Bài giảng môn học Toán cao cấp

)dx   hội tụ mà 1 f (x) dx   phân kỳ thì ta nói 1 f (x)dx   bán hội tụ. 4. Một số ứng dụng trong kinh tế 4.1. Cho hai đại lượng kinh tế x, y và hàm cận biên Mf (x) với điều kiện đầu 0 0y f (x ) . Tìm hàm y f (x) như sau y f (x) Mf (x)dx   4.2. Cho hàm cung sQ S(P) và hàm cầu DQ D(P) . Tính thặng dư người tiêu dùng và thặng dư nhà sản xuất như sau Thặng dư của người tiêu dùng (Consumers’ Surplus) 72 0Q 1 0 0 0 CS D (Q)dQ P Q  Thặng dư của nhà sản xuất (Producers’ Surplus) 0Q 1 0 0 0 PS P Q S (Q)dQ   Trong đó  0 0P , Q là điểm cân bằng của thị trường. B. Một số ví dụ Ví dụ 1. Tính đạo hàm của hàm số sau  2F(x) ln x x k   1) Tính đạo hàm của hàm số trên 2) Suy ra 2 1 dx x k  Giải 1) Tính đạo hàm của hàm số trên Ta có 2 / 2 2 x 1 1x kF (x) f (x) x x k x k        2) 2 2 1 dx ln x x k C x k       Ví dụ 2. Tính các tích phân bất định sau 1) I x ln xdx  2) xI xe dx  3) I x sin xdx  4) I x arctan xdx  Giải 1) Đặt 2 1 1 u ln x du dx; dv xdx v x x 2       Vậy 2 2 2 1 1 1 1 I x ln x xdx x ln x x C 2 2 2 4      73 2) Đặt x xu x du dx; dv e dx v e      Vậy x x x xI xe e dx xe e C     3) Đặt u x du dx; dv sin xdx v cos x       Vậy I x cos x cos xdx x cos x sin x C       4) Đặt 2 2 1 1 u arctan x du dx; dv xdx v x 1 x 2        Vậy 2 2 2 2 2 2 1 1 x 1 1 1 I x arctan x dx x arctan x 1 dx 2 2 1 x 2 2 1 x 1 1 1 x arctan x x arctan x C 2 2 2                  Ví dụ 3. Dùng định nghĩa tính các tích phân xác định sau: 1 0 1) xdx 1 2 0 2) x dx 1 3 0 3) x dx Giải 1 n n n i 10 2n n 1 i 1 1 2 n 1) xdx lim lim n n n n n(n 1) 1 1 1 lim lim 1 2n 2 n 2                            21 2 2 2n 2 2n n i 10 1 i 1 1 2 n 2) x dx lim lim n n n n                  3n n n(n 1)(2n 1) 1 1 1 1 lim lim 1 2 6n 6 n n 3                 31 3 3 3n 3 3n n i 10 1 i 1 1 2 n 3) x dx lim lim n n n n                  2 2 2n n n(n 1) 1 1 1 lim lim 1 2n 4 n 4                     Ví dụ 4. Tính các tích phân xác định sau 1) 5 2 0 dx x 4 74 2) 1 2 0 x dx 1 x Giải 1)     5 5 2 2 0 0 dx 5 3 ln x x 4 ln 5 3 ln 2 ln 2x 4          2) 1 1 2 2 0 0 x dx 1 x 2 1 1 x      Ví dụ 5. Tính các tích phân xác định sau 1) e 1 I ln xdx  2) 2 2 2 1 J dx x 4x 20     Giải 1) e 1 I ln xdx  Đặt 1 u ln x du dx; dv dx v x x         e ee 1 1 1 I x ln x xdx x ln x x 1     2) 22 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 x 2 J dx dx arctan x 4x 20 (x 2) 4 4 4 16                    Ví dụ 6. Tính các tích phân suy rộng sau 1) 2 1 1 I dx x 2x 2     2) 2 2 1 J dx x 4x 5      3) 2 0 2x 2 K dx x 2x 5      Giải 75 1) 2 1 1 I dx x 2x 2     Ta có   t t 2 1t t 1 1 I lim dx lim arctan(x 1) (x 1) 1       t lim arctan(t 1) 2     2) 2 2 1 J dx x 4x 5      Ta có   2 2 2 tt t t 1 J lim dx lim arctan(x 2) (x 2) 1          t lim arctan(t 2) 2      3) 2 0 2x 2 K dx x 2x 5      Ta có   t t2 2 0t t 0 2x 2 K lim dx lim ln x 2x 5 x 2x 5         2 t lim ln t 2t 5 ln(5)           Ví dụ 7. Khảo sát sự hội tụ của các tích phân suy rộng sau 3 1 x 1) dx x 1   2 1 x x 2) dx x 1   2 0 1 3) dx (x 1) x 1     1 x 0 1 4) dx e 1  1 sin x 0 x 5) dx e 1 Giải 3 1 x 1) dx x 1   Ta có 3 2 x 1 x 1 x   76 mà 2 1 1 dx x   là tích phân hội tụ (vì 2 1   ) nên 3 1 x dx x 1   là tích phân hội tụ. 2 1 x x 2) dx x 1   Đặt 2 x x f (x) x 1   chọn 1/2 1 g(x) x  Ta có 2 2x x f (x) x lim lim 1 (0, ) g(x) x 1       mà 1/2 1 1 dx x   là tích phân kỳ 1 / 2 1   nên 2 1 x x dx x 1   là tích phân phân kỳ. 1 2 2 2 0 0 1 1 1 1 3) dx dx dx (x 1) x 1 (x 1) x 1 (x 1) x 1              Đặt: 1 1 2 0 1 I dx (x 1) x 1     là tích phân xác định nên nó hội tụ Xét tích phân: 2 2 1 1 I dx (x 1) x 1      Ta có 22 1 1 x(x 1) x 1    mà 2 1 1 dx x   là tích phân hội tụ (vì 2 1   ) nên 2 2 1 1 I dx (x 1) x 1      là tích phân hội tụ. Vậy 1 22 0 1 dx I I (x 1) x 1       là tích phân hội tụ. 1 x 0 1 4) dx e 1  Đặt x 1 f (x) e 1   chọn 1/2 1 g(x) x  Ta có xx 0 x 0 f (x) x lim lim 1 (0, ) g(x) e 1        77 mà 1 1/2 0 1 dx x là tích phân hội tụ (vì 1 / 2 1   ) nên 1 x 0 1 dx e 1  là tích phân hội tụ. 1 sin x 0 x 5) dx e 1 Đặt sin x x f (x) e 1   chọn 1/2 1 g(x) x  Ta có sin xx 0 x 0 f (x) x lim lim 1 (0, ) g(x) e 1        mà 1 1/2 0 1 dx x là tích phân hội tụ (vì 1 / 2 1   ) nên 1 sin x 0 x dx e 1 là tích phân hội tụ. Ví dụ 8. Cho hàm sản phẩm biên của lao động 0,5MPL 40 L  . Tìm hàm sản xuất ngắn hạn Q f (L) , biết Q(100) 4000 . Giải Ta có 0,5 1,5 80 Q( dLL) MPLdL 40 L L c 3      Từ 68000 Q(100) 4000 c 3     Vậy 1,5 80 68000 Q(L) L . 3 3   Ví dụ 9. Cho hàm chi phí cận biên ở mỗi mức sản lượng Q là : 0,2QMC(Q) 8 e  và chi phí cố định FC 50 . Tìm hàm tổng chi phí. Giải Ta có 0, 0,2Q2QT e dQC(Q) MC(Q)dQ 8 40e c     Từ chi phí cố định : FC 50 c 10   Vậy 0,2QTC(Q) 40e 10.  