Bài giảng môn Cấu trúc dữ liệu - Chương 7 Cây (tree)

189 Chương 5: CÂY (TREE) 190 NỘI DUNG CHƯƠNG 5 1. Khái niệm cây – Biểu diễn cây 2. Cây nhị phân (Binary Tree) 1. Định nghĩa 2. Biểu diễn và các thao tác 3. Cây nhị phân tìm kiếm (Binary Searching Tree) 3. Cây cân bằng (Balanced Tree) 1. Định nghĩa – Cấu trúc dữ liệu 2. Các thao tác trên cây cân bằng BÀI TẬP 191 1.Khái niệm cây – Biểu diễn cây 1.1 Định nghĩa cây 1.2. Một số khái niệm liên quan 1.2.a. Bậc của 1 cây 1.2.b. Bậc của 1 nút 1.2.c. Nút gốc 1.2.d. Nút kết thúc 1.2.e. Nút trung gian 1.2.f. Mức của 1 nút 1.2.g. Chiều cao (chiều sâu) của 1 cây 1.2.h. Nút trước, nút sau của 1 nút 1.2.i. Nút cha, nút con của 1 nút 1.2.j. Chiều dài đường đi của 1 nút 1.2.k. Chiều dài đường đi của 1 cây 1.2.l. Rừng 192 1.Khái niệm cây – Biểu diễn cây 1.1 Định nghĩa cây • Cây là một tập hợp các phần tử (nút) được tổ chức và có các đặc điểm • Hoặc là tập hợp rỗng (cây rỗng) • Hoặc là tập hợp khác rỗng trong đó có 1 nút duy nhất làm nút gốc (Root’s Node), các nút còn lại được phân thành các nhóm trong đó mỗi nhóm là 1 cây con (Sub-Tree) • Các cây con cũng có thể là tập rỗng hay khác rỗng trong đó có 1 nút là gốc cây con. 193 1.Khái niệm cây – Biểu diễn cây 1.2. Một số khái niệm liên quan 1.2.a. Bậc của 1 nút • Bậc của 1 nút (node’s degree) là số cây con của nút đó 1.2.b. Bậc của 1 cây • Bậc của 1 cây (tree’s degree) là bậc lớn nhất của các nút trong cây • Cây có bậc N gọi là cây N-phân 1.2.c. Nút gốc • Nút gốc (root’s tree) là nút không phải là nút gốc cây con của bất kỳ 1 cây con nào khác trong cây (nút không làm gốc cây con) 194 1.Khái niệm cây – Biểu diễn cây 1.2.d. Nút kết thúc Nút kết thúc hay còn gọi nút lá (leaf’s node) là nút có bậc = 0 (nút không có nút cây con) 1.2.e. Nút trung gian • Nút trung gian hay còn gọi nút giữa (interior’s node) là nút không phải là nút gốc và cũng không phải nút kết thúc (nút có bậc khác không và là nút gốc của cây con nào đó trong cây) 1.2.f. Mức của 1 nút • Mức của 1 nút (node’s level) bằng mức của nút gốc cây con chứa nó +1. • Mức của nút gốc = 1 195 1.Khái niệm cây – Biểu diễn cây 1.2. Một số khái niệm liên quan (tt) 1.2.g. Chiều cao (chiều sâu) của 1 cây • Chiều cao (chiều sâu) của 1 cây (tree’s height | tree’s depth) là mức cao nhất của 1 nút trong cây 1.2.h. Nút trước, nút sau của 1 nút • Nút T được gọi là nút trước của 1 nút (ancestor’s node) của nút S nếu cây con có gốc là T chứa cây con có gốc là S. Khi đó S được gọi là nút sau của nút T (descendant’s node) 1.2.e. Nút trung gian • Nút trung gian hay còn gọi nút giữa (interior’s node) là nút không phải là nút gốc và cũng không phải nút kết thúc (nút có bậc khác không và là nút gốc của cây con nào đó trong cây) 196 1.Khái niệm cây – Biểu diễn cây 1.2. Một số khái niệm liên quan (tt) 1.2.f. Mức của 1 nút • Mức của 1 nút (node’s level) bằng mức của nút gốc cây con chứa nó +1. • Mức của nút gốc = 1 1.2.g. Chiều cao (chiều sâu) của 1 cây • Chiều cao (chiều sâu) của 1 cây (tree’s height | tree’s depth) là mức cao nhất của 1 nút trong cây 1.2.h. Nút trước, nút