Bài giảng môn Lý thuyết xác suất và thống kê kế toán - Chương 3 Một số phân phối xác suất thông dụng

a- Bài toán tổng quát dẫn đến phân phối nhị thứcChương 3 MỘT SỐ PHÂN PHỐI XÁC SUẤT THÔNG DỤNGI - Phân phối nhị thứcª Tiến hành n phép thử độc lập. ª X là số lần A xảy ra trong n phép thử, thì X là đ.l.n.n rời rạc có thể nhận các giá trị: 0, 1, 2. . . . , n X có phân phối nhị thức với các tham số : n, p.ª P(A) = p đối với mọi phép thử. Đại lượng ngẫu nhiên X có phân phối nhị thức với các tham số n và p được ký hiệu là: X  B(n, p).Thí dụ 1: Xác suất để một máy sản xuất được sản phẩm loại I là 0,8. Cho máy sản xuất 5 sản phẩm. Gọi X là số sản phẩm loại I có trong 5 sản phẩm do máy sản xuất thì X  B(5; 0,8).Thí dụ 2: Xác suất để một xạ thủ bắn trúng bia trong mỗi lần bắn như nhau và đều bằng 0,9. Xạ thủ này bắn 10 viên. Gọi X là số viên trúng bia của xạ thủ này thì X  B(10; 0,9).Thí dụ 3: Có 3 cầu thủ ném bóng vào rổ (mỗi người ném một quả). Xác suất ném trúng rổ của cầu thủ thứ nhất, thứ hai, thứ ba tương ứng là: 0,9; 0,8; 0,6. Gọi X là số lần ném trúng rổ của 3 cầu thủ này. X có phân phối nhị thức hay không?Khái niệm các phép thử độc lập1 và 2 là hai phép thử độc lập nếu như xác suất xảy ra một biến cố nào đó của phép thử 1 không phụ thuộc vào kết quả của phép thử 2 và ngược lại. (3.1)b- Công thức tính xác suấtNếu X  B(n, p)Thí dụ: X  B(5; 0,8)P(x  X  x+h) = P(X = x) + P(X = x+ 1) + . . . . + P(X = x+h) (3.2) Nếu X  B(n, p), thì:Trong đó: P(X = x), P(X = x+1),. . . , P(X = x+h)được tính theo công thức (3.1) Thí dụ: X  B(5; 0,8) P(1  X  3) = P(X = 1) + P(X = 2) + P(X = 3) = 0,0064 + 0,0512 + 0,2048 = 0,2624c- Các tham số đặc trưng: Kỳ vọng toán: Nếu X  B(n , p) thì:   E(X) = npPhương sai: Nếu X  B(n , p) thì:   Var(X) = npqGiá trị tin chắc nhất: Nếu X  B(n , p) thì: np + p - 1  Mod(X)  np + pa- Bài toán tổng quát dẫn đến phân phối Poisson II- Phân phối PoissonX  B(n, p) nhưng n lớn, p nhỏ (p 0 ( x) Khi x   thì f(x)  . Hàm số đạt cực đại tại điểm x =  1 2 e ­ (x - ) 2 2 2 f() = Đồ thị của hàm f(x) có dạng như hình chuông, đối xứng qua đường thẳng x =  b- Các tham số đặc trưng - Kỳ vọng toán: Nếu đại lượng ngẫu nhiên X có phân phối chuẩn với hàm mật độ như trên thì : E(X) =  - Phương sai: Nếu X là đại lượng ngẫu nhiên phân phối chuẩn với hàm mật độ như trên thì : Var(X) = 2Đại lượng ngẫu nhiên X có phân phối chuẩn với kỳ vọng toán là  và phương sai là 2 được ký hiệu là: X  N(  2).Phân phối chuẩn do nhà toán học Đức Karl Gauss tìm ra nên còn gọi là phân phối Gauss.c- Phân phối chuẩn chính tắcGiả sử đại lượng ngẫu nhiên X có phân phối chuẩn với kỳ vọng toán là  và phương sai là 2. Xét đại