Bài giảng môn học Toán 1 - Chương 1: Số phức, Ma trận - Nguyễn Anh Thi
Định lý (Kronecker-Capelli) Nếu A˜ = (A|B) là ma trận mở rộng của hệ gồm n ẩn dạng AX = B thì r(A˜) = r(A) hoặc r(A˜) = r(A) + 1. Hơn nữa, • nếu r(A˜) = r(A) + 1 thì hệ vô nghiệm; • nếu r(A˜) = r(A) = n thì hệ có nghiệm duy nhất; • nếu r(A˜) = r(A) < n thì hệ có vô số nghiệm với bậc tự do là n - r(A)
Bạn đang xem trước 20 trang tài liệu Bài giảng môn học Toán 1 - Chương 1: Số phức, Ma trận - Nguyễn Anh Thi, để xem tài liệu hoàn chỉnh bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên
một bảng chữ nhật gồm m
dòng, n cột với mn hệ số trong R có dạng
A =
a11 a12 . . . a1n
a21 a22 . . . a2n
. . . . . . . . . . . .
am1 am2 . . . amn
Viết tắt: A = (aij)m×n hay A = (aij), trong đó aij ∈ R.
aij là hệ số ở dòng i, cột j của ma trận A (hệ số này còn được
ký hiệu là Aij).
Ký hiệu Mm×n(R) là tập hợp tất cả những ma trận loại m× n
trên R.
Nguyễn Anh Thi Bài giảng môn học Toán 1
Bài giảng môn
học Toán 1
Nguyễn Anh
Thi
Nội dung
Chương 1: SỐ
PHỨC, MA
TRẬN
1. Số phức.
2. Ma trận.
Nội dung
Chương 1: SỐ PHỨC, MA TRẬN
1. Số phức.
2. Ma trận.
Định nghĩa
Ví dụ
A =
(
1 2 3
0 1 2
)
∈ M2×3(R); B =
1 20 1
2 3
∈ M3×2(R).
Định nghĩa
Ma trận có các hệ số bằng 0, được gọi là ma trận không, ký
hiệu 0m×n (hay 0).
Ví dụ
03×4 =
0 0 0 00 0 0 0
0 0 0 0
Nguyễn Anh Thi Bài giảng môn học Toán 1
Bài giảng môn
học Toán 1
Nguyễn Anh
Thi
Nội dung
Chương 1: SỐ
PHỨC, MA
TRẬN
1. Số phức.
2. Ma trận.
Nội dung
Chương 1: SỐ PHỨC, MA TRẬN
1. Số phức.
2. Ma trận.
Các dạng đặc biệt của ma trận
Định nghĩa
Ma trận vuông cấp n là một ma trận loại n× n, (số dòng bằng
số cột). Ký hiệu Mn(R) là tập hợp các ma trận vuông cấp n.
Ví dụ
A ∈ M3(R) =
1 2 34 5 6
7 8 9
, 03×3 =
0 0 00 0 0
0 0 0
Nguyễn Anh Thi Bài giảng môn học Toán 1
Bài giảng môn
học Toán 1
Nguyễn Anh
Thi
Nội dung
Chương 1: SỐ
PHỨC, MA
TRẬN
1. Số phức.
2. Ma trận.
Nội dung
Chương 1: SỐ PHỨC, MA TRẬN
1. Số phức.
2. Ma trận.
Các dạng đặc biệt của ma trận
Định nghĩa
Nếu A = (aij) ∈ Mn(R) thì đường chứa các phần tử
a11, a22, ..., ann được gọi là đường chéo chính hay đường chéo
của A.
A =
a11 a12 . . . a1n
a21 a22 . . . a2n
. . . . . . . . . . . .
an1 an2 . . . ann
Ví dụ
A =
1 2 34 5 6
7 8 9
Nguyễn Anh Thi Bài giảng môn học Toán 1
Bài giảng môn
học Toán 1
Nguyễn Anh
Thi
Nội dung
Chương 1: SỐ
PHỨC, MA
TRẬN
1. Số phức.
2. Ma trận.
Nội dung
Chương 1: SỐ PHỨC, MA TRẬN
1. Số phức.
2. Ma trận.
Các dạng đặc biệt của ma trận
Định nghĩa
Một ma trận chéo cấp n là một ma trận vuông cấp n mà tất cả
các hệ số nằm ngoài đường chéo chính đều bằng 0. Nếu A là
một ma trận chéo cấp n, ta ký hiệu A = diag(a11, a22, ..., ann).
Ví dụ
A = diag(1, 5, 9) =
1 0 00 5 0
0 0 9
Nguyễn Anh Thi Bài giảng môn học Toán 1
Bài giảng môn
học Toán 1
Nguyễn Anh
Thi
Nội dung
Chương 1: SỐ
PHỨC, MA
TRẬN
1. Số phức.
2. Ma trận.
Nội dung
Chương 1: SỐ PHỨC, MA TRẬN
1. Số phức.
2. Ma trận.
Các dạng đặc biệt của ma trận
Định nghĩa
Ma trận đơn vị cấp n, ký hiệu In hay I, là ma trận chéo cấp n
mà tất cả các hệ số nằm trên đường chéo chính đều bằng 1.
Ví dụ
I3 =
1 0 00 1 0
0 0 1
Nguyễn Anh Thi Bài giảng môn học Toán 1
Bài giảng môn
học Toán 1
Nguyễn Anh
Thi
Nội dung
Chương 1: SỐ
PHỨC, MA
TRẬN
1. Số phức.
2. Ma trận.
Nội dung
Chương 1: SỐ PHỨC, MA TRẬN
1. Số phức.
2. Ma trận.
Các dạng đặc biệt của ma trận
Định nghĩa
Ma trận tam giác trên (tương ứng ma trận tam giác dưới) là
một ma trận vuông mà tất cả các hệ số nằm phía dưới (tương
ứng phía trên) đường chéo chính đều bằng 0.
Nhận xét
Ma trận vuông A là ma trận đường chéo khi và chỉ khi A vừa
là ma trận tam giác trên vừa là ma trận tam giác dưới.
Ví dụ
A =
1 2 30 5 6
0 0 9
, B =
1 0 04 5 0
7 8 9
Nguyễn Anh Thi Bài giảng môn học Toán 1
Bài giảng môn
học Toán 1
Nguyễn Anh
Thi
Nội dung
Chương 1: SỐ
PHỨC, MA
TRẬN
1. Số phức.
2. Ma trận.
Nội dung
Chương 1: SỐ PHỨC, MA TRẬN
1. Số phức.
2. Ma trận.
Các phép toán về ma trận
Định nghĩa (so sánh hai ma trận)
Cho hai ma trận cùng loại A = (aij)m×n và B = (bij)m×n. Ta
nói A bằng B, ký hiệu A = B, nếu aij = bij,∀i ∈ 1,m, j ∈ 1,n.
Ví dụ
Tìm x, y, z, t để(
x + 1 t
2x− 1 z
)
=
(
3y− 4 t + z
y− 1 2z + 2
)
Nguyễn Anh Thi Bài giảng môn học Toán 1
Bài giảng môn
học Toán 1
Nguyễn Anh
Thi
Nội dung
Chương 1: SỐ
PHỨC, MA
TRẬN
1. Số phức.
2. Ma trận.
Nội dung
Chương 1: SỐ PHỨC, MA TRẬN
1. Số phức.
2. Ma trận.
Các phép toán về ma trận
Định nghĩa (phép lấy chuyển vị)
Cho A = (aij) là một ma trận loại m× n. Ta gọi ma trận
chuyển vị của A, ký hiệu AT, là ma trận loại n×m, có được từ
A bằng cách xếp các dòng của A thành các cột tương ứng,
nghĩa là nếu A =
a11 a12 . . . a1n
a21 a22 . . . a2n
. . . . . . . . . . . .
am1 am2 . . . amn
thì
AT =
a11 a21 . . . am1
a12 a22 . . . am2
. . . . . . . . . . . .
a1n a2n . . . amn
.
Nguyễn Anh Thi Bài giảng môn học Toán 1
Bài giảng môn
học Toán 1
Nguyễn Anh
Thi
Nội dung
Chương 1: SỐ
PHỨC, MA
TRẬN
1. Số phức.
2. Ma trận.
Nội dung
Chương 1: SỐ PHỨC, MA TRẬN
1. Số phức.
2. Ma trận.
Các phép toán về ma trận
Định nghĩa
Nếu A> = A thì ta nói A là ma trận đối xứng. Nếu A> = −A
thì nói A là ma trận phản xứng.
Tính chất
Cho A,B ∈ Mm×n(R). Khi đó
• (A>)> = A;
• A> = B> ⇔ A = B.
Nguyễn Anh Thi Bài giảng môn học Toán 1
Bài giảng môn
học Toán 1
Nguyễn Anh
Thi
Nội dung
Chương 1: SỐ
PHỨC, MA
TRẬN
1. Số phức.
2. Ma trận.
Nội dung
Chương 1: SỐ PHỨC, MA TRẬN
1. Số phức.
2. Ma trận.
Các phép toán về ma trận
Ví dụ
Với A =
1 −1 4 56 −8 0 1
0 4 −3 6
ta có A> =
1 6 0
−1 −8 4
4 0 −3
5 1 6
B =
1 2 −22 4 5
−2 5 6
là ma trận đối xứng.
C =
0 −2 12 0 −3
−1 3 0
là ma trận phản xứng.
Nguyễn Anh Thi Bài giảng môn học Toán 1
Bài giảng môn
học Toán 1
Nguyễn Anh
Thi
Nội dung
Chương 1: SỐ
PHỨC, MA
TRẬN
1. Số phức.
2. Ma trận.
Nội dung
Chương 1: SỐ PHỨC, MA TRẬN
1. Số phức.
2. Ma trận.
Các phép toán về ma trận
Định nghĩa (Phép nhân vô hướng với ma trận)
Cho ma trận A = (aij) và số thực α ∈ R. Ta định nghĩa αA là
ma trận có từ A bằng cách nhân tất cả các hệ số của A với α,
nghĩa là
αA = (αaij)
Ma trận (−1)A được ký hiệu là −A, được gọi là ma trận đối
của A.
