) 1 2 x x ; 3) sin cosx x ; 4) cos sinx x ; 5) 2 1 tan cos x x 6) 2 1 cot sin x x ; 21 tan x ;  Chƣơng 2. Phép tính vi phân hàm một biến số 7) x xe e ; 8) .lnx xa a a ; 9) 1 ln x x ; 10) 1 log .lna x x a ; 11) 2 1 arcsin = 1 x x ; 12) 2 1 arccos = 1 x x ; 13) 2 1 arctan 1 x x ; 14) 2 1 cot 1 arc x x .  Chƣơng 2. Phép tính vi phân hàm một biến số VD 2. Tính ( )y x của hàm số cho bởi 2 3 2 1 , 0 4 x t t y t . Giải. Ta có: 3 2 2 (4 ) 12 ( ) 3 4(2 1) t t y x t tt . 1.3. Đạo hàm hàm số cho bởi phƣơng trình tham số Cho hàm số ( )y f x có phƣơng trình dạng tham số ( ), ( )x x t y y t . Giả sử ( )x x t có hàm số ngƣợc và hàm số ngƣợc này có đạo hàm thì: ( ) ( ) . ( ) t x t hay yy t y x y x t x  Chƣơng 2. Phép tính vi phân hàm một biến số VD 3. Tính (1)xy của hàm số cho bởi 2 2 tx e y t t . Giải. Ta có: 2( 2 ) 2 2 ( ) x t t t t t y e e . 1 1 0 (1) 2t xx e t y .  Chƣơng 2. Phép tính vi phân hàm một biến số 1.4. Đạo hàm cấp cao • Giả sử ( )f x có đạo hàm ( )f x và ( )f x có đạo hàm thì ( ) ( )f x f x là đạo hàm cấp hai của ( )f x . • Tƣơng tự ta có: ( ) ( 1)( ) ( )n nf x f x là đạo hàm cấp n của ( )f x . 9/6/2014 9  Chƣơng 2. Phép tính vi phân hàm một biến số VD 4. Cho hàm số 2( ) sinf x x . Tính đạo hàm (6)(0)f . A. (6)(0) 32f ; B. (6)(0) 32f ; C. (6)(0) 16f ; D. (6)(0) 0f . VD 5. Tính ( )( )nf x của hàm số 1( ) (1 )nf x x . Giải. Ta có ( ) ( 1)(1 )nf x n x 1( ) ( 1)(1 )nf x n n x 2( ) ( 1) ( 1)(1 )nf x n n n x Vậy ( )( ) ( 1) .( 1)!(1 )n nf x n x .  Chƣơng 2. Phép tính vi phân hàm một biến số VD 6. Tính ( )ny của hàm số 2 1 3 4 y x x . Vậy ( ) 1 1 ( 1) ! 1 1 5 ( 4) ( 1) n n n n n y x x .  Chƣơng 2. Phép tính vi phân hàm một biến số §2. VI PHÂN Nhận xét • 0( ) . 0( )f x A x x 0( ) 0( )f x xA x x 2.1. Vi phân cấp một Hàm số ( )y f x đƣợc gọi là khả vi tại 0 fx D nếu 0 0 0( ) ( ) ( )f x f x x f x có thể biểu diễn dƣới dạng: 0( ) . 0( )f x A x x với A là hằng số và 0( )x là VCB khi 0x . Khi đó, đại lƣợng .A x đƣợc gọi là vi phân của hàm số ( )y f x tại 0x . Ký hiệu 0( )df x hay 0( )dy x .  Chƣơng 2. Phép tính vi phân hàm một biến số VD 1. Tính vi phân cấp 1 của 2 3( ) xf x x e tại 0 1x . 00 0 ( ) ( )x f x A f x A x . 0 0( ) ( ).df x f x x hay ( ) ( ).df x f x x . • Chọn ( ) ( )f x x df x x dx x . Vậy ( ) ( ) .df x f x dx dy yh y xa d Giải. Ta có 2 3 3( ) (2 3 ) ( 1)xf x x x e f e Vậy 3( 1)df e dx .  Chƣơng 2. Phép tính vi phân hàm một biến số VD 2. Tính vi phân cấp 1 của 2arctan( 1)y x . VD 3. Tính vi phân cấp 1 của hàm số ln(arcsin )2 xy .  