Ví dụ 10. Cho hàm cung và hàm cầu đối với một loại sản phẩm như sau: S DQ P 1; Q 113 P    Tính thặng dư của nhà sản xuất và thặng dư của người tiêu dùng. 78 Giải Tìm điểm cân bằng của thị trường ta giải phương trình sau D S 2 Q Q 113 P P 57 P 57 P 113P 3136 0 P 64 Q 7                Ta có điểm cân bằng thị trường là 0 0P 64, Q 7  Thặng dư của người tiêu dùng 0Q 7 1 2 0 0 0 0 686 CS D (Q)dQ P Q (113 Q )dQ 448 3        Thặng dư của nhà sản xuất 0Q 7 1 2 0 0 0 0 833 PS P Q S (Q)dQ 448 (Q 1) dQ 3        Chương 6 PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM NHIỀU BIẾN A. Tóm tắt lý thuyết 1. Các định nghĩa 1.1. Không gian n   n 1 2 n 1 2 nx , x ,..., x / x , x ,..., x   nX , X có dạng  1 2 nX x ,x ,..., x 1.2. Các phép toán trên n Cho     n1 2 n 1 2 nX x ,x ,..., x , Y y , y ,..., y ,k         1 1 2 2 n n 1 2 n X Y x y , x y ,..., x y kX kx ,kx ,..., kx       1.3. Định nghĩa hàm nhiều biến     n 1 2 n 1 2 n f : D x ,x ,..., x f x , x ,..., x     được gọi là hàm số thực theo n biến thực hay vắn tắt là hàm nhiều biến 79 D: là tập xác định của hàm f T=T(D): là miền giá trị của hàm f. 1.4. Khoảng cách giữa hai điểm trong không gian n Cho hai điểm    n n1 2 n 1 2 nX x ,x ,..., x ; Y y , y ,..., y         n 2 i i i 1 d X,Y X Y x y      2. Giới hạn và liên tục của hàm nhiều biến. 2.1. Giới hạn của hàm nhiều biến Định nghĩa: Cho nf : D    . Ta nói f(X) tiến về L  f (X) L khi X tiến về A  X A , ký hiệu X A lim f (X) L   Khi đó các giá trị X D đủ gần A, các giá trị f(X) tương ứng đủ gần L tùy ý. 2.2. Liên tục của hàm nhiều biến Định nghĩa: Cho nf : D    và A D . Nếu giới hạn của hàm f tại điểm A tồn tại và bằng giá trị của hàm số tại điểm đó, nghĩa là X A lim f (X) f (A)   . Ta nói hàm f liên tục tại điểm A. 3. Đạo hàm riêng cấp 1 Cho hàm số     n 1 2 n 1 2 n f : D x ,x ,..., x f x , x ,..., x     Đạo hàm riêng cấp 1 của hàm f theo biến ix , ký hiệu:   i f x            1 i n 1 i n 1 2 n h 0i f x ,...,x h,...,x f x ,...,x ,...,xf x ,x ,...,x lim x h (nếu giới hạn này tồn tại) Xét hàm hai biến như sau:     2f : D x, y f x, y     Đạo hàm riêng cấp 1 của hàm f theo biên x            h 0 f x h,y f x,yf x,y lim x h 80 Đạo hàm riêng cấp 1 của hàm f theo biên y            k 0 f x,y k f x,yf x,y lim y k Đạo hàm của hàm hợp Cho hàm số  u f x, y Với          x x t,s u f x t,s , y t,s y y t,s       Đạo hàm riêng của u theo t, s u u x u y u u x u y ; t x t y t s x s y s                         4. Vi phân toàn phần cấp 1 Cho hàm số f (x, y) liên tục tại 0 0(x , y ) Ta gọi        0 0 0 0 0 0 f f df(x ,y ) (x ,y ) x (x ,y ) y x y là vi phân toàn phần của hàm f (x, y) tại điểm 0 0(x , y ) Tổng quát:       f f df(x,y) (x,y)dx (x,y)dy x y Công thức gần đúng 0 0 0 0 0 0f (x x, y y) f (x , y ) df (x , y )      5. Đạo hàm riêng cấp 2 Xét hàm số     2f : D x, y f x, y     Đạo hàm riêng cấp 2 của hàm f theo x              2 2 f f x,y (x,y) x xx Đạo hàm riêng cấp 2 của hàm f theo y              2 2 f f x,y (x,y) y yy Đạo hàm riêng cấp 2 hỗn hợp của hàm f theo x, y 81                              2 2f f f f x,y (x,y) ; x,y (x,y) x y x y y x y x Nếu các đạo hàm riêng hỗn hợp cấp hai là các hàm số liên tục tại điểm (x, y) . 2 2f f x y y x         (x,y) (x,y), (x,y) 6. Vi phân toàn phần cấp 2 Cho hàm số     2f : D x, y f x, y     Vi phân toàn phần cấp 2          2 2 2 2 2 2 2 2 f f f d f(x,y) (x,y)dx 2 (x,y)dxdy (x,y)dy x yx y 7. Cực trị hàm nhiều biến 7.1 Định nghĩa Cho hàm n biến nf : D    và  0 0 00 1 2 nX x , x ,..., x D  i) Hàm f đạt cực đại tại điểm 0X , nếu    0f X f X ; X D   ii) Hàm f đạt cực tiểu tại điểm 0X , nếu    0f X f X ; X D   7.2. Điều kiện cần của cực trị Cho hàm số nf : D    . Hàm số đạt cực trị tại điểm  0 0 00 1 2 nX x , x ,..., x  0 0 01 2 n i f x ,x ,..., x 0, i 1,2,...,n (*) x       Nếu điểm 0X thỏa (*) thì 0X là điểm dừng của hàm số. 82 Ma trân Hessian của hàm f tại điểm dừng 0X 2 2 2 2 1 1 2 1 n 2 2 2 2 1 2 2 2 2 2 n 1 n 2 n f f f ... x x x x x f f ... ... H x x x ... ... ... ... f f f ... x x x x x                                      7.3. Điều kiện đủ của cực trị Gọi kH , k 1,n là ma trận con cấp k của H 2 1 2 1 f H x        ; 2 2 2 1 1 2 2 2 2 2 2 1 2 f f x x x H f f x x x                   2 2 2 2 1 1 2 1 3 2 2 2 3 2 2 1 2 2 3 2 2 2 2 3 1 3 2 3 f f f x x x x x f f f H x x x x x f f f x x x x x                                      nH H Đặt 1 1 2 1 2 n n 1 na H ,a H H ,...,a H H   i) Nếu ja 0, j  thì 0X là cực tiểu của hàm số. ii) Nếu ja 0, j  thì 0X là cực đại của hàm số. iii) Nếu tồn tại i, j sao ch i ja ,a trái dấu nhau thi 0X không là cực trị của hàm số. iv) Trường hợp ii, H 0  chưa kết luận. Xét trường hợp n 2 . Đặt 2 2 2 2 0 0 0 0 0 02 2 A Bf f f A (x , y ), C (x , y ), B (x , y ), AC B B Cx y x y               i) Nếu 0, A 0 (hay C 0)    thì hàm số đạt cực tiểu tại điểm  0 0x , y . ii) Nếu 0, A 0 (hay C 0)    thì hàm số đạt cực đại tại điểm  0 0x , y . 83 iii) Nếu 0  thì hàm số không đạt cực trị tại điểm  0 0x , y . Khi đó  0 0x , y là điểm yên ngựa. iv) Nếu 0  chưa có kết luận cần khảo sát thêm. 7.4. Cực trị có ràng buộc. Cho hàm số f (x, y) với ràng buộc g(x, y) 0 Phương pháp nhân tử Lagrange L(x, y, ) f (x, y) g(x, y)    Bước 1 : Tìm điểm dừng của hàm Lagrange Bước 2 : Tính vi phân toàn phần cấp hai của hàm Lagrange tại điểm dừng.   2 2 2 2 2 2 0 0 0 2 2 L L L d L x , y , dx 2 dxdy dy x x y y            Với dx,dy thỏa g g (x, y)dx (x, y)dy 0 x y       i) Nếu  2 0 0 0d L x , y , 0  thì  0 0x , y là cực tiểu của hàm f (x, y) . ii) Nếu  2 0 0 0d L x , y , 0  thì  0 0x , y là cực đại của hàm f (x, y) . iii) Nếu  2 0 0 0d L x , y , thay đổi dấu thì  0 0x , y không là cực trị của hàm f (x, y) . 