Ví dụ
Cho A =
(
3 4 1
0 1 −3
)
, ta có 2A =
(
6 8 2
0 2 −6
)
,
−A =
( −3 −4 −1
0 −1 3
)
.
Nguyễn Anh Thi Bài giảng môn học Toán 1
Bài giảng môn
học Toán 1
Nguyễn Anh
Thi
Nội dung
Chương 1: SỐ
PHỨC, MA
TRẬN
1. Số phức.
2. Ma trận.
Nội dung
Chương 1: SỐ PHỨC, MA TRẬN
1. Số phức.
2. Ma trận.
Các phép toán về ma trận
Định nghĩa (Phép cộng ma trận)
Cho A,B ∈ Mm×n(R). Khi đó tổng của A và B, ký hiệu A + B,
là ma trận được xác định bởi:
A + B = (aij + bij)m×n.
Ký hiệu A− B := A + (−B) và gọi là hiệu của A và B.
Ví dụ
Cho A =
(
3 4 1
0 1 −3
)
, B =
(
2 3 0
1 2 −3
)
Tính A + B và A− B.
Nguyễn Anh Thi Bài giảng môn học Toán 1
Bài giảng môn
học Toán 1
Nguyễn Anh
Thi
Nội dung
Chương 1: SỐ
PHỨC, MA
TRẬN
1. Số phức.
2. Ma trận.
Nội dung
Chương 1: SỐ PHỨC, MA TRẬN
1. Số phức.
2. Ma trận.
Các phép toán về ma trận
Tính chất
Với A,B,C ∈ Mm×n(R) và α, β ∈ R, ta có
i. A + B = B + A;
ii. (A + B) + C = A + (B + C);
iii. 0m×n + A = A + 0m×n = A;
iv. A + (−A) = (−A) + A = 0m×n;
v. (A + B)T = AT + BT;
vi. α(A + B) = αA + αB;
vii. (α+ β)A = αA + βA;
viii. (−α)A = α(−A) = −(αA).
Nguyễn Anh Thi Bài giảng môn học Toán 1
Bài giảng môn
học Toán 1
Nguyễn Anh
Thi
Nội dung
Chương 1: SỐ
PHỨC, MA
TRẬN
1. Số phức.
2. Ma trận.
Nội dung
Chương 1: SỐ PHỨC, MA TRẬN
1. Số phức.
2. Ma trận.
Các phép toán về ma trận
Định nghĩa (phép nhân ma trận)
Cho hai ma trận A = (aij) loại m× n và B = (bij) loại n× p.
Ta định nghĩa tích của hai ma trận A và B, ký hiệu là AB, là
ma trận định bởi:
• AB có loại m× p.
• AB có hệ số ở dòng i, cột j được tính bởi công thức
(AB)ij =
n∑
k=1
aikbkj = ai1b1j + ai2b2j + · · ·+ ainbnj.
Nguyễn Anh Thi Bài giảng môn học Toán 1
Bài giảng môn
học Toán 1
Nguyễn Anh
Thi
Nội dung
Chương 1: SỐ
PHỨC, MA
TRẬN
1. Số phức.
2. Ma trận.
Nội dung
Chương 1: SỐ PHỨC, MA TRẬN
1. Số phức.
2. Ma trận.
Các phép toán về ma trận
Ví dụ
Với A =
(
1 2 −1
3 1 2
)
, B =
1 32 1
3 −1
, tìm tích AB =?
Nguyễn Anh Thi Bài giảng môn học Toán 1
Bài giảng môn
học Toán 1
Nguyễn Anh
Thi
Nội dung
Chương 1: SỐ
PHỨC, MA
TRẬN
1. Số phức.
2. Ma trận.
Nội dung
Chương 1: SỐ PHỨC, MA TRẬN
1. Số phức.
2. Ma trận.
Các phép toán về ma trận
Tính chất
Với A ∈ Mm×n(R), B,B1,B2 ∈ Mn×p(R), C ∈ Mp×q(R),
D1,D2 ∈ Mq×n(R), ta có
• ImA = A và AIn = A. Đặc biệt, với A ∈ Mn(R), ta có
InA = AIn = A.
• 0p×mA = 0p×n và A0n×q = 0m×q. Đặc biệt, với
A = Mn(R), ta có
0n×nA = A0n×n = 0n×n.
• (AB)T = BTAT.
Nguyễn Anh Thi Bài giảng môn học Toán 1
Bài giảng môn
học Toán 1
Nguyễn Anh
Thi
Nội dung
Chương 1: SỐ
PHỨC, MA
TRẬN
1. Số phức.
2. Ma trận.
Nội dung
Chương 1: SỐ PHỨC, MA TRẬN
1. Số phức.
2. Ma trận.
Các phép toán về ma trận
• Phép nhân ma trận có tính chất kết hợp, nghĩa là
(AB)C = A(BC).
• Phép nhân ma trận có tính chất phân phối đối với phép
cộng , nghĩa là
A(B1 + B2) = AB1 + AB2;
(D1 + D2)A = D1A + D2A.
Chú ý
Phép nhân ma trận không có tính giao hoán.
Nguyễn Anh Thi Bài giảng môn học Toán 1
Bài giảng môn
học Toán 1
Nguyễn Anh
Thi
Nội dung
Chương 1: SỐ
PHỨC, MA
TRẬN
1. Số phức.
2. Ma trận.
Nội dung
Chương 1: SỐ PHỨC, MA TRẬN
1. Số phức.
2. Ma trận.
Các phép toán về ma trận
Định nghĩa (lũy thừa ma trận vuông)
Cho A ∈ Mn(R). Ta gọi lũy thừa bậc k của A là một ma trận
thuộc Mn(R), ký hiệu Ak, được xác định như sau:
A0 = In;A1 = A;A2 = AA; . . . ;Ak = Ak−1A.
Như vậy Ak = A · · ·A︸ ︷︷ ︸
k lần
.
Nguyễn Anh Thi Bài giảng môn học Toán 1
Bài giảng môn
học Toán 1
Nguyễn Anh
Thi
Nội dung
Chương 1: SỐ
PHỨC, MA
TRẬN
1. Số phức.
2. Ma trận.
Nội dung
Chương 1: SỐ PHỨC, MA TRẬN
1. Số phức.
2. Ma trận.
Các phép toán về ma trận
Ví dụ
Cho A =
(
1 3
0 1
)
. Tính A2, A3,..., từ đó suy ra A200.
A2 = AA =
(
1 3
0 1
)(
1 3
0 1
)
=
(
1 6
0 1
)
A3 = A2A =
(
1 6
0 1
)(
1 3
0 1
)
=
(
1 9
0 1
)
Suy ra A200 =
(
1 200× 3
0 1
)
Nguyễn Anh Thi Bài giảng môn học Toán 1
Bài giảng môn
học Toán 1
Nguyễn Anh
Thi
Nội dung
Chương 1: SỐ
PHỨC, MA
TRẬN
1. Số phức.
2. Ma trận.
Nội dung
Chương 1: SỐ PHỨC, MA TRẬN
1. Số phức.
2. Ma trận.
Các phép biến đổi sơ cấp
Định nghĩa
Cho A = (aij)m×n. Ta gọi phép biến đổi sơ cấp trên dòng, viết
tắt là phép BĐSCTD trên A, là một trong ba loại biến đổi sau:
• Loại 1: Hoán vị hai dòng i và j (i 6= j). Ký hiệu: di ↔ dj.
• Loại 2: Nhân dòng i với một số α 6= 0. Ký hiệu: di := αdi.
• Loại 3: Cộng vào một dòng i với β lần dòng j (j 6= i). Ký
hiệu: di := di + βdj.
Với ϕ là một phép biến đổi sơ cấp, ký hiệu ϕ(A) là ma trận có
từ A qua ϕ.
Ví dụ(
1 −2
2 3
)
d1↔d2−−−−→
(
2 3
1 −2
)
d2:=2d2−−−−→
(
2 3
2 −4
)
Nguyễn Anh Thi Bài giảng môn học Toán 1
Bài giảng môn
học Toán 1
Nguyễn Anh
Thi
Nội dung
Chương 1: SỐ
PHỨC, MA
TRẬN
1. Số phức.
2. Ma trận.
Nội dung
Chương 1: SỐ PHỨC, MA TRẬN
1. Số phức.
2. Ma trận.
Nhận xét
1. A
di↔dj−−−→ A′ ⇒ A′ di↔dj−−−→ A
2. A di:=αdi−−−−→ A′ ⇒ A′ di:=
1
α
di−−−−→ A
3. A
di:=di+βdj−−−−−−→ A′ ⇒ A′ di:=di−βdj−−−−−−→ A
Định nghĩa
Cho A,B ∈ Mm×n(R). Ta nói A tương đương dòng với B, ký
hiệu A ∼ B, nếu B có được từ A qua hữu hạn phép biến đổi sơ
cấp trên dòng nào đó. Vậy A ∼ B ⇔ ∃ϕ1, ..., ϕk là các phép
BĐSCTD sao cho
A ϕ1−→ A1 ϕ2−→ A2 · · · ϕk−→ Ak = B
Nguyễn Anh Thi Bài giảng môn học Toán 1
Bài giảng môn
học Toán 1
Nguyễn Anh
Thi
Nội dung
Chương 1: SỐ
PHỨC, MA
TRẬN
1. Số phức.
2. Ma trận.
Nội dung
Chương 1: SỐ PHỨC, MA TRẬN
1. Số phức.
2. Ma trận.
Ma trận bậc thang
Định nghĩa
Cho A ∈ Mm×n(R). Hệ số khác 0 đầu tiên kể từ bên trái của
mỗi dòng được gọi là phần tử cơ sở của dòng đó. Ta nói A là
ma trận bậc thang nếu A thỏa hai tính chất sau:
1. Các dòng khác 0 luôn luôn ở trên các dòng bằng 0 của A.
2. Trên hai dòng khác 0 của A, phần tử cơ sở của dòng dưới
bao giờ cũng ở bên phải cột chứa phần tử cơ sở của dòng
trên.