Chƣơng 2. Phép tính vi phân hàm một biến số VD 4. Tính vi phân cấp 2 của hàm số ln(sin )y x . Giải. Ta có 2 cos 1 sin sin x y y x x . Vậy 2 2 2sin dx d y x . 2.2. Vi phân cấp cao Giả sử ( )y f x có đạo hàm đến cấp n thì: 1 ( )( )n n n nd y d d y y dx đƣợc gọi là vi phân cấp n của hàm ( )y f x . 9/6/2014 10  Chƣơng 2. Phép tính vi phân hàm một biến số VD 5. Tính vi phân cấp n của hàm số 2xy e . Giải. Ta có 2 2 22 2x xy e y e 2( ) 2 2... 2n n x n n x ny d y ee dx . VD 6. Tính vi phân cấp 3 của ( ) tanf x x tại 0 4 x . 16 4 f 3 316 4 d f dx . HD  Chƣơng 2. Phép tính vi phân hàm một biến số §3. CÁC ĐỊNH LÝ CƠ BẢN VỀ HÀM KHẢ VI CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ 3.1. Các định lý 3.1.1. Bổ đề Fermat Cho hàm số ( )f x xác định trong ( ; )a b và có đạo hàm tại 0 ( ; )x a b . Nếu ( )f x đạt giá trị lớn nhất (hoặc bé nhất) tại 0x trong ( ; )a b thì 0( ) 0f x . 3.1.2. Định lý Rolle Cho hàm số ( )f x liên tục trong [ ; ]a b và khả vi trong ( ; )a b . Nếu ( ) ( )f a f b thì ( ; )c a b sao cho ( ) 0f c .  Chƣơng 2. Phép tính vi phân hàm một biến số 3.1.3. Định lý Cauchy Cho hai hàm số ( )f x , ( )g x liên tục trong [ ; ]a b , khả vi trong ( ; )a b và ( ) 0, ( ; )g x x a b . Khi đó, ( ; )c a b sao cho: ( ) ( ) ( ) . ( ) ( ) ( ) f b f a f c g b g a g c 3.1.4. Định lý Lagrange Cho hàm số ( )f x liên tục trong [ ; ]a b , khả vi trong ( ; )a b . Khi đó, ( ; )c a b sao cho: ( ) ( ) ( ). f b f a f c b a  Chƣơng 2. Phép tính vi phân hàm một biến số 3.2. Cực trị của hàm số 3.2.1. Hàm số đơn điệu a) Định nghĩa Cho hàm số ( )f x liên tục trong trong ( ; )a b . Khi đó: • ( )f x đƣợc gọi là tăng ngặt trong ( ; )a b nếu 1 2 1 2 ( ) ( ) 0 f x f x x x , 1 2, ( ; )x x a b và 1 2x x . • ( )f x đƣợc gọi là giảm ngặt trong ( ; )a b nếu 1 2 1 2 ( ) ( ) 0 f x f x x x , 1 2, ( ; )x x a b và 1 2x x .  Chƣơng 2. Phép tính vi phân hàm một biến số • ( )f x đƣợc gọi là tăng hay giảm không ngặt trong ( ; )a b nếu 1 2 1 2 ( ) ( ) 0 f x f x x x hay 1 2 1 2 ( ) ( ) 0 f x f x x x , 1 2, ( ; )x x a b và 1 2x x . • ( )f x đƣợc gọi là đơn điệu trong ( ; )a b nếu ( )f x tăng ngặt hay giảm ngặt trong ( ; )a b . • ( )f x đơn điệu trong ( ; )a b và liên tục trong ( ; ]a b thì ( )f x đơn điệu trong ( ; ]a b (trƣờng hợp khác tƣơng tự).  