Bài giảng Lý thuyết xác suất và thống kê toán - Phần I: Lý thuyết xác suất - Chương 3: Một số phân phối xác suất thông dụng - Trường Đại học Kinh tế TP. Hồ Chí Minh

a- Bài toán tổng quát dẫn đến phân phối nhị thức Chương 3 MỘT SỐ PHÂN PHỐI XÁC SUẤT THÔNG DỤNGI - Phân phối nhị thức ª Tiến hành n phép thử độc lập. ª X là số lần A xảy ra trong n phép thử, thì X là đ.l.n.n rời rạc có thể nhận các giá trị: 0, 1, 2. . . . , n X có phân phối nhị thức với các tham số : n, p. ª P(A) = p đối với mọi phép thử. Đại lượng ngẫu nhiên X có phân phối nhị thức với các tham số n và p được ký hiệu là: X  B(n, p). Thí dụ 1: Xác suất để một máy sản xuất được sản phẩm loại I là 0,8. Cho máy sản xuất 5 sản phẩm. Gọi X là số sản phẩm loại I có trong 5 sản phẩm do máy sản xuất thì X  B(5; 0,8). Thí dụ 2: Xác suất để một xạ thủ bắn trúng bia trong mỗi lần bắn như nhau và đều bằng 0,9. Xạ thủ này bắn 10 viên. Gọi X là số viên trúng bia của xạ thủ này thì X  B(10; 0,9). Thí dụ 3: Có 3 cầu thủ ném bóng vào rổ (mỗi người ném một quả). Xác suất ném trúng rổ của cầu thủ thứ nhất, thứ hai, thứ ba tương ứng là: 0,9; 0,8; 0,6. Gọi X là số lần ném trúng rổ của 3 cầu thủ này. X có phân phối nhị thức hay không? Khái niệm các phép thử độc lập 1 và 2 là hai phép thử độc lập nếu như xác suất xảy ra một biến cố nào đó của phép thử 1 không phụ thuộc vào kết quả của phép thử 2 và ngược lại. )n,....,2,1,0x( qpC)xX(PP xnxxnx    (3.1) b- Công thức tính xác suất Nếu X  B(n, p) Thí dụ: X  B(5; 0,8) 0064,0)2,0)(8,0(C)1X(P 415  00032,0)2,0()0X(P 5  0512,0)2,0()8,0(C)2X(P 3225  2048,0)2,0()8,0(C)3X(P 2335  4096,0)2,0()8,0(C)4X(P 445  32768,0)8,0()5X(P 5  P(x  X  x+h) = P(X = x) + P(X = x+ 1) + . . . . + P(X = x+h) (3.2) Nếu X  B(n, p), thì: Trong đó: P(X=x), P(X=x+1),. . . , P(X=x+h) được tính theo công thức (3.1) Thí dụ: X  B(5; 0,8) P(1  X  3) = P(X = 1) + P(X = 2) + P(X = 3) = 0,0064 + 0,0512 + 0,2048 = 0,2624 c- Các tham số đặc trưng: Kỳ vọng toán: Nếu X  B(n , p) thì: E(X) = np Phương sai: Nếu X  B(n , p) thì: Var(X) = npq Giá trị tin chắc nhất: Nếu X  B(n , p) thì: np + p - 1  Mod(X)  np + p a- Bài toán tổng quát dẫn đến phân phối Poisson II- Phân phối Poisson X  B(n, p) nhưng n lớn, p nhỏ (p < 0,1), np =  không đổi thì ta có thể coi X có phân phối Poisson với tham số . X có phân phối Poisson với tham số  được ký hiệu là: X  P() Thí dụ: Xác suất để một máy sản xuất ra phế phẩm là 0,001. Cho máy sản xuất 2000 sản phẩm. b- Công thức tính xác suất Gọi X là số phế phẩm có trong 2000 sản phẩm do máy sản xuất thì X  B(2000; 0,001). Khi đó ta có thể coi X  P(2) e - hằng số nêpe: e = ; e  2,71828 n n n 1 1Lim         Nếu X  P() thì: Pk = P(X = k) = e - (k = 0, 1, 2, . . .)  k k! Nếu X  P() thì: P(k  X  k+h) = Pk+ Pk+1+. . .