sau của 1 nút • Nút T được gọi là nút trước của 1 nút (ancestor’s node) của nút S nếu cây con có gốc là T chứa cây con có gốc là S. Khi đó S được gọi là nút sau của nút T (descendant’s node) 197 1.Khái niệm cây – Biểu diễn cây 1.2. Một số khái niệm liên quan (tt) 1.2.i. Nút cha, nút con của 1 nút • Nút B được gọi là nút cha (parent’s node) của nút C nếu nút B là nút trước của nút B và mức của nút C lớn hơn mức của B là 1 mức. Khi đó nút C được gọi là nút con (child’s node) của B 1.2.j. Chiều dài đường đi của 1 nút • Chiều dài đường đi của 1 nút là số đỉnh (số nút) tính từ nút gốc để đi đến nút đó. • Chiều dài đường đi của nút gốc luôn = 1, chiều dài đường đi tới 1 nút bằng chiều dài đường đi tới nút cha của nó + 1 198 1.Khái niệm cây – Biểu diễn cây 1.2. Một số khái niệm liên quan (tt) 1.2.k. Chiều dài đường đi của 1 cây • Chiều dài đường đi của 1 cây (path’s length of the tree) là tổng tất cả các chiều dài đường đi của tất cả các nút trên cây (chiều dài đường đi trong internal path’s length). • Tính chiều dài đường đi ngoài (external path’s length) bằng cách mở rộng tất cả các nút của cây sao cho các nút của cây có cùng bậc (thêm vào các nút giả) với bậc của cây. Chiều dài đường đi ngoài bằng tổng chiều 1.2.l. Rừng. • Rừng (forest) là tập hợp các cây. • Khi cây mất gốc  rừng 199 1.Khái niệm cây – Biểu diễn cây 1.3. Biểu diễn cây • Dùng đồ thị, Dùng giản đồ tập hợp, Sử dụng dạng phân cấp chỉ số BIỂU DIỄN CÂY TRONG BỘ NHỚ MÁY TÍNH • Để biểu diễn cây trong bộ nhớ máy tính dùng danh sách liên kết. • Để biểu diễn cây N-phân dùng danh sách có N mối liên kết để quản lý N địa chỉ nút con. • Cấu trúc dữ liệu của cây N-phân tương tự cấu trúc dữ liệu đa liên kết. const int N = 100; typedef struct NTNode { T Key; NTNode * SubNode[N]; }NTOneNode; typedef struct NTOneNode * NTType; Để quản lý cây, chỉ cần quản lý địa chỉ nút gốc NTType NTree; 200 2. Cây nhị phân (Binary Tree) 2.1. Định nghĩa • Cây nhị phân là cây có bậc bằng 2 (bậc của nút tối đa bằng 2) 201 2. Cây nhị phân (Binary Tree) 2.2. Biểu diễn và các thao tác • Để biểu diễn cây nhị phân trong bộ nhớ máy tính dùng danh sách có 2 mối liên kết để quản lý địa chỉ 2 nút con (cây con trái và cây con phải). • Như vậy cấu trúc dữ liệu của cây nhị phân tương tự cấu trúc dữ liệu của danh sách liên kết đôi nhưng cách thức liên kết khác: typedef struct BinTNode { T Key; BinTNode * BinTLeft; BinTNode * BinTRight; }BinTOneNode; typedef BinTOneNode * BinTType; • Để quản lý cây nhị phân chỉ cần quản lý địa chỉ nút gốc BinTType BinTree; 202 2. Cây nhị phân (Binary Tree) 2.2. Biểu diễn và các thao tác (tt) Các thao tác trên cây nhị phân bao gồm: a. Khởi tạo cây nhị phân b. Tạo mới 1 nút c. Thêm 1 nút vào cây nhị phân d. Duyệt qua các nút trên cây nhị phân e. Tính chiều cao của cây f. Tính số nút của cây g. Hủy 1 nút trên cây nhị phân 203 2. Cây nhị phân (Binary Tree) 2.2. a. Khởi tạo cây nhị phân Khởi tạo cây nhịn phân: cho con trỏ quản lý địa chỉ nút gốc về con trỏ NULL BinTType BinTreeInitialize(BinTType & BTree) { BTree = NULL return (BTree ); } 