Nguyễn Anh Thi Bài giảng môn học Toán 1
Bài giảng môn
học Toán 1
Nguyễn Anh
Thi
Nội dung
Chương 1: SỐ
PHỨC, MA
TRẬN
1. Số phức.
2. Ma trận.
Nội dung
Chương 1: SỐ PHỨC, MA TRẬN
1. Số phức.
2. Ma trận.
Ma trận bậc thang
Như vậy ma trận bậc thang sẽ có dạng
Nguyễn Anh Thi Bài giảng môn học Toán 1
Bài giảng môn
học Toán 1
Nguyễn Anh
Thi
Nội dung
Chương 1: SỐ
PHỨC, MA
TRẬN
1. Số phức.
2. Ma trận.
Nội dung
Chương 1: SỐ PHỨC, MA TRẬN
1. Số phức.
2. Ma trận.
Ma trận bậc thang
Ví dụ
A =
1 2 5 4 2
0 0 3 1 7
0 0 0 0 4
0 0 0 0 0
, B =
2 3 2 1
0 0 4 2
0 1 0 3
0 0 0 0
A là ma trận bậc thang, B không là ma trận bậc thang.
Nguyễn Anh Thi Bài giảng môn học Toán 1
Bài giảng môn
học Toán 1
Nguyễn Anh
Thi
Nội dung
Chương 1: SỐ
PHỨC, MA
TRẬN
1. Số phức.
2. Ma trận.
Nội dung
Chương 1: SỐ PHỨC, MA TRẬN
1. Số phức.
2. Ma trận.
Ma trận bậc thang
Định nghĩa (Ma trận bậc thang rút gọn)
Ma trận A được gọi là ma trận bậc thang rút gọn nếu các tính
chất sau được thoả
1. A có dạng bậc thang.
2. Các phần tử cơ sở đều bằng 1.
3. Trên cột có chứa phần tử cơ sở, các hệ số ngoài phần tử cơ
sở đều bằng 0.
Nguyễn Anh Thi Bài giảng môn học Toán 1
Bài giảng môn
học Toán 1
Nguyễn Anh
Thi
Nội dung
Chương 1: SỐ
PHỨC, MA
TRẬN
1. Số phức.
2. Ma trận.
Nội dung
Chương 1: SỐ PHỨC, MA TRẬN
1. Số phức.
2. Ma trận.
Ví dụ
C =
1 0 0 0 4
0 1 0 0 −7
0 0 1 1 2
0 0 0 0 0
, D =
1 3 0 2 7
0 1 0 0 0
0 0 1 0 0
0 0 0 0 0
C là ma trận bậc thang rút gọn, D không là ma trận bậc thang
rút gọn.
Định nghĩa
Ma trận B được gọi là một dạng bậc thang của ma trận A, nếu
B là một ma trận bậc thang, và tương đương dòng với A.
Nhận xét
Một ma trận A thì có nhiều dạng bậc thang, tuy nhiên các
dạng bậc thang của A đều có chung số dòng khác 0.
Nguyễn Anh Thi Bài giảng môn học Toán 1
Bài giảng môn
học Toán 1
Nguyễn Anh
Thi
Nội dung
Chương 1: SỐ
PHỨC, MA
TRẬN
1. Số phức.
2. Ma trận.
Nội dung
Chương 1: SỐ PHỨC, MA TRẬN
1. Số phức.
2. Ma trận.
Ma trận bậc thang
Định nghĩa
Nếu A tương đương dòng với một ma trận bậc thang rút gọn B
thì B được gọi là dạng bậc thang rút gọn của A. Dạng bậc
thang rút gọn của một ma trận A là duy nhất và được ký hiệu
RA.
Ví dụ
Cho A =
1 2 3 −2−2 −5 1 −4
3 6 9 −6
, tìm RA?
RA =
1 0 17 −180 1 −7 8
0 0 0 0
Nguyễn Anh Thi Bài giảng môn học Toán 1
Bài giảng môn
học Toán 1
Nguyễn Anh
Thi
Nội dung
Chương 1: SỐ
PHỨC, MA
TRẬN
1. Số phức.
2. Ma trận.
Nội dung
Chương 1: SỐ PHỨC, MA TRẬN
1. Số phức.
2. Ma trận.
Hạng của ma trận
Định nghĩa
Cho A ∈ Mm×n(R), số dòng khác 0 của một dạng bậc thang
của A là hạng của A, ký hiệu r(A).
Ví dụ
Tìm hạng của ma trận 1 2 12 1 2
1 2 1
Nguyễn Anh Thi Bài giảng môn học Toán 1
Bài giảng môn
học Toán 1
Nguyễn Anh
Thi
Nội dung
Chương 1: SỐ
PHỨC, MA
TRẬN
1. Số phức.
2. Ma trận.
Nội dung
Chương 1: SỐ PHỨC, MA TRẬN
1. Số phức.
2. Ma trận.
Định thức
• Định nghĩa
• Khai triển định thức theo dòng và cột
• Các tính chất của định thức
• Định thức và các phép biến đổi sơ cấp
• Định lý Laplace
Nguyễn Anh Thi Bài giảng môn học Toán 1
Bài giảng môn
học Toán 1
Nguyễn Anh
Thi
Nội dung
Chương 1: SỐ
PHỨC, MA
TRẬN
1. Số phức.
2. Ma trận.
Nội dung
Chương 1: SỐ PHỨC, MA TRẬN
1. Số phức.
2. Ma trận.
Định thức
Định nghĩa
Cho A = (aij)n×n ∈ Mn(R). Định thức của A, được ký hiệu là
det A hay |A|, là một số thực được xác định bằng quy nạp theo
n như sau:
• Nếu n = 1, A = (a), thì |A| = a.
• Nếu n = 2, A =
(
a11 a12
a21 a22
)
, thì |A| = a11a22 − a12a21.
Nguyễn Anh Thi Bài giảng môn học Toán 1
Bài giảng môn
học Toán 1
Nguyễn Anh
Thi
Nội dung
Chương 1: SỐ
PHỨC, MA
TRẬN
1. Số phức.
2. Ma trận.
Nội dung
Chương 1: SỐ PHỨC, MA TRẬN
1. Số phức.
2. Ma trận.
Định thức
• Nếu n > 2, A =
a11 a12 · · · a1n
a21 a22 · · · a2n
· · · · · · · · · · · ·
an1 an2 · · · ann
, thì
|A| dòng 1===== a11(−1)1+1|A(1|1)|+ a12(−1)1+2|A(1|2)|+
· · ·+ a1n(−1)1+n|A(1|n)|, trong đó A(i|j) là ma trận có
được từ A bằng cách xóa đi dòng i và cột j của A.
Nguyễn Anh Thi Bài giảng môn học Toán 1
Bài giảng môn
học Toán 1
Nguyễn Anh
Thi
Nội dung
Chương 1: SỐ
PHỨC, MA
TRẬN
1. Số phức.
2. Ma trận.
Nội dung
Chương 1: SỐ PHỨC, MA TRẬN
1. Số phức.
2. Ma trận.
Định thức
Ví dụ
Cho A =
(
1 −3
4 −2
)
. Khi đó |A| = 1.(−2)− (−3).4 = 10
Ví dụ
Cho A =
1 3 61 4 10
1 5 15
|A| =
1(−1)1+1
∣∣∣∣ 4 105 15
∣∣∣∣+ 3(−1)1+2 ∣∣∣∣ 1 101 15
∣∣∣∣+ 6(−1)1+3 ∣∣∣∣ 1 41 5
∣∣∣∣
= 10− 15 + 6 = 1
Nguyễn Anh Thi Bài giảng môn học Toán 1
Bài giảng môn
học Toán 1
Nguyễn Anh
Thi
Nội dung
Chương 1: SỐ
PHỨC, MA
TRẬN
1. Số phức.
2. Ma trận.
Nội dung
Chương 1: SỐ PHỨC, MA TRẬN
1. Số phức.
2. Ma trận.
Quy tắc Sarrus
Trong trường hợp n = 3, thì ta có ma trận
A =
a11 a12 a13a21 a22 a23
a31 a32 a33
Áp dụng định nghĩa trên ta có thể tính được định thức của A
|A| = a11(−1)1+1
∣∣∣∣ a22 a23a32 a33
∣∣∣∣+ a12(−1)1+2 ∣∣∣∣ a21 a23a31 a33
∣∣∣∣+
a13(−1)1+3
∣∣∣∣ a21 a22a31 a32
∣∣∣∣
= a11a22a33 + a12a23a31 + a13a21a32 − a13a22a31 − a11a23a32 −
a12a21a33
Nguyễn Anh Thi Bài giảng môn học Toán 1
Bài giảng môn
học Toán 1
Nguyễn Anh
Thi
Nội dung
Chương 1: SỐ
PHỨC, MA
TRẬN
1. Số phức.
2. Ma trận.
Nội dung
Chương 1: SỐ PHỨC, MA TRẬN
1. Số phức.
2. Ma trận.
Từ đây ta đưa ra quy tắc Sarrus, đưa vào sơ đồ như sau
Theo đó định thức bằng tổng các tích số của từng bộ 3 số trên
các đường liền nét trừ đi tổng các tích số của từng bộ 3 số trên
các đường không liền nét. Hoặc
Nguyễn Anh Thi Bài giảng môn học Toán 1
Bài giảng môn
học Toán 1
Nguyễn Anh
Thi
Nội dung
Chương 1: SỐ
PHỨC, MA
TRẬN
1. Số phức.
2. Ma trận.
Nội dung
Chương 1: SỐ PHỨC, MA TRẬN
1. Số phức.
2. Ma trận.
∣∣∣∣∣∣
a11 a12 a13
a21 a22 a33
a31 a32 a33
∣∣∣∣∣∣ =
• ∗ ◦
◦ • ∗
∗ ◦ •
−
∗ ◦ •
◦ • ∗
• ∗ ◦
Định thức của ma trận A được tính bằng tổng các tích số của
từng bộ 3 số tương ứng với cùng một ký hiệu trong hình màu
đỏ trừ đi tổng các tích số của từng bộ 3 số tương ứng với cùng
một ký hiệu trong hình màu xanh.