7.5. Giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất hàm hai biến trên miền đóng, bị chặn Tập đóng (closed set) trong 2 là tập có chứa tất cả các điểm biên của nó Chẳng hạn, đĩa tròn đơn vị   2 2D x, y / x y 1   là một tập đóng. Tập bị chặn (bounded set) trong 2 là tập được chứa trong một đĩa nào đó Định lý Nếu f liên tục trên một tập đóng và bị chặn 2D   thì f đạt được một giá trị nhỏ nhất  1 1f x , y và một giá trị lớn nhất  2 2f x , y tại các điểm    1 1 2 2x , y , x , y trong D. Phương pháp tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm hai biến trên một tập đóng và bị chặn D: 1. Tìm các giá trị của f tại các điểm dừng của f trong D. 2. Tìm các giá trị cực trị của f trên biên D. 3. Giá trị lớn nhất/nhỏ nhất của hai bước trên là giá trị lớn nhất/ nhỏ nhất của f trên D. 84 8. Ứng dụng đạo hàm riêng trong kinh tế 8.1. Hàm cận biên riêng Hàm cận biên riêng của đại lượng 1 2 ny f (x , x ,..., x ) theo đại lượng ix tại điểm  0 0 01 2 nx , x ,..., x , ký hiệu là ix 1 2 nM f (x , x ,..., x ) , là độ biến đổi của đại lượng y khi đại lượng ix tăng lên 1 đơn vị tại  0 0 01 2 nx , x ,..., x trong điều kiện các yếu tố khác không đổi. Biểu thức toán học của hàm cận biên riêng    i 0 0 0 0 0 0x 1 2 n 1 2 n i f M f x , x ,..., x x ,x ,..., x x    . Tổng quát ta có, hàm cận biên riêng của đại lượng 1 2 ny f (x , x ,..., x ) theo đại lượng ix , là   ix 1 2 n i f M y x , x ,..., x x    . Chú ý : Trong thực tế, lượng cận biên riêng  0 0 01 2, ,...,ix nM f x x x của 1 2( , ,..., )ny f x x x theo ix tại  0 0 01 2, ,..., nx x x xấp xỉ bằng độ biến đổi của y khi ix tăng 1 một đơn vị từ trạng thái  0 0 01 2, ,..., nx x x . 8.2. Hệ số co giãn riêng Hệ số co giãn riêng của đại lượng 1 2 ny f (x , x ,..., x ) theo đại lượng ix tại  0 0 01 2 nx , x ,..., x , ký hiệu iy xE , là (%) độ biến đổi của y khi ix tăng lên một đơn vị (1%). Biểu thức của hệ số co giãn riêng i i y x i f x E (%) x y     . 8.3. Một số bài toán trong kinh tế 8.3.1. Bài toán lập kế hoạch sản xuất trong điều kiện cạnh tranh hoàn hảo. 85 Bài toán : Một xí nghiệp sản xuất hai loại sản phẩm. Đơn giá hai loại sản phẩm trên thị trường là 1 2P ,P và hàm tổng chi phí là : 1 2TC TC(Q ,Q ) ( 1Q , 2Q là các sản lượng). Hãy định các mức sản lượng 1Q và 2Q để doanh nghiệp đạt lợi nhuận tối đa. Giải quyết bài toán : Điều kiện về mức sản lượng 1Q , 2Q là 1 2Q ,Q 0 . Khi đó , ta có Doanh thu là : 1 2 1 1 2 2TR(Q ,Q ) P Q P Q  . Lợi nhuận là : 1 2 1 1 2 2 1 2(Q ,Q ) TR TC P Q P Q TC(Q ,Q )      . Để đạt lợi nhuận cao nhất, cần xác định các mức sản lượng 1Q , 2Q sao cho tại đó 1 2(Q ,Q ) đạt cực đại. 8.3.2. Bài toán lập kế hoạch sản xuất trong điều kiện sản xuất độc quyền. Bài toán : Một xí nghiệp sản xuất độc quyền hai loại sản phẩm. Biết hàm cầu của hai loại sản phẩm trên lần lượt là 1D 1 1 2 Q D (P ,P ) và 2D 2 1 2 Q D (P ,P ) ( 1 2P ,P đơn giá) và hàm tổng chi phí là : 1 2TC TC(Q ,Q ) ( 1Q , 2Q là các sản lượng). Hãy định các mức sản lượng 1Q và 2Q để doanh nghiệp đạt lợi nhuận tối đa. Giải quyết bài toán : Điều kiện về mức sản lượng 1Q , 2Q là 1 2Q ,Q 0 . Do sản xuất độc quyền với các mức sản lượng trên, để tiêu thụ hết sản phẩm xí nghiệp sẽ bán với các đơn giá 1 2P ,P sao cho : 1 2 D 1 1 1 2 1 D 2 2 1 2 2 Q Q D (P ,P ) Q Q Q D (P ,P ) Q       giải hệ trên ta được 1 1 1 2 2 2 1 2 P P (Q ,Q ) P P (Q ,Q )    . Khi đó, ta có Doanh thu là : 1 2 1 1 2 1 2 1 2 2TR(Q ,Q ) P (Q ,Q ) Q P (Q ,Q ) Q    . Lợi nhuận là : 1 2 1 1 2 1 2 1 2 2 1 2(Q ,Q ) TR TC P (Q ,Q ) Q P (Q ,Q ) Q TC(Q ,Q )        Để đạt lợi nhuận cao nhất, cần xác định các mức sản lượng 1Q , 2Q sao cho tại đó 1 2(Q ,Q ) đạt cực đại. 8.3.3. Bài toán người tiêu dùng 86 Bài toán : Một người dành một số tiền M để mua hai loại sản phẩm có đơn giá lần lượt là 1P và 2P . Hàm tổng hữu dụng ứng với hai loại sản phẩm trên là 1 2TU TU(x , x ) ( 1 2x ,x lần lượt là số lượng các sản phẩm). Hãy xác định số lượng các loại sản phẩm trên sao cho hàm hữu dụng đạt giá trị cao nhất. Giải quyết bài toán : Gọi 1 2x ,x lần lượt là số lượng sản phẩm. Với điều kiện 1 2x , x 0 . Khi đó 1 1 2 2x P x P M  , do đó để hàm hữu dụng đạt giá trị lớn nhất, ta cần tìm cực đại của hàm tổng hữu dụng 1 2TU TU(x , x ) với điều kiện 1 1 2 2x P x P M  . B. Một số ví dụ Ví dụ 1. Tính giới hạn 1)  2 2 (x,y) (1,2) lim 2x y   2) 2 2(x,y) (1,0) 2x lim 2 3x y        3) 2 2(x,y) (0,0) xy lim x y        Giải 1)  2 2 (x,y) (1,2) lim 2x y 6    2) 2 2(x,y) (1,0) 2x 2 lim 2 3x y 5        3) 2 2(x,y) (0,0) xy lim x y        Ta có 2 2 2 2xy x y x y x y    Suy ra 2 2 2 2 xy 0 x y x y     mà 2 2 (x,y) (0,0) lim x y 0    , theo tiêu chuẩn kẹp, ta có 2 2(x,y) (0,0) xy lim 0 x y         Ví dụ 2. Xét tính liên tục của hàm số sau tại điểm (0,0). 87        2 2 xy , khi (x,y) (0,0) f(x,y) x y 0 , khi (x,y) = (0,0) Giải Ta có 2 2 2 2x x y , y x y    Vậy 2 2 2 2 xy x y x y    mà 2 2 (x,y) (0,0) lim x y 0    Theo tiêu chuẩn kẹp, ta có 2 2(x,y) (0,0) xy lim 0 f (0,0) x y    Vậy hàm số liên tục tại điểm (0,0). Ví dụ 3. Tính đạo hàm riêng cấp 1 của hàm số sau       2 3 21) f(x,y) 3x y 3xy xy x y 1        x y 2) f(x,y) arctan x y  y x3) f(x,y) x y Giải       2 3 21) f(x,y) 3x y 3xy xy x y 1 Ta có:              2 2f f(x,y) 6x 3y y 1; (x,y) 3y 6xy x 1 x y        x y 2) f(x,y) arctan x y Ta có:        2 2 2 2 f y f y (x,y) ; (x,y) x yx y x y  y x3) f(x,y) x y Ta có:           y 1 x y x 1f f(x,y) yx y ln y; (x,y) x ln x xy x y 88 Ví dụ 4. Tính đạo hàm riêng theo t, s 3 yu x e , x sin(t s), y cos(t 2s)      Giải Ta có 2 y 2 cos(t 2s) u u x u y 3x cos(t s) e sin(t 2s) t x t y t 3sin (t s)cos(t s) e sin(t 2s)                      2 y 2 cos(t 2s) u u x u y 3x cos(t s) 2e sin(t 2s) s x s y s 3sin (t s)cos(t s) 2e sin(t 2s)                      Ví dụ 5. Cho hàm số sau: yf (x, y) x 1) Tính vi phân toàn phân của hàm f tại điểm (1,3). 