Bài giảng Lý thuyết xác suất và thống kê toán - Phần I: Lý thuyết xác suất - Chương 1: Xác suất của biến cố và các công thức tính xác suất - Trường Đại học Kinh tế TP. Hồ Chí Minh

Phần I LÝ THUYẾT XÁC SUẤT Chương 1 Xác suất của biến cố và các công thức tính xác suất Chương 2 Đại lượng ngẫu nhiên và phân phối xác suất Chương 3 Một số phân phối xác suất thông dụng Chương 4 Đại lượng ngẫu nhiên hai chiều – hàm của các đại lượng ngẫu nhiên Chương 6 Mẫu ngẫu nhiên Phần II THỐNG KÊ TOÁN Chương 5 Luật số lớn và các định lý giới hạn Chương 8 Kiểm định giả thiết thống kê Chương 7 Ước lượng các tham số đặc trưng của đại lượng ngẫu nhiên 1- Lý thuyết xác suất & thống kê toán. Hoàng Ngọc Nhậm NXB Kinh tế TP Hồ Chí Minh 2012 TÀI LIỆU HỌC TẬP VÀ THAM KHẢO 3- Bài tập xác suất thống kê Th s Hoàng Ngọc Nhậm, NXB Thống kê - 2011 2- Giáo trình lý thuyết xác suất & thống kê toán học Ths Trần Gia Tùng NXB ĐH Quốc gia TP Hồ Chí Minh, 2009 Cách đánh giá: - Điểm quá trình: 30%; - Điểm thi kết thúc HP: 70% - Điểm quá trình bao gồm: điểm kiểm tra giữa kỳ, điểm thảo thuận, sửa bài tập trên lớp, . . . Bài kiểm tra giữa kỳ: Thời gian: 45 phuùt. Nội dung: phần xaùc suất. Bài thi kết thúc học phần: Thôøi gian 75 Phuùt. Coù hai phaàn: Phaàn I: traéc nghieäm (10 caâu) Phaàn II: tự luận (3 hoaëc 4 caâu) PHẦN I Chương 1 Các thí dụ:  Tung (gieo) một đồng xu.  Tung (gieo) một con súc sắc.  Chọn ngẫu nhiên 2 sản phẩm từ kiện hàng có 5 sản phẩm để kiểm tra.  Quan sát điểm thi môn toán cao cấp của một sinh viên hệ CQ.  Làm các thí nghiệm để nghiên cứu về năng suất của một giống lúa mới.  Phép thử là một thí nghiệm hay quan sát.  Pheùp thöû laø nhöõng coâng vieäc, nhöõng haønh ñoäng cuûa con ngöôøi nhaèm quan saùt, nghieân cöùu moät hieän töôïng, moät ñoái töôïng naøo ñoù. Khi thực hiện một phép thử có nhiều kết quả có thể xảy ra. Có kết quả đơn giản, có kết quả phức hợp. Khi tung một con súc sắc, súc sắc ra mặt 1 chấm, 2 chấm, . . . , 6 chấm là những kết quả đơn giản, súc sắc ra mặt chẵn, súc sắc ra mặt lớn hơn 3, . . . là những kết quả phức hợp. Kết quả đơn giản nhất có thể xảy ra khi thực hiện phép thử được gọi là biến cố sơ cấp. Tập hợp tất cả các biến cố sơ cấp được gọi là không gian các biến cố sơ cấp (không gian mẫu).  Mỗi tập con của không gian mẫu được gọi là biến cố.  Biến cố là một kết quả có thể xảy ra khi thực hiện phép thử.  Không gian các biến cố sơ cấp ký hiệu là  (hoặc S) Gieo một con súc sắc i (i = 1, 2, . . . , 6) chỉ kết quả súc sắc xuất hiện mặt i chấm. Thí dụ 1:  = 1, 2, 3, 4, 5, 6 Thí dụ 2: Kiểm tra 1 sản phẩm chọn ngẫu nhiên từ một kiện hàng. Giả thiết sản phẩm hoặc loại I, hoặc loại II, hoặc phế phẩm.  = 1, 2, 3 Thí dụ 3: Kiểm tra 2 sản phẩm chọn ngẫu nhiên từ một kiện hàng. Giả thiết sản phẩm hoặc loại I, hoặc loại II, hoặc phế phẩm. Không gian các biến cố sơ cấp gồm có các phần tử nào ? sp1 sp2 Loại I Loại II Loại PP Loại I Loại II Loại PP           = 1, 2, . . . , 9 Chú ý: Các biến cố cụ thể luôn gắn liền với phép thử cụ thể. Phép thử Không gian các b/c sơ cấp Biến cố Phép thử Kh. gian mẫu Biến cố Tung 1 đồng xu  = {H, C} H, C Tung 1 con súc sắc  = {1, 2, . . . , 6} XH mặt 3, 6, XH mặt chẵn, Kiểm tra 1 sp  = {1, 2, 3} SP là loại I, II SP là loại PP  Biến cố ngẫu nhiên A, B, C, D, E, F, . . . A1, A2, . . . , An B1, B2, . . . , Bm  Biến cố chắc chắn ()  Biến cố không thể () Định nghĩa 1: Biến cố A được gọi là kéo theo biến cố B, ký hiệu là A  B nếu A xảy ra thì B cũng xảy ra. Thí dụ: Tung một con súc sắc, gọi A là biến cố “súc sắc ra mặt 2” và B là biến cố “súc sắc ra mặt chẵn” thì: A B Định nghĩa 2: Biến cố A và B được gọi là hai biến cố tương đương, ký hiệu là A = B nếu A B và B A. Nếu A = B thì: P(A) = P(B) Tại sao xác suất của các biến cố tương đương lại bằng nhau? Thí dụ: Kiểm tra 2 sản phẩm. Gọi A là biến cố “có ít nhất một phế phẩm” và B là biến cố “có 1 phế phẩm hoặc có 2 phế phẩm” thì: A = B Tổng của 2 biến cố A và B là một biến cố, ký hiệu là A  B (hoặc A + B). Biến cố này xảy ra khi và chỉ khi có ít nhất một trong hai biến cố A, B xảy ra. Định nghĩa 3: Thí dụ: Quan sát 2 xạ thủ cùng bắn vào một bia. Mỗi xạ thủ bắn một viên. Gọi A là biến cố “xạ thủ thứ nhất bắn trúng bia”, B là biến cố “xạ thủ thứ hai bắn trúng bia”, C là biến cố “bia trúng đạn”. C = A B Định nghĩa 4: Tích của hai biến cố A và B là một biến cố, ký hiệu là A  B (hoặc AB), biến cố này xảy ra khi và chỉ khi cả A và B xảy ra. Thí dụ: Xét phép thử quan sát hai xạ thủ cùng bắn vào một bia (mỗi người bắn một viên). Gọi A là biến cố “xạ thủ thứ nhất bắn trật”, B là biến cố “xạ thủ thứ hai bắn trật” và C là biến cố “ bia không trúng đạn”. Thì: C = AB Định nghĩa 5: Hai biến cố A và B được gọi là xung khắc nếu AB = . A, B là 2 biến cố xung khắc nếu chúng không thể đồng thời xảy ra khi thực hiện phép thử. A, B là 2 biến cố không xung khắc nếu chúng có thể đồng thời xảy ra khi thực hiện phép thửù. Thí dụ 1: Kiểm tra 2 sản phẩm. Gọi A là biến cố “có 1 phế phẩm”. B là biến cố “không có phế phẩm” thì A, B là 2 biến cố xung khắc. Thí dụ 2: Kiểm tra 3 sản phẩm. Gọi A là biến cố “sản phẩm thứ nhất là sản phẩm tốt; B là biến cố sản phẩm thứ hai là sản phẩm tốt. A, B là 2 biến cố không xung khắc. Định nghĩa 6: Biến cố đối lập với biến cố A, ký hiệu là A, nếu A, A xung khắc và AA = . Biến cố “ không xảy ra biến cố A” được gọi là biến cố đối lập với biến cố A. Thí dụ: Kiểm tra 5 sản phẩm. Gọi A là biến cố “có ít nhất 3 sản phẩm tốt”. A là biến cố “số sản phẩm tốt không quá 2”. Biểu