Ví dụ
Tính định thức |A| =
∣∣∣∣∣∣
1 2 3
4 2 1
3 1 5
∣∣∣∣∣∣ =
1.2.5 + 2.1.3 + 3.4.1− 3.2.3− 1.1.1− 2.4.5 = −31
Nguyễn Anh Thi Bài giảng môn học Toán 1
Bài giảng môn
học Toán 1
Nguyễn Anh
Thi
Nội dung
Chương 1: SỐ
PHỨC, MA
TRẬN
1. Số phức.
2. Ma trận.
Nội dung
Chương 1: SỐ PHỨC, MA TRẬN
1. Số phức.
2. Ma trận.
Khai triển định thức theo dòng và
cột
Định nghĩa
Cho A = (aij)n×n là một ma trận vuông cấp n với hệ số trong
R. Với mỗi i, j, ta gọi cij = (−1)i+jdetA(i|j) là phần bù đại số
của hệ số aij, trong đó A(i|j) là ma trận vuông cấp (n− 1) có
được từ A bằng cách xóa dòng i, cột j.
Định lý
Cho A = (aij)n×n ∈ Mn(R). Với mỗi i, j , gọi cij là phần bù đại
số của hệ số aij. Ta có
• Công thức khai triển |A| theo dòng i: |A| =∑nk=1 aikcik.
• Công thức khai triển |A| theo cột j: |A| =∑nk=1 akjckj.
Nguyễn Anh Thi Bài giảng môn học Toán 1
Bài giảng môn
học Toán 1
Nguyễn Anh
Thi
Nội dung
Chương 1: SỐ
PHỨC, MA
TRẬN
1. Số phức.
2. Ma trận.
Nội dung
Chương 1: SỐ PHỨC, MA TRẬN
1. Số phức.
2. Ma trận.
Chú ý
Trong việc tính định thức của ma trận ta nên chọn dòng hay
cột có nhiều số 0 để tính.
Ví dụ
Tính định thức của ma trận
1 1 12 3 1
3 4 0
.
Nguyễn Anh Thi Bài giảng môn học Toán 1
Bài giảng môn
học Toán 1
Nguyễn Anh
Thi
Nội dung
Chương 1: SỐ
PHỨC, MA
TRẬN
1. Số phức.
2. Ma trận.
Nội dung
Chương 1: SỐ PHỨC, MA TRẬN
1. Số phức.
2. Ma trận.
Một số tính chất của định thức
Tính chất
Cho A,B ∈ Mn(R). Khi đó:
i. |AT| = |A|.
ii. |AB| = |A||B|.
iii. Nếu ma trận A có một dòng hay một cột bằng 0 thì |A| = 0.
iv. Nếu A là một ma trận tam giác thì |A| bằng tích các phần
tử trên đường chéo của A.
v. Nếu dòng i của A là tổng của hai dòng (b1b2 . . . bn) và
(c1c2 . . . cn). Khi đó |A| = |B|+ |C|, trong đó B,C lần lượt
là các ma trận có từ A bằng cách thay dòng i bằng
(b1b2 . . . bn) và (c1c2 . . . cn).
Nguyễn Anh Thi Bài giảng môn học Toán 1
Bài giảng môn
học Toán 1
Nguyễn Anh
Thi
Nội dung
Chương 1: SỐ
PHỨC, MA
TRẬN
1. Số phức.
2. Ma trận.
Nội dung
Chương 1: SỐ PHỨC, MA TRẬN
1. Số phức.
2. Ma trận.
Định thức và các phép biến đổi sơ
cấp
Định lý
Cho A,A′ ∈ Mn(R). Khi đó
1 Nếu A
di↔dj−−−→
i6=j
A′, thì |A′| = −|A|;
2 Nếu A di:=αdi−−−−→ A′ thì |A′| = α|A|;
3 Nếu A
di:=di+βdj−−−−−−→
i6=j
A′ thì |A′| = |A|.
Nguyễn Anh Thi Bài giảng môn học Toán 1
Bài giảng môn
học Toán 1
Nguyễn Anh
Thi
Nội dung
Chương 1: SỐ
PHỨC, MA
TRẬN
1. Số phức.
2. Ma trận.
Nội dung
Chương 1: SỐ PHỨC, MA TRẬN
1. Số phức.
2. Ma trận.
Ví dụ∣∣∣∣∣∣
1 3 7
2 6 −8
5 −12 4
∣∣∣∣∣∣ dòng 2===== 2
∣∣∣∣∣∣
1 3 7
1 3 −4
5 −12 4
∣∣∣∣∣∣
cột 2
==== 2.3
∣∣∣∣∣∣
1 1 7
1 1 −4
5 −4 4
∣∣∣∣∣∣
d2:=d2−d1======== 6
∣∣∣∣∣∣
1 1 7
0 0 −11
5 −4 4
∣∣∣∣∣∣
dòng 2
===== 6(−11)(−1)2+3
∣∣∣∣ 1 15 −4
∣∣∣∣ = −594.
Chú ý
Vì |AT| = |A| nên trong quá trình tính định thức ta có thể sử
dụng các phép biến đổi sơ cấp trên cột.
Nguyễn Anh Thi Bài giảng môn học Toán 1
Bài giảng môn
học Toán 1
Nguyễn Anh
Thi
Nội dung
Chương 1: SỐ
PHỨC, MA
TRẬN
1. Số phức.
2. Ma trận.
Nội dung
Chương 1: SỐ PHỨC, MA TRẬN
1. Số phức.
2. Ma trận.
Ma trận khả nghịch và ma trận
nghịch đảo
• Định nghĩa
• Nhận diện ma trận khả nghịch
• Phương pháp tìm ma trận nghịch đảo
Nguyễn Anh Thi Bài giảng môn học Toán 1
Bài giảng môn
học Toán 1
Nguyễn Anh
Thi
Nội dung
Chương 1: SỐ
PHỨC, MA
TRẬN
1. Số phức.
2. Ma trận.
Nội dung
Chương 1: SỐ PHỨC, MA TRẬN
1. Số phức.
2. Ma trận.
Định nghĩa
Định nghĩa
Cho A ∈ Mn(R). Ta nói A khả nghịch nếu tồn tại ma trận B
sao cho AB = BA = In. Nếu B thỏa điều kiện trên được gọi là
ma trận nghịch đảo của A.
Nhận xét
Ma trận nghịch đảo của một ma trận khả nghịch là duy nhất.
Ta ký hiệu ma trận nghịch đảo của A là A−1.
Ví dụ
Cho A =
(
3 5
1 2
)
. Khi đó A−1 =
(
2 −5
−1 3
)
Nguyễn Anh Thi Bài giảng môn học Toán 1
Bài giảng môn
học Toán 1
Nguyễn Anh
Thi
Nội dung
Chương 1: SỐ
PHỨC, MA
TRẬN
1. Số phức.
2. Ma trận.
Nội dung
Chương 1: SỐ PHỨC, MA TRẬN
1. Số phức.
2. Ma trận.
Tính chất
Cho A,B ∈ Mn(R). Giả sử A khả nghịch và có ma trận nghịch
đảo là A−1. Khi đó
• A−1 khả nghịch và (A−1)−1 = A.
• AT khả nghịch và (AT)−1 = (A−1)T.
• ∀α ∈ R\{0}, αA khả nghịch và (αA)−1 = 1αA−1.
• Nếu A và B khả nghịch thì AB khả nghịch, hơn nữa
(AB)−1 = B−1A−1.
Nguyễn Anh Thi Bài giảng môn học Toán 1
Bài giảng môn
học Toán 1
Nguyễn Anh
Thi
Nội dung
Chương 1: SỐ
PHỨC, MA
TRẬN
1. Số phức.
2. Ma trận.
Nội dung
Chương 1: SỐ PHỨC, MA TRẬN
1. Số phức.
2. Ma trận.
Nhận diện ma trận khả nghịch
Định lý
Cho A ∈ Mn(R). Khi đó các khẳng định sau là tương đương:
i. A khả nghịch.
ii. |A| 6= 0.
iii. r(A) = n.
iv. Tồn tại các phép BĐSCTD ϕ1, ..., ϕk biến ma trận A thành
ma trận đơn vị In. A
ϕ1−→ A1 → . . . ϕk−→ Ak = In. Hơn nữa,
khi đó qua chính các phép BĐSCTD ϕ1, ϕ2, . . . , ϕk, ma
trận đơn vị In sẽ biến thành ma trận nghịch đảo A−1:
In
ϕ1−→ B1 → . . . ϕk−→ Bk = A−1.
Nguyễn Anh Thi Bài giảng môn học Toán 1
Bài giảng môn
học Toán 1
Nguyễn Anh
Thi
Nội dung
Chương 1: SỐ
PHỨC, MA
TRẬN
1. Số phức.
2. Ma trận.
Nội dung
Chương 1: SỐ PHỨC, MA TRẬN
1. Số phức.
2. Ma trận.
Phương pháp tìm ma trận nghịch
đảo
Phương pháp 1
Lập (A|In) và dùng các phép BĐSCTD đưa A về dạng bậc thang
rút gọn: (A|In) ϕ1−→ (A1|B1)→ . . . ϕp−→ (Ap|Bp) . . .