Chƣơng 2. Phép tính vi phân hàm một biến số b) Định lý 1 Cho hàm số ( )f x khả vi trong trong ( ; )a b . Khi đó: • Nếu ( ) 0, ( ; )f x x a b thì ( )f x tăng ngặt trong ( ; )a b . • Nếu ( ) 0, ( ; )f x x a b thì ( )f x giảm ngặt trong ( ; )a b . • Nếu ( ) 0, ( ; )f x x a b hay ( ) 0, ( ; )f x x a b thì ( )f x tăng không ngặt hay giảm không ngặt trong ( ; )a b . c) Định lý 2 • Nếu ( )f x tăng ngặt trong ( ; )a b thì ( ) 0f x trong ( ; )a b và không tồn tại ( ; ) ( ; )a b sao cho ( ) 0f x . • Nếu ( )f x giảm ngặt trong ( ; )a b thì ( ) 0f x trong ( ; )a b và không tồn tại ( ; ) ( ; )a b sao cho ( ) 0f x . 9/6/2014 11  Chƣơng 2. Phép tính vi phân hàm một biến số 3.2.2. Cực trị a) Định nghĩa • Nếu ( )f x liên tục trong ( ; )a b chứa 0x và 0( ) ( )f x f x , 0( ; )\ { }x a b x thì ( )f x đạt cực tiểu tại 0x . • Nếu ( )f x liên tục trong ( ; )a b chứa 0x và 0( ) ( )f x f x , 0( ; )\ { }x a b x thì ( )f x đạt cực đại tại 0x . b) Định lý Cho ( )f x có đạo hàm đến cấp 2n trong ( ; )a b chứa 0x thỏa (2 1)0 0( ) ... ( ) 0 nf x f x và (2 ) 0( ) 0 nf x . • Nếu (2 ) 0( ) 0 nf x thì ( )f x đạt cực tiểu tại 0x . • Nếu (2 ) 0( ) 0 nf x thì ( )f x đạt cực đại tại 0x .  Chƣơng 2. Phép tính vi phân hàm một biến số 3.2.3. Giá trị lớn nhất – giá trị nhỏ nhất a) Định nghĩa Cho hàm số ( )y f x có MXĐ D và X D . • Số M đƣợc gọi là giá trị lớn nhất của ( )f x trên X nếu: 0 0 : ( )x X f x M và ( ) , f x M x X . Ký hiệu là: max ( ) x X M f x . • Số m đƣợc gọi là giá trị nhỏ nhất của ( )f x trên X nếu: 0 0 : ( )x X f x m và ( ) , f x m x X . Ký hiệu là: min ( ) x X m f x .  Chƣơng 2. Phép tính vi phân hàm một biến số Chú ý • Hàm số có thể không đạt max hoặc min trên X D . • Nếu max ( ) x X M f x và min ( ) x X m f x thì: ( ) ,m f x M x X .  Chƣơng 2. Phép tính vi phân hàm một biến số b) Phƣơng pháp tìm max – min  Hàm số liên tục trên đoạn [a; b] Cho hàm số ( )y f x liên tục trên đoạn [ ; ]a b . Để tìm [ ; ] max ( ) x a b f x và [ ; ] min ( ) x a b f x , ta thực hiện các bƣớc sau: • Bƣớc 1. Giải phƣơng trình ( ) 0f x . Giả sử có n nghiệm 1 ,..., [ ; ] n x x a b (loại các nghiệm ngoài [ ; ]a b ). • Bƣớc 2. Tính 1 ( ), ( ),..., ( ), ( ) n f a f x f x f b . • Bƣớc 3. Giá trị lớn nhất, nhỏ nhất trong các giá trị đã tính ở trên là các giá trị max, min tƣơng ứng cần tìm.  Chƣơng 2. Phép tính vi phân hàm một biến số VD 6. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số 4 23( ) 3 2 f x x x x trên đoạn [0; 2]. Giải. Ta có: hàm số ( )f x liên tục trên đoạn [0; 2]. 3 1( ) 4 3 1 0 1 2 f x x x x x . Do 1 [0; 2] 2 x nên ta loại. Mặt khác: 3 (0) 3, (1) , (2) 11 2 f f f . Vậy [0;2] max ( ) 11 x f x tại 2x , [0;2] 3 min ( ) 2x f x tại 1x .  