+Pk+h (3.9) Thí dụ: Một máy dệt có 500 ống sợi. Xác suất để một ống sợi bị đứt trong khoảng thời gian 1 giờ máy hoạt động là 0,004. Tìm xác suất để trong một giờ có không quá 2 ống sợi bị đứt. Giải: Nếu coi việc quan sát 1 ống sợi xem có bị đứt hay không trong khoảng thời gian 1 giờ là một phép thử thì ta có 500 phép thử độc lập. Trong mỗi phép thử biến cố A (ống sợi bị đứt) xảy ra với xác suất là p = 0,004. Nếu gọi X là số ống sợi bị đứt trong khoảng thời gian 1 giờ thì X ~ B(500; 0,004) Vì n = 500 khá lớn, p = 0,004 rất nhỏ; np = 500×0,004 = 2 không đổi nên ta có thể coi X ~ P(2) Xác suất để có không quá 2 ống sợi bị đứt trong khoảng thời gian 1 giờ là: P(0 ≤ X ≤ 2) = P0 + P1 + P2 22 0 0 ee !0 2 )0X(PP   22 1 1 e2e !1 2 )1X(PP   22 2 2 e2e !2 2 )2X(PP   222 e2e2e)2X0(P   6767,0e5 2   c- Các tham số đặc trưng: Có thể chứng minh được rằng: Nếu X  P() thì: E(X) = Var(X) =    1  Mod(X)   a- Bài toán tổng quát dẫn đến phân phối siêu bội Từ một tập hợp gồm N phần tử (trong đó có M phần tử có tính chất A) lấy ngẫu nhiên không hoàn lại ra n phần tử. III- Phân phối Siêu bội Gọi X là số phần tử có tính chất A có trong n phần tử lấy ra, X là đại lượng ngẫu nhiên rời rạc có thể nhận các giá trị trong khoảng [n1, n2]. n1 = max{0, n-N+M} n2 = min{n, M} X có phân phối siêu bội với các tham số: N, M, n. Đại lượng ngẫu nhiên X có phân phối siêu bội với các tham số N, M, n được ký hiệu là: X  H(N, M, n) Thí dụ: Một hộp có 10 sản phẩm (trong đó có 7 sản phẩm loại A). Lấy ngẫu nhiên không hoàn lại từ hộp ra 5 sản phẩm. Gọi X là số sản phẩm loại A có trong 5 sản phẩm lấy ra. X có phân phối siêu bội với các giá trị có thể nhận là: 2, 3, 4, 5. P(X = x) = (3.12) n N xn MN x M C CC  Max0, M+n-N  x  Min n, M Nếu X  H(N, M, n) b- Công thức tính xác suất 3- Các tham số đặc trưng Nếu X  H (N, M, n) thì: E(X) = np (với p = ) Var(X) = npq (với q = 1-p) M N N-n N-1 Nếu X  H (N, M, n) nhưng n rất bé so với N thì ta có thể coi X  B(n, p) với p = M N Công thức xấp xỉ: xnxx nn N xn MN x M qpC C CC     Thí dụ: Một lô hàng có 1000 sản phẩm, trong đó có 800 sản phẩm loại A và 200 sản phẩm loại B. Lấy ngẫu nhiên không hoàn lại từ lô hàng ra 10 sản phẩm để kiểm tra. Tìm xác suất để có ít nhất 8 sản phẩm loại A trong 10 sản phẩm lấy ra kiểm tra ? Giải: Gọi X là số sản phẩm loại A có trong 10 sản phẩm lấy ra kiểm tra. X  H(1000, 800, 10). Nhưng vì lấy ít (10) từ một tập hợp có số phần tử lớn (1000) nên ta có thể coi X  B(n, p), với n = 10 và p = 0,8 Xác suất cần tìm là P(X  8). P(X  8) = P(X = 8) + P(X = 9) + P(X = 10) 28810 )2,0()8,0(C )2,0()8,0(C 9910 10)8,0( = + + = 0,6778 Hãy tính xác suất trên bằng công thức của phân phối siêu bội. a- Định nghĩa: Đại lượng ngẫu nhiên liên tục X nhận giá trị trong khoảng ( được gọi là có phân phối chuẩn nếu hàm mật độ xác suất của nó có dạng: IV- Phân phối Chuẩn f(x) = Nếu tiến hành khảo sát hàm này ta thấy: f(x) > 0 ( x) Khi x   thì f(x)  . Hàm số đạt cực đại tại điểm x =  1 2 e (x - )2 2 2 f() =  2 1 Đồ thị của hàm f(x) có dạng như hình chuông, đối xứng qua đường thẳng x =  b- Các tham số đặc trưng - Kỳ vọng toán: Nếu đại lượng ngẫu nhiên X có phân phối chuẩn với hàm mật độ như trên thì : E(X) =  - Phương sai: Nếu X là đại lượng ngẫu nhiên phân phối chuẩn với hàm mật độ như trên thì : Var(X) = 2 Đại lượng ngẫu nhiên X có phân phối chuẩn với kỳ vọng toán là  và phương sai là 2 được ký hiệu là: X  N(  2). Phân phối chuẩn do nhà toán học Đức Karl Gauss tìm