Trong quá trình biến đổi có thể xảy ra hai trường hợp:
• Trường hợp 1: Trong dãy biến đổi trên, tồn tại p sao cho
ma trận Ap có ít nhất một dòng hay một cột bằng 0. Khi
đó A không khả nghịch.
• Trường hợp 2: Mọi ma trận Ai trong dãy biến đổi trên đều
không có dòng hay cột bằng 0. Khi đó ma trận cuối cùng
trong dãy trên có dạng (In|B). Ta có A khả nghịch và
A−1 = B.
Nguyễn Anh Thi Bài giảng môn học Toán 1
Bài giảng môn
học Toán 1
Nguyễn Anh
Thi
Nội dung
Chương 1: SỐ
PHỨC, MA
TRẬN
1. Số phức.
2. Ma trận.
Nội dung
Chương 1: SỐ PHỨC, MA TRẬN
1. Số phức.
2. Ma trận.
Phương pháp tìm ma trận nghịch
đảo
Phương pháp 2
Cho A = (aij) ∈ Mn(R). Đặt C = (cij) với cij = (−1)i+j|A(i|j)| là
phần bù đại số của aij. Ta gọi ma trận chuyển vị CT của C là
ma trận phụ hợp của A, ký hiệu là adj(A). Khi đó ma trận
nghịch đảo của ma trận A được xác định bởi
A−1 = 1|A|adj(A)
Ví dụ
Tìm ma trận nghịch đảo của A =
1 1 12 3 1
3 4 0
Nguyễn Anh Thi Bài giảng môn học Toán 1
Bài giảng môn
học Toán 1
Nguyễn Anh
Thi
Nội dung
Chương 1: SỐ
PHỨC, MA
TRẬN
1. Số phức.
2. Ma trận.
Nội dung
Chương 1: SỐ PHỨC, MA TRẬN
1. Số phức.
2. Ma trận.
c31 = (−1)3+1
∣∣∣∣ 1 13 1
∣∣∣∣ = −2; c32 = (−1)3+2 ∣∣∣∣ 1 12 1
∣∣∣∣ = 1
|A| = 3c31 + 4c32 = 3.(−2) + 4.1 = −2 6= 0.
Vậy ma trận A khả nghịch.
Tương tự như trên ta có thể tính được c11 = −4; c12 = 3; c13 =
−1; c21 = 4; c22 = −3; c23 = −1; c33 = 1. Từ đó ta có ma trận
C =
−4 3 −14 −3 −1
−2 1 1
và adj(A) =
−4 4 −23 −3 1
−1 −1 1
. Suy
ra A−1 = 1|A|adj(A) =
1
−2
−4 4 −23 −3 1
−1 −1 1
Nguyễn Anh Thi Bài giảng môn học Toán 1
Bài giảng môn
học Toán 1
Nguyễn Anh
Thi
Nội dung
Chương 1: SỐ
PHỨC, MA
TRẬN
1. Số phức.
2. Ma trận.
Nội dung
Chương 1: SỐ PHỨC, MA TRẬN
1. Số phức.
2. Ma trận.
Hệ quả
Ma trận A =
(
a b
c d
)
khả nghịch khi và chỉ khi ad− bc 6= 0.
Khi đó
A−1 = 1ad− bc
(
d −b
−c a
)
Ví dụ
Cho A =
(
2 4
3 5
)
. Suy ra A−1 = 1−2
(
5 −4
−3 2
)
Nguyễn Anh Thi Bài giảng môn học Toán 1
Bài giảng môn
học Toán 1
Nguyễn Anh
Thi
Nội dung
Chương 1: SỐ
PHỨC, MA
TRẬN
1. Số phức.
2. Ma trận.
Nội dung
Chương 1: SỐ PHỨC, MA TRẬN
1. Số phức.
2. Ma trận.
Giải phương trình ma trận
Định lý
Cho các ma trận A,A′ ∈ Mn(R) khả nghịch và B ∈ Mn×p(R),
C ∈ Mm×n(R), D ∈ Mn(R). Khi đó
• AX = B ⇔ X = A−1B;
• XA = C ⇔ X = CA−1;
• AXA′ = D ⇔ X = A−1DA′−1.
Nguyễn Anh Thi Bài giảng môn học Toán 1
Bài giảng môn
học Toán 1
Nguyễn Anh
Thi
Nội dung
Chương 1: SỐ
PHỨC, MA
TRẬN
1. Số phức.
2. Ma trận.
Nội dung
Chương 1: SỐ PHỨC, MA TRẬN
1. Số phức.
2. Ma trận.
Giải phương trình ma trận
Ví dụ
Cho hai ma trận
A =
1 2 3 −2
2 −1 −2 −3
3 2 −1 −5
2 −3 1 −3
;B =
1 −1 0 0
0 1 −1 0
0 0 1 −1
0 0 0 1
a. Chứng tỏ A khả nghịch và tìm A−1.
b. Tìm ma trận X thỏa AXA = AB.
c. Tìm ma trận X thỏa A2XA2 = ABA2.
Nguyễn Anh Thi Bài giảng môn học Toán 1
Bài giảng môn
học Toán 1
Nguyễn Anh
Thi
Nội dung
Chương 1: SỐ
PHỨC, MA
TRẬN
1. Số phức.
2. Ma trận.
Nội dung
Chương 1: SỐ PHỨC, MA TRẬN
1. Số phức.
2. Ma trận.
Hệ quả
Cho các ma trận A ∈ Mn(R) khả nghịch và B ∈ Mn×p(R),
C ∈ Mm×n(R). Ta có
• Nếu AB = 0 thì B = 0.
• Nếu CA = 0 thì C = 0.
Nguyễn Anh Thi Bài giảng môn học Toán 1
Bài giảng môn
học Toán 1
Nguyễn Anh
Thi
Nội dung
Chương 1: SỐ
PHỨC, MA
TRẬN
1. Số phức.
2. Ma trận.
Nội dung
Chương 1: SỐ PHỨC, MA TRẬN
1. Số phức.
2. Ma trận.
Hệ phương trình tuyến tính
1. Một hệ phương trình tuyến tính trên R gồm m phương
trình, n ẩn số là một hệ có dạng
a11x1 + a12x2 + · · ·+ a1nxn = b1;
a21x1 + a22x1 + · · ·+ a2nxn = b2;
..................................................
am1x1 + am2x2 + · · ·+ amnxn = bm,
(∗)
trong đó
Nguyễn Anh Thi Bài giảng môn học Toán 1
Bài giảng môn
học Toán 1
Nguyễn Anh
Thi
Nội dung
Chương 1: SỐ
PHỨC, MA
TRẬN
1. Số phức.
2. Ma trận.
Nội dung
Chương 1: SỐ PHỨC, MA TRẬN
1. Số phức.
2. Ma trận.
Định nghĩa
• aij là các hệ số;
• bi ∈ R là các hệ số tự do;
• x1, x2, ..., xn là các ẩn số nhận giá trị trong R;
Nếu các hệ số bi = 0 thì ta nói hệ phương trình tuyến tính trên
là hệ phương trình tuyến tính thuần nhất trên R.
2. Ma trận
A =
a11 a12 . . . a1n
a21 a22 . . . a2n
. . . . . . . . . . . .
am1 am2 . . . amn
được gọi là ma trận hệ số của hệ (∗).
Nguyễn Anh Thi Bài giảng môn học Toán 1
Bài giảng môn
học Toán 1
Nguyễn Anh
Thi
Nội dung
Chương 1: SỐ
PHỨC, MA
TRẬN
1. Số phức.
2. Ma trận.
Nội dung
Chương 1: SỐ PHỨC, MA TRẬN
1. Số phức.
2. Ma trận.
Ma trận B =
b1
b2
...
bm
được gọi là cột các hệ số tự do của hệ (∗).
Ma trận X =
x1
x2
...
xn
được gọi là cột các ẩn của hệ (∗).
Khi đó hệ (∗) được viết dưới dạng AX = B. Đặt
A˜ = (A|B) =
a11 a12 . . . a1n b1
a21 a22 . . . a2n b2
. . . . . . . . . . . . . . .
am1 am2 . . . amn bm
được gọi là ma trận bổ sung (hay ma trận mở rộng) của hệ (∗).
Nguyễn Anh Thi Bài giảng môn học Toán 1
Bài giảng môn
học Toán 1
Nguyễn Anh
Thi
Nội dung
Chương 1: SỐ
PHỨC, MA
TRẬN
1. Số phức.
2. Ma trận.
Nội dung
Chương 1: SỐ PHỨC, MA TRẬN
1. Số phức.
2. Ma trận.
Ví dụ
x1 + 2x2 + 3x3 + 4x4 = 7;
x1 + 2x2 + 2x3 + 3x4 = 6;
3x1 + 2x2 + 2x3 + x4 = 7;
4x1 + 3x2 + 2x3 + x4 = 18.
(∗)
Ma trận hệ số của hệ (∗) là
1 2 3 4
1 2 2 3
3 2 2 1
4 3 2 1
, cột hệ số tự do
là
7
6
7
18
, cột ẩn của hệ là
x1
x2
x3
x4
Nguyễn Anh Thi Bài giảng môn học Toán 1
Bài giảng môn
học Toán 1
Nguyễn Anh
Thi
Nội dung
Chương 1: SỐ
PHỨC, MA
TRẬN
1. Số phức.
2. Ma trận.
Nội dung
Chương 1: SỐ PHỨC, MA TRẬN
1. Số phức.
2. Ma trận.
Nghiệm của hệ phương trình
tuyến tính
Định nghĩa
Ta nói u = (α1, α2, . . . , αn) là nghiệm của hệ phương trình (∗)
nếu ta thay thế x1 := α1, x2 = α2, · · · , xn := αn thì tất cả các
phương trình trong (∗) đều thỏa.
