Bài giảng Lý thuyết xác suất và thống kê toán - Chương 8: Kiểm định giả thiết và thống kê

CHÖÔNG 8 Kieåm ñònh giaû thieát thoáng keâ (3LT + 3BT) 1. Khaùi nieäm Giaû thieát thoáng keâ (giaû thieát) laø caùc phaùt bieåu lieân quan ñeán caùc soá ñaëc tröng cuûa ÑLNN, quy luaät phaân phoái cuûa ÑLNN, tính ñoäc laäp cuûa caùc ÑLNN Kieåm ñònh laø döïa vaøo moät maãu cuï theå, thöïc hieän moät soá thuû tuïc ñeå ñöa ra quyeát ñònh chaáp nhaän hoaëc baùc boû giaû thieát thoáng keâ. Giaû thieát caàn kieåm ñònh kyù hieäu Ho. Giaû thieát phaûi chaáp nhaän neáu baùc boû Ho kyù hieäu laø H1. Vì quyeát ñònh ñöa ra chæ döïa treân moät maãu cuï theå neân quyeát ñònh coù theå bò sai. Ta goïi sai laàm loaïi I laø quyeát ñònh baùc boû Ho trong khi Ho ñuùng, sai laàm loaïi II laø quyeát ñònh chaáp nhaän Ho trong khi Ho sai. Xaùc suaát maéc sai laàm loaïi I goïi laø möùc yù nghóa, kyù hieäu α. Ñeå tieán haønh thuû tuïc kieåm ñònh, tröôùc tieân ngöôøi ta xaây döïng tieâu chuaån kieåm ñònh nhö sau: Xeùt ÑLNN X vaø caùc giaû thieát Ho, H1. Xeùt maãu ngaãu nhieân X1, X2, , Xn. Tieâu chuaån kieåm ñònh laø moät thoáng keâ G = G(X1, X2, , Xn) ñöôïc choïn sao cho khi Ho ñuùng thì quy luaät phaân phoái xaùc suaát cuûa ÑLNN G ñöôïc xaùc ñònh. Vôùi möùc yù nghóa α, choïn mieàn baùc boû Ho laø Wα sao cho: P(G∈Wα /Ho) = α Sau khi laáy maãu cuï theå, haøm G coù giaù trò kieåm ñònh g. Quy taéc quyeát ñònh nhö sau: * g∈Wα : baùc boû Ho. * g∉Wα : chaáp nhaän Ho. 2. Kieåm ñònh soá ñaëc tröng toång theå 2.1 Kieåm ñònh trung bình toång theå 2.1.1 Kieåm ñònh hai phía (H1 : µ ≠ µo) Cho tröôùc moät maãu cuï theå kích thöôùc n, xeùt phaùt bieåu cho raèng giaù trò µo laø trung bình toång theå µ vôùi möùc yù nghóa α. Ñeå xem phaùt bieåu treân coù chaáp nhaän ñöôïc hay khoâng, ta caàn kieåm ñònh giaû thieát: Ho: µ = µo vôùi H1: µ ≠ µo TH1,2,3 n > 30 hoaëc "n ≤ 30, bieát σ2 vaø toång theå coù phaân phoái Chuaån" Khi moät trong caùc tröôøng hôïp treân xaûy ra thì vôùi maãu ngaãu nhieân kích thöôùc n, X / n − µ σ coù phaân phoái Chuaån Chính Taéc hay ñöôïc xaáp xæ vôùi phaân phoái Chuaån Chính Taéc. Tröôøng hôïp chöa bieát σ thì thay bôûi S. Phaân tích vaán ñeà theo caùch I Giaû ñònh Ho ñuùng, töùc laø µ = µo. Luùc naøy ÑLNN − µ σ oX / n coù phaân phoái Chuaån Chính Taéc, vì vaäy bieán coá − µ σ oX / n ≤ zα/2 xaûy ra vôùi xaùc suaát 1–α. Vôùi α töø 5% trôû xuoáng, ta cho raèng bieán coá − µ σ oX / n ≤ zα/2 chaéc chaén xaûy ra trong thöïc teá, töùc laø vôùi maãu cuï theå kích thöôùc n naøo cuõng phaûi coù − µ σ ox / n ≤ zα/2. Neáu vôùi moät maãu cuï theå kích thöôùc n, ta thaáy − µ σ ox / n > zα/2 thì ñaây laø ñieàu voâ lyù, chöùng toû giaû ñònh µ = µo sai. Vaäy neáu daáu hieäu naøy xaûy ra ta quyeát ñònh baùc boû giaû thieát Ho. Khi − µ σ oX / n coù phaân phoái Chuaån Chính Taéc thì bieán coá − µ σ oX / n > zα/2 vaãn coù theå xaûy ra vôùi xaùc suaát α. Vaäy laäp luaän ñeå daãn ñeán ñieàu voâ lyù neâu treân coù theå bò sai vôùi xaùc suaát α, töùc laø quyeát ñònh baùc boû giaû thieát Ho coù theå gaëp sai laàm vôùi xaùc suaát α. Phaân tích vaán ñeà theo caùch II Keát quaû cuûa vieäc öôùc löôïng µ vôùi ñoä tin caäy 1–α cho thaáy bieán coá µ∈[X – ε, X+ ε], vieát caùch khaùc laø X– µ≤ ε, xaûy ra vôùi xaùc suaát 1–α. Giaû ñònh Ho ñuùng, töùc laø µ = µo, thì bieán coá X– µo≤ ε phaûi xaûy ra vôùi xaùc suaát 1–α. Vôùi α töø 5% trôû xuoáng, ta cho raèng bieán coá X– µo≤ ε chaéc chaén xaûy ra trong thöïc teá, töùc laø vôùi maãu cuï theå kích thöôùc n naøo ta cuõng phaûi coù x– µo≤ ε. Neáu vôùi moät maãu cuï theå kích thöôùc n, ta thaáy x– µo> ε thì ñaây laø ñieàu voâ lyù, chöùng toû giaû ñònh µ = µo sai. Vaäy neáu daáu hieäu naøy xaûy ra ta quyeát ñònh baùc boû giaû thieát Ho. Ta coù: x – µo > ε = zα/2 n σ ⇔ − µ σ ox / n > zα/2 Vì ñoä tin caäy laø 1–α neân ngay khi Ho ñuùng, bieán coá X– µo > ε vaãn coù theå xaûy ra vôùi xaùc suaát α. Vaäy laäp luaän ñeå daãn ñeán ñieàu voâ lyù neâu treân coù theå bò sai vôùi xaùc suaát α, töùc laø quyeát ñònh baùc boû giaû thieát Ho coù theå gaëp sai laàm vôùi xaùc suaát α. Caùc phaân tích treân gôïi yù cho ta choïn: Tieâu chuaån kieåm ñònh: G = − µ σ oX / n (Neáu chöa bieát σ thì thay bôûi S) Mieàn baùc boû Ho: Wα = (–∞, –zα/2)∩(zα/2, +∞) TH4 n ≤ 30, chöa bieát phöông sai toång theå σ2, toång theå coù phaân phoái Chuaån Luùc naøy − µX S / n coù phaân phoái Student n–1 baäc töï do. Taát caû laäp luaän beân treân ñeàu aùp duïng ñöôïc, mieãn laø thay zα/2 bôûi t(n–1)α/2. Vaäy ta choïn: Tieâu chuaån kieåm ñònh: G = − µoX S / n Mieàn baùc boû Ho: Wα = (–∞, –tα/2)∩(tα/2, +∞) Toùm taét – Kieåm ñònh hai phía trung bình toång theå (H1: µ ≠ µo) Cho tröôùc moät maãu cuï theå vaø möùc yù nghóa α. Tính giaù trò kieåm ñònh (KÑ) vaø tra giaù trò tôùi haïn (TH). Neáu giaù trò kieåm ñònh coù trò tuyeät ñoái lôùn hôn giaù trò tôùi haïn thì baùc boû Ho (KÑ > TH). Coâng thöùc tính giaù trò kieåm ñònh: − µ σ ox / n (Neáu chöa bieát σ thì thay bôûi s) Giaù trò tôùi haïn ñöôïc tra theo hai tröôøng hôïp: n > 30 hoaëc "n ≤ 30, bieát σ2 vaø toång theå