Chƣơng 2. Phép tính vi phân hàm một biến số Chú ý • Nếu đề bài chƣa cho đoạn [ ; ]a b thì ta phải tìm MXĐ của hàm số trƣớc khi làm bƣớc 1. • Có thể đổi biến số ( )t t x và viết ( ) ( ( ))y f x g t x . Gọi T là miền giá trị của hàm ( )t x (ta thƣờng gọi là điều kiện của t đối với x ) thì: max ( ) max ( ) x X t T f x g t , min ( ) min ( ) x X t T f x g t . 9/6/2014 12  Chƣơng 2. Phép tính vi phân hàm một biến số §4. QUY TẮC L’HOSPITAL Định lý (quy tắc L’Hospital) Cho hai hàm số ( )f x , ( )g x khả vi trong lân cận của điểm 0x và ( ) 0g x trong lân cận của 0x (có thể 0( ) 0g x ). Nếu 0 0 lim ( ) lim ( ) 0 x x x x f x g x (hoặc ) và 0 ( ) lim ( )x x f x k g x thì 0 ( ) lim ( )x x f x k g x . Chú ý  Chiều ngƣợc lại trong định lý là không đúng.  Ta có thể áp dụng quy tắc L’Hospital nhiều lần.  Chƣơng 2. Phép tính vi phân hàm một biến số VD 1. Tìm giới hạn 20 2 lim x x x e e L x . VD 2. Tìm giới hạn 2 2 2 20 sin lim .arctanx x x L x x . A. 0L ; B. L ; C. 1 2 L ; D. 1 3 L .  Chƣơng 3. Phép tính tích phân hàm một biến số §1. TÍCH PHÂN BẤT ĐỊNH 1.1. Định nghĩa • Hàm số ( )F x đƣợc gọi là một nguyên hàm của ( )f x trên khoảng ( ; )a b nếu ( ) ( ), ( ; )F x f x x a b . Ký hiệu ( )f x dx (đọc là tích phân). Nhận xét • Nếu ( )F x là nguyên hàm của ( )f x thì ( )F x C cũng là nguyên hàm của ( )f x .  Chƣơng 3. Phép tính tích phân hàm một biến số Tính chất 1) . ( ) ( ) ,k f x dx k f x dx k 2) ( ) ( )f x dx f x C 3) ( ) ( ) d f x dx f x dx 4) [ ( ) ( )] ( ) ( )f x g x dx f x dx g x dx .  Chƣơng 3. Phép tính tích phân hàm một biến số MỘT SỐ NGUYÊN HÀM CẦN NHỚ 1) . , aadx ax C 2) 1 , 1 1 x x dx C 3) ln dx x C x ; 4) 2 dx x C x 5) x xe dx e C ; 6) ln x x aa dx C a 7) cos sinxdx x C ; 8) sin cosxdx x C 9) 2 tan cos dx x C x ; 10) 2 cot sin dx x C x  Chƣơng 3. Phép tính tích phân hàm một biến số 11) 2 2 1 arctan dx x C a ax a 12) 2 2 arcsin , 0 dx x C a aa x 13) 2 2 1 ln 2 dx x a C a x ax a 14) ln tan sin 2 dx x C x 15) ln tan cos 2 4 dx x C x 16) 2 2 ln dx x x a C x a 9/6/2014 13  Chƣơng 3. Phép tính tích phân hàm một biến số VD 1. Tính 24 dx I x . A. 1 2 ln 4 2 x I C x ; B. 1 2 ln 4 2 x I C x ; C. 1 2 ln 2 2 x I C x ; D. 1 2 ln 2 2 x I C x . Giải. 2 2 1 2 ln . 4 22 dx x I C A xx  Chƣơng 3. Phép tính tích phân hàm một biến số Giải. Biến đổi: 2 1 1 1 1 1 ( 2)( 3) 5 3 26 x x x xx x . Vậy 1 1 1 5 3 2 I dx x x 1 1 3 ln 3 ln 2 ln 5 5 2 x x x C C x . VD 2. Tính 2 6 dx I x x .  