2) Tính gần đúng   2,97 A 1,02 . Giải 1) Ta có        y 1 yf f(x,y) yx ; (x,y) x ln x x y Vi phân toàn phân y 1 y f f df (x, y) (x, y)dx (x, y)dy yx dx x ln xdy x y        Vậy df (1,3) 3dx 2) 0 0 0 0 0 0f (x x, y y) f (x , y ) df (x , y )        2,97 3A 1,02 1 3 0.02 1.06     Ví dụ 6. Tính đạo hàm riêng cấp 2 3 3f (x, y) x y 6xy 10    1) Tính đạo hàm riêng cấp 1 và cấp 2 của hàm số trên. 2) Tính vi phần toàn phần cấp 2 của hàm số trên. Giải 1) Đạo hàm riêng cấp 1         2 2f f(x,y) 3x 6y; (x,y) 3y 6x x y 89 Đạo hàm riêng cấp 2              2 2 f f x,y (x,y) 6x x xx ;              2 2 f f x,y (x,y) 6y y yy                                  2 2f f f f x,y (x,y) 6; x,y (x,y) 6 x y x y y x y x 2) Vi phân toàn phần cấp 2 Ta có 2 2 2d f (x, y) 6xdx 12dxdy 6ydy   Ví dụ 7. Khảo sát cực trị của hàm số 3 3f (x, y) x y 3xy   Giải Ta có    2 2 f f x, y 3x 3y; x, y 3y 3x x y         Giải hệ     2 2 f x, y 3x 3y x f x, y 3y 3x y        Ta có hai điểm dừng    1 2M 1,1 , M 0,0 Ta có       2 2 2 2 2 f f f x, y 6x; x, y 6y; x, y 3 x y x y            Xét tại  1M 1,1 , ta có A 6,B 3,C 6, 36 9 0        Hàm số đạt cực tiểu tại  1M 1,1 với minf f (1,1) 1   . Xét tại  2M 0,0 , ta có A 0,B 3,C 0, 9 0        . Hàm số không đạt cực trị tại  2M 0,0 . Điểm  2M 0,0 là điểm yên ngựa. Ví dụ 8. Khảo sát cực trị của hàm số sau 2 2f (x, y) x y  với điều kiện 3x 4y 12  Giải Đặt g(x, y) 3x 4y 12   2 2L(x, y, ) f (x, y) g(x, y) x y (3x 4y 12)          Đạo hàm riêng cấp 1 90 L (x, y, ) 2x 3 x L (x, y, ) 2y 4 y L (x, y, ) 3x 4y 12                   Giải hệ L 36 (x, y, ) 2x 3 0 x x 25 L 48 (x, y, ) 2y 4 0 y y 25 24L (x, y, ) 3x 4y 12 0 25                                  Hàm Lagrange có điểm dừng 36 48 24 , , 25 25 25       Đạo hàm cấp 2       2 2 2 2 2 L L L x, y, 2; x, y, 2; x, y, 0 x y x y              Vi phân toàn phần cấp 2 của hàm L tại 36 48 24 , , 25 25 25       . 2 2 236 48 24d L , , 2dx 2dy 0 25 25 25          Vậy hàm số f (x, y) đạt cực tiểu tại 36 48 , 25 25       với min 144 f 25  Ví dụ 9. Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số   2f x, y x 2xy 2y   trên hình chữ nhật   D x, y / 0 x 3,0 y 2     . Giải Trước tiên ta tìm các điểm dừng của hàm số, ta có: f f (x, y) 2x 2y (x, y) 2x 2 x y          Cho các đạo hàm riêng bằng không ta tìm được điểm dừng là  1,1 và  1,1 1f  . 91 Biên của D gồm bốn đoạn thẳng 1 2 3 4L ,L ,L , và L Trên 1L , ta có y 0 và   2f x,0 x , 0 x 3   : đây là hàm tăng nên giá trị nhỏ nhất là  f 0,0 0 và giá trị lớn nhất là  f 3,0 9 . Trên 2L , ta có x 3 và  f 3, y 9 4y, 0 y 2    : giá trị lớn nhất đại là  f 3,0 9 và giá trị nhỏ nhất là  f 3,2 1 Trên 3L , ta có y 2 và   2f x,2 x 4x 4, 0 x 3     : giá trị nhỏ nhất là  f 2,2 0 và giá trị lớn nhất là  f 0,2 4 . Và cuối cùng trên 4L ta có x 0 và  f 0, y 2y, 0 y 2   : giá trị lớn nhất là  f 0,2 4 và giá trị nhỏ nhất là  f 0,0 0 . Vậy giá trị lớn nhất của f trên D là  maxf f 3,0 9  , và giá trị nhỏ nhất của f trên D là    minf f 0,0 f 2,2 0   . Ví dụ 10. Cho hàm cầu 0,2 0,3D 0, P4Y  , trong đó D là lượng cầu,Y là thu nhập, P là giá bán. Hãy tính hệ số co giãn của D theo Y và của D theo P và nêu ý nghĩa. Giải Hệ số co giãn của D theo Y : D Y D Y E 0,2 Y D      Ý nghĩa: Trong trường hợp giá không đổi nếu thu nhập tăng 1% thì lượng cầu tăng 0,2% Hệ số co giãn của D theo P D P D P E 0,3 P D       Ý nghĩa: Trong trường hợp thu nhập không đổi nếu giá tăng 1% thì lượng cầu giảm 0,3% 92 Ví dụ 11. Cho hàm sản xuất 1/4 3/4Q 20K L . Hãy tìm sản lượng cận biên của Q theo K và của Q theo L tại K 16,L 81  . Giải thích ý nghĩa. Giải Sản lượng cận biên của Q theo K   Q 16,25 16,875 K    Ý nghĩa : Tại mức K 16, L 81  . Trong trường hợp lao đông không đổi nếu vốn tăng 1 đơn vị thì sản lượng tăng 16,875 đơn vị.   Q 16,25 10. L    Ý nghĩa: Tại mức K 16, L 81  . Trong trường hợp vốn không đổi nếu lao động tăng 1 đơn vị thì sản lượng tăng 10 đơn vị. Ví dụ 12. Một xí nghiệp sản xuất hai loại sản phẩm. Đơn giá hai loại sản phẩm trên thị trường là 1P 56 và 2P 40 . Hàm tổng chi phí là : 2 2 1 1 2 2TC 2Q 2Q Q Q   . Hãy định các mức sản lượng 1Q và 2Q để doanh nghiệp đạt lợi nhuận tối đa. Giải Điều kiện về mức sản lượng 1Q , 2Q là 1 2Q ,Q 0 . Khi đó , ta có Doanh thu là : 1 1 2 2 1 2TR P Q P Q 56Q 40Q    . Lợi nhuận là : 2 21 2 1 1 2 2TR TC 56Q 40Q 2Q 2Q Q Q        . Để đạt lợi nhuận cao nhất, ta cần xác định các mức sản lượng 1Q , 2Q sao cho tại đó 1 2(Q ,Q ) đạt cực đại. Trước hết ta tính các đạo hàm riêng cấp một và cấp hai của 1 2(Q ,Q ) , ta có 1 2 1 56 4Q 2Q Q      ; 1 2 2 40 2Q 2Q Q       1 2 1 1 1 A 56 4Q 2Q 4 Q Q Q                1 2 2 2 2 C 40 2Q 2Q 2 Q Q Q               93  1 2 1 2 1 B 40 2Q 2Q 2 Q Q Q               Để khảo sát cực trị ta tìm các điểm dừng, bằng cách giải hệ sau : 1 2 1 1 2 1 2 2 56 4Q 2Q 0 Q Q 8 Q 12 40 2Q 2Q 0 Q                vậy  có một điểm dừng là 1 2(Q ,Q ) (8,12) . Mặt khác, ta lại có 2A 4 0, AC B 4 0        , nên  đạt cực đại tại 1 2(Q ,Q ) (8,12) . Khi đó, chi phí : TC 464 , lợi nhuận : 464  . Kết luận : Để đạt lợi nhuận cao nhất, cần định mức sản lượng của hai loại sản phẩm lần lược là : 1Q 8 và 2Q 12 . Ví dụ 13. Một xí nghiệp sản xuất độc quyền hai loại sản phẩm. Biết hàm cầu của hai loại sản phẩm trên lần lượt là : 1 1 2 D 1230 5P P Q 14    và 2 1 2 D 1350 P 3P Q 14    . Với