Bài giảng môn học Toán 2 - Chương 2: Tích phân bội - Nguyễn Anh Thi

Bài giảng Toán 2 Giảng viên Nguyễn Anh Thi 2016 Chương 2 TÍCH PHÂN BỘI Tích phân hai lớp Giả sử f(x, y) ≥ 0,∀(x, y) ∈ R. Ta cần tính thể tích V của khối S: S = {(x, y, z) ∈ R3 : 0 ≤ z ≤ f(x, y), (x, y) ∈ R} Phân hoạch Giả sử P1 = {x0, x1, . . . , xn; x∗1, . . . , x∗n} và P2 = {y0, y1, . . . , ym; y∗1, . . . , y∗m} là các phân hoạch của [a, b] và [c, d]. Thì P = P1×P2 gọi là một phân hoạch của R = [a, b]× [c, d]. Tổng Riemann Tổng Riemann của hàm số f ứng với phân hoạch P như trên được định nghĩa là: S(f,P) = m∑ i=1 n∑ j=1 f(x∗ij, y∗ij)∆xi∆yj Với ∆xi = xi − xi−1 và ∆yj = yj − yj−1 Định nghĩa tích phân hai lớp Gọi P(R) là tập các phân hoạch của R = [a, b]× [c, d]. Với P ∈ P(R), đặt: |P| = max{(xi − xi−1)(yj − yj−1) : 1 ≤ i ≤ n, 1 ≤ j ≤ m} Định nghĩa Hàm f gọi là khả tích Riemann trên R nếu có α ∈ R sao cho với mọi  > 0, tồn tại δ > 0 thỏa: |S(f,P)− α| ≤ ,∀P ∈ P(R), |P| < δ Khi đó ta gọi α là tích phân của f trên R và ký hiệu:∫∫ R f(x, y)dxdy = α Tính chất Tích phân hai lớp có các tính chất sau: 1. ∫∫ R [f(x, y) + g(x, y)]dxdy = ∫∫ R f(x, y)dxdy + ∫∫ R g(x, y)dxdy 2. ∫∫ R c[f(x, y) + g(x, y)]dxdy = c ∫∫ R [f(x, y) + g(x, y)]dxdy 3. Nếu f(x, y) ≤ g(x, y) với mọi (x, y) ∈ R thì:∫∫ R f(x, y)dxdy ≤ ∫∫ R g(x, y)dxdy Tích phân lặp Cho f là hàm xác định trên R = [a, b]× [c, d]. I Cố định x ∈ [a, b], lấy tích phân theo y, ta được: A(x) = ∫ d c f(x, y)dy I Lấy tích phân A(x) từ a đến b ta được∫ b a A(x)dx = ∫ b a [∫ d c f(x, y)dy ] dx = ∫ b a ∫ d c f(x, y)dydx Tích phân trên gọi là tích phân lặp. Nếu ta lấy tích phân theo x trước và tích phân theo y sau thì ta cũng được tích phân lặp.∫ d c [∫ b a f(x, y)dx ] dy = ∫ d c ∫ b a f(x, y)dxdy Ví dụ Tính ∫ 3 0 ∫ 2 1 x2ydydx ∫ 2 1 ∫ 3 0 x2ydxdy Định lý (Định lý Fubini) Nếu f liên tục trên hình chữ nhật R = [a, b]× [c, d] thì:∫∫ R f(x, y)dxdy = ∫ b a ∫ d c f(x, y)dydx = ∫ d c ∫ b a f(x, y)dxdy Ví dụ 1. Tính tích phân hai lớp ∫∫ R(x− 3y2)dxdy với R = {(x, y) : 0 ≤ x ≤ 2, 1 ≤ y ≤ 2}. 