Định nghĩa
Hai hệ phương trình là tương đương nhau nếu chúng có cùng
tập nghiệm.
Nguyễn Anh Thi Bài giảng môn học Toán 1
Bài giảng môn
học Toán 1
Nguyễn Anh
Thi
Nội dung
Chương 1: SỐ
PHỨC, MA
TRẬN
1. Số phức.
2. Ma trận.
Nội dung
Chương 1: SỐ PHỨC, MA TRẬN
1. Số phức.
2. Ma trận.
Nghiệm của hệ phương trình
tuyến tính
Nhận xét
Khi giải một hệ phương trình tuyến tính, các phép biến đổi
sau đây cho ta các hệ tương đương:
• Hoán đổi hai phương trình cho nhau.
• Nhân hai vế của một phương trình cho một số khác 0.
• Cộng vào một phương trình một bội của phương trình
khác.
Định lý
Nếu hai hệ phương trình tuyến tính có ma trận mở rộng tương
đương dòng với nhau thì hai hệ phương trình đó tương đương
nhau.
Nguyễn Anh Thi Bài giảng môn học Toán 1
Bài giảng môn
học Toán 1
Nguyễn Anh
Thi
Nội dung
Chương 1: SỐ
PHỨC, MA
TRẬN
1. Số phức.
2. Ma trận.
Nội dung
Chương 1: SỐ PHỨC, MA TRẬN
1. Số phức.
2. Ma trận.
Nghiệm của hệ phương trình
tuyến tính
Nhận xét
Hệ phương trình tuyến tính thuần nhất
a11x1 + a12x2 + · · ·+ a1nxn = 0
a21x1 + a22x2 + · · ·+ a2nxn = 0
...............................................
am1x1 + am2x2 + · · ·+ amnxn = 0
luôn có một nghiệm u = (0, 0, . . . , 0).
Nghiệm này được gọi là nghiệm tầm thường.
Nguyễn Anh Thi Bài giảng môn học Toán 1
Bài giảng môn
học Toán 1
Nguyễn Anh
Thi
Nội dung
Chương 1: SỐ
PHỨC, MA
TRẬN
1. Số phức.
2. Ma trận.
Nội dung
Chương 1: SỐ PHỨC, MA TRẬN
1. Số phức.
2. Ma trận.
Nghiệm của hệ phương trình
tuyến tính
Định lý
Nghiệm của hệ phương trình tuyến tính chỉ có 3 trường hợp
sau:
• Vô nghiệm;
• Duy nhất một nghiệm;
• Vô số nghiệm.
Nguyễn Anh Thi Bài giảng môn học Toán 1
Bài giảng môn
học Toán 1
Nguyễn Anh
Thi
Nội dung
Chương 1: SỐ
PHỨC, MA
TRẬN
1. Số phức.
2. Ma trận.
Nội dung
Chương 1: SỐ PHỨC, MA TRẬN
1. Số phức.
2. Ma trận.
Giải hệ phương trình tuyến tính
• Phương pháp Gauss
• Phương pháp Gauss-Jordan
• Quy tắc Cramer
Nguyễn Anh Thi Bài giảng môn học Toán 1
Bài giảng môn
học Toán 1
Nguyễn Anh
Thi
Nội dung
Chương 1: SỐ
PHỨC, MA
TRẬN
1. Số phức.
2. Ma trận.
Nội dung
Chương 1: SỐ PHỨC, MA TRẬN
1. Số phức.
2. Ma trận.
Phương pháp Gauss
Bước 1. Lập ma trận mở rộng A˜ = (A|B).
Bước 2. Đưa ma trận A˜ về dạng bậc thang R.
Bước 3. Tùy theo trường hợp dạng bậc thang R mà ta kết luận
nghiệm. Cụ thể :
• Trường hợp 1. Ma trận R có 1 dòng là(
0 0 . . . 0 6= 0 )
Kết luận hệ phương trình vô nghiệm.
Nguyễn Anh Thi Bài giảng môn học Toán 1
Bài giảng môn
học Toán 1
Nguyễn Anh
Thi
Nội dung
Chương 1: SỐ
PHỨC, MA
TRẬN
1. Số phức.
2. Ma trận.
Nội dung
Chương 1: SỐ PHỨC, MA TRẬN
1. Số phức.
2. Ma trận.
Phương pháp Gauss
• Trường hợp 2. Ma trận R có dạng
c11 c12 . . . c1n α1
0 c22 . . . c2n α2
. . . . . . . . . . . . . . .
0 0 . . . cnn αn
0 0 . . . 0 0
. . . . . . . . . . . . . . .
0 0 . . . 0 0
Khi đó hệ phương trình có nghiệm duy nhất. Việc tính
nghiệm được thực hiện từ dưới lên trên.
Nguyễn Anh Thi Bài giảng môn học Toán 1
Bài giảng môn
học Toán 1
Nguyễn Anh
Thi
Nội dung
Chương 1: SỐ
PHỨC, MA
TRẬN
1. Số phức.
2. Ma trận.
Nội dung
Chương 1: SỐ PHỨC, MA TRẬN
1. Số phức.
2. Ma trận.
Phương pháp Gauss
• Trường hợp 3. Khác 2 trường hợp trên, khi đó hệ có vô số
nghiệm, và
• Ẩn tương ứng với các cột không chứa phần tử cơ sở của
dòng nào sẽ là ẩn tự do (lấy giá trị tùy ý).
• Ẩn tương ứng với cột có phần tử cơ sở sẽ được tính từ dưới
lên trên và theo các ẩn tự do.
Nguyễn Anh Thi Bài giảng môn học Toán 1
Bài giảng môn
học Toán 1
Nguyễn Anh
Thi
Nội dung
Chương 1: SỐ
PHỨC, MA
TRẬN
1. Số phức.
2. Ma trận.
Nội dung
Chương 1: SỐ PHỨC, MA TRẬN
1. Số phức.
2. Ma trận.
Phương pháp Gauss
Ví dụ
Giải hệ phương trình sau:
x1 + 2x2 + 3x3 + 4x4 = 7;
x2 + 2x1 + 2x3 + 3x4 = 6;
3x1 + 2x2 + 2x4 + x3 = 7;
4x1 + 3x2 + 2x3 + x4 = 18.
Ma trận mở rộng A˜ = (A|B) =
1 2 3 4 7
2 1 2 3 6
3 2 1 2 7
4 3 2 1 18
Nguyễn Anh Thi Bài giảng môn học Toán 1
Bài giảng môn
học Toán 1
Nguyễn Anh
Thi
Nội dung
Chương 1: SỐ
PHỨC, MA
TRẬN
1. Số phức.
2. Ma trận.
Nội dung
Chương 1: SỐ PHỨC, MA TRẬN
1. Số phức.
2. Ma trận.
Phương pháp Gauss
Dạng bậc thang R của ma trận mở rộng A˜ là
1 2 3 4 7
0 1 4 5 6
0 0 1 1 2
0 0 0 2 −6
Suy ra nghiệm của hệ là
x1 = 2;
x2 = 1;
x3 = 5;
x4 = −3.
Nguyễn Anh Thi Bài giảng môn học Toán 1
Bài giảng môn
học Toán 1
Nguyễn Anh
Thi
Nội dung
Chương 1: SỐ
PHỨC, MA
TRẬN
1. Số phức.
2. Ma trận.
Nội dung
Chương 1: SỐ PHỨC, MA TRẬN
1. Số phức.
2. Ma trận.
Phương pháp Gauss
Ví dụ
Giải hệ phương trình sau
x1 + 2x2 − 3x3 + 5x4 = 1;
x1 + 3x2 − 13x3 + 22x4 = −1;
3x1 + 5x2 + x3 − 2x4 = 5;
2x1 + 3x2 + 4x3 − 7x4 = 4.
Ta có ma trận mở rộng
A˜ = (A|B) =
1 2 −3 5 1
1 3 −13 22 −1
3 5 1 −2 5
2 3 4 −7 4
Nguyễn Anh Thi Bài giảng môn học Toán 1
Bài giảng môn
học Toán 1
Nguyễn Anh
Thi
Nội dung
Chương 1: SỐ
PHỨC, MA
TRẬN
1. Số phức.
2. Ma trận.
Nội dung
Chương 1: SỐ PHỨC, MA TRẬN
1. Số phức.
2. Ma trận.
Phương pháp Gauss
Dạng bậc thang R của ma trận mở rộng:
1 2 −3 5 1
0 1 −10 17 −2
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
Hệ có nghiệm:
x3 = t ∈ R
x4 = s ∈ R
x2 = −2 + 10t− 17s
x1 = 5− 17t + 29s
Nguyễn Anh Thi Bài giảng môn học Toán 1
Bài giảng môn
học Toán 1
Nguyễn Anh
Thi
Nội dung
Chương 1: SỐ
PHỨC, MA
TRẬN
1. Số phức.
2. Ma trận.
Nội dung
Chương 1: SỐ PHỨC, MA TRẬN
1. Số phức.
2. Ma trận.
Phương pháp Gauss
Giải hệ phương trình sau
x1 − 2x2 + 3x3 − 4x4 = 2;
3x1 + 3x2 − 5x3 + x4 = −3;
−2x1 + x2 + 2x3 − 3x4 = 5;
3x1 + 3x3 − 10x4 = 8.
Ma trận mở rộng
1 −2 3 −4 2
3 3 −5 1 −3
−2 1 2 −3 5
3 0 3 −10 8
. Dạng bậc
thang R của ma trận mở rộng:
1 −2 3 −4 2
0 −3 8 −11 9
0 0 10 −20 18
0 0 0 0 2
.