đồ VENN: Quan sát 2 xạ thủ cùng bắn vào một bia. Mỗi xạ thủ bắn một viên. Gọi A là biến cố “xạ thủ thứ nhất bắn trúng bia”, B là biến cố “xạ thủ thứ hai bắn trúng bia”, C là biến cố “bia trúng đạn”. C = A B  A    B  A  B Quan sát 2 xạ thủ cùng bắn vào một bia. Mỗi xạ thủ bắn một viên. Gọi A là biến cố “xạ thủ thứ nhất bắn trật”, B là biến cố “xạ thủ thứ hai bắn trật”, C là biến cố “bia không trúng đạn”. C = A B  A    B  A  B Quan sát 2 xạ thủ cùng bắn vào một bia. Mỗi xạ thủ bắn một viên. Gọi A là biến cố “có một viên trúng”, B là biến cố “có 2 viên trúng”, A, B xung khắc  A    B  A, B xung khaéc Quan sát 2 xạ thủ cùng bắn vào một bia. Mỗi xạ thủ bắn một viên. Gọi A là biến cố “có một viên trúng”, thì A sẽ là biến cố “có 2 viên trúng hoặc không có viên nào trúng”.  A     Biến cố đối lập A Biểu đồ VENN: Kiểm tra 3 sản phẩm chọn ngẫu nhiên từ một kiện hàng. Giả thiết sản phẩm hoặc là đạt tiêu chuẩn hoặc không đạt tiêu chuẩn. -Không gian mẫu có bao nhiêu phần tử? Hãy chỉ ra các phần tử của không gian mẫu? Hãy chỉ ra các tập hợp biểu diễn các b/c sau: 1- Có 1 sp đạt tiêu chuẩn trong 3 sp kiểm tra. 2- Có ít nhất 2 sp đạt tiêu chuẩn trong 3 sp kiểm tra.            1 2 3 4 5 6 7 8 Các tính chất:  A B = B A  A B = B A  A(BC) = (AB)C = A B  C A(BC) = (AB)C = A B  C A(BC)= (AB)(AC) A(BC)= (AB)(AC) BABA  BABA    1- Khái niệm về xác suất: Xác suất của một biến cố là một con số biểu thị khả năng xảy ra biến cố đó khi thực hiện phép thử. Xét phép thử , giả sử không gian mẫu có hữu hạn các biến cố sơ cấp và các biến cố này có khả năng xảy ra như nhau (ta gọi là đồng khả năng).  Số biến cố sơ cấp đồng khả năng là n 2- Định nghĩa cổ điển về xác suất Ta nói đơn giản: n là số trường hợp đồng khả năng có thể xảy ra khi thực hiện phép thử   Biến cố A = A1A2 . . . Am trong đó Ai ( i = 1, 2, . . . , m) là các biến cố sơ cấp. Ta nói đơn giản: m là số trường hợp đồng khả năng thuận lợi cho b/c A. Khi đó, xác suất của biến cố A, ký hiệu là P(A), được định nghĩa là: P(A) = m n (Đọc phần: “Ưu điểm và hạn chế của định nghĩa cổ điển” trang 23 – Lý thuyết xác suất và thống kê toán) Thí dụ 1 Tung một con súc sắc cân đối và đồng chất. Các trường hợp đồng khả năng là: súc sắc ra mặt 1, súc sắc ra mặt 2, . . . , súc sắc ra mặt 6. Vậy n = 6. Thí dụ 2 Chọn ngẫu nhiên một sinh viên từ một lớp có 50 sinh viên (trong đó có 30 nữ và 20 nam). Trường hợp đồng khả năng là những trường hợp nào? Bao nhiêu trường hợp đồng khả năng? Thí dụ 3 Chọn ngẫu nhiên 2 sản phẩm từ một kiện hàng có 5 sản phẩm (trong đó có 3 sản phẩm loại I và 2 sản phẩm loại II). Trường hợp đồng khả năng là những trường hợp nào? Bao nhiêu trường hợp đồng khả năng?                      n = 10 Thí dụ 1 Tung một con súc sắc cân đối và đồng