2. Tính tích phân hai lớp ∫∫ R 2x sin 2 ydxdy với R = [1, 2]× [0, pi]. Chú ý Nếu R = [a, b]× [c, d] thì:∫∫ R g(x)h(y)dxdy = (∫ b a g(x)dx )(∫ d c h(y)dy ) Tích phân hai lớp-miền tổng quát Cho D là miền bị chặn được giới hạn trong hình chữ nhật R Ta định nghĩa hàm số xác định trên R như sau: F(x, y) = { f(x, y), (x, y) ∈ D 0, (x, y) ∈ R\D Định nghĩa Nếu F khả tích trên R ta nói f khả tích trên D và định nghĩa∫∫ D f(x, y)dxdy = ∫∫ R F(x, y)dxdy Một số tính chất I ∫∫ D[f(x, y) + g(x, y)]dxdy = ∫∫ D f(x, y)dxdy + ∫∫ D g(x, y)dxdy I ∫∫ D cf(x, y)dxdy = c ∫∫ D f(x, y)dxdy I Nếu f(x, y) ≤ g(x, y) với mọi (x, y) ∈ D, thì:∫∫ D f(x, y)dxdy ≤ ∫∫ D g(x, y)dxdy I Nếu D = D1 ∪ D2 và D1, D2 không che phủ nhau, thì∫∫ D f(x, y)dxdy = ∫∫ D1 f(x, y)dxdy + ∫∫ D2 f(x, y)dxdy I Diện tích miền D là: ∫∫ D dxdy I Thể tích của khối trụ có đáy là miền D và giới hạn trên bởi mặt z = f(x, y) ≥ 0 là: V = ∫∫ D f(x, y)dxdy Miền đơn giản theo Oy (loại 1) Miền phẳng D được nói là đơn giản theo Oy (loại 1) nếu nó nằm giữa đồ thị của hai hàm liên tục, tức là: D = {(x, y) : a ≤ x ≤ b, g1(x) ≤ y ≤ g2(x)} Với g1, g2 là các hàm liên tục trên [a, b]. Nếu f liên tục trên miền: D = {(x, y) : a ≤ x ≤ b, g1(x) ≤ y ≤ g2(x)}, thì∫∫ D f(x, y)dxdy = ∫ b a ∫ g2(x) g1(x) f(x, y)dydx Ví dụ Tính I = ∫∫ D(x + 2y)dxdy với D là miền giới hạn bởi các đường y = 2x2 và y = 1 + x2 Miền đơn giản theo Ox (loại II) Miền phẳng D gọi là đơn giản theo Ox (loại II) nếu: D = {(x, y) : c ≤ y ≤ d, h1(y) ≤ x ≤ h2(y)} Nếu f liên tục thì∫∫ D f(x, y)dxdy = ∫ d c ∫ h2(y) h1(y) f(x, y)dxdy Ví dụ Tính ∫∫ D xydxdy, với D là miền giới hạn bởi các đường y = x− 1 và y2 = 2x + 6 Tọa độ cực Diện tích của Rij: ∆Ai = 12r 2 i ∆θ − 12r2i−1∆θ = 12(r2i − r2i−1)∆θ = 1 2(ri + ri−1)(ri − ri−1)∆θ = r∗i ∆r∆θ Với r∗i = (ri−1 + ri)/2 Đổi biến sang tọa độ cực (1) m∑ i=1 n∑ j=1 f(x∗ij, y∗ij)∆Ai = m∑ i=1 n∑ j=1 f(r∗i cos θj, r∗i sin θj)r∗i ∆r∆θ Nếu f liên tục trên miền: R : 0 ≤ a ≤ r ≤ b, α ≤ θ ≤ β Trong đó 0 ≤ β − α ≤ 2pi. Thì ta có∫∫ R f(x, y)dxdy = ∫ β α ∫ b a f(r cos θ, r sin θ)rdrdθ Ví dụ I Tính ∫∫ R(3x + 4y 2)dxdy, với R là miền trong nửa mặt phẳng trên, giới hạn bởi các đường x2 + y2 = 1 và x2 + y2 = 4 I Tính thể tích của khối giới hạn bởi