Hệ phương trình đã cho vô nghiệm.
Nguyễn Anh Thi Bài giảng môn học Toán 1
Bài giảng môn
học Toán 1
Nguyễn Anh
Thi
Nội dung
Chương 1: SỐ
PHỨC, MA
TRẬN
1. Số phức.
2. Ma trận.
Nội dung
Chương 1: SỐ PHỨC, MA TRẬN
1. Số phức.
2. Ma trận.
Phương pháp Gauss-Jordan
Bước 1. Lập ma trận mở rộng A˜ = (A|B).
Bước 2. Đưa ma trận A˜ về dạng bậc thang rút gọn RA.
Bước 3. Tùy theo trường hợp dạng bậc thang rút gọn RA mà ta
kết luận nghiệm. Cụ thể :
• Trường hợp 1.Ma trận RA có một dòng(
0 0 . . . 0 6= 0 ). Kết luận hệ phương trình vô
nghiệm.
Nguyễn Anh Thi Bài giảng môn học Toán 1
Bài giảng môn
học Toán 1
Nguyễn Anh
Thi
Nội dung
Chương 1: SỐ
PHỨC, MA
TRẬN
1. Số phức.
2. Ma trận.
Nội dung
Chương 1: SỐ PHỨC, MA TRẬN
1. Số phức.
2. Ma trận.
Phương pháp Gauss-Jordan
• Trường hợp 2.Ma trận RA có dạng
1 0 . . . 0 α1
0 1 . . . 0 α2
. . . . . . . . . . . . . . .
0 0 . . . 1 αn
0 0 . . . 0 0
. . . . . . . . . . . . . . .
0 0 . . . 0 0
Khi đó hệ phương trình có nghiệm duy nhất là
x1 = α1, x2 = α2, ..., xn = αn
Nguyễn Anh Thi Bài giảng môn học Toán 1
Bài giảng môn
học Toán 1
Nguyễn Anh
Thi
Nội dung
Chương 1: SỐ
PHỨC, MA
TRẬN
1. Số phức.
2. Ma trận.
Nội dung
Chương 1: SỐ PHỨC, MA TRẬN
1. Số phức.
2. Ma trận.
Phương pháp Gauss-Jordan
• Trường hợp 3. Khác hai trường hợp trên, khi đó hệ có vô
số nghiệm, và
• Ẩn tương ứng với các cột không có phần tử cơ sở của dòng
nào sẽ là ẩn tự do (lấy giá trị tùy ý).
• Ẩn tương ứng với cột có phần tử cơ sở 1 sẽ được tính theo
các ẩn tự do.
Số ẩn tự do được gọi là bậc tự do của hệ phương trình.
Nguyễn Anh Thi Bài giảng môn học Toán 1
Bài giảng môn
học Toán 1
Nguyễn Anh
Thi
Nội dung
Chương 1: SỐ
PHỨC, MA
TRẬN
1. Số phức.
2. Ma trận.
Nội dung
Chương 1: SỐ PHỨC, MA TRẬN
1. Số phức.
2. Ma trận.
Quy tắc Cramer
Định lý
Cho hệ phương trình tuyến tính AX = B (∗) gồm n ẩn và n
phương trình. Đặt ∆ = detA;∆i = detAi, i ∈ 1,n trong đó Ai là
ma trận có được từ A bằng cách thay cột i bằng cột B. Khi đó
i. Nếu ∆ 6= 0 thì hệ (∗) có một nghiệm duy nhất là:
xi =
∆i
∆
, i ∈ 1,n
ii. Nếu ∆ = 0 và ∆i 6= 0 với một i nào đó thì hệ (∗) vô
nghiệm.
iii. Nếu ∆ = 0 và ∆i = 0,∀i ∈ 1,n thì hệ vô nghiệm hoặc vô
số nghiệm.
Nguyễn Anh Thi Bài giảng môn học Toán 1
Bài giảng môn
học Toán 1
Nguyễn Anh
Thi
Nội dung
Chương 1: SỐ
PHỨC, MA
TRẬN
1. Số phức.
2. Ma trận.
Nội dung
Chương 1: SỐ PHỨC, MA TRẬN
1. Số phức.
2. Ma trận.
Quy tắc Cramer
Giải hệ phương trình
x − y − 2z = −3;
2x − y + z = 1;
x + y + z = 4.
(1)
Ta có ∆ = |A| =
∣∣∣∣∣∣
1 −1 −2
2 −1 1
1 1 1
∣∣∣∣∣∣ = −7;
∆1 = |A1| =
∣∣∣∣∣∣
−3 −1 −2
1 −1 1
4 1 1
∣∣∣∣∣∣ = −7;
Nguyễn Anh Thi Bài giảng môn học Toán 1
Bài giảng môn
học Toán 1
Nguyễn Anh
Thi
Nội dung
Chương 1: SỐ
PHỨC, MA
TRẬN
1. Số phức.
2. Ma trận.
Nội dung
Chương 1: SỐ PHỨC, MA TRẬN
1. Số phức.
2. Ma trận.
Quy tắc Cramer
∆2 = |A2| =
∣∣∣∣∣∣
1 −3 −2
2 1 1
1 4 1
∣∣∣∣∣∣ = −14;
∆3 = |A3| =
∣∣∣∣∣∣
1 −1 −3
2 −1 1
1 1 4
∣∣∣∣∣∣ = −7;
Vì ∆ 6= 0, nên hệ có nghiệm duy nhất x = ∆1∆ = 1;
y = ∆2∆ = 2; z =
∆3
∆ = 1.
Nguyễn Anh Thi Bài giảng môn học Toán 1
Bài giảng môn
học Toán 1
Nguyễn Anh
Thi
Nội dung
Chương 1: SỐ
PHỨC, MA
TRẬN
1. Số phức.
2. Ma trận.
Nội dung
Chương 1: SỐ PHỨC, MA TRẬN
1. Số phức.
2. Ma trận.
Quy tắc Cramer
Giải hệ phương trình
x + y − 2z = 4;
2x + 3y + 3z = 3;
5x + 7y + 4z = 5.
Ta có ∆ = |A| =
∣∣∣∣∣∣
1 1 −2
2 3 3
5 7 4
∣∣∣∣∣∣ = 0;
∆1 = |A1| =
∣∣∣∣∣∣
4 1 −2
3 3 3
5 7 4
∣∣∣∣∣∣ = −45.
Vậy hệ vô nghiệm.
Nguyễn Anh Thi Bài giảng môn học Toán 1
Bài giảng môn
học Toán 1
Nguyễn Anh
Thi
Nội dung
Chương 1: SỐ
PHỨC, MA
TRẬN
1. Số phức.
2. Ma trận.
Nội dung
Chương 1: SỐ PHỨC, MA TRẬN
1. Số phức.
2. Ma trận.
Quy tắc Cramer
Giải hệ phương trình
x + y − 2z = 4;
2x + 3y + 3z = 3;
5x + 7y + 4z = 10.
∆ = |A| =
∣∣∣∣∣∣
1 1 −2
2 3 3
5 7 4
∣∣∣∣∣∣ = 0; ∆1 = |A1| =
∣∣∣∣∣∣
4 1 −2
3 3 3
10 7 4
∣∣∣∣∣∣ = 0;
∆2 = |A2| =
∣∣∣∣∣∣
1 4 −2
2 3 3
5 10 4
∣∣∣∣∣∣ = 0;
∆3 = |A3| =
∣∣∣∣∣∣
1 1 4
2 3 3
5 7 10
∣∣∣∣∣∣ = 0. Vì ∆ = ∆1 = ∆2 = ∆3 = 0
nên không kết luận được nghiệm của hệ. Do đó ta phải dùng
Gauss hoặc Gauss-Jordan để giải.
Nguyễn Anh Thi Bài giảng môn học Toán 1
Bài giảng môn
học Toán 1
Nguyễn Anh
Thi
Nội dung
Chương 1: SỐ
PHỨC, MA
TRẬN
1. Số phức.
2. Ma trận.
Nội dung
Chương 1: SỐ PHỨC, MA TRẬN
1. Số phức.
2. Ma trận.
Quy tắc Cramer
Giải và biện luận hệ phương trình sau theo tham số m ∈ R:
x1 + 2x2 + 2x3 = 0;
−2x1 + (m− 2)x2 + (m− 5)x3 = 2;
mx1 + x2 + (m + 1)x3 = −2.
∆ = |A| =
∣∣∣∣∣∣
1 2 2
−2 m− 2 m− 5
m 1 m + 1
∣∣∣∣∣∣ = (m− 1)(m− 3);
∆1 = |A1| =
∣∣∣∣∣∣
0 2 2
2 m− 2 m− 5
−2 1 m + 1
∣∣∣∣∣∣ = −4m + 12;
∆2 = |A2| =
∣∣∣∣∣∣
1 0 2
−2 2 m− 5
m 2 m + 1
∣∣∣∣∣∣ = 0;
Nguyễn Anh Thi Bài giảng môn học Toán 1
Bài giảng môn
học Toán 1
Nguyễn Anh
Thi
Nội dung
Chương 1: SỐ
PHỨC, MA
TRẬN
1. Số phức.
2. Ma trận.
Nội dung
Chương 1: SỐ PHỨC, MA TRẬN
1. Số phức.
2. Ma trận.
Quy tắc Cramer
∆3 = |A3| =
∣∣∣∣∣∣
1 2 0
−2 m− 2 2
m 1 −2
∣∣∣∣∣∣ = 2m− 6;
• ∆ 6= 0 ⇔
{
m 6= 1
m 6= 3. Khi đó hệ có nghiệm duy nhất là
(x1, x2, x3) = ( −4m−1 , 0,
2
m−1)
• ∆ = 0 ⇔
[
m = 1
m = 3
• m=1, ∆1 = 8 6= 0 nên hệ vô nghiệm.