hàm tổng chi phí là : 2 21 1 2 2TC Q Q Q Q   . Hãy định các mức sản lượng 1Q và 2Q để doanh nghiệp đạt lợi nhuận tối đa. Giải Điều kiện về mức sản lượng 1Q , 2Q là 1 2Q , Q 0 . Do sản xuất độc quyền với các mức sản lượng trên, để tiêu thụ hết sản phẩm xí nghiệp sẽ bán với các đơn giá 1 2P , P sao cho: 1 2 1 2 1D 1 D 2 1 2 2 1230 5P P QQ Q 14 Q Q 1350 P 3P Q 14              1 2 1 1 2 2 5P P 14Q 1230 P 3P 14Q 1350          94 1 1 2 1 1 2 P 360 3Q Q P 570 Q 5Q         Khi đó, ta có Doanh thu là : 1 2 1 1 2 1 2 1 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 TR(Q ,Q ) P (Q ,Q ) Q P (Q ,Q ) Q 3Q 5Q 2Q Q 360Q 570Q           Lợi nhuận là : 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2(Q ,Q ) TR TC 4Q 6Q 3Q Q 360Q 570Q         Để đạt lợi nhuận cao nhất, cần xác định các mức sản lượng 1Q , 2Q sao cho tại đó 1 2(Q ,Q ) đạt cực đại. Trước hết ta tính các đạo hàm riêng cấp một và cấp hai của 1 2(Q ,Q ) , ta có 1 2 1 8Q 3Q 360 Q       ; 2 1 2 12Q 3Q 570 Q        1 2 1 1 1 A 8Q 3Q 360 8 Q Q Q                 2 1 2 2 2 C 12Q 3Q 570 12 Q Q Q                 2 1 1 2 1 B 12Q 3Q 570 3 Q Q Q                    Để khảo sát cực trị ta tìm các điểm dừng, bằng cách giải hệ sau : 1 2 1 1 2 2 1 2 8Q 3Q 360 0 Q Q 30 Q 40 12Q 3Q 570 0 Q                  vậy  có một điểm dừng là 1 2(Q ,Q ) (30,40) . Mặt khác, ta có 2A 8 0, AC B 87 0        , nên  đạt cực đại tại 1 2(Q ,Q ) (30,40) . Khi đó, chi phí : TC 3700 , lợi nhuận : 16800  . 95 Kết luận : Để đạt lợi nhuận cao nhất, cần định mức sản lượng của hai loại sản phẩm lần lược là : 1Q 30 và 2Q 40 . Ví dụ 14. Một người muốn dùng số tiền 4000000 đồng để mua hai mặt hàng có đơn giá 1P 400000 đồng và 2P 500000 đồng. Hàm tổng hữu dụng của hai mặt hàng trên là 1 2TU (x 5)(x 4)   ( 1 2x ,x lần lượt là số lượng của hai mặt hàng). Hãy xác định số lượng cần mua của hai loại mặt hàng trên để hàm tổng hữu dụng đạt giá trị cao nhất. Giải Với 1 2x ,x lần lượt là số lượng của hai mặt hàng, theo đề bài ta có điều kiện ràng buộc cho 1 2x ,x bởi 1 2400000x 500000x 4000000  1 24x 5x 40 (*)   . Ta cần tìm 1 2x , x 0 để hàm tổng hữu dụng 1 2TU (x 5)(x 4)   đạt cực đại với ràng buộc (* ) . 1 2TU (x 5)(x 4)   , với ràng buộc 1 2 1 2g(x , x ) 4x 5x 40   Hàm Lagrange: 1 2 1 2 1 2L(x , x , ) TU(x ,x ) g(x , x )    1 2 1 2 1 2L(x , x , ) (x 5)(x 4) (4x 5x 40)        Ta có đạo hàm riêng cấp 1 của L như sau: 1 2 2 1 1 2 1 2 1 2 1 2 L (x ,x , ) x 4 4 x L (x ,x , ) x 5 5 x L (x , x , ) 4x 5x 40                      Tìm điểm dừng của L bằng cách giải hệ phương trình sau 2 1 1 2 1 2 x 4 4 0 x 5 x 5 5 0 x 4 4x 5x 40 0 2                        Vậy L có một điểm dừng là 1 2(x ,x , ) (5,4, 2)   96 Tại 1 2(x ,x , ) (5,4, 2)   ta xét 2 2 2 2 2 2 1 1 2 2 1 22 2 1 21 2 L L L d L (dx ) 2 dx dx (dx ) 2dx dx (1) x xx x           Với 1 2dx , dx thoả mãn điều kiện sau : 1 2 1 2 1 2 g g dg dx dx 0 4dx 5dx 0 x x           1 2 5 dx dx 4    thay vào (1) ta được 2 2 2 2 2 5 5 d L 2 dx dx (dx ) 0 4 2           . Vậy TU đạt cực đại tại 1 2(x ,x ) (5,4) và TU(5,4) 80 . Kết luận: Để hàm tổng hữu dụng đạt giá trị cao nhất, thì người đó cần hai mặt hàng trên với số lượng lần lượt là 5 và 4. Khi đó giá trị hàm tổng hữu dụng là TU(5,4) 80 . Chương 7 PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN A. Tóm tắt lý thuyết 1. Các khái niệm cơ bản 1.1. Định nghĩa phương trình vi phân Phương trình vi phân cấp n có dạng sau:  / / / (n)F x, y, y , y ,..., y 0 Ví dụ /y 5x 0  Phương trình vi phân cấp 1    3x y dx x y dy 0    Phương trình vi phân cấp 1 // / xy 3y 2y (x 1)e    Phương trình vi phân cấp 2 97 1.2. Nghiệm của phương trình vi phân Nghiệm của phương trình vi phân là một hàm số trên khoảng I   Có 3 dạng sau: - Dạng hiện : y f (x) - Dạng ẩn : (x, y) 0  - Dạng tham số : x x(t) t y y(t)     Nghiệm của phương trình vi phân - Nghiệm tổng quát : y f (x,C) , nghiệm riêng 0y f (x,C ) - Tích phân tổng quát : (x, y,C) 0  - Nghiệm kỳ dị. 2. Phương trình vi phân cấp 1 Phương trình vi phân cấp 1 có dạng tổng quát: / /F(x, y, y ) 0 hay y f (x, y) (*)  Hàm số y (x)  xác định và khả vi trên khoảng I   được gọi là nghiệm của phương trình (*) trên I   , nếu            / (x, (x)) G, x I (x) f(x, (x)), x I với G là tập xác định của hàm f (x, y) Bài toán Cauchy: Tìm hàm số y (x)  là nghiệm của phương trình (*) thỏa điều kiện đầu 0 0y (x )  . 2.1. Phương trình tách biến Có 3 dạng sau: / 1 1 2 2 y f (x)g(y) f (x)dx g(y)dy 0 f (x)g (y)dx f (x)g (y)dy 0      98 Phương pháp giải Phân ly biến số x và dx về một vế và y và dy về một vế rồi lấy tích phân hai vế 2.2. Phương trình đẳng cấp Phương trình đẳng cấp có dạng: / y y f (1) x        Phương pháp giải Đặt / / y u y ux y u x u x       Thay vào (1), ta được:  /F x,u,u 0 (2) Giải (2) được u rồi suy ra y Nếu vế phải có dạng: 1 1 1 2 2 2 a x b y c f a x b y c         , Ta đặt x u y v      Trong đó 1 1 1 2 2 2 a b c 0 a b c 0          2.3. Phương trình vi phân tuyến tính cấp 1 Phương trình vi phân tuyến tính cấp 1 có dạng: /y a(x)y b(x)  . Trong đó a(x), b(x) là các hàm số liên tục. Phương pháp giải Bước 1: Tìm một nguyên hàm của a(x) u(x) a(x)dx  Bước 2: Chọn thừa số tích phân 99 u(x)v(x) e Bước 3: Nhân hai vế của phương trình cho thừa số tích phân: v(x) (v(x) 0, x)  thì ta có   / / v(x)y a(x)v(x)y v(x)b(x) v(x)y v(x)b(x) (*)     Bước 4: Lấy tích phân hai vế của (*), ta được 1 v(x)y v(x)b(x)dx y v(x)b(x)dx