204 2. Cây nhị phân (Binary Tree) 2.2. b. Tạo mới 1 nút Thuật toán B1: BTNode = new BinTOneNode B2: IF (BTNode == NULL) Thực hiện BKT B3: BTNode ->BinTLeft = NULL B4: BTNode ->BinTRight = NULL B5: BTNode -> Key = NewData BKT: Kết thúc 205 2. Cây nhị phân (Binary Tree) 2.2. b. Tạo mới 1 nút (tt) Cài đặt thuật toán trong C++ BinTType BinTreeCreateNode(T NewData) { BinTType BTnode = new BinTOneNode; if (BTnode != NULL) { BTnode-> BinTLeft = NULL; BTnode-> BinTRight = NULL; BTnode-> Key = NewData; } return (BTnode); } 206 2. Cây nhị phân (Binary Tree) 2.2. c. Thêm 1 nút vào cây nhị phân (Thêm trái nhất) – Thuật toán B1: NewNode = BinTreeCreateNode(NewData) B2: IF (NewNode == NULL) Thực hiện BKT B3: IF (BinTree == NULL) B3.1: BinTree = NewNode B3.2: Thực hiện BKT B4: Lnode = BinTree B5: IF (Lnode->BinTLeft == NULL) B5.1: Lnode-> BinTLeft = NewNode B5.2: Thực hiện BKT B6: Lnode = Lnode ->BinTLeft B7: Lặp lại B5 BKT: Kết thúc 207 2. Cây nhị phân (Binary Tree) 2.2. c. Thêm 1 nút vào cây nhị phân (Thêm trái nhất) Cài đặt thuật toán bằng C++ BinTType BinTreeAddLeft (BinTType &BTTree, T NewData) { BinTType NewNode = BinTreeCreateNode (NewData); if (NewNode == NULL) return (NewNode); if (BTTree == NULL) BTTree = NewNode; else { BinTType Lnode = BTTree; while (Lnode->BinTLeft != NULL) Lnode = Lnode->BinTLeft; Lnode->BinTLeft = NewNode; } return (NewNode); } 208 2. Cây nhị phân (Binary Tree) 2.2. c. Thêm 1 nút vào cây nhị phân (Thêm phải nhất)-Thuật toán B1: NewNode = BinTreeCreateNode(NewData) B2: IF (NewNode == NULL) Thực hiện BKT B3: IF (BinTree == NULL) B3.1: BinTree = NewNode B3.2: Thực hiện BKT B4: Rnode = BinTree B5: IF (Rnode->BinTRight == NULL) B5.1: Rnode->BinTRight = NewNode B5.2: Thực hiện BKT B6: Rnode = Rnode ->BinTRight B7: Lặp lại B5 BKT: Kết thúc 209 2. Cây nhị phân (Binary Tree) 2.2. c. Thêm 1 nút vào cây nhị phân (Thêm phải nhất) Cài đặt thuật toán bằng C++ BinTType BinTreeAddRight (BinTType &BTTree, T NewData) { BinTType NewNode = BinTreeCreateNode (NewData); if (NewNode == NULL) return (NewNode); if (BTTree == NULL) BTTree = NewNode; else { BinTType Rnode = BTTree; while (Rnode->BinTRight != NULL) Rnode = Rnode->BinTRight; Rnode->BinTRight = NewNode; } return (NewNode); } 210 2. Cây nhị phân (Binary Tree) 2.2. d. Duyệt qua các nút trên cây nhị phân • Duyệt theo thứ tự nút gốc trước (Preoder): nút gốc được duyệt trước, sau đó mới duyệt đến 2 nút con. Có 2 cách: • Duyệt nút gốc, duyệt cây con bên trái, duyệt cây con bên phải (Root - Left - Right) • Duyệt nút gốc, duyệt cây con bên phải, duyệt cây con bên trái (Root - Right - Left) • Duyệt theo thứ tự nút gốc giữa (Inoder): duyệt 1 trong 2 cây con trước rồi duyệt nút gốc sau đó mới duyệt cây con còn lại. Có 2 cách: • Duyệt cây con bên trái, duyệt nút gốc, duyệt cây con bên phải (Left - Root - Right) • Duyệt cây con bên phải, duyệt nút gốc, duyệt cây con bên trái (Right - Root - Left) • Duyệt theo thứ tự nút gốc sau (Postoder): Nút gốc sẽ được duyệt sau cùng sau khi duyệt 2 cây con. • Duyệt cây con bên trái, duyệt cây con bên