Bài giảng môn học Toán 2 - Chương 3: Dãy số - Nguyễn Anh Thi

Dãy số Định nghĩa I Dãy số là một dãy vô hạn các phần tử là số thực được xếp theo một thứ tự nào đó a1, a2, a3, a4, . . . , an, . . . I Hay nói cách khác, dãy số là một ánh xạ từ N→ R. I Dãy số (a1, a2, a3, . . . ) được ký hiệu là (an)n∈N hay (an) I Dãy số cũng có thể được đánh số từ số 0 hoặc từ bất kỳ số tự nhiên nào khác. Ví dụ 1. Dãy { nn+1}∞n=1 có an = nn+1{ 1 2 , 2 3 , 3 4 , 4 5 , . . . , n n + 1 . . . } 2. Dãy {(−1)n√n− 3}∞n=3 có an = (−1)n √ n− 3 0, 1,− √ 2, √ 3, . . . , (−1)n√n− 3 . . . 3. Dãy {cos(npi/3)}∞n=0 có an = cos(npi/3) 1, 12 ,− 1 2 ,−1, . . . , cos(npi/3), . . . 4. Dãy Fibonacci {an} được định nghĩa bằng quy nạp a1 = 1, a2 = 1, an = an−1 + an−2,n ≥ 3 Dãy số hội tụ Xét dãy số an = nn+1 Ta thấy khi n càng lớn thì giá trị của an = nn+1 tiến đến 1. Trong trường hợp này ta nói dãy {n/(n+ 1)}∞n=1 có giới hạn là 1 và ta viết lim n→∞ n n + 1 = 1. Định nghĩa Dãy số (an) được nói là hội tụ nếu tồn tại L ∈ R sao cho với mọi  > 0, tồn tại N ∈ N sao cho |an − L| N Khi đó ta nói L là giới hạn của dãy (an), ký hiệu L = lim n→∞ an, hay viết tắt là L = lim an Ta cũng viết là an → L (đọc là an tiến về L) khi n →∞ (đọc là n tiến về +∞). Ví dụ I Dãy hằng an = α, ∀n ∈ N, là dãy hội tụ và có giới hạn là α. I Dãy ( 1n)n∈N là dãy hội tụ và có giới hạn là 0. Định nghĩa Dãy (an) được nói là có giới hạn bằng ∞ (tương ứng −∞) nếu mọi số thực M đều tồn tại số tự nhiên N sao cho an > M,∀n ≥ N (tương ứng an N). Khi đó ta ký hiệu lim an =∞ (tương ứng lim an = −∞) và nói dãy (an) có giới hạn bằng ∞ hoặc −∞. Nếu lim an = ±∞ hoặc lim an không tồn tại thì ta nói (an) là dãy phân kỳ. Một số tính chất Nếu (an) và (bn) là các dãy hội tụ và có giới hạn lần lượt là a và b thì các dãy (an + bn), (anbn), √an, (an)r, và αan, với α ∈ R cũng là các dãy hội tụ và lim n→∞(an + bn) = a + b, lim n→∞(anbn) = ab, lim n→∞ √ an = √ a, lim n→∞(an) r = ar lim n→∞(αan) = αa. Khi b 6= 0 và bn 6= 0,∀n ∈ N, dãy ( an bn ) cũng hội tụ và lim n→∞ an bn = a b . Mệnh đề i) Nếu (xn) là dãy hội tụ và xn ≥ 0,∀n ∈ N thì limn→∞ xn ≥ 0. Tổng quát, nếu (xn) và (yn) là hai dãy hội tụ và xn ≥ yn,∀n ∈ N, thì limn→∞ xn ≥ limn→∞ yn. ii) (Tiêu chuẩn giới hạn kẹp) Xét ba dãy số (an), (bn), và (cn) với an ≤ bn ≤ cn,∀n ∈ N. Nếu các dãy (an) và (cn) hội tụ và có cùng giới hạn là α thì (bn) cũng là dãy hội tụ và cũng có giới hạn là α. Dãy