Chƣơng 3. Phép tính tích phân hàm một biến số 1.2. Phƣơng pháp đổi biến a) Định lý Nếu ( ) ( )f x dx F x C với ( )t khả vi thì: ( ( )) ( ) ( ( )) .f t t dt F t C VD 3. Tính 23 ln dx I x x . Giải. Đặt ln dx t x dt x 2 arcsin 33 dt t I C t ln arcsin . 3 x C  Chƣơng 3. Phép tính tích phân hàm một biến số VD 4. Tính 3( 3) dx I x x . Giải. Biến đổi 2 3 3( 3) x dx I x x . Đặt 3 23 3t x dt x dx 3 3 1 3 1 ln ln 9 9 3 t x C C t x .  Chƣơng 3. Phép tính tích phân hàm một biến số VD 5. Tính 4 cot 2 sin 3 x I dx x . Giải. Biến đổi: 4 cos sin (2 sin 3) xdx I x x 3 4 4 sin cos . sin (2 sin 3) x xdx x x Đặt 4 32sin 3 8sin cost x dt x xdx . 1 1 1 1 4 ( 3) 12 3 dt I dt t t t t 4 4 1 3 1 2sin ln ln 12 12 2sin 3 t x C C t x .  Chƣơng 3. Phép tính tích phân hàm một biến số c) Tích phân hàm lƣợng giác (sin ,cos ) .I R x x dx Cách giải • Nếu ( sin ,cos ) (sin ,cos )R x x R x x (nghĩa là bậc của sin lẻ) thì ta đặt cost x . • Nếu (sin , cos ) (sin ,cos )R x x R x x (nghĩa là bậc của cosin lẻ) thì ta đặt sint x . • Nếu ( sin , cos ) (sin ,cos )R x x R x x (nghĩa là bậc của sin và cosin chẵn) thì ta đặt tant x hoặc hạ bậc. 9/6/2014 14  Chƣơng 3. Phép tính tích phân hàm một biến số • Nếu 1 (sin , cos ) sin cos R x x a x b x c thì ta đặt: 2 2 2 2 1 tan sin , cos 2 1 1 x t t t x x t t .  Chƣơng 3. Phép tính tích phân hàm một biến số VD 13. Tính 3 2sin 2 cosI x x dx . Giải. Biến đổi 5 28 cos (1 cos )(sin )I x x x dx . Đặt cos sint x dt x dx . Vậy 5 28 ( 1)I t t dt 8 6 8 6 4 4 cos cos 3 3 t t C x x C . VD 6  Chƣơng 3. Phép tính tích phân hàm một biến số Giải. Đặt 2ln , 2 u x dx x du v dv xdx x 21 1ln 2 2 I x x xdx 2 2 1 1 ln 2 4 x x x C . 1.3. Phƣơng pháp tích phân từng phần a) Công thức ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )u x v x dx u x v x u x v x dx hay .udv uv vdu VD 16. Tính lnI x x dx . V 7 :  Chƣơng 3. Phép tính tích phân hàm một biến số Giải. Biến đổi .2 xI x dx . Đặt 2 , 2 ln 2 x x u x du dx v dv dx .2 1 2 ln 2 ln 2 x xxI dx 2 .2 2 ln 2 ln 2 x xx C . Chú ý • Đối với nhiều tích phân khó ta phải đổi biến trƣớc khi lấy từng phần. VD 17. Tính 2x x I dx . 8 :  Chƣơng 3. Phép tính tích phân hàm một biến số Giải. Biến đổi 2 sin(1 sin ) cosxI x e x dx . Đặt 2sin (1 ) tt x I t e dt . Đặt 2 21 tt du tdtu t v edv e dt 2 2(1 ) 2 (1 ) 2 ( )t t t tI e t te dt e t t de 2(1 ) 2 2t t te t te e dt 2 sin 2( 1) (sin 1)t xe t C e x C . VD 18. Tính 3 sincos xI x e dx . 