phải, duyệt nút gốc(Left – Right - Root) • Duyệt cây con bên phải, duyệt cây con bên trái, duyệt nút gốc(Right - Left- Root ) 211 2. Cây nhị phân (Binary Tree) 2.2. d. Duyệt qua các nút trên cây nhị phân – (Left-Root- Right) Thuật toán Hàm duyệt đệ quy: LRootR B1: CurrNode = BinTree B2: IF (CurrNode == NULL) Thực hiện BKT B3: LRootR(BinTree->BinTLeft) B4: Process (CurrNode->Key) B5: LRootR(BinTree->BinTRight) BKT: Kết thúc 212 2. Cây nhị phân (Binary Tree) 2.2. d. Duyệt qua các nút trên cây nhị phân – (Left-Root- Right) Cài đặt thuật toán trong C++ void BinTreeLRootRTravelling(BinTType BTTree) { if (BTTree == NULL) return; BinTreeLRootRTraveling(BTTree->BinTLeft); Process (BTTree->Key); BinTreeLRootRTraveling(BTTree->BinTRight); return; } 213 2. Cây nhị phân (Binary Tree) 2.2. e. Tính chiều cao của cây B1: IF (BinTree == NULL) B1.1: TH = 0 B1.2: Thực hiện BKT B2: THL = TH(BinTree->BinTLeft) B3: THR = TH(BinTree->BinTRight) B4: IF(THL > THR) TH = THL + 1 B5: ELSE TH = THR + 1 BKT: Kết thúc int BinTreeHeight (BinTType BTree) { if (BTree == NULL) return (0); int HTL = BinTreeHeight(BTree -> BinTLeft); int HTR = BinTreeHeight(BTree -> BinTRight); if (HTL > HTR) return (HTL +1) return (HTR +1); } 214 2. Cây nhị phân (Binary Tree) 2.2. f. Tính số nút của cây Tính số nút của cây tương tự tính chiều cao của cây, số nút của cây con + 1. Dùng cách tính đệ quy số nút của cây con B1: IF (BinTree == NULL) B1.1: NN = 0 B1.2: Thực hiện BKT B2: NNL = NN(BinTree->BinTLeft) B3: NNR = NN(BinTree->BinTRight) B4: NN = NNR + NNL + 1 BKT: Kết thúc int BinTreeNumNode (BinTType BTree) { if (BTree == NULL) return (0); int NNL = BinTreeNumNode(BTree -> BinTLeft); int NNR = BinTreeNumNode(BTree -> BinTRight); return (NNL + NNR +1); } 215 2. Cây nhị phân (Binary Tree) 2.2. g. Hủy 1 nút trên cây nhị phân • Việc hủy 1 nút trong cây có thể làm cho cây trở thành rừng. • Nếu tiến hành hủy các nút lá  không có vấn đề gì xảy ra. • Nếu hủy 1 nút không phải là nút lá cần phải chuyển các nút con của nút cần hủy qua các nút khác rồi mới tiến hành hủy. • Nếu nút cần hủy chỉ có 1 nút gốc cây con thì chuyển nút gốc của cây con này thành nút gốc của cây con cha của nút cần hủy. • Trong trường hợp nút cần hủy có 2 nút gốc cây con, thì phải chuyển 2 nút gốc cây con này thành nút gốc cây con của nút khác. Tuỳ từng trường hợp cụ thể mà đưa ra cách chọn phù hợp. 216 2. Cây nhị phân (Binary Tree) 2.3. Cây nhị phân tìm kiếm (Binary Searching Tree) 2.3.1. Khái niệm – Cấu trúc dữ liệu • Cây nhị phân tìm kiếm là cây nhị phân có thành phần khóa của mọi nút lớn hơn tất cả thành phần khóa của tất cả các nút trong cây con trái của nó và nhỏ hơn thành phần khóa của tất cả các nút trong cây con phải của nó. • Cấu trúc dữ liệu của cây nhị phân tìm kiếm là cấu trúc dữ liệu biểu diễn cây nhị phân nói chung. typedef struct BSTNode { T Key; BSTNode * BSTLeft; BSTNode * BSTRight; } BSTOneNode; typedef BSTOneNode * BSTType; • Để quản lý các cây nhị phân tìm kiếm chúng ta cần quản lý địa chỉ nút gốc của cây: BSTType BSTree; 217 2. Cây nhị phân (Binary Tree) 2.3. Cây nhị phân tìm kiếm (Binary Searching Tree) 2.3.1. Khái niệm – Cấu trúc dữ liệu (tt) • Khóa nhận diện của cây tìm kiếm đôi một khác nhau (không có hiện tượng trùng khóa) • Nếu cần quản lý các nút có khóa trùng nhau trong cây nhị phân tìm kiếm thì có thể mở rộng cấu trúc bằng cách thêm thành phần Count ghi nhận số khóa trùng: typedef struct BSENode { T Key; int Count; BSENode * BSELeft; BSENode * BSERight; } BSEOneNode; typedef BSEOneNode * BSEType; • Nút bên trái nhất là nút có giá trị khóa nhận diện nhỏ nhất và nút phải nhất là nút có giá trị khóa nhận diện lớn nhất. • Trong BST, duyệt cây Left-Root-Right là thứ tự duyệt theo sự tăng dần của khóa nhận diện. 218 2. Cây nhị phân (Binary Tree) 2.3. Cây nhị phân tìm kiếm (Binary Searching Tree) 2.3.2. Các thao tác trên cây nhị phân tìm kiếm 2.3.2.a. Tìm kiếm trên cây 2.3.2.b. Thêm vào một nút trên cây 2.3.2.c. Loại bỏ 1 nút trên cây 2.3.2.d. Hủy toàn bộ cây 219 2. Cây nhị phân (Binary Tree) 2.3.2.a. Tìm kiếm trên cây nhị phân tìm kiếm BST • Tìm kiếm trong cây có tồn tại nút có khóa (Key) là SearchData hay không. • Dùng thuật toán tìm kiếm nhị phân vì do đặc điểm của cây nhị phân tìm kiếm thì tại 1 nút nểu Key của nút này khác với SearchData: • Nếu SearchData > Key của nút tìm ở cây con bên phải • Nếu SearchData < Key của nút tìm ở cây con bên trái B1: CurrNode = BSTree B2: IF (CurrNode == NULL or CurrNode->Key == SearchData) Thực hiện BKT B3: IF (CurrNode ->Key > SearchData) // tìm ở cây con bên trái CurrNode = CurrNode->BSTree->BSTLeft B4: ELSE // tìm ở cây con bên phải CurrNode = CurrNode->BSTree->BSTRight B5: Lặp lại B2 BKT: Kết thúc 220 2. Cây nhị phân (Binary Tree) 2.3.2.a. Tìm kiếm trên cây nhị phân tìm kiếm BST (tt) Cài đặt thuật toán BSTType BSTSearching (BSTType BSTree, T SearchData) { BSTType CurrNode = BSTree; while (CurrNode !=NULL & CurrNode->Key != SeachData) { if (CurrNode ->Key > SearchData) CurrNode = CurrNode ->BSTLeft; else CurrNode = CurrNode ->BSTRight; } return (CurrNode); } 221 2. Cây nhị phân (Binary Tree) 2.3.2.b. Thêm vào một nút trên cây nhị phân tìm kiếm • Giả sử thêm vào 1 nút có thành phần dữ liệu là NewData vào cây nhị phân tìm kiếm sao cho sau khi thêm, cây vẫn là cây nhị phân tìm kiếm. • Bao gồm các thao tác tìm kiếm vị trí thêm và thêm nút vào cây. • Thao tác chỉ thêm được nếu không có hiện tượng trùng khóa, do đó nếu NewData trùng với Key của 1 trong các nút trong cây thì không thực hiện thêm. 222 2. Cây nhị phân (Binary Tree) 2.3.2.b. Thêm vào một nút trên cây nhị phân tìm kiếm (tt) B1: NewNode = BinTreeCreateNode(NewData) B2: IF(NewNode == NULL) Thực hiện BKT B3: IF (BSTree == NULL) B3.1: BSTree = NewNode B3.2: Thực hiện BKT B4: CurrNode = BSTree B5: IF (CurrNode == NULL) Thực hiện BKT B6: IF (CurrNode->Key > NewData) B6.1: AddLeft = True B6.2: If (CurrNode->BSTLeft != NULL) CurrNode = CurrNode->BSTLeft B7: IF (CurrNode->Key < NewData) B6.1: AddLeft = False B6.2: If (CurrNode->BSTRight != NULL) CurrNode = CurrNode->BSTRight B8: Lặp lại B5 B9: IF (AddLeft == True) CurrNode = CurrNode->BSTLeft B10: ELSE CurrNode = CurrNode->BSTRight BKT: Kết thúc 223 2. Cây nhị phân (Binary Tree) 2.3.2.b. Thêm vào một nút trên cây nhị phân tìm kiếm (tt) BSTType BSTAddNode (BSTType &BSTree, T NewData) { BSTType NewNode = BinTreeCreateNode(NewData); if (NewNode == NULL) return (NewNode); if (BSTree == NULL) BSTree = NewNode; else { BSTType CurrNode = BSTree; int AddLeft = 1; while (CurrNode->Key != NewData) // khong them neu trung Key { if (CurrNode->Key > NewData) // them o cay con ben trai { AddLeft = 1; if (CurrNode->BSTLeft != NULL) CurrNode = CurrNode->BSTLeft; else break; } else // them o cay con ben phai { AddLeft = 0; if (CurrNode->BSTRight != NULL) CurrNode = CurrNode->BSTRight; else break; } } if (AddLeft == 1) CurrNode->BSTLeft = NewNode; else CurrNode->BSTRight = NewNode; } return (NewNode) } 224 2. Cây nhị phân (Binary Tree) 2.3.2.d. Hủy toàn bộ cây Thao tác chỉ đơn giản là việc thực hiện nhiều lần thao tác hủy một nút trên cây nhị phân tìm kiếm cho đến khi cây trở thành rỗng. Hàm thực hiện việc hủy tất cả các nút trong cây nhị phân tìm kiếm BSTree. void BSTDelete(BSTType &BSTree) { BSTType DelNode = BSTree; while (BSTDeleteNodeTRS(BSTree, DelNode->Key) == 1) DelNode = BSTree; return; } 225 3. Cây cân bằng (Balanced Tree) 3.1. Định nghĩa – Cấu trúc dữ liệu • Cây cân bằng tương đối: • Là cây nhị phân thỏa mãn điều kiện là đối với mọi nút của cây thì chiều cao của cây con trái và chiều cao của cây con phải của nút đó hơn kém nhau không quá 1 (theo định nghĩa của Adelson-Velskii và Landis). • Cây cân bằng tương đối còn gọi là cây AVL (AVL Tree). • Cây cân bằng hoàn toàn: • Là cây nhị phân thỏa mãn điều kiện là đối với mọi nút của cây thì số nút của cây con trái và số nút của cây con phải của nút đó hơn kém nhau không quá 1. • Cây nhị phân cân bằng hoàn toàn là cây nhị phân cân bằng tương đối. 226 3. Cây cân bằng (Balanced Tree) 3.1. Định nghĩa – Cấu trúc dữ liệu (tt) • Để ghi nhận mức độ cân bằng tại mỗi nút gốc cây con, dùng thêm thành phần Bal trong cấu trúc dữ liệu của mỗi nút. typedef struct BALNode { T Key; int Bal; BALNode *BALLeft; BALNode *BALRight; }BALOneNode; typedef BALOneNode * BALType; • Để quản lý cây cân bằng, chỉ cần quản lý địa chỉ nút gốc của cây BALType BALTree; 227 3. Cây cân bằng (Balanced Tree) 3.1. Định nghĩa – Cấu trúc dữ liệu (tt) • Giá trị chỉ số cân bằng Bal tại 1 nút gốc của cây con trong cây cân bằng tương đối bằng hiệu số giữa chiều cao cây con trái và chiều cao cây con phải của nút đó. • Giá trị chỉ số cân bằng Bal tại 1 nút gốc của cây con trong cây cân bằng hoàn toàn = hiệu số giữa số nút cây con trái và số nút cây con phải của nút đó. • Nếu tại mọi nút trong cây nhị phân mà thỏa mãn điều kiện -1 <= Bal <= 1 thì cây là cây cân bằng. Phạm vi từ -1  1 là phạm vi cho phép của chỉ số cân bằng Bal • Nếu Bal = 0: cây con trái & cây con phải đều nhau • Nếu Bal = -1: cây con trái nhỏ hơn cây con phải (lệch phải) • Nếu Bal = +1: cây con trái nhỏ lớn cây con phải (lệch trái) 228 BÀI TẬP Bài tập trang 239, 240, 241 giáo trình “Cấu trúc dữ liệu”