đơn điệu-Dãy bị chặn Định nghĩa Dãy (an) được gọi là dãy tăng nếu: an ≤ an+1,∀n ∈ N. Dãy (an) được gọi là dãy giảm nếu: an ≥ an+1,∀n ∈ N. Nếu (an) là dãy tăng hoặc giảm thì ta nói dãy (an) là dãy đơn điệu. Định nghĩa Dãy (an) gọi là bị chặn trên nếu: ∃M ∈ R, an ≤ M,∀n ∈ N. Dãy (an) gọi là bị chặn dưới nếu: ∃N ∈ R, an ≥ N,∀n ∈ N. Nếu (an) bị chặn trên và dưới thì ta nói nó bị chặn. Mệnh đề (Tiêu chuẩn Weierstrass) Một dãy số tăng và bị chặn trên thì hội tụ. Một dãy số giảm và bị chặn dưới thì hội tụ. Ta định nghĩa e = lim n→+∞(1 + 1 n) n Các giới hạn cơ bản 1. Nếu a > 0, thì lim n→∞ 1 na = 0, limn→∞n a =∞. 2. Nếu |a| < 1, thì lim n→∞ a n = 0, nếu a > 1 thì lim n→∞ a n =∞. 3. Nếu a > 1 và α ∈ R thì lim n→∞ nα an = 0. 4. Nếu a > 0 thì lim n→∞ n√a = 1. Đồng thời lim n→∞ n√n = 1. 5. Giới hạn liên quan số e: lim n→∞(1 + x n) n = ex. Ví dụ Tính các giới hạn các dãy số sau: 1. lim n→∞ 4n2+1 3n2+2 2. lim n→∞( √ n2 + 1− n) 3. lim n→∞( √ 2n + √ n−√2n + 1) 4. lim n→∞ n√n n√n2+ n√n+1 5. lim n→∞ 3.5n−2n 4n+2.5n 6. lim n→∞ n2n+1 3n+n2 7. lim n→∞ ( 2n−1 2n )n 8. lim n→∞ ( n n+1 )2n 9. lim n→∞ n sin √ n n2+n−1 Định nghĩa Dãy an gọi là dãy Cauchy nếu: ∀ > 0,∃N ∈ N,∀m,n ∈ N : |am − an| <  Định lý Dãy hội tụ khi và chỉ khi nó là dãy Cauchy. Ví dụ Tính các giới hạn các dãy số sau: 1. lim n→∞ 2n+n3 1+2n3 2. lim n→∞( √ 3n2 + n− n√3) 3. lim n→∞ ( 1 + 23n )2n 4. lim n→∞ n−3n+2 2n+3n 5. lim n→∞ n!+n+1 (n+1)!+2 6. lim n→∞ n √ n+1 3n √ n+2 7. lim n→∞ ( 3n−1 3n+1 )n 8. lim n→∞ ( n 2n+1 )n Chuỗi số thực Định nghĩa Xét dãy số thực (an)n∈N, ta định nghĩa tổng tất cả các số hạng của nó, a1 + a2 + · · ·+ an + · · · = +∞∑ n=1 an, và ta gọi +∞∑ n=1 an, hay vắn tắt ∑ an, là một chuỗi số, đọc là chuỗi an. Ví dụ 1. Với an = n, ta có chuỗi ∞∑ n=1 n = 1 + 2 + 3 + · · ·+ n + · · · 2. Với an = 12n , ta có chuỗi ∞∑ n=1 1 2n = 1 2 + 1 4 + 1 8 + · · ·+ 12n + · · · Chuỗi số hội tụ Định nghĩa Với chuỗi số +∞∑ n=1 an, đặt sn = n∑ k=1 ak,n ∈ N. Ta gọi sn là tổng riêng phần (thứ n) của chuỗi số ∑ an. Định nghĩa Nếu dãy tổng riêng phần (sn) hội tụ, ta nói ∑ an hội tụ và giá trị s = lim n→∞ sn được gọi là tổng của chuỗi ∑ an, ký hiệu s = +∞∑ n=1 an. Ngược lại, nếu (sn) phân kỳ, ta nói ∑ an phân kỳ. Ví dụ Tính tổng riêng phần và tổng (nếu có) của các chuỗi: I ∞∑ n=1 n I ∞∑ n=1 1 2n I ∞∑ n=1 (−1)n Ví dụ Xét sự hội tụ của các chuỗi sau đây 1. ∞∑ n=1 1 n(n+1) 2. ∞∑ n=4 1 (n−1)(n+1) 3. ∞∑ k=1 