v(x)     2.4. Phương trình Bernoulli Phương trình Bernoulli có dạng: /y a(x)y b(x)y , ( 0, 1)      . Trong đó a(x), b(x) là các hàm liên tục. Phương pháp giải Bước 1: Chia hai vế của phương trình cho y ta được / 1y y a(x)y b(x)   Bước 2: Đặt 1 / /u y u (1 )y y     Phương trình trên tương đương / 1 1u a (x)u b (x)  3. Phương trình vi phân cấp 2 Phương trình vi phân cấp hai có dạng / / / / / /F(x, y, y , y ) 0 hay y f (x, y, y ) (*)  Nghiệm tổng quát của phương trình vi phân cấp 2 chứa hai tham số 1 2C ,C Bài toán Cauchy: Tìm hàm số y (x)  thỏa điều kiện đầu 100                / / / 0 0 0 1 (x) f x, (x), (x) x y , ' x y 3.1. Phương trình vi phân cấp 2 giảm cấp được Có dạng: / / / / / / / / F(x, y ) 0 F(x, y , y ) 0 F(y, y , y ) 0    Phương pháp giải Đặt / / / /u y u y   thay vào phương trình đã cho, ta được phương trình vi phân cấp 1. Giải phương trình vi phân cấp 1, ta được u rồi suy ra y. 3.2. Phương trình vi phân tuyến tính cấp hai hệ số hằng không thuần nhất Có dạng: / / /ay by cy f (x) (1)   Phương trình thuần nhất / / /ay by cy 0 (2)   Nghiệm tổng quát của phương trình (1) bằng nghiệm tổng quát của phương trình (2) cộng với nghiệm riêng của phương trình (1). a) Giải phương trình thuần nhất Phương trình đặc trưng ứng với (2) 2ak bk c 0 (3)   Ta có : 2b 4ac   Trường hợp 1: Nếu 0  Phương trình (3) có hai nghiệm thực phân biệt 1 2k ,k Nghiệm tổng quát của (2) 1 2k x k x 0y (x) Ae Be  , (A, B là hằng số) Trường hợp 2: Nếu 0  Phương trình (3) có nghiệm kép 1 2k k k  101 Nghiệm tổng quát của (2)   kx0y (x) A Bx e  , (A, B là hằng số) Trường hợp 3: Nếu 0  Phương trình (3) có hai nghiệm phức liên hợp 1,2k i    với b ; 2a 2a       Nghiệm tổng quát của (2)  x0y (x) e Asin x Bcos x     , (A, B là hằng số) b) Tìm nghiệm riêng của (1) bằng phương pháp thừa số bất định Trương hợp 1: x nf (x) e P (x)  ( với nP (x) là đa thức bậc n của x) i) Nếu  không là nghiệm của phương trình đặc trưng (3) Ta tìm nghiệm riêng của (1) dưới dạng x r ny (x) e Q (x)  (Với nQ (x) là đa thức tổng quát của nP (x) ) ii) Nếu  là nghiệm đơn của phương trình đặc trưng (3) Ta tìm nghiệm riêng của (1) dưới dạng x r ny (x) xe Q (x)  (Với nQ (x) là đa thức tổng quát của nP (x) ) iii) Nếu  là nghiệm kép của phương trình đặc trưng (3) Ta tìm nghiệm riêng của (1) dưới dạng 2 x r ny (x) x e Q (x)  (Với nQ (x) là đa thức tổng quát của nP (x) ) Trương hợp 2:  x n nf (x) e P (x)cos x Q (x)sin x     (với n nP (x),Q (x) là hai đa thức bậc n của x) i) Nếu i  không là nghiệm của phương trình đặc trưng (3) Ta tìm nghiệ m riêng của (1) dưới dạng 102  xr n ny (x) e A (x)cos x B (x)sin x     (Với n nA (x),B (x) là hai đa thức tổng quát của n nP (x),Q (x) ) ii) Nếu i  là nghiệm của phương trình đặc trưng (3) Ta tìm nghiệm riêng của (1) dưới dạng  xr n ny (x) xe A (x)cos x B (x)sin x     (Với n nA (x),B (x) là đa thức tổng quát của n nP (x),Q (x) ) c) Tìm nghiệm riêng của phương trình (1) bằng phương pháp biến thiên hằng số Từ nghiệm tổng quát của (1) ta thay A A(x); B B(x)  . Tìm nghiệm riêng của (1) dưới dạng r 1 2y (x) A(x)y (x) B(x)y (x)  thỏa điều kiện / / 1 2 / / / / 1 2 A (x)y B (x)y 0 A (x)y B (x)y f (x)       Nghiệm tổng quát của (1) 0 ry(x) y (x) y (x)  d) Nguyên lý chồng chất nghiệm Nếu 1y là nghiệm riêng của phương trình vi phân / / / 1ay by cy f (x)   Nếu 2y là nghiệm riêng của phương trình vi phân / / / 2ay by cy f (x)   Thì 1 2y y y  là nghiệm riêng của phương trình / / / 1 2ay by cy f (x) f (x)    4. Một số ứng dụng trong kinh tế 4.1. Tìm hàm y f (x) khi biết hệ số co giãn 103 Giả sử x và y là hai đại lượng kinh tế có quan hệ với nhau bằng một hàm khả vi y f (x) thì ta có hệ số co giãn y x E là một hàm của x được xác định bởi y x dy x E dx y   Vậy nếu ta biết hệ số co giãn y x E là một hàm theo x ta có phương trình vi phân như sau : y x x dy E y dx   hay y x dy dx E y x   Giải phương trình vi phân này, ta có y x E x ln y dx  4.2. Mô hình cân bằng thị trường với kỳ vọng về giá Xét hàm cung và hàm cầu tổng quát như sau / // DQ (t) D P(t), P (t), P (t)    / / / SQ (t) S P(t), P (t), P (t)    Trong đó P(t) : Xu thế giá tại thời điểm t /P (t) : Giá tăng /P (t) 0 hoặc /P (t) 0 giá giảm tại thời điểm t. / /P (t) : Giá tăng ngày một nhanh //P (t) 0 hoặc tốc độ tăng giá giảm dần //P (t) 0 . Mô hình cân bằng tại mọi thời điểm / / / / / / D SQ (t) Q (t) D P(t), P (t), P (t) S P(t), P (t), P (t)         104 Đây là phương trình vi phân cấp 2 của P. B. Một số ví dụ Ví dụ 1. Giải phương trình vi phân sau 1) / xy e 2)   4x sin x dx 5y dy 0   3) / 2y xy 2xy  4)    2 21 x ydy 1 y xdx   Giải 1) / x x xy e dy e dx y e C      (C là hằng số) 2)   4x sin x dx 5y dy 0   (2) Lấy tích phân 2 vế của phương trình (2)   4x sin x dx 5y dy C    2 51 x cos x y C 2     (với C là hằng số) 3) / 2y xy 2xy  Phương trình (3) được viết lại như sau 2 dy xy 2xy xy(y 2) dy xy(y 2)dx dx        (3) Trường hợp 1: Nếu y 0, 2  là nghiệm của phương trình Trường hợp 2: Nếu y 0, 2  , chia hai vế của phương trình (3) cho y(y 2) , ta được dy xdx y(y 2)   , Lấy tích phân hai vế của phương trình trên, ta có 105   2 2 dy 1 1 1 1 xdx C dy x C y(y 2) 2 y y 2 2 ln y ln y 2 x 2C                     2yln x 2C y 2     (với C là hằng số) 4)    2 21 x ydy x 1 y dx   2 2 ydy xdx 1 y 1 x     (4) Lấy tích phân hai vế của phương trình (4) 2 2 ydy xdx C 1 y 1 x      2 21 1ln(1 y ) ln(1 x ) C 2 2      (với C là