9 :  Chƣơng 3. Phép tính tích phân hàm một biến số VD 19. Tính 3cosI x dx . Giải. Đặt 3 3 23t x x t dx t dt 2 23 cos 3 (sin )I t t dt t d t 23 sin 6 (cos )t t td t 23 sin 6 cos 6sint t t t t C 3 3 3 323 6 sin 6 cosx x x x C . 10 : 9/6/2014 15  Chƣơng 3. Phép tính tích phân hàm một biến số b) Các dạng tích phân từng phần thƣờng gặp • Đối với dạng tích phân ( ) xP x e dx , ( )P x là đa thức, thì ta đặt: ( ), .xu P x dv e dx • Đối với dạng tích phân ( )lnP x x dx , ( )P x là đa thức, thì ta đặt: ln , ( ) .u x dv P x dx  Chƣơng 3. Phép tính tích phân hàm một biến số 0 1 1... n nx a x x x b . Lấy điểm 1[ ; ]k k kx x tùy ý ( 1,k n ). Lập tổng tích phân: 1 1 ( )( ) n k k k k f x x . §2. TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH 2.1. Định nghĩa. Cho hàm số ( )f x xác định trên [ ; ]a b . Ta chia đoạn [ ; ]a b thành n đoạn nhỏ bởi các điểm chia Ký hiệu là ( ) . b a I f x dx Giới hạn hữu hạn (nếu có) 1max( ) 0 lim k kk x x I đƣợc gọi là tích phân xác định của ( )f x trên đoạn [ ; ]a b .  Chƣơng 3. Phép tính tích phân hàm một biến số Tính chất 1) . ( ) ( ) , b b a a k f x dx k f x dx k 2) [ ( ) ( )] ( ) ( ) b b b a a a f x g x dx f x dx g x dx 3) ( ) 0; ( ) ( ) a b a a a b f x dx f x dx f x dx 4) ( ) ( ) ( ) , [ ; ] b c b a a c f x dx f x dx f x dx c a b  Chƣơng 3. Phép tính tích phân hàm một biến số 5) ( ) 0, [ ; ] ( ) 0 b a f x x a b f x dx 6) ( ) ( ), [ ; ] ( ) ( ) b b a a f x g x x a b f x dx g x dx 7) ( ) ( ) b b a a a b f x dx f x dx 8) ( ) , [ ; ]m f x M x a b ( ) ( ) ( ) b a m b a f x dx M b a  Chƣơng 3. Phép tính tích phân hàm một biến số 9) Nếu ( )f x liên tục trên đoạn [ ; ]a b thì [ ; ] : ( ) ( )( ) b a c a b f x dx f c b a . Khi đó, đại lƣợng 1 ( ) ( ) b a f c f x dx b a đƣợc gọi là giá trị trung bình của ( )f x trên đoạn [a; b].  Chƣơng 3. Phép tính tích phân hàm một biến số VD 1. Tích phân 1 2 2 0 cos dx x x bị chặn (hữu hạn) vì hàm số 2 2 1 ( ) cos f x x x liên tục trên đoạn [0; 1]. VD 2. Giá trị trung bình của hàm số 1 ( )f x x trên [1; ]e là 1 1 1 1 1 e dx e x e . 9/6/2014 16  Chƣơng 3. Phép tính tích phân hàm một biến số 2.2. Công thức Newton – Leibnitz Cho hàm ( )f x khả tích trên [ ; ]a b , với mỗi [ ; ]x a b thì hàm số ( ) ( ) x a x f t dt liên tục tại mọi 0 [ ; ]x a b và ( ) ( )x f x . a) Tích phân với cận trên thay đổi (tham khảo) VD 3. Xét 2 0 ( ) , 0 x tx e dt x . Ta có: 2 ( ) tf t e và 2 ( ) ( ) xx f x e .  Chƣơng 3. Phép tính tích phân hàm một biến số VD 4. Cho 2 3 1 ( ) ln , 0 x x t tdt x . Tìm ( )x . Giải. Đặt 2 2t u dt udu , 21 1,t u t x u x . 