ln kk+1 Chuỗi hình học Định nghĩa Cho a 6= 0, r ∈ R, chuỗi hình học là chuỗi số có dạng ∞∑ n=0 arn = a + ar + ar2 + . . . Mệnh đề Nếu |r| < 1 thì chuỗi hình học hội tụ, và khi đó ∞∑ n=0 arn = a1− r . Ngược lại, nếu |r| > 1 thì chuỗi hình học phân kỳ. Ví dụ 1. Các chuỗi số sau có hội tụ không? Tính tổng (nếu có) của nó. a. 4− 83 + 169 − 3227 + . . . b. ∞∑ n=0 22n31−n 2. Tính tổng của chuỗi ∞∑ n=0 xn, với |x| < 1. 3. Viết các số thập phân vô hạn tuần hoàn sau đây thành phân số a. 2.317 = 2.3171717... b. 0.9 = 0.999999... Các tính chất Mệnh đề Nếu ∑ an hội tụ thì limn→∞ an = 0 Chú ý I Chiều ngược lại không hẳn đúng. Nếu lim n→∞ an = 0 thì ∑ an cũng có thể hội tụ, cũng có thể phân kỳ. Chẳng hạn ta có dãy 1n → 0 nhưng ∑ 1 n phân kỳ. I Nếu lim n→∞ an không tồn tại hoặc limn→∞ an 6= 0 thì chuỗi ∞∑ n=1 an phân kỳ. Ví dụ Xét sự hội tụ của chuỗi số ∞∑ n=1 n2+1 2n2+n Các tính chất Mệnh đề Nếu các chuỗi ∑ an, ∑ bn đều hội tụ thì các chuỗi ∑ can(c ∈ R),∑ (an + bn) và ∑ (an − bn) cũng hội tụ, và: a) ∞∑ n=1 can = c ∞∑ n=1 an b) ∞∑ n=1 (an + bn) = ∞∑ n=1 an + ∞∑ n=1 bn c) ∞∑ n=1 (an − bn) = ∞∑ n=1 an − ∞∑ n=1 bn Ví dụ Tính tổng (nếu có) của chuỗi ∞∑ n=1 ( 2 n(n+1) + 1 2n ) Mệnh đề Với mọi N ∈ N, ∞∑ n=1 an hội tụ khi và chỉ khi ∞∑ n=N an hội tụ. Tiêu chuẩn tích phân Mệnh đề Cho f là hàm số dương, giảm, liên tục trên [1,+∞), đặt an = f(n). Khi đó chuỗi +∞∑ n=1 an và tích phân ∫ +∞ 1 f(x)dx cùng hội tụ hoặc cùng phân kỳ. Chú ý Do sự hội tụ của chuỗi số không phụ thuộc vào hữu hạn số ban đầu, nên chỉ cần f dương và giảm trên khoảng [M,+∞) với M ∈ R bất kỳ. Ví dụ Xét sự hội tụ của các chuỗi số: 1. ∞∑ n=1 1 1+n2 2. ∞∑ n=1 ln n n 3. ∞∑ n=2 1 n ln2 n 4. Với giá trị nào của p thì chuỗi ∞∑ n=1 1 np hội tụ? Tiêu chuẩn so sánh 1 (hiệu số) Mệnh đề Cho ∑ an, ∑ bn là các chuỗi số không âm (nghĩa là an ≥ 0, bn ≥ 0,∀n). Khi đó: I Nếu bn ≥ an,∀n và ∑ bn hội tụ thì ∑ an hội tụ, I Nếu bn ≤ an,∀n và ∑ bn phân kỳ thì ∑ an phân kỳ. Ví dụ Xét sự hội tụ của các chuỗi số sau: 1. ∞∑ n=1 2 n2+3 2. ∞∑ n=1 2n 3n+n 3. ∞∑ n=1 n (n+1)(n √ n+2) 4. ∞∑ n=1 ln n n Tiêu chuẩn so sánh 2 (tỷ số) Mệnh đề Cho ∑ an, ∑ bn là các chuỗi số không âm, bn 6= 0, ∀n ∈ N. I Nếu lim n→∞ an bn = c ∈ (0,+∞), thì ∑ an và ∑ bn cùng hội tụ hoặc cùng phân kỳ. I Nếu lim n→∞ an bn = 0 và tổng ∑ bn hội tụ thì ∑ an hội tụ. Ví dụ Xét sự hội tụ của các chuỗi số sau: 1. ∞∑ n=2 1 n3−2n 2. ∞∑ n=1 22n+1 3n+1+n 3. ∞∑ n=1 n−1√ n(n+2)(n2+1) 4. ∞∑ n=1 ln 3n2+13n2 Chuỗi đan dấu Định nghĩa Chuỗi đan dấu là chuỗi mà số hạng tổng quát có dạng an = (−1)n+1bn hoặc an = (−1)nbn trong đó bn > 0. Ví dụ I 1− 12 + 13 − 14 + 15 − 16 + · · · = ∞∑ n=1 (−1)n+1 n I −12 + 23 − 34 + 45 − 56 + 67 − · · · = ∞∑ n=1 (−1)n nn+1 Tiêu chuẩn Leibnitz Mệnh đề Nếu dãy (bn) dương, giảm và hội tụ về 0 thì chuỗi đan dấu∑∞ n=1(−1)n+1bn = b1 − b2 + b3 − b4 + . . . hội tụ. Ví dụ Xét sự hội tụ của các chuỗi đan dấu sau: 1. ∞∑ n=1 (−1)n−1 n 2. ∞∑ n=3 (−1)n+1 ln nn 3. ∞∑ n=1 (−1)nn 3n+1 4. ∞∑ n=2 (−1)n n2n3+1 Hội tụ tuyệt đối Định nghĩa Chuỗi ∞∑ n=1 an được gọi là hội tụ tuyệt đối nếu chuỗi ∞∑ n=1 |an| = |a1|+ |a2|+ |a3|+ · · ·+ |an|+ · · · hội tụ Nếu ∑ an hội tụ nhưng không hội tụ tuyệt đối, ta nói ∑ an hội tụ có điều kiện. Ví dụ Các chuỗi sau có hội tụ, có hội tụ tuyệt đối không? 1. ∞∑ n=1 (−1)n−1 n2 2. ∞∑ n=1 (−1)n−1 n 3. ∞∑ n=1 1 n Mệnh đề Nếu ∞∑ n=1 an hội tụ tuyệt đối thì nó hội tụ. Ví dụ Các chuỗi sau có hội tụ, hội tụ tuyệt đối không? 1. ∞∑ n=1 (−1)n+1 ln(2n+1) 2. ∞∑ n=1 sin 3n 3n 3. ∞∑ n=1 (−1)n e−1/nn3 Tiêu chuẩn tỷ số (của d'Alembert) Mệnh đề Đặt L = lim n→∞ | an+1 an |. I Nếu L < 1 thì chuỗi ∞∑ n=1 an hội tụ tuyệt đối. I Nếu L > 1 hoặc L = +∞ thì chuỗi ∞∑ n=1 an phân kỳ. Ví dụ Các chuỗi sau có hội tụ không? 1. ∞∑ n=1 n3 3n 2. ∞∑ n=1 n! nn(n+1) 3. ∞∑ n=1 n2n (2n)! Tiêu chuẩn căn số của Cauchy Mệnh đề Đặt L = lim n→∞ n √|an| 1. Nếu L < 1 thì chuỗi ∞∑ n=1 an hội tụ tuyệt đối. 2. Nếu L > 1 hoặc L = +∞ thì chuỗi ∞∑ n=1 an phân kỳ. Ví dụ Các chuỗi số sau có hội tụ không? 1. ∞∑ n=1 ( 2n2+3n 3n2+2n )n 2. ∞∑ n=1 ( n n+1 )n2+n để xét sự hội tụ của chuỗi số ta có một số chú ý sau: Chú ý I Chuỗi gần giống chuỗi ∑ 1/np hay chuỗi hình học thì dùng tiêu chuẩn so sánh. Chuỗi không dương thì dùng tiêu chuẩn so sánh cho ∑ |an| rồi dùng tiêu chuẩn trị tuyệt đối. I Nếu thấy lim n→∞ an 6= 0 thì chuỗi phân kỳ. I Chuỗi đan dấu thì dùng tiêu chuẩn Leibnitz. I Chuỗi có giai thừa hoặc mũ thì dùng tiêu chuẩn tỷ số (của d'Alembert). I Nếu an có dạng (bn)n thì dùng tiêu chuẩn căn số của Cauchy. I Nếu an = f(n) mà ∫ f(x)dx dễ tính thì dùng tiêu chuẩn tích phân. Xét sự hội tụ của các chuỗi số sau: 1. ∑∞ n=1 n−1 2n+1 2. ∑∞ n=1 √ n3+1 n3+4n2+2 3. ∑∞ n=1 ln 2n+2 2n+1 4. ∑∞ k=0 2k (k+1)! 5. ∑∞ n=1 (−1)nn3 n4+1 6. ∑∞ n=2 (−2)n nn 7. ∑∞ n=1 sin √ n 2n+3n 8. ∑∞ n=1 n! 3n2 9. ∑∞ n=1 2n+n 3n−1 10. ∑∞ n=3 1 (ln n)ln n