hằng số) Ví dụ 2. Giải phương trình vi phân sau / / y 1) y 1 x 3x y 1 2) y x y 3        Giải / y1) y 1 x   (1) Đặt / / y u y ux y u x u x       thế vào (1), ta được / / 1u x u 1 u u x 1 du dx x        Suy ra y u ln x C ln x C y x ln x Cx x         106 2) / 3x y 1 y x y 3      (2) Đặt x u y v      Trong đó 3 1 0 1 3 0 2                    Từ (2) ta có / v 3 3u v uv vu v 1 u       (3) Đặt / / v t v tu v t u t u       thế vào (3), ta được 2 / /3 t 2 t tt u t t u 1 t 1 t          2 1 t 1 dt du 2 t t u      Lấy tích phân hai vế của phương trình trên, ta có 2 1 t 1 dt du C 2 t t u       1 2 1 dt ln u C 3 t 1 t 2               1 2ln t 1 ln t 2 ln u C 3        Vậy y 2 y 2 2ln 1 ln 2 3ln x 1 C x 1 x 1            Ví dụ 3. Giải phương trình vi phân sau / 1 1) y y 1 x   với x 0, y(1) 1  107 2x2) y ' 2xy xe  Giải / 11) y y 1 x   với x 0, y(1) 1  Bước 1: 1 x có nguyên hàm là ln x ln x (vì x 0 ) Bước 2: Chọn thừa số tích phân: ln xe x Bước 3: Nhân hai vế của phương trình cho x , thì ta có   //xy y x xy x    (*) Bước 4: Lấy tích phân hai vế của (*) 2 1 1 x C xy xdx C y x C x 2 2 x              Với điều kiện đầu 1 C 1 y(1) 1 1 C 2 1 2       Vậy nghiệm của phương trình: x 1 y 2 2x   2/ x2) y 2xy xe  Bước 1: 2x có nguyên hàm là 2x Bước 2: Chọn thừa số tích phân: 2xe Bước 3: Nhân hai vế của phương trình cho 2xe , thì ta có  2 2 2 / x / x xe y 2xe y x e y x    (*) Bước 4: Lấy tích phân hai vế của (*) 2 2x x 21e y xdx C y e x C 2            Ví dụ 4. Giải phương trình vi phân sau 108 / 3 2 / 2x 3 1) y 2xy 4x y 2) y y e y     Giải / 3 21) y 2xy 4x y  Bước 1: Chia hai vế của phương trình cho 2y ta được 2 / 1 3y y 2xy 4x   (1) Bước 2: Đặt 1 / 2 /u y u y y     Phương trình (1) trên tương đương / 3u 2xu 4x   (2) Giải (2) Bước 1: 2x có nguyên hàm là 2x Bước 2: Chọn thừa số tích phân: 2xe Bước 3: Nhân hai vế của phương trình cho 2xe , thì ta có  2 2 2 2 2 / x / x 3 x x 3 xe u 2xe u 4x e e u 4x e      (*) Bước 4: Lấy tích phân hai vế của (*)  2 2 2 2 2 2 2 x 3 x x 2 x x 1 2 x 2 x e u 4x e dx C u 2e x e e C y 2x 2 Ce 1 y 2x 2 Ce                        / 2x 32) y y e y  Bước 1: Chia hai vế của phương trình cho 3y ta được 3 / 2 2xy y y e   (2) Bước 2: Đặt 2 / 3 /u y u 2y y     109 Phương trình (2) trên tương đương / 2xu 2u 2e   (3) Giải (3) Bước 1: 2 có nguyên hàm là 2x Bước 2: Chọn thừa số tích phân: 2xe Bước 3: Nhân hai vế của phương trình cho 2xe , thì ta có   /2x / 2x 4x 2x 4xe u 2e u 2e e u 2e      (*) Bước 4: Lấy tích phân hai vế của (*)   2x 4x 2x 4x 2 2x 2x 1 e u 2e dx C u 2e e C 4 1 y e Ce 2                     Ví dụ 5. Giải phương trình vi phân sau: / / / / / 2 1) y x cos x 2 2) y y x x    Giải / /1) y x cos x (1) Đặt / / / /u y u y   thế vào phương trình (1) /u x cos x du x cos xdx   Lấy tích phân hai vế của phương trình trên, ta có 1du x cos xdx C   1u xsin x cos x C    Thay /u y , ta có 110 / 1y x sin x cos x C    1dy x sin x cos x C dx    Lấy tích phân hai vế của phương trình trên, ta có  1 2dy xsin x cos x C dx C     1 2y x cos x 2sin x C x C      (với 1 2C ,C là hai hằng số) / / / 222) y y x x   (2) Đặt / / / /u y u y   thế vào phương trình (2) / 22u u x x   (Đây là dạng phương trình vi phân tuyến tính cấp 1) Ta giải được 3 21u x C x  Thay /u y , ta có / 3 2 1y x C x   3 21dy x C x dx   Lấy tích phân hai vế của phương trình trên, ta có  3 21 2dy x C x dx C    4 3 1 2 1 1 y x x C C 4 3     (với 1 2C ,C là hai hằng số) Ví dụ 6. Giải phương trình vi phân sau: / / /1) y 4y 3y 0   / / /2) y 4y 4y 0   // /3) y 2y 5y 0   111 Giải / / /1) y 4y 3y 0   Phương trình đặc trưng tương ứng 2 k 1k 4k 3 0 k 3        Nghiệm tổng quát của phương trình x 3x0y (x) Ae Be  (Với A, B là hai hằng số) / / /2) y 4y 4y 0   Phương trình đặc trưng tương ứng 2k 4k 4 0 k 2      Nghiệm tổng quát của phương trình   2x0y (x) Ax B e   (Với A, B là hai hằng số) // /3) y 2y 5y 0   Phương trình đặc trưng tương ứng 2 k 1 2ik 2k 5 0 k 1 2i            Nghiệm tổng quát của phương trình  x0y (x) e Asin 2x Bcos 2x   (Với A, B là hai hằng số) Ví dụ 7. Giải phương trình vi phân sau // / 21) y 4y 3y x   / / /2) y 2y 2x 3   / / / x3) y 2y 5y e sin 2x   Giải 112 / / / 21) y 4y 3y x   (1) Phương trình thuần nhất // /y 4y 3y 0   (2) Phương trình đặc trưng tương ứng 2 k 1k 4k 3 0 k 3        Nghiệm tổng quát của phương trình x 3x0y (x) Ae Be  (Với A, B là hai hằng số) Tìm nghiệm riêng của (1) dưới dạng ( 0, n 2   ) 2ry (x) ax bx c   Ta có / / /r ry (x) 2ax b; y (x) 2a   Thế / / /r r ry , y , y vào (1), ta được 2 23ax (3b 8a)x 2a 4b 3c x      Đồng nhất, ta có 1 a 33a 1 8 3b 8a 0 b 9 2a 4b 3c 0 26 c 27                   Nghiệm riêng của (1) 2r 1 8 26 y (x) x x 3 9 27    Vậy nghiệm tổng quát của (1) 113 x 3x 20 r 1 8 26 y(x) y (x) y (x) Ae Be x x 3 9 27        (Với A, B là hai hằng số) / / /2) y 2y 2x 3   (1) Phương trình thuần nhất // /y 2y 0  (2) Phương trình đặc trưng tương ứng 2 k 0k 2k 0 k 2       Nghiệm tổng quát của phương trình 2x0y (x) A Be  (Với A, B là hai hằng số) Tìm nghiệm riêng của (1) dưới dạng ( 0, n 1   ) 2ry (x) x(ax b) ax bx    Ta có / / /r ry (x) 2ax b; y (x) 2a   Thế / / /r r ry , y , y vào (1), ta được 4ax 2a 2b 2x 3     Đồng nhất, ta có 1 4a 2 a 2 2a 2b 3 b 2              Nghiệm riêng của (1) 2r 1 y (x) x 2x 2    Vậy nghiệm tổng quát của (1) 114 2x 20 r 1 y(x) y (x) y (x) A Be x 2x 2       , (A, B là hằng số) / / / x3) y 2y 5y e sin 2x   Phương trình thuần