Bài giảng Lý thuyết xác suất và thống kê toán - Phần I: Lý thuyết xác suất - Chương 2: Đại lượng ngẫu nhiên và phân phối xác suất - Trường Đại học Kinh tế TP. Hồ Chí Minh

Chương 2 ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN VÀ PHÂN PHỐI XÁC SUẤTI – Khái niệm về đại lượng ngẫu nhiên Các thí dụ:  Kiểm tra 3 sản phẩm và quan tâm đến số sản phẩm đạt tiêu chuẩn có trong 3 sản phẩm kiểm tra.  Khảo sát điểm thi môn toán cao cấp của một sinh viên hệ chính qui và quan tâm đến điểm thi của sinh viên này.  Khảo sát doanh thu của một siêu thị trong một ngày và quan tâm đến doanh thu (triệu đồng) của siêu thị.  Số sản phẩm đạt tiêu chuẩn.  Điểm thi môn toán cao cấp của sinh viên.  Doanh thu của siêu thị. Đạïi lượng ngẫu nhiên Khi thực hiện một phép thử, bằng một qui tắc hay một hàm ta có thể gán các giá trị bằng số cho những kết quả của một phép thử. Đại lượng ngẫu nhiên là đại lượng nhận các giá trị khác nhau tuỳ thuộc vào kết quả của một phép thử. Khi thực hiện phép thử, đại lượng ngẫu nhiên sẽ nhận một (và chỉ một) giá trị trong tập hợp các giá trị mà nó có thể nhận. Đại lượng ngẫu nhiên nhận một giá trị cụ thể là biến cố. Các đại lượng ngẫu nhiên thường được ký hiệu là: X, Y, Z, . . . X1, X2, . . . , Xn ; Y1, Y2, . . . , Ym; . . . . Các giá trị ĐLNN có thể nhận được ký hiệu là: x1, x2, . . ., xn; y1, y2, . . . , ym; . . . Có thể định nghĩa ĐLNN như sau: Cho phép thử  có không gian mẫu . Một ánh xạ từ  vào R được gọi là một đại lượng ngẫu nhiên (hay biến ngẫu nhiên) Kiểm tra 3 sản phẩm và gọi X là số sản phẩm đạt tiêu chuẩn có trong 3 sản phẩm kiểm tra. Thí dụ: 111 000 001 010 100 110 101 011 X = 0 X = 1 X = 2 X = 3  Đại lượng ngẫu nhiên có thể là rời rạc hoặc liên tục. Đại lượng ngẫu nhiên được gọi là rời rạc nếu tập hợp các giá trị mà nó có thể nhận là một tập hợp hữu hạn hoặc vô hạn đếm được. II – Phân loại ĐLNN Đối với ĐLNN rời rạc, ta có thể liệt kê được các giá trị của nó. ĐLNN được gọi là liên tục nếu các giá trị mà nó có thể nhận có thể lấp kín một khoảng trên trục số. Đối với ĐLNN liên tục, ta không thể liệt kê tất cả các giá trị của nó. Thí dụ: Số sinh viên vắng mặt trong mỗi buổi học ; số máy hỏng trong từng ngày của một phân xưởng, . . . là các đại lượng ngẫu nhiên rời rạc. Nếu gọi X là trọng lượng của một loại sản phẩm do một nhà máy sản xuất; Y là thu nhập của những người làm việc trong một ngành; . . . . thì X, Y là những đại lượng ngẫu nhiên liên tục. 1- Bảng phân phối xác suất Bảng phân phối xác suất dùng để thiết lập phân phối xác suất của đại lượng ngẫu nhiên rời rạc. III – Phân phối xác suất của đại lượng ngẫu nhiên Giả sử đại lượng ngẫu nhiên X có thể nhận một trong các giá trị: x1, x2, . . . ., xn với các xác suất tương ứng là: p1, p2, . . . ., pn pi = P(X = xi) (i = 1, 2, . . . , n) Đối với bảng phân phối xác suất, ta luôn có: = 1  n 1i ip Bảng phân phối xác suất của X có dạng: X x1 x2 . . . xn P p1 p2 . . . pn Thí dụ: Một hộp có 10 sản phẩm (trong đó có 6 sản phẩm loại I). Lấy ngẫu nhiên không hoàn lại từ hộp ra 2 sản phẩm. Lập bảng phân phối xác suất của số sản phẩm loại I có trong 2 sản phẩm lấy ra. Giải: Gọi X là số sản phẩm loại I có trong 2 sản phẩm lấy ra từ hộp thì X là ĐLNN rời rạc có thể nhận các giá trị : 0, 1, 2 với các xác suất tương ứng: 15 2 C C )0X(Pp 2 10 2 4 1  15 8 C C.C )1X(Pp 2 10 1 4 1 6 2  15 5 C C )2X(Pp 2 10 2 6 3  Vậy phân phối xác suất của X là: X 0 1 2 P 2/15 8/15 5/15 Vì sao đối với bảng phân phối xác suất, ta luôn có:   n 1i i p = 1 2- Hàm mật độ xác suất Hàm mật độ xác suất của đại lượng ngẫu nhiên liên tục X, ký hiệu là f(x), thỏa mãn các điều kiện sau: ª f(x)  0 (x) ª P(a < X < b) =  b a dx)x(f 1dx)x(f    ª f(x) x0 a b P(a< X < b) 3- Hàm phân phối xác suất Hàm phân phối xác suất có thể thiết lập cho cả đại lượng ngẫu nhiên rời rạc và đại lượng ngẫu nhiên liên tục. F(x) = P(X < x) Nếu X là đại lượng ngẫu nhiên rời rạc thì hàm F(x) có dạng: a- Định nghĩa:    xx i i )xX(P)x(F    x dx)x(f)x(F Nếu X là đại lượng ngẫu nhiên liên tục thì hàm F(x) có dạng: Thí dụ: Cho đại lượng ngẫu nhiên rời rạc X có bảng phân phối xác suất: X 1 2 3 P 0,25 0,5 0,25 Hàm phân phối xác suất của X: F(x) = 0 x  1 0,25 1< x  2 0,75 2< x  3 1 x > 3 Đồ thị hàm phân phối xác suất b- Tính chất: ª Tính chất 1: Hàm phân phối xác suất luôn luôn nhận giá trị trong khoảng [0, 1], tức: 0 ≤ F(x) ≤ 1 ª Tính chất 2: Hàm phân phối xác suất là hàm không giảm. Tức là: Nếu x2 > x1 thì: F(x2) ≥ F(x1) ª Hệ quả 1: P(a ≤ X < b) = F(b) - F(a) ª Hệ quả 2: Xác suất để ĐLNN liên tục nhận một giá trị xác định cho trước luôn bằng 0. ª Hệ quả 3: Nếu X là ĐLNN liên tục thì: P(a ≤ X ≤ b) = P(a < X ≤ b) = P(a ≤ X < b) = P(a < X < b) ª Tính chất 3: LimF(x) = 1; LimF(x) = 0 X  -X Tính chất này có thể viết như sau: F(+) = 1; F(-) = 0 c- Ý nghĩa của hàm phân phối xác suất: Hàm F(x) phản ánh mức độ tập trung xác suất về phía bên trái của điểm x. Giá trị của hàm F(x) cho biết có bao nhiêu phần của một đơn vị xác suất phân phối trong khoảng ( -, x). 1- Kỳ vọng toán: a- Định nghĩa: IV – Các tham số đặc trưng của đại lượng ngẫu nhiên X là đại lượng ngẫu nhiên rời rạc có thể nhận các giá trị: x1, x2, . . . , xn với các xác suất tương ứng: p1, p2, . . . , pn Kỳ vọng toán của đại lượng ngẫu nhiên X ký hiệu là E(X):   n 1i iipxE(X) = b- Các tính chất:  E(C) = C (với C là hằng số)  E(CX) = CE(X) (C - hằng số)  E(X1 + X2 + . . . + Xn) = E(X1) + E(X2) + . . . + E(Xn)  E(X1X2 . . . Xn) = E(X1)E(X2) . . . E(Xn) Nếu X1, X2, . . . , Xn độc lập. Khái niệm 2 ĐLNN độc lập X và Y là hai ĐLNN độc lập nếu phân phối xác suất của X thay đổi không làm thay đổi phân phối xác suất của Y và ngược lại. Nếu X, Y không thỏa điều kiện nêu trên thì X, Y là hai ĐLNN phụ thuộc. c- Bản chất và ý nghĩa của kỳ vọng toán Thí dụ: Một lớp có 50 sinh viên, trong kỳ thi môn toán có kết quả cho ở bảng