2 3 7 2 1 1 ( ) ln 2 ln x x x t tdt u u du 7 2( ) 2 lnx x x . D2 :  Chƣơng 3. Phép tính tích phân hàm một biến số b) Công thức Newton – Leibnitz Nếu ( )f x liên tục trên [ ; ]a b và ( )F x là một nguyên hàm tùy ý của ( )f x thì ( ) ( ) x a x f t dt và ( ) ( )+F x x C là nguyên hàm của ( )f x trên [ ; ]a b . Vậy ta có: ( ) ( ) ( ) ( ). b b a a f x dx F x F b F a  Chƣơng 3. Phép tính tích phân hàm một biến số Nhận xét 1) Có hai phƣơng pháp tính tích phân nhƣ §1. 2) Hàm số ( )f x liên tục và lẻ trên [ ; ] thì: ( ) 0.f x dx 3) Hàm số ( )f x liên tục và chẵn trên [ ; ] thì: 0 ( ) 2 ( ) .f x dx f x dx  Chƣơng 3. Phép tính tích phân hàm một biến số 4) Để tính ( ) b a f x dx , ta dùng bảng xét dấu của ( )f x để tách ( )f x thành tổng của các hàm trên mỗi đoạn nhỏ. Đặc biệt ( ) ( ) b b a a f x dx f x dx nếu ( ) 0, ( ; )f x x a b .  Chƣơng 3. Phép tính tích phân hàm một biến số VD 5. Tính 3 2 1 2 5 dx I x x . VD 6. Tính 2 1 ( 1)ln e x x I dx x . VD 8. Tính 3 3 3 4I x x dx . 3 : D4 : D5 : 9/6/2014 17  Chƣơng 3. Phép tính tích phân hàm một biến số §3. ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH 2 1( ) ( ) b a S f x f x dx 2 1( ) ( ) d c S g y g y dy a) Biên hình phẳng cho bởi phƣơng trình tổng quát 3.1. Tính diện tích S của hình phẳng S S  Chƣơng 3. Phép tính tích phân hàm một biến số VD 1. Tính diện tích hình phẳng S giới hạn bởi các đƣờng 2y x và 4y x . A. 1 15 S ; B. 2 15 S C. 4 15 S ; D. 8 15 S . Giải. Hoành độ giao điểm: 2 4 1, 0x x x x 0 1 2 4 2 4 1 0 4 ( ) ( ) . 15 S x x dx x x dx C  Chƣơng 3. Phép tính tích phân hàm một biến số Cách khác Hoành độ giao điểm 2 4 1, 0x x x x 1 1 2 4 2 4 1 0 2S x x dx x x dx 1 2 4 0 4 2 ( ) . 15 x x dx C  Chƣơng 3. Phép tính tích phân hàm một biến số VD 2. Tính diện tích hình phẳng S giới hạn bởi các đƣờng 2x y và 2y x . Giải. Biến đổi: 2 2 2 2 x y x y y x x y . Tung độ giao điểm: 2 2 1, 2y y y y 22 2 2 3 11 1 1 27 ( 2) 2 . 2 3 6 S y y dy y y y  Chƣơng 3. Phép tính tích phân hàm một biến số VD 3. Tính diện tích hình phẳng S giới hạn bởi các đƣờng 1xy e , 2 3xy e và 0x . A. 1 ln 4 2 ; B. ln 4 1 2 ; C. 1 ln 2 2 ; D. 1 ln 2 2 Giải. Hoành độ giao điểm: 21 3x xe e 2 2 0 2 ln 2x x xe e e x . ln 2ln 2 2 2 00 1 ( 2) 2 2 x x x xS e e dx e e x 1 1 ln 4 ln 4 2 2 A.  Chƣơng 3. Phép tính tích phân hàm một biến số VD 4. Tính diện tích hình elip 2 2 2 2 : 1 x y S a b . Giải. Phƣơng trình tham số của elip là: cos , [0; 2 ] sin x a t t y b t . b) Biên hình phẳng cho bởi phƣơng trình tham số Hình phẳng giới hạn bởi đƣờng cong có phƣơng trình ( ), ( )x x t y y t với [ ; ]t thì: ( ). ( ) .S y t x t dt 9/6/2014 18  Chƣơng 3. Phép tính tích phân hàm một biến số 2 2 2 0 0 sin .