mặt phẳng z = 0 và parabol tròn xoay z = 1− x2 − y2 Đổi biến sang tọa độ cực (2) Nếu f liên tục trên miền có dạng: D = {(x, y) : α ≤ θ ≤ β, h1(θ) ≤ r ≤ h2(θ)} thì ∫∫ D f(x, y)dxdy = ∫ β α ∫ h2(θ) h1(θ) f(r cos θ, r sin θ)rdrdθ Ví dụ Tìm thể tích vật thể nằm bên dưới parabol tròn xoay z = x2 + y2, bên trên mặt phẳng Oxy và bên trong mặt trụ x2 + y2 = 2x. V = ∫∫ D (x2 + y2)dxdy D = {(x, y) : −pi/2 ≤ θ ≤ pi/2, 0 ≤ r ≤ 2 cos θ} V = ∫∫ D (x2 + y2)dxdy = ∫ pi/2 −pi/2 ∫ 2 cos θ 0 r2rdrdθ = 3pi2 Ví dụ Tính các tích phân sau: 1. ∫∫ D(x + y)dxdy miền D được giới hạn bởi y = √ x, y = x2. 2. ∫∫ D(2x− 4y)dydx, với D là miền giới hạn bởi parabol x = y2 − 2y và đường thẳng x = 3. 3. ∫∫ D xydxdy, D giới hạn bởi trục Oy, x + y = 1 và x− 2y = 4 4. ∫∫ D y 3dxdy, D là tam giác với đỉnh: (0, 2), (1, 1), (3, 2). 5. ∫∫ D(x+ √ 4− x2 − y2)dxdy, với D là miền: x2 + y2 ≤ 4, y ≥ x. Tích phân trên hình hộp chữ nhật I Xét hàm f xác định trên hình hộp chữ nhật: B = {(x, y, z) : a ≤ x ≤ b, c ≤ y ≤ d, r ≤ z ≤ s} I Nếu Px,Py,Pz là một phân hoạch của [a, b], [c, d], [r, s]. Thì P = Px × Py × Pz gọi là một phân hoạch của B. S(f,P) = l∑ i=1 m∑ j=1 n∑ k=1 f(x∗ijk, y ∗ ijk, z ∗ ijk)∆Vijk gọi là tổng Riemann của f ứng với P. Ký hiệu P(B) là tập các phân hoạch của B và |P| = max{∆Vijk}. Định nghĩa Hàm f gọi là khả tích Riemann trên B nếu có α ∈ R sao cho với mọi  > 0, tồn tại δ > 0 thỏa: |S(f,P)− α| ≤ ,∀P ∈ P(B), |P| ≤ δ Khi đó ta gọi α là tích phân của f trên B và ký hiệu:∫∫∫ B f(x, y, z)dxdydz = α Định lý Fubini Định lý Nếu f liên tục trên hình hộp chữ nhật B = [a, b]× [c, d]× [r, s], thì∫∫∫ B f(x, y, z)dxdydz = ∫ s r ∫ d c ∫ b a f(x, y, z)dxdydz Tích phân ở vế phải là tích phân lặp. Có 6 thứ tự lấy tích phân trong tích phân lặp ở vế phải, và tất cả các cách lấy thứ tự đó đều cho kết quả giống nhau. Ví dụ Tính tích phân 3 lớp ∫∫∫ B xyz 2dxdydz, với B là: B = {(x, y, z) : 0 ≤ x ≤ 1,−1 ≤ y ≤ 2, 0 ≤ z ≤ 3} Tích phân trên khối bị chặn Gọi E là khối bị chặn bất kỳ được bao bởi hình hộp chữ nhật B. Ta định nghĩa hàm F trên B như sau: F(x, y, z) = { f(x, y, z), (x, y, z) ∈ E 0 (x, y, z) ∈ B\E Khối đơn giản theo 