coù phaân phoái Chuaån" Giaù trò tôùi haïn: zα/2 n ≤ 30, chöa bieát σ2 vaø toång theå coù phaân phoái Chuaån Giaù trò tôùi haïn: t(n–1)α/2 Ví duï (1) Troïng löôïng ghi treân bao bì cuûa moät loaïi saûn phaåm 6Kg. Laáy ngaãu nhieân 121 saûn phaåm vaø caân thöû thì tính ñöôïc troïng löôïng trung bình laø 5,975Kg vaø phöông sai laø 5,7596. Vôùi möùc yù nghóa 5% thì troïng löôïng ghi treân bao bì coù chaáp nhaän ñöôïc khoâng? Ta caàn kieåm ñònh giaû thieát: Ho: µ = µo "Troïng löôïng ghi treân bao bì chaáp nhaän ñöôïc" H1: µ ≠ µo "Troïng löôïng ghi treân bao bì khoâng chaáp nhaän ñöôïc" Ta coù: n = 121 x = 5,975 µo = 6 s 2 = 5,7596 ⇒ s = 2,399 Giaù trò kieåm ñònh: KÑ = − µox s / n = –0,1146 Giaù trò tôùi haïn: α = 5% ⇒ TH = zα/2 = z0,025 = 1,96 =NORMSINV(1–0,025) Ñieàu kieän baùc boû Ho laø KÑ > TH khoâng thoaû, quyeát ñònh chaáp nhaän giaû thieát Ho. Troïng löôïng ghi treân bao bì chaáp nhaän ñöôïc (vôùi möùc yù nghóa 5%). (2) Ñöôøng kính cuûa moät chi tieát maùy ñöôïc saûn xuaát theo chuaån laø 3,02cm. Laáy ngaãu nhieân 25 chi tieát vaø ño thöû thì tính ñöôïc ñöôøng kính trung bình laø 3,14cm vôùi ñoä leäch chuaån laø 0,275cm. Vôùi ñoä tin caäy 95% haõy cho bieát caùc chi tieát saûn xuaát coù ñuùng chuaån khoâng ? Ta caàn kieåm ñònh giaû thieát: Ho: µ = µo "Caùc chi tieát saûn xuaát ñuùng chuaån" H1: µ ≠ µo "Caùc chi tieát saûn xuaát khoâng ñuùng chuaån" Ta coù: n = 25 x= 3,14 µo = 3,02 s = 0,275 Giaù trò kieåm ñònh: KÑ = − µox s / n = 2,1818 Giaù trò tôùi haïn: 1–α = 95% ⇒ TH = t(n–1)α/2 = t(24)0,025 = 2,0639 =TINV(0,025*2; 24) Ñieàu kieän baùc boû Ho laø KÑ > TH thoaû, quyeát ñònh baùc boû giaû thieát Ho, chaáp nhaän giaû thieát H1. Caùc chi tieát saûn xuaát khoâng ñuùng chuaån (vôùi ñoä tin caäy 95%). 2.1.2 Kieåm ñònh phaûi (H1 : µ > µo) Töø döõ lieäu cuûa moät maãu cuï theå, vôùi möùc yù nghóa α cho tröôùc, ta caàn kieåm ñònh: Ho: µ = µo vôùi H1: µ > µo TH1,2,3 n > 30 hoaëc "n ≤ 30, bieát σ2 vaø toång theå coù phaân phoái Chuaån" Khi moät trong caùc tröôøng hôïp treân xaûy ra thì vôùi maãu ngaãu nhieân kích thöôùc n, X / n − µ σ coù phaân phoái Chuaån Chính Taéc hay ñöôïc xaáp xæ vôùi phaân phoái Chuaån Chính Taéc. Tröôøng hôïp chöa bieát σ thì thay bôûi S. Giaû ñònh Ho ñuùng, töùc laø µ = µo. Do − µ σ oX / n coù phaân phoái Chuaån Chính Taéc neân bieán coá − µ σ oX / n ≤ zα xaûy ra vôùi xaùc suaát 1–α. Vì vaäy neáu vôùi moät maãu cuï theå kích thöôùc n, ta thaáy − µ σ ox / n > zα thì ñaây laø ñieàu voâ lyù, chöùng toû giaû ñònh µ = µo sai. Vaäy neáu