sau: Điểm 3 4 5 6 7 8 9 Số s/v 3 7 15 10 5 6 4 Nếu gọi X là điểm thi môn toán của một s/v chọn ngẫu nhiên từ lớp này thì X là ĐLNN có phân phối xác suất như sau: X 3 4 5 6 7 8 9 P 0,06 0,14 0,3 0,2 0,1 0,12 0,08 82,5 50 49.....7433 )X(E Hay    E(X) = 5,82 chính là điểm thi trung bình môn toán của một sinh viên trong lớp. E(X)=30,06+ 40,14 +. . .90,08 Kỳ vọng toán của đại lượng ngẫu nhiên chính là giá trị trung bình của đại lượng ngẫu nhiên. 2- Phương sai: a- Định nghĩa: Phương sai của đại lượng ngẫu nhiên X, ký hiệu là Var(X). Var(X) = EX- E(X)2 Trong thực tế thường tính phương sai bằng công thức: Var(X) = E(X2) – [E(X)]2 Thí dụ: Cho ĐLNN X có luật phân phối xác suất như sau: X 1 3 4 P 0,1 0,5 0,4 Tìm var(X). Giải: Theo định nghĩa của E(X) ta có: E(X)=1×0,1+3×0,5+ 4×0,4 = 3,2 E(X2) =12×0,1+32×0,5+42×0,4 = 11 Vậy: Var(X) = 11 – (3,2)2 = 0,76 b- Các tính chất của phương sai: ª Var(C) = 0 (C - const) ª Var(CX) = C2 Var(X) (C - const) ª Nếu X, Y là hai đại lượng ngẫu nhiên độc lập thì: Var(X + Y ) = Var(X) + Var(Y) Trường hợp tổng quát, nếu X1, X2, . . . , Xn là n đại lượng ngẫu nhiên độc lập thì: Var(X1 + X2 + . . . + Xn) = Var(X1) + Var(X2) + . . . + Var(Xn) Hệ quả 2: • Var(C + X) = Var(X) • (với C là hằng số ) •Hệ quả 1: • Var(X-Y)=Var(X)+Var(Y) •Nếu X, Y độc lập 3- Độ lệch chuẩn Độ lệch chuẩn của đại lượng ngẫu nhiên X ký hiệu là (X) là căn bậc 2 của phương sai: (X) = )X(Var Đôä lệch chuẩn có cùng đơn vị đo với đại lượng ngẫu nhiên. Đơn vị đo của phương sai bằng bình phương đơn vị đo của đại lượng ngẫu nhiên. 4- Giá trị tin chắc nhất a- Định nghĩa: Giá trị tin chắc nhất của đ.l.n.n X ký hiệu là Mod(X) Nếu X là đ.l.n.n rời rạc thì Mod(X) là giá trị của X ứng với xác suất lớn nhất trong bảng phân phối xác suất của X. Nếu X là đại lượng ngẫu nhiên liên tục thì Mod(X) là giá trị của X tại đó hàm mật độ đạt giá trị cực đại. b- Thí dụ 1: X là đại lượng ngẫu nhiên có bảng phân phối xác suất như sau: X 7 8 9 10 11 12 14 P 0,1 0,14 0,3 0,24 0,11 0,06 0,05 Mod(X) = 9 c - Thí dụ 2: X là đại lượng ngẫu nhiên có hàm mật độ xác suất như sau: Mod(X) = 4,6 4,6 x f(x) 0 Mod(X) chính là giá trị có khả năng xảy ra nhiều nhất trong các giá trị mà đ.l.n.n X có thể nhận. Nếu X là chiều cao của s/v trong một trường, thì Mod(X) là chiều cao mà nhiều s/v đạt được nhất; Nếu Y là thu nhập của công nhân trong một nhà máy thì Mod(Y) là thu nhập mà số công nhân có mức thu nhập này ở nhà máy là nhiều nhất . . . * Chú ý: Mod(X) có thể nhận nhiều giá trị khác nhau. Thí dụ: X là đ.l.n.n có bảng phân phối xác suất như sau: X 1 2 3 4 5 6 7 P 0,1 0,15 0,3 0,3 0,08 0,05 0,02 Mod(X) = 3 hoặc Mod(X) = 4. TỔNG KẾT CHƯƠNG 2 ĐLNN PP xác suất của ĐLNN Các tham số đặc trưng của ĐLNN rời rạc liên tục Bảng PP XS hàm PP XS hàm mật độ xS Kỳ vọng toán Phg sai độ lệch chuẩn ĐN, các t/cĐịnh nghĩa ĐN, cách tính, các t/c Bài tập: • 2.5; 2.6; 2.9; 2.20; • 2.25; 2.28. Hết chương 2