( sin ) sinS b t a t dt ab t dt 2 0 1 cos2 2 t ab dt ab .  Chƣơng 3. Phép tính tích phân hàm một biến số 3.2. Tính độ dài l của đƣờng cong a) Đƣờng cong có phƣơng trình tổng quát Cho cung AB có phƣơng trình ( ), [ ; ]y f x x a b thì: 21 [ ( )] . b AB a l f x dx VD 5. Tính độ dài cung parabol 2 2 x y từ gốc tọa độ O(0; 0) đến điểm 1 1; 2 M .  Chƣơng 3. Phép tính tích phân hàm một biến số Giải. Ta có: 1 1 2 2 0 0 1 ( ) 1l y dx x dx 1 2 2 0 1 1 ln 1 2 x x x x 2 1 ln 1 2 2 2 .  Chƣơng 3. Phép tính tích phân hàm một biến số Cho cung AB có phƣơng trình tham số ( ) , [ ; ] ( ) x x t t y y t thì: 2 2[ ( )] [ ( )] . AB l x t y t dt b) Đƣờng cong có phƣơng trình tham số  Chƣơng 3. Phép tính tích phân hàm một biến số VD 6. Tính độ dài cung C có phƣơng trình: 2 2 1 , 0; 1 ln 1 x t t y t t . Giải. Ta có: 1 2 2 0 [ ( )] [ ( )]l x t y t dt 2 2 1 2 2 0 1 1 1 1 t dt t t .  Chƣơng 3. Phép tính tích phân hàm một biến số VD 7. Tính thể tích V do hình phẳng S giới hạn bởi ln , 0y x y , 1,x x e quay xung quanh Ox. 3.3. Tính thể tích vật thể tròn xoay a) Vật thể quay quanh Ox Thể tích V của vật thể do miền phẳng S giới hạn bởi ( ), 0y f x y , x a , x b quay quanh Ox là: 2[ ( )] . b a V f x dx Giải. 1 1 ln ( ln ) e e V x dx x x x . 9/6/2014 19  Chƣơng 3. Phép tính tích phân hàm một biến số VD 8. Tính V do 2 2 2 2 ( ) : 1 x y E a b quay quanh Ox. Giải. Ta có: 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 x y b y a x a b a . Vậy 2 2 2 2 2 4 3 a a b V a x dx ab a .  Chƣơng 3. Phép tính tích phân hàm một biến số b) Vật thể quay quanh Oy Thể tích V của vật thể do miền phẳng S giới hạn bởi ( )x g y , 0x , y c và y d quay quanh Oy là: 2[ ( )] . d c V g y dy VD 9. Tính thể tích V do hình phẳng S giới hạn bởi 22 , 0y x x y quay xung quanh Oy.  Chƣơng 3. Phép tính tích phân hàm một biến số Giải. Parabol 22y x x đƣợc viết lại: 2 22 ( 1) 1y x x x y 1 1 , 1 1 1 , 1 x y x x y x . Vậy 1 2 2 0 1 1 1 1V y y dy 1 1 3 00 8 8 4 1 (1 ) 3 3 y dy y .  Chƣơng 3. Phép tính tích phân hàm một biến số VD 10. Dùng công thức (*) để giải lại VD 9. Chú ý Thể tích V của vật thể do miền phẳng S giới hạn bởi ( )y f x , 0y , x a và x b quay xung quanh Oy còn đƣợc tính theo công thức: 2 ( ) (*). b a V xf x dx Giải. 22 3 4 2 0 0 2 8 2 (2 ) 2 . 3 4 3 x x V x x x dx