daáu hieäu naøy xaûy ra ta quyeát ñònh baùc boû giaû thieát Ho. Khi − µ σ ox / n > zα xaûy ra, töùc laø khi baùc boû Ho, thì ta vaãn coù − µ σ x / n ≤ zα, do ñoù − µ σ ox / n > − µ σ x / n . Ñieàu naøy chöùng toû khi baùc boû giaû thieát Ho thì µ > µo. Vaäy ta choïn: Tieâu chuaån kieåm ñònh: G = − µ σ oX / n (Neáu chöa bieát σ thì thay bôûi S) Mieàn baùc boû Ho: Wα = (zα, +∞) TH4 n ≤ 30, chöa bieát phöông sai toång theå σ2, toång theå coù phaân phoái Chuaån Phaân tích töông töï treân vôùi phaân phoái Student, ta choïn: Tieâu chuaån kieåm ñònh: G = − µoX S / n Mieàn baùc boû Ho: Wα = (tα, +∞) Toùm taét – Kieåm ñònh phaûi trung bình toång theå (H1: µ > µo) Cho tröôùc moät maãu cuï theå vaø möùc yù nghóa α. Ta tính giaù trò kieåm ñònh (KÑ) vaø tra giaù trò tôùi haïn (TH). Neáu giaù trò kieåm ñònh lôùn hôn giaù trò tôùi haïn thì baùc boû Ho (KÑ > TH). Coâng thöùc tính giaù trò kieåm ñònh: − µ σ ox / n (Neáu chöa bieát σ thì thay bôûi s) Giaù trò tôùi haïn ñöôïc tra theo hai tröôøng hôïp: n > 30 hoaëc "n ≤ 30, bieát σ2 vaø toång theå coù phaân phoái Chuaån" Giaù trò tôùi haïn: zα n ≤ 30, chöa bieát σ2 vaø toång theå coù phaân phoái Chuaån Giaù trò tôùi haïn: t(n–1)α Ví duï Troïng löôïng cuûa moät con gaø khi xuaát chuoàng ñöôïc choïn ngaãu nhieân laø ÑLNN coù phaân phoái Chuaån. Tröôùc ñaây, troïng löôïng trung bình laø 1,7Kg. Ngöôøi ta aùp duïng phöông phaùp chaên nuoâi môùi vaø caân thöû 25 con gaø xuaát chuoàng thì tính ñöôïc troïng löôïng trung bình laø 1,87Kg vaø phöông sai laø 0,25. Haõy cho nhaän xeùt veà phöông phaùp chaên nuoâi môùi vôùi möùc yù nghóa 5%. Do gaø taêng troïng neân ta kieåm ñònh giaû thieát: Ho: µ = µo "Phöông phaùp chaên nuoâi môùi khoâng laøm gaø taêng troïng" H1: µ > µo "Phöông phaùp chaên nuoâi môùi laøm gaø taêng troïng" Ta coù: n = 25 x= 1,87 µo = 1,7 s 2 = 0,25 ⇒ s = 0,5 Giaù trò kieåm ñònh: KÑ = −x 1,7 s / n = 1,7 Giaù trò tôùi haïn: α = 5% ⇒ TH = t(n–1)α = t(24)0,05 = 1,711 =TINV(0,05*2; 24) Ñieàu kieän baùc boû Ho laø KÑ > TH khoâng thoaû, quyeát ñònh chaáp nhaän giaû thieát Ho. Phöông phaùp chaên nuoâi môùi khoâng laøm gaø taêng troïng (vôùi möùc yù nghóa 5%). 