chất. Gọi A là b/c súc sắc ra mặt chẵn Các trường hợp thuận lợi cho A là: súc sắc ra mặt 2, súc sắc ra mặt 4, súc sắc ra mặt 6. Vậy m = 3. Thí dụ 2 Chọn ngẫu nhiên một sinh viên từ một lớp có 50 sinh viên (trong đó có 30 nữ và 20 nam). Gọi B là biến cố chọn được sinh viên nữ. Trường hợp thuận lợi cho B là những trường hợp nào? Bao nhiêu trường hợp thuận lợi cho biến cố B? Thí dụ 3 Chọn ngẫu nhiên 2 sản phẩm từ một kiện hàng có 5 sản phẩm (trong đó có 3 sản phẩm loại I và 2 sản phẩm loại II). Gọi C là biến cố chọn được một sản phẩm loại I và một sản phẩm loại II. Trường hợp thuận lợi cho C là những trường hợp nào? Bao nhiêu trường hợp thuận lợi cho biến cố C?              m = 6 b- Các tính chất của xác suất:  Nếu A là b/cố ngẫu nhiên thì: 0 < P(A) < 1  Nếu  là b/cố chắc chắn thì: P() = 1  Nếu  là b/cố không thể thì: P() = 0 Với B là biến cố bất kỳ, ta luôn có: 0  P(B)  1 3- Các khái niệm của giải tích tổ hợp * Qui tắc nhân Thí dụ: Có hai hộp, hộp thứ nhất có 3 sản phẩm, hộp thứ hai có 2 sản phẩm. Lấy ngẫu nhiên từ hộp thứ nhất ra 2 sản phẩm, từ hộp thứ hai lấy ngẫu nhiên ra 1 sản phẩm. Vậy có bao nhiêu cách lấy ra 3 sản phẩm từ hai hộp?         n1= 3   n2= 2                 n = 6 21nnn  Nếu đối tượng A có thể được chọn bằng n1 cách, với mỗi cách chọn A ta có n2 cách chọn đối tượng B. Khi đó số cách chọn A và B là: Tổng quát: Nếu chọn k đối tượng thì số cách chọn k đối tượng sẽ là: k21 n...nnn  (ni là số cách chọn đối tượng thứ i ) Chỉnh hợp, chỉnh hợp lặp, hoán vị (đọc giáo trình) Chú ý Có thể dùng qui tắc nhân thay thế cho chỉnh hợp, chỉnh hợp lặp, hoán vị. * Tổ hợp Tổ hợp chập k của n phần tử (k  n) là một nhóm không phân biệt thứ tự gồm k phần tử khác nhau chọn từ n phần tử. Số tổ hợp chập k của n phần tử được ký hiệu là knC )!kn(!k !n Ckn   Để tính ta dùng phím nPr trên máy tính. k nC Thí dụ: Có 5 đội bóng thi đấu với nhau theo cách: 2 đội bất kỳ trong 5 đội bóng này phải thi đấu với nhau một trận. Hỏi phải tổ chức bao nhiêu trận đấu? Giải Một trận đấu giữa hai đội bóng thì không cần phân biệt thứ tự của hai đội bóng đó. Vì vậy một trận đấu giữa 2 đội chọn trong số 5 đội bóng là một tổ hợp chập 2 của 5. Vậy số trận đấu cần phải tổ chức là: C = 10 5 2 Soá tt Soá tt 1 AB 6 BD 2 AC 7 BE 3 AD 8 CD 4 AE 9 CE 5 BC 10 DE 4- Định nghĩa thống kê của xác suất Xét phép thử  và A là một biến cố. Giả sử ta có thể thực hiện lặp lại phép thử  vô hạn lần. Khi thực hiện phép thử  n lần ta thấy có k lần biến cố A xảy ra, ta gọi tỷ số là tần suất của biến cố A trong n phép thử, ký hiệu là fn(A) k n fn(A) = Khi n tăng vô hạn tần suất fn(A) càng gần một số không đổi p, khi đó: P(A) = lim fn(A) = p n n k Trong thực tế, khi n đủ lớn, ta xấp xỉ P(A)  fn(A). Thí dụ: 1- Tính xác suất