• m = 3, ∆ = ∆1 = ∆2 = ∆3 = 0. Khi đó hệ phương trình
là
1 2 2 0−2 1 −2 2
3 1 4 −2
Nghiệm của hệ là (x1, x2, x3) = (3t− 2, t, 1− 52 t) với t tự do.
Nguyễn Anh Thi Bài giảng môn học Toán 1
Bài giảng môn
học Toán 1
Nguyễn Anh
Thi
Nội dung
Chương 1: SỐ
PHỨC, MA
TRẬN
1. Số phức.
2. Ma trận.
Nội dung
Chương 1: SỐ PHỨC, MA TRẬN
1. Số phức.
2. Ma trận.
Quy tắc Cramer
Giải và biện luận hệ phương trình sau theo tham số m ∈ R:
(m− 7)x + 12y − 6z = m;
−10x + (m + 19)y − 10z = 2m;
−12x + 24y + (m− 13)z = 0.
∆ =
∣∣∣∣∣∣
m− 7 12 −6
−10 m + 9 −10
−12 24 m− 13
∣∣∣∣∣∣ = (m− 1)2(m + 1)
∆1 =
∣∣∣∣∣∣
m 12 −6
2m m + 9 −10
0 24 m− 13
∣∣∣∣∣∣ = m(m− 1)(m− 17)
∆2 =
∣∣∣∣∣∣
m− 7 m −6
−10 2m −10
−12 0 m− 13
∣∣∣∣∣∣ = 2m(m− 1)(m− 14)
Nguyễn Anh Thi Bài giảng môn học Toán 1
Bài giảng môn
học Toán 1
Nguyễn Anh
Thi
Nội dung
Chương 1: SỐ
PHỨC, MA
TRẬN
1. Số phức.
2. Ma trận.
Nội dung
Chương 1: SỐ PHỨC, MA TRẬN
1. Số phức.
2. Ma trận.
∆3 =
∣∣∣∣∣∣
m− 7 12 m
−10 m + 9 2m
−12 24 0
∣∣∣∣∣∣ = 36m(m− 1)
Biện luận
• Nếu ∆ 6= 0 ⇔ m 6= 1,−1. Khi đó hệ có nghiệm duy nhất
là
x = ∆1∆ =
m(m2−18m+17)
(m−1)(m2−1) =
m(m−17)
m2−1 ;
y = ∆2∆ =
m(m2−15m+14)
(m−1)(m2−1) =
m(m−14)
m2−1 ;
z = ∆3∆ =
−36m(m−1)
(m−1)(m2−1) =
−36m
m2−1 .
• Nếu ∆ = 0 ⇔
[
m = −1
m = 1
• m = −1, ∆1 = −36 6= 0, hệ vô nghiệm.
• m = 1, ∆1 = ∆2 = ∆3 = 0. Ta có hệ −6x + 12y − 6z = 1;−10x + 20y − 10z = 2;−12x + 24y − 12z = 0.
Hệ vô nghiệm.
Nguyễn Anh Thi Bài giảng môn học Toán 1
Bài giảng môn
học Toán 1
Nguyễn Anh
Thi
Nội dung
Chương 1: SỐ
PHỨC, MA
TRẬN
1. Số phức.
2. Ma trận.
Nội dung
Chương 1: SỐ PHỨC, MA TRẬN
1. Số phức.
2. Ma trận.
Định lý Kronecker-Capelli
Định lý (Kronecker-Capelli)
Nếu A˜ = (A|B) là ma trận mở rộng của hệ gồm n ẩn dạng
AX = B thì r(A˜) = r(A) hoặc r(A˜) = r(A) + 1. Hơn nữa,
• nếu r(A˜) = r(A) + 1 thì hệ vô nghiệm;
• nếu r(A˜) = r(A) = n thì hệ có nghiệm duy nhất;
• nếu r(A˜) = r(A) < n thì hệ có vô số nghiệm với bậc tự do
là n− r(A).
Nguyễn Anh Thi Bài giảng môn học Toán 1
Bài giảng môn
học Toán 1
Nguyễn Anh
Thi
Nội dung
Chương 1: SỐ
PHỨC, MA
TRẬN
1. Số phức.
2. Ma trận.
Nội dung
Chương 1: SỐ PHỨC, MA TRẬN
1. Số phức.
2. Ma trận.
Định lý Kronecker-Capelli
Giải và biện luận hệ phương trình tuyến tính sau theo tham số
m.
3x1 + 5x2 + 3x3 − 4x4 = 1;
2x1 + 3x2 + x3 + x4 = 0;
5x1 + 9x2 + 6x3 − 15x4 = 2;
13x1 + 22x2 + 13x3 − 22x4 = 2m.
Ta có ma trận mở rộng
A˜ = (A|B) =
3 5 3 −4 1
2 3 1 1 0
5 9 6 −15 2
13 22 13 −22 2m
Nguyễn Anh Thi Bài giảng môn học Toán 1
Bài giảng môn
học Toán 1
Nguyễn Anh
Thi
Nội dung
Chương 1: SỐ
PHỨC, MA
TRẬN
1. Số phức.
2. Ma trận.
Nội dung
Chương 1: SỐ PHỨC, MA TRẬN
1. Số phức.
2. Ma trận.
Định lý Kronecker-Capelli
Dạng bậc thang R của ma trận mở rộng
1 2 2 −5 1
0 −1 −3 11 −2
0 0 −1 −1 −1
0 0 0 0 2m− 4
Biện luận
• Với 2m− 4 6= 0 ⇔ m 6= 2. Khi đó hệ vô nghiệm.
• Với m = 2, hệ tương đương với hệ sau :
x1 + 2x2 + 2x3 − 5x4 = 1
− x2 − 3x3 + 11x4 = −2
− x3 − x4 = −1
Nguyễn Anh Thi Bài giảng môn học Toán 1
Bài giảng môn
học Toán 1
Nguyễn Anh
Thi
Nội dung
Chương 1: SỐ
PHỨC, MA
TRẬN
1. Số phức.
2. Ma trận.
Nội dung
Chương 1: SỐ PHỨC, MA TRẬN
1. Số phức.
2. Ma trận.
Định lý Kronecker-Capelli
Chọn x4 = t ta tính được
x3 = 1− x4 = 1− t;
x2 = 2− 3x3 + 11x4 = −1 + 14t;
x1 = 1− 2x2 − 2x3 + 5x4 = 1− 21t
Vậy khi m = 2, hệ đã cho có vô số nghiệm với một ẩn tự do
(x1, x2, x3, x4) = (1− 21t,−1 + 14t, 1− t, t)
với t ∈ R tùy ý.
Nguyễn Anh Thi Bài giảng môn học Toán 1
Bài giảng môn
học Toán 1
Nguyễn Anh
Thi
Nội dung
Chương 1: SỐ
PHỨC, MA
TRẬN
1. Số phức.
2. Ma trận.
Nội dung
Chương 1: SỐ PHỨC, MA TRẬN
1. Số phức.
2. Ma trận.
Định lý Kronecker-Capelli
Ví dụ
Giải và biện luận hệ phương trình tuyến tính sau theo tham số
m.
x1 + x2 − x3 + 2x4 = 1;
x1 + 2x2 − 3x3 + 4x4 = 2;
x1 − x2 + 4x3 − x4 = m;
4x1 + 3x2 − x3 + mx4 = m2 − 6m + 4.
Ta có ma trận mở rộng
A˜ = (A|B) =
1 1 −1 2 1
1 2 −3 4 2
1 −1 4 −1 m
4 3 −1 m m2 − 6m + 4
Nguyễn Anh Thi Bài giảng môn học Toán 1
Bài giảng môn
học Toán 1
Nguyễn Anh
Thi
Nội dung
Chương 1: SỐ
PHỨC, MA
TRẬN
1. Số phức.
2. Ma trận.
Nội dung
Chương 1: SỐ PHỨC, MA TRẬN
1. Số phức.
2. Ma trận.
Định lý Kronecker-Capelli
Dạng bậc thang của ma trận mở rộng
1 1 −1 2 1
0 1 −2 2 1
0 0 1 1 m + 1
0 0 0 m− 7 m2 − 7m
Biện luận
• Với m− 7 6= 0 ⇔ m 6= 7, hệ có nghiệm
x4 = m ;
x3 = m + 1− x4 = 1;
x2 = 1 + 2x3 − 2x4 = 3− 2m;
x1 = 1− x2 + x3 − 2x4 = −1.
Nguyễn Anh Thi Bài giảng môn học Toán 1
Bài giảng môn
học Toán 1
Nguyễn Anh
Thi
Nội dung
Chương 1: SỐ
PHỨC, MA
TRẬN
1. Số phức.
2. Ma trận.
Nội dung
Chương 1: SỐ PHỨC, MA TRẬN
1. Số phức.
2. Ma trận.
Định lý Kronecker-Capelli
Vậy khi m 6= 7 hệ đã cho có duy nhất một nghiệm là:
(x1, x2, x3, x4) = (−1, 3− 2m, 1,m).
• Với m = 7, hệ tương đương với hệ sau:
x1 + x2 − x3 + 2x4 = 1;
x2 − 2x3 + 2x4 = 1;
x3 + x4 = 8.
Chọn x4 = t ta tính được
x3 = 8− x4 = 8− t;
x2 = 1 + 2x3 − 2x4 = 17− 4t;
x1 = 1− x2 + x3 − 2x4 = −8 + t.
Vậy khi m = 7 hệ đã cho có vô số nghiệm với một ẩn tự do
(x1, x2, x3, x4) = (−8 + t, 17− 4t, 8− t, t)
với t ∈ R tùy ý.
Nguyễn Anh Thi Bài giảng môn học Toán 1
Các file đính kèm theo tài liệu này:
toan_1c1_3409_2012628.pdf