2.1.3 Kieåm ñònh traùi (H1 : µ < µo) Töø döõ lieäu cuûa moät maãu cuï theå, vôùi möùc yù nghóa α cho tröôùc, ta caàn kieåm ñònh: Ho: µ = µo vôùi H1: µ < µo Phaân tích töông töï treân, ta ñi ñeán keát luaän: TH1,2,3 n > 30 hoaëc "n ≤ 30, bieát σ2 vaø toång theå coù phaân phoái Chuaån" Tieâu chuaån kieåm ñònh: G = − µ σ oX / n (Neáu chöa bieát σ thì thay bôûi S) Mieàn baùc boû Ho: Wα = (–∞, –zα) TH4 n ≤ 30, chöa bieát phöông sai toång theå σ2, toång theå coù phaân phoái Chuaån Tieâu chuaån kieåm ñònh: G = − µoX S / n Mieàn baùc boû Ho: Wα = (–∞, –tα) Toùm taét – Kieåm ñònh traùi trung bình toång theå (H1: µ < µo) Cho tröôùc moät maãu cuï theå vaø möùc yù nghóa α. Ta tính giaù trò kieåm ñònh (KÑ) vaø tra giaù trò tôùi haïn (TH). Neáu giaù trò kieåm ñònh nhoû hôn giaù trò tôùi haïn thì baùc boû Ho (KÑ < TH). Coâng thöùc tính giaù trò kieåm ñònh: − µ σ ox / n (Neáu chöa bieát σ thì thay bôûi s) Giaù trò tôùi haïn ñöôïc tra theo hai tröôøng hôïp: n > 30 hoaëc "n ≤ 30, bieát σ2 vaø toång theå coù phaân phoái Chuaån" Giaù trò tôùi haïn: –zα n ≤ 30, chöa bieát σ2 vaø toång theå coù phaân phoái Chuaån Giaù trò tôùi haïn: –t(n–1)α Ví duï Möùc tieâu hao nguyeân lieäu ñeå saûn xuaát moät saûn phaåm laø ÑLNN coù phaân phoái chuaån. Möùc tieâu hao trung bình laø 1,2Kg vôùi ñoä leäch chuaån 3,1Kg. Sau moät thôøi gian saûn xuaát, ngöôøi ta kieåm tra möùc söû duïng nguyeân lieäu cuûa 25 saûn phaåm thì thu ñöôïc baûng sau: Möùc NL (Kg) 0,9 1,0 1,1 1,2 1,3 Soá saûn phaåm 4 5 6 7 3 Vôùi möùc yù nghóa 5%, haõy cho nhaän xeùt veà möùc tieâu hao nguyeân lieäu trung bình. Do löôïng tieâu hao nguyeân lieäu trung bình giaûm neân ta kieåm ñònh giaû thieát: Ho: µ = µo "Möùc tieâu hao nguyeân lieäu trung bình khoâng thay ñoåi" H1: µ < µo "Möùc tieâu hao nguyeân lieäu trung bình coù giaûm" Ta coù: n = 25 x = 1,1 µo = 1,2 σ = 3,1 Giaù trò kieåm ñònh: KÑ = − µ σ ox / n = –0,16 Giaù trò tôùi haïn: α = 5% ⇒ TH = –zα = –z0,05 = –1,645 =–NORMSINV(1–0,05) Ñieàu kieän baùc boû Ho laø KÑ < TH khoâng thoaû, quyeát ñònh chaáp nhaän giaû thieát Ho. Möùc tieâu hao nguyeân lieäu trung bình khoâng thay ñoåi (vôùi möùc yù nghóa 5%). 2.2 Kieåm ñònh tyû leä toång theå Ta chæ xeùt tröôøng hôïp khi n ñuû lôùn (npo ≥ 10 vaø n(1–po) ≥ 10). 2.2.1 Kieåm ñònh hai phía (H1 : p ≠ po) Töø döõ lieäu cuûa moät maãu cuï theå, vôùi möùc yù nghóa α cho tröôùc, ta caàn kieåm ñònh: Ho: p = po vôùi H1: p ≠ po Theo giaû thieát n ñuû lôùn, − − F p p(1 p) / n ñöôïc xaáp xæ bôûi phaân phoái Chuaån Chính Taéc. Giaû ñònh Ho ñuùng, töùc laø p = po, − − o o o F p p (1 p ) / n coù phaân phoái Chuaån Chính Taéc. Vì vaäy, vôùi maãu cuï theå kích thöôùc n, neáu − − o o o F p p (1 p ) / n > zα/2 thì ta quyeát ñònh baùc boû giaû thieát Ho. Vaäy ta choïn: Tieâu chuaån kieåm ñònh: G = − − o o o F p p (1 p ) / n Mieàn baùc boû Ho: Wα = (–∞, –zα/2)∩(zα/2, +∞). Toùm taét – Kieåm ñònh hai phía tyû leä