để một máy sản xuất ra phế phẩm. 2- Tính xác suất để xe ô tô bị tai nạn. Đọc thêm: “Định nghĩa xác suất theo lối tiên đề” trang 25 – Lý thuyết xác suất và thống kê toán. IV- Các công thức tính xác suất  Nếu A và B là hai biến cố xung khắc thì: P(A B) = P(A) + P(B) 1- Công thức cộng xác suất: Tổng quát: Nếu A1, A2, . . . , An là n biến cố xung khắc từng đôi, thì: P(A1 A2  . . . An) = P(A1) + P(A2) + . . . + P(An) Hệ quả: Nếu A và là hai biến cố đối lập nhau thì: A P(A) = 1  P( )A  Nếu A và B là hai biến cố không xung khắc thì: P(A B) = P(A) + P(B)  P(AB)   )AA(P)AA(P)AA(P )A(P)A(P)A(P)AAA(P 323121 321321 )AAA(P 321 Trường hợp n = 3: Nếu A1, A2, A3 là các b/cố không xung khắc, thì: Thí dụ 1: Một hộp có 5 sản phẩm (trong đó có 3 sản phẩm loại I và 2 sản phẩm loại II. Lấy ngẫu nhiên từ hộp ra 2 sản phẩm. Tìm xác suất để có không quá 1 sản phẩm loại I trong 2 sản phẩm lấy ra. Giải: Gọi A0 là b/c “không có sản phẩm loại I nào trong 2 sản phẩm lấy ra”; A1 là b/c “có 1 sản phẩm loại I trong 2 sản phẩm lấy ra”; A là b/c”có không quá 1 sản phẩm loại I trong 2 sản phẩm lấy ra”. A = A0 A1 A0, A1 xung khắc. P(A) = P(A0 A1) = P(A0) + P(A1) P(A0) = = = 0,1 C C 2 2 2 5 1 10 P(A1) = = = 0,6 C C C5 3 1 1 2 2 10 6  P(A) = 0,1 + 0,6 = 0,7 1- Xác suấùt có điều kiện 2- Công thức nhân xác suất a- Định nghĩa: Xác suất của biến cố A được tính với điều kiện biến cố B đã xảy ra gọi là xác suất có điều kiện của A, ký hiệu là P(A/B) b- Công thức tính: Để tính xác suất có điều kiện, tùy theo điều kiện cụ thể của bài toán ta có thể dùng: định nghĩa cổ điển, công thức Bayes, hoặc áp dụng công thức sau: P(A/B) = c- Thí dụ: Một lớp có 50 s/v (20 nữ và 30 nam, trong đó có 5 nữ giỏi toán). Gặp ng.n một s/v của lớp. Tìm xác suất để gặp được s/v giỏi toán biết s/v này là nữ . P(AB) P(B) Giải: Gọi A là biến cố “gặp được s/v giỏi toán”; B là biến cố “gặp được s/v nữ”. Ta cần tìm P(A/B). P(A/B) = P(AB) P(B) = 5/50 20/50 = 0,25 Hai biến cố A, B được gọi là độc lập với nhau nếu: P(A/B) = P(A) Hoặc: P(B/A) = P(B) Việc xảy ra hay không xảy ra của b/c này không ảnh hưởng đến khả năng xảy ra của b/c kia. Hai biến cố A, B được gọi là độc lập với nhau khi và chỉ khi: P(AB) = P(A)P(B) Nếu A, B độc lập thì: A, B; A, B và A, B cũng độc lập. Các b/c A1, A2, . . . An được gọi là độc lập toàn phần nếu mỗi b/c độc lập với tích của một tổ hợp bất kỳ trong các biến cố còn lại. Nếu A, B là hai b/c bất kỳ thì: P(AB) = P(A)P(B/A) = P(B)P(A/B) 2- Định lý: Tổng quát: P(A1A2 . . . An) = P(A1)P(A2 /A1). . . P(An/A1A2. . . An-1) Nếu A1, A2, . . . An là các b/c bất kỳ, thì: (xem thí dụ trang 36) Nếu A, B là hai b/cố độc lập, thì: Hệ quả: P(AB) = P(A)P(B) Tổng quát: Nếu A1, A2 , . . . , An là các b/c độc lập toàn phần, thì: P(A1A2 . . . An)=P(A1)P(A2). . . P(An) Chia ngẫu nhiên 9 hộp sữa (trong đó có 3 hộp kém phẩm chất) thành 3 phần, mỗi phần 3 hộp. Tính xác suất để mỗi phần có 1 hộp kém phẩm chất? Thí dụ: Giải: Gọi Ai (i = 1, 2) là biến cố phần thứ i có 1 hộp sữa kém phẩm chất. A là biến cố mỗi phần có 1 hộp kém phẩm chất. (A2 phụ thuộc A1). Áp dụng công thức nhân xác suất, ta có: A = A1A2 P(A) = P(A1A2) 28 9 C C.C . C C.C 3 6 2 4 1 2 3 9 2 6 1 3  = P(A1)P(A2/A1) 3- Công thức xác suất đầy đủ Cho không gian mẫu  và A1, A2, . . . , An , B là các biến cố. Các biến cố A1, A2, . . . , An là hệ biến cố đầy đủ nếu chúng thỏa mãn 2 điều kiện sau: (1) A1 A2 . . . An =  (2) Ai Aj =  (i  j) i, j 1, 2, . . . , n Khi đó ta có:   n 1i PP(B) = (Ai)P(B/Ai) Các xác suất P(A1), P(A2), . . . , P(An) thường được gọi là các xác suất tiên nghiệm và công thức trên được gọi là công thức xác suất đầy đủ. Thí dụ: Có 3 kiện hàng. Mỗi kiện có 5 sản phẩm, số sản phẩm loại A có trong kiện 1, kiện 2, kiện 3 tương ứng là: 4, 3, 2. Chọn ngẫu nhiên một kiện rồi từ kiện đã chọn lấy ngẫu nhiên ra một sản phẩm. Tìm xác suất để lấy được sản phẩm loại A. Giải: Gọi B là biến cố lấy được sản phẩm loại A từ kiện đã chọn. A1, A2, A3 tương ứng là các biến cố chọn được kiện 1, 2, 3. A1, A2, A3 là một hệ biến cố đầy đủ. Kiện 1 Kiện 2 Kiện 3                A1 A2 A3                B 31 )A(P)A(P)A(P 321     3 1i ii )A/B(P)A(P)B(P P(B/A1) = = 0,8 4 5 P(B/A2) = = 0,65 3 P(B/A3) = = 0,45 2 P(B) = (0,8 + 0,6 + 0,4) = 0,61 3 4- Công thức Bayes Với các giả thiết như phần công thức xác suất đầy đủ và thêm điều kiện là phép thử được thực hiện, biến cố B đã xảy ra. Khi đó: P(Ai/B) = ( i = 1, 2, . . . , n) )B(P )A/B(P)A(P ii Các xác suất P(Ai/B) được xác định sau khi đã biết kết quả của phép thử là B đã xảy ra nên thường được gọi là các xác suất hậu nghiệm. Công thức Bayes xác định lại các xác suất tiên nghiệm P(Ai) khi biết thông tin là B xảy ra. Thí dụ: Có 3 kiện hàng. Mỗi kiện có 5 sản phẩm, số sản phẩm loại A có trong kiện 1, kiện 2, kiện 3 tương ứng là: 4, 3, 2. Chọn ngẫu nhiên một kiện rồi từ kiện đã chọn lấy ngẫu nhiên ra một sản phẩm thì được sản phẩm loại A. Tìm xác suất để chọn được kiện 3. Giải: Gọi B là biến cố lấy được sản phẩm loại A từ kiện đã chọn. A1, A2, A3 tương ứng là các biến cố chọn được kiện 1, 2, 3. A1, A2, A3 là một hệ biến cố đầy đủ. Vì biến cố B đã xảy ra, áp dụng công thức Bayes ta có: P(A3/B) = = 1 3 0,4 0,6 9 2 TÓM TẮT CHƯƠNG 1 Phép thử Biến cố Xác suất của biến cố  ĐN cổ điển  ĐN thống kê  Các công thức cơ bản  Caùc loaïi b/c  Moái quan heä Điều kiện áp dụng Bài tập 1.10; 1.15; 1.16; 1.17; 1.21; 1.24; 1.29; 1.34; 1.35; 1.36; 1.39; 1.43; 1.48; Bài tập xác suất thống kê Hoàng Ngọc Nhậm - NXB Thống kê 2011 Hết chuơng 1