nhất // /y 2y 5y 0   (2) Phương trình đặc trưng tương ứng 2 k 1 2ik 2k 5 0 k 1 2i            Nghiệm tổng quát của phương trình  x0y (x) e Asin 2x Bcos 2x   (Với A, B là hai hằng số) Tìm nghiệm riêng của (1) dưới dạng ( 1, n 0   )  xr 1 2y (x) e C sin 2x C cos 2x  Ta có         / x r 1 2 1 2 / / x r 1 2 1 2 y (x) e C 2C sin 2x 2C C cos 2x y (x) e 3C 4C sin 2x 4C 3C cos 2x              Thế / / /r r ry , y , y vào (1), ta được    x x1 2 1 2e 4C 8C sin 2x 8C 4C cos 2x e s in2x      Đồng nhất, ta có 1 1 2 1 2 2 1 C 4C 8C 1 20 8C 4C 0 1 C 10             Nghiệm riêng của (1) xr 1 1 y (x) e s in2x - cos 2x 20 10        115 Vậy nghiệm tổng quát của (1)  x x0 r 1 1 y(x) y (x) y (x) e Asin2x Bcos 2x e s in2x- cos 2x 20 10            (Với A, B là hai hằng số) Ví dụ 8. Giải phương trình vi phân sau: // /y 3y 2y sin x (1)   Giải Bước 1: Giải phương trình thuần nhất // /y 3y 2y 0   Phương trình đặc trưng 2 k 1 k 3k 2 0 k 2        Nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất x 2x0y (x) Ae Be  ( với A, B là hai hằng số) Bước 2 : Tìm nghiệm riêng dưới dạng x 2xry (x) A(x)e B(x)e  Thỏa điều kiện / x / 2x / x / 2x A (x)e B (x)e 0 A (x)e 2B (x)e sin x       / 2x / 2x / x / 2x / x 2x x B (x)e sin x B (x) e sin x A (x)e B (x)e 0 A (x) e sin x 1 B(x) e (cos x 2sin x) 5 1 A(x) e (cos x sin x) 2                            Nghiệm riêng của (1) 116 r 1 3 y (x) sin x cos x 10 10   Nghiệm tổng quát của (1) x 2x0 r 1 3 y(x) y (x) y (x) Ae Be sin x cos x 10 10       (Với A, B là hai hằng số) Ví dụ 9. Giải phương trình vi phân sau // x xy y xe 2e (1)   Giải Phương trình thuần nhất / /y y 0  Nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất 0y (x) Asin x Bcos x  , (A, B là hằng số) Nghiệm riêng của phương trình // xy y xe  là   x1 1 y (x) x 1 e 2   Nghiệm riêng của phương trình // xy y 2e  là x2y (x) e  Nghiệm riêng của (1) là   x xr 1 2 1 y (x) y (x) y (x) x 1 e e 2      Nghiệm tổng quát của (1)   x x0 r 1 y(x) y (x) y (x) Asin x Bcos x x 1 e e 2        , (A, B là hằng số) Ví dụ 10. Cho hệ số co giãn của hàm cầu là D 2P E 2000 2P    117 Tìm hàm cầu DQ biết rằng Q(0) 2000 Giải Từ hệ số co giãn ta có dQ P 2P dQ dP dP Q 2000 2P Q 1000 P         Suy ra ln Q ln 1000 P C Q A(1000 P)      mà Q(0) 2000 2000 1000A A 2     Vậy Q 2000 2P  . Ví dụ 11. Cho hàm cung và hàm cầu của một loại hàng / //S DQ (t) 6 8P(t); Q (t) 42 4P(t) 4P (t) P (t)       Với giá ban đầu P(0) 6 và /P (0) 4 . Tìm sự biến động của giá P(t) theo thời gian và giả thiết cung cầu thỏa mãn tại mọi thời điểm. Giải Cho lượng cung bằng lượng cầu ta được / / /S DQ (t) Q (t) 6 8P(t) 42 4P(t) 4P (t) P (t)        (1) Ta được phương trình vi phân // /P (t) 4P (t) 12P(t) 48    Phương trình đặc trưng 2 1 2k 4k 12 0 k 2 k 6        Nghiệm riêng của (1) : rP (t) 4 Nghiệm tổng quát của (1) 118 2t 6tP(t) 4 Ae Be   (A, B là hai hằng số) Từ điều kiện đầu giải ra ta được A B 1  . Vậy 2t 6tP(t) 4 e e   Ta có t lim P(t)    . Do đó điểm cân bằng không ổn định. Ví dụ 12. Cho hàm cung và hàm cầu của một loại hàng / //S DQ (t) 5 3P(t); Q (t) 40 2P(t) 2P (t) P (t)       Với giá ban đầu P(0) 12 và /P (0) 1 . Tìm sự biến động của giá P(t) theo thời gian và giả thiết cung cầu thỏa mãn tại mọi thời điểm. Giải Cho lượng cung bằng lượng cầu ta được / / /S DQ (t) Q (t) 5 3P(t) 40 2P(t) 2P (t) P (t)        (1) Ta được phương trình vi phân // /P (t) 2P (t) 5P(t) 45   Phương trình đặc trưng 2 1 2k 2k 5 0 k 1 2i k 1 2i           Nghiệm riêng của (1) : rP (t) 9 Nghiệm tổng quát của (1)  tP(t) 9 e Asin 2t Bcos 2t   (A, B là hai hằng số) Từ điều kiện đầu giải ra ta được A 2; B 3  . Vậy  tP(t) 9 e 2sin 2t 3cos 2t   Ta có t lim P(t) 9   . Do đó điểm cân bằng ổn định. 119 Đề thi thử Câu 1. Tìm X sao cho AX B với 2 1 3 A 0 3 1 5 2 4          và 1 2 3 B 4 5 0 0 1 2           Câu 2. Định m để hệ phương trình sau có nghiệm không tầm thường và tìm nghiệm đó 1 2 3 1 2 3 1 2 3 mx x x 0 x mx x 0 x x mx 0            Câu 3. Biện luận theo m hạng của ma trận sau 1 2 3 A 2 m 4 3 4 5          Câu 4. Chứng minh rằng: hệ ba vectơ 1 2 3u ( 1,3,4); u ( 2,1, 1); u (1,2,3)      thành lập một cơ sở của không gian vectơ 3 . Hãy tìm tọa độ của vectơ v (2, 3,1)  đối với cơ sở đó. Câu 5. Tính giới hạn hàm số sau: ln x x 0 lim(1 x)   Câu 6. Khai triển Maclorent hàm số sau tới cấp 5: 2 1 f (x) x 3x 2    Câu 7. Tính tích phân suy rộng: 2 1 1 dx 2x 8x 26     Câu 8. Cho hàm số: 2 2u x ln x y  . Tính 2 2 2 2 u u x y      . Câu 9. Sử dụng phương pháp nhân tử Lagrange tìm cực trị hàm số sau f (x, y) 2xy với điều kiện 2x 3y 26  . Câu 10. Giải phương trình vi phân: 2 /1 x y y arcsin x    với y(0) 0 . 120 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Nguyễn Đức Bằng, Nguyễn Tuấn Duy, Tài liệu ôn tập toán cao cấp, lưu hành nội bộ Đại học Tài chính - Marketing, 2013. [2] Đỗ Công Khanh, Nguyễn Minh Hằng, Ngô Thu Lương, Toán cao cấp, NXB Đại học Quốc Gia TP. Hồ Chí Minh, 2006. [3] Nguyễn Huy Hoàng, Bài Tập Toán Cao Cấp, NXB Đại học Kinh tế Quốc Dân, 2008. [4] Lê Văn Hốt, Toán Cao Cấp, lưu hành nội bộ Đại học Kinh tế TP. Hồ Chí Minh. [5] Nguyễn Đình Phư, Nguyễn Công Tâm, Đặng Đức Trọng, Đinh Ngọc Thanh, Giáo trình giải tích hàm một biến, NXB Đại học Quốc Gia TP. Hồ Chí Minh, 2002. [6] Trần Minh Thuyết, Giáo trình toán cao cấp, NXB tài chính, 2008. [7] Lê Đình Thúy, Toán Cao Cấp cho các nhà kinh tế, NXB Đại học Kinh tế Quốc Dân, 2010.