lượng ngẫu nhiên: Z = Đại lượng ngẫu nhiên Z nhận giá trị trong khoảng ( ) được gọi là có phân phối chuẩn chính tắc nếu hàm mật độ xác suất của Z có dạng:f(z) = 1 2 e ­ z 2 2 Đồ thị của hàm f(z) cũng có dạng hình chuông, đối xứng qua trục tung. (hình vẽ)Có thể chứng minh được rằng: Nếu đại lượng ngẫu nhiên Z có phân phối chuẩn chính tắc thì:  E(Z) = 0 và Var(Z) = 1ĐLNN Z có phân phối chuẩn chính tắc được ký hiệu là: Z  N(0, 1)d- Công thức tính xác suất:ª Nếu X  N(, 2) thì : P(a  X  b) =    x =(Hàm Laplace)  f(z)dz0xb - a - Trong đó: Đồ thị hàm Laplace Giá trị hàm Laplace 0 x z f(z) (x) Các giá trị của hàm (x) được tính sẵn ở phụ lục 2. (Lý thuyết xác suất và thống kê toán). Chú ý:(x) là hàm lẻ, do đó: (x) =  (x) Trong bảng chỉ tính (x) với x  4, với x > 4 thì hàm (x) tăng rất chậm và nhận giá trị rất gần 0,5. Do vậy ta lấy (x) = 0,5 (x > 4).(1,96) = 0,475; (2,33) = 0,4901ª Nếu X  N( 2) thì : P( ) = 2Thí dụ: Chiều cao của sinh viên ở một trường Đại học là đại lượng ngẫu nhiên phân phối theo qui luật chuẩn với chiều cao trung bình  = 160 cm và độ lệch tiêu chuẩn  = 5 cm. Tính tỷ lệ sinh viên có chiều cao trong khoảng từ 150 cm đến 170 cm.Giải: Gọi X là chiều cao của sinh viên trường này. Theo giả thiết thì: X  N(160; 52) Tỷ lệ sinh viên có chiều cao từ 155 đến 165 cm chính là: P(155  X  165)Tức tỷ lệ s/v có chiều cao từ 155 cm đến 165 cm là 68,26%.Minh họa hình học: 68,26% X ~ B(n, p) nhưng n lớn, p không quá gần 0 và không quá gần 1 thì có thể coi X ~ N(np, npq).e- Sự hội tụ của phân phối nhị thức về phân phối chuẩnCác công thức xấp xỉ: P(X = x) = pxqn-x  f(z) (công thức địa phương Laplace)Trong đó: z = ; f(z) = Khi n lớn, xác suất p không quá gần 0 và không quá gần 1 thì ta có thể dùng công thức xấp xỉ:P(x  X  x+h)  (x2)  (x1)(Công thức tích phân Laplace) (x) = (Hàm Laplace) x1 = ; x2 = Thí dụ: Xác suất để một máy sản xuất được sản phẩm loại A là 0,8. Tìm xác suất để trong 400 sản phẩm do máy sản xuất có:   a) 336 sản phẩm loại A b) Số sản phẩm loại A trong khoảng (304; 328)Gọi X là số sản phẩm loại A có trong 400 sản phẩm do máy sản xuất. X  B(400, 0,8). Vì n = 400 khá lớn, p = 0,8 không quá gần 0 và không quá gần 1, nên có thể áp dụng công thức địa phương Laplace.Giải: a)b) Ta cần tính P(304 ≤ X ≤ 328)Áp dụng công thức tích phân Laplace, ta có: P(304 ≤ X ≤ 328)  (x2) - (x1)Trong đó: P(304  X  328)  (1) - (-2) = (1) + (2) = 0,3413 + 0,4772 = 0,8185 TỔNG KẾT CHƯƠNG 3 pp nhịthức pp Poisson pp siêu bội pp chuẩn Bài toán tổng quát ĐN, đồ thị Công thức tính xác suất Các tham số đặc trưng Bài tập chương 3 3.9; 3.22; 3.23; 3.24; 3.25; 3.26; 3.29; 3.30; 3.31; 3.32; 3.38; 3.40. Hết chương 3