ra nên còn gọi là phân phối Gauss. c- Phân phối chuẩn chính tắc Giả sử đại lượng ngẫu nhiên X có phân phối chuẩn với kỳ vọng toán là  và phương sai là 2. Xét đại lượng ngẫu nhiên: Z =  X Đại lượng ngẫu nhiên Z nhận giá trị trong khoảng ( ) được gọi là có phân phối chuẩn chính tắc nếu hàm mật độ xác suất của Z có dạng: f(z) = 1 2 e z2 2 Đồ thị của hàm f(z) cũng có dạng hình chuông, đối xứng qua trục tung. (hình vẽ) Có thể chứng minh được rằng: Nếu đại lượng ngẫu nhiên Z có phân phối chuẩn chính tắc thì: E(Z) = 0 và Var(Z) = 1 ĐLNN Z có phân phối chuẩn chính tắc được ký hiệu là: Z  N(0, 1) d- Công thức tính xác suất: ª Nếu X  N(, 2) thì : P(a  X  b) =    x = (Hàm Laplace) f(z)dz 0 x b -  a - Trong đó: Đồ thị hàm Laplace Giá trị hàm Laplace 0 x z f(z) (x) Các giá trị của hàm (x) được tính sẵn ở phụ lục 2. (Lý thuyết xác suất và thống kê toán). Chú ý: (x) là hàm lẻ, do đó: (x) =  (x) Trong bảng chỉ tính (x) với x  4, với x > 4 thì hàm (x) tăng rất chậm và nhận giá trị rất gần 0,5. Do vậy ta lấy (x) = 0,5 (x > 4). (1,96) = 0,475; (2,33) = 0,4901 ª Nếu X  N( 2) thì : P( ) = 2X         Thí dụ: Chiều cao của sinh viên ở một trường Đại học là đại lượng ngẫu nhiên phân phối theo qui luật chuẩn với chiều cao trung bình  = 160 cm và độ lệch tiêu chuẩn  = 5 cm. Tính tỷ lệ sinh viên có chiều cao trong khoảng từ 150 cm đến 170 cm. Giải: Gọi X là chiều cao của sinh viên trường này. Theo giả thiết thì: X  N(160; 52) Tỷ lệ sinh viên có chiều cao từ 155 đến 165 cm chính là: P(155  X  165) Tức tỷ lệ s/v có chiều cao từ 155 cm đến 165 cm là 68,26%. Minh họa hình học: 68,26% X ~ B(n, p) nhưng n lớn, p không quá gần 0 và không quá gần 1 thì có thể coi X ~ N(np, npq). e- Sự hội tụ của phân phối nhị thức về phân phối chuẩn Các công thức xấp xỉ: P(X = x) = pxqn-x  f(z) (công thức địa phương Laplace) Trong đó: z = ; f(z) = x nC npq 1 npq npx  )2/zexp( 2 1 2  Khi n lớn, xác suất p không quá gần 0 và không quá gần 1 thì ta có thể dùng công thức xấp xỉ: P(x  X  x+h)  (x2)  (x1) (Công thức tích phân Laplace) (x) = (Hàm Laplace) x1 = ; x2 =    X 0 2 dz)2/zexp( 2 1 npq npx  npq nphx  Thí dụ: Xác suất để một máy sản xuất được sản phẩm loại A là 0,8. Tìm xác suất để trong 400 sản phẩm do máy sản xuất có: a) 336 sản phẩm loại A b) Số sản phẩm loại A trong khoảng (304; 328) Gọi X là số sản phẩm loại A có trong 400 sản phẩm do máy sản xuất. X  B(400, 0,8). Vì n = 400 khá lớn, p = 0,8 không quá gần 0 và không quá gần 1, nên có thể áp dụng công thức địa phương Laplace. Giải: )z(f 2,08,0400 1 )336X(P  a) 2 2,08,0400 8,0400336 z     054,0)2(f)z(f  00675,0 8 054,0 8 )z(f )336X(P  b) Ta cần tính P(304 ≤ X ≤ 328) Áp dụng công thức tích phân Laplace, ta có: P(304 ≤ X ≤ 328)  (x2) - (x1) Trong đó: 1 2,08,0400 8,0400328 x 2     2 2,08,0400 8,0400304 x 1     P(304  X  328)  (1) - (-2) = (1) + (2) = 0,3413 + 0,4772 = 0,8185 TỔNG KẾT CHƯƠNG 3 pp nhị thức pp Poisson pp siêu bội pp chuẩn Bài toán tổng quát ĐN, đồ thị  Công thức tính xác suất  Các tham số đặc trưng Bài tập chương 3 3.9; 3.22; 3.23; 3.24; 3.25; 3.26; 3.29; 3.30; 3.31; 3.32; 3.38; 3.40. Hết chương 3