toång theå (H1: p ≠ po) Cho tröôùc moät maãu cuï theå vaø möùc yù nghóa α. Tính giaù trò kieåm ñònh (KÑ) vaø tra giaù trò tôùi haïn (TH). Neáu giaù trò kieåm ñònh coù trò tuyeát ñoái lôùn hôn giaù trò tôùi haïn thì baùc boû Ho (KÑ > TH). Coâng thöùc tính giaù trò kieåm ñònh: − − o o o f p p (1 p ) / n Giaù trò tôùi haïn: zα/2 Ví duï Ngöôøi ta cho raèng tyû leä sinh vieân treân 35 tuoåi laø 2%. Ñieàu tra veà tuoåi cuûa 800 sinh vieân thì thaáy coù 24 sinh vieân treân 35 tuoåi. Vôùi ñoä tin caäy 95%, haõy cho bieát yù kieán veà tyû leä treân. Ta caàn kieåm ñònh giaû thieát: Ho: p = po "Tyû leä sinh vieân treân 35 tuoåi laø 2%" H1: p ≠ po "Tyû leä sinh vieân treân 35 tuoåi khoâng phaûi laø 2%" Ta coù: n = 800 f = 24/800 po = 2% Giaù trò kieåm ñònh: KÑ = − − o o o f p p (1 p ) / n = 2,0203 Giaù trò tôùi haïn: 1–α = 95% ⇒ TH = zα/2 = z0,025 = 1,96 =NORMSINV(1–0,025) Ñieàu kieän baùc boû Ho laø KÑ > TH thoaû, quyeát ñònh baùc boû giaû thieát Ho, chaáp nhaän giaû thieát H1. Tyû leä sinh vieân treân 35 tuoåi khoâng phaûi laø 2% (vôùi ñoä tin caäy 95%). 2.2.2 Kieåm ñònh phaûi (H1 : p > po) Töø döõ lieäu cuûa moät maãu cuï theå, vôùi möùc yù nghóa α cho tröôùc, ta caàn kieåm ñònh: Ho: p = po vôùi H1: p > po Laäp luaän töông töï treân, ta choïn: Tieâu chuaån kieåm ñònh: G = − − o o o F p p (1 p ) / n Mieàn baùc boû Ho: Wα = (zα, +∞) Toùm taét – Kieåm ñònh phaûi tyû leä toång theå (H1: p > po) Cho tröôùc moät maãu cuï theå vaø möùc yù nghóa α. Tính giaù trò kieåm ñònh (KÑ) vaø tra giaù trò tôùi haïn (TH). Neáu giaù trò kieåm ñònh lôùn hôn giaù trò tôùi haïn thì baùc boû Ho (KÑ > TH). Coâng thöùc tính giaù trò kieåm ñònh: − − o o o f p p (1 p ) / n Giaù trò tôùi haïn: zα Ví duï Tyû leä saûn phaåm coù chaát löôïng cao taïi moät nhaø maùy laø 45%. Sau khi caûi tieán saûn xuaát, ngöôøi ta kieåm tra ngaãu nhieân 400 löôït saûn phaåm thì thaáy coù 215 saûn phaåm coù chaát löôïng cao. Vaäy vieäc caûi tieán saûn xuaát coù laøm taêng tyû leä saûn phaåm coù chaát löôïng cao khoâng? Haõy cho khaúng ñònh veà ñieàu naøy vôùi möùc yù nghóa 5%. Ta caàn kieåm ñònh giaû thieát: Ho: p = po "Tyû leä saûn phaåm coù chaát löôïng cao khoâng ñoåi" H1: p > po "Tyû leä saûn phaåm coù chaát löôïng cao coù taêng sau khi caûi tieán saûn xuaát" Ta coù: n = 400 f = 215/400 po = 45% Giaù trò kieåm ñònh: KÑ = − − o o o f p p (1 p ) / n = 3,5176 Giaù trò tôùi haïn: α = 5% ⇒ TH = zα = z0,05 = 1,6449 =NORMSINV(1–0,05) Ñieàu kieän baùc boû Ho laø KÑ > TH thoaû, quyeát ñònh baùc boû giaû thieát Ho, chaáp nhaän giaû thieát H1. Tyû leä saûn phaåm coù chaát löôïng cao coù taêng sau khi caûi tieán saûn xuaát (vôùi möùc yù nghóa 5%). 