0z (loại 1) E = {(x, y, z) : (x, y) ∈ D, u1(x, y) ≤ z ≤ u2(x, y)} Nếu f liên tục trên E thì∫∫∫ E f(x, y, z)dxdydz = ∫∫ D [∫ u2(x,y) u1(x,y) f(x, y, z)dz ] dxdy E = {(x, y, z) : a ≤ x ≤ b, g1(x) ≤ y ≤ g2(x), u1(x, y) ≤ z ≤ u2(x, y)} ∫∫∫ E f(x, y, z)dxdydz = ∫ b a ∫ g2(x) g1(x) ∫ u2(x,y) u1(x,y) f(x, y, z)dzdydx E = {(x, y, z) : c ≤ y ≤ d, h1(x) ≤ x ≤ h2(x), u1(x, y) ≤ z ≤ u2(x, y)} ∫∫∫ E f(x, y, z)dxdydz = ∫ d c ∫ h2(x) h1(x) ∫ u2(x,y) u1(x,y) f(x, y, z)dzdxdy Ví dụ Tính tích phân ∫∫∫ E ydxdydz. Trong đó E là khối trong R 3 giới hạn bởi 0 ≤ z ≤ 1− y,√x ≤ y ≤ 1, 0 ≤ x ≤ 1. Ví dụ Tính ∫∫∫ E zdxdydz, với E là khối tứ diện giới hạn bởi các mặt phẳng x = 0, y = 0, z = 0, và x + y + z = 1. Khối đơn giản theo Ox (loại 2) E = {(x, y, z) : (y, z) ∈ D, u1(y, z) ≤ x ≤ u2(y, z)}∫∫∫ E f(x, y, z)dxdydz = ∫∫ D [∫ u2(y,z) u1(y,z) f(x, y, z)dx ] dydz Khối đơn giản theo Oy (loại 3) E = {(x, y, z) : (x, z) ∈ D, u1(y, z) ≤ y ≤ u2(y, z)}∫∫∫ E f(x, y, z)dxdydz = ∫∫ D [∫ u2(x,z) u1(x,z) f(x, y, z)dy ] dxdz Ví dụ Tính tích phân ∫∫∫ E zdxdydz. Trong đó E là khối trong R 3 giới hạn bởi 0 ≤ y ≤ 1− x, (x, z) ∈ D với D là miền trong mặt phẳng zOx giới hạn bởi các đường z = 0, z = 1− x2, x ∈ [0, 1]. Tích phân ba lớp trong tọa độ trụ E = {(x, y, z) : (x, y) ∈ D, u1(x, y) ≤ z ≤ u2(x, y)} với D = {(r, θ) : α ≤ θ ≤ β, h1(θ) ≤ r ≤ h2(θ)} ∫∫∫ E f(x, y, z)dxdydz = ∫∫ D [∫ u2(x,y) u1(x,y) f(x, y, z)dz ] dxdy = ∫ β α ∫ h2(θ) h1(θ) ∫ u2(r cos θ,r sin θ) u1(r cos θ,r sin θ) f(r cos θ, r sin θ, z)rdzdrdθ Ví dụ Tính I = ∫∫∫ E √ x2 + y2dxdydz. Trong đó E là khối nằm bên trong mặt trụ x2 + y2 = 1, bên dưới mặt z = 4 và bên trên parabol tròn xoay z = 1− x2 − y2. Tích phân ba lớp trong tọa độ cầu Đổi biến trong tọa độ cầu ∫∫∫ E f(x, y, z)dxdydz = ∫ d c ∫ β α ∫ b a f(ρ sinφ cos θ, ρ sinφ sin θ, ρ cosφ)ρ2 sinφdρdθdφ Với miền tổng quát hơn E = {(ρ, θ, φ) : α ≤ θ ≤ β, c ≤ φ ≤ d, g1(θ, φ) ≤ ρ ≤ g2(θ, φ)} ∫∫∫ E f(x, y, z)dxdydz =∫ d c ∫ β α ∫ g2(θ,φ) g1(θ,φ) f(ρ sinφ cos θ, ρ sinφ sin θ, ρ cosφ)ρ2 sinφdρdθdφ Ví dụ Tính tích phân ba lớp ∫∫∫ E (x + y)dxdydz trong đó E là khối giới hạn bởi x2 + y2 + z2 ≤ 4 và z ≤ 0, y ≥ 0.