2.2.3 Kieåm ñònh traùi (H1 : p < po) Töø döõ lieäu cuûa moät maãu cuï theå, vôùi möùc yù nghóa α cho tröôùc, ta caàn kieåm ñònh: Ho: p = po vôùi H1: p < po Laäp luaän töông töï treân, ta choïn: Tieâu chuaån kieåm ñònh: G = − − o o o F p p (1 p ) / n Mieàn baùc boû Ho: Wα = (–∞, –zα) Toùm taét – Kieåm ñònh traùi tyû leä toång theå (H1: p < po) Cho tröôùc moät maãu cuï theå vaø möùc yù nghóa α. Tính giaù trò kieåm ñònh (KÑ) vaø tra giaù trò tôùi haïn (TH). Neáu giaù trò kieåm ñònh nhoû hôn giaù trò tôùi haïn thì baùc boû giaû thieát Ho (KÑ < TH). Coâng thöùc tính giaù trò kieåm ñònh: − − o o o f p p (1 p ) / n Giaù trò tôùi haïn: –zα Ví duï Tyû leä ngöôøi huùt thuoát trong moät khu daân cö tröôùc ñaây laø 5%. Sau khi vaän ñoäng tuyeân truyeàn, ngöôøi ta gaëp ngaãu nhieân 800 löôït ngöôøi thì thaáy coù 24 ngöôøi vaãn coøn huùt thuoát. Vôùi möùc yù nghóa 5%, haõy cho bieát: a) Vieäc vaän ñoäng tuyeân truyeàn coù laøm giaûm tyû leä ngöôøi huùt thuoát khoâng? b) Neáu tuyeân boá tyû leä ngöôøi huùt thuoát trong khu daân cö naøy chæ coøn 2% thì coù chaáp nhaän ñöôïc khoâng? a) Ta caàn kieåm ñònh giaû thieát: Ho: p = po "Tyû leä ngöôøi huùt thuoát khoâng ñoåi" H1: p < po "Tyû leä ngöôøi huùt thuoát coù giaûm" Ta coù: n = 800 f = 24/800 po = 5% Giaù trò kieåm ñònh: KÑ = − − o o o f p p (1 p ) / n = –2,5955 Giaù trò tôùi haïn: α = 5% ⇒ TH = –zα = –z0,05 = –1,6449 =–NORMSINV(1–0,05) Ñieàu kieän baùc boû Ho laø KÑ < TH thoaû, quyeát ñònh baùc boû giaû thieát Ho, chaáp nhaän giaû thieát H1. Tyû leä ngöôøi huùt thuoát coù giaûm sau khi vaän ñoäng tuyeân truyeàn (vôùi möùc yù nghóa 5%). b) Ta caàn kieåm ñònh giaû thieát: Ho: p = po "Tyû leä ngöôøi huùt thuoát chæ coøn 2%" H1: p ≠ po "Tyû leä ngöôøi huùt thuoát khoâng phaûi chæ coøn 2%" Ta coù: n = 800 f = 24/800 po = 2% Giaù trò kieåm ñònh: KÑ = − − o o o f p p (1 p ) / n = 2,0203 Giaù trò tôùi haïn: α = 5% ⇒ TH = zα/2 = z0,025 = 1,96 =NORMSINV(1–0,025) Ñieàu kieän baùc boû Ho laø KÑ > TH thoaû, quyeát ñònh baùc boû giaû thieát Ho, chaáp nhaän giaû thieát H1. Tyû leä ngöôøi huùt thuoát khoâng phaûi chæ coøn 2% (vôùi möùc yù nghóa 5%). 2.3 Kieåm ñònh phöông sai toång theå Ta chæ xeùt tröôøng hôïp toång theå laø ÑLNN coù phaân phoái Chuaån. 2.3.1 Kieåm ñònh hai phía (H1 : σ 2 ≠ σo2) Töø döõ lieäu cuûa moät maãu cuï theå, vôùi möùc yù nghóa α cho tröôùc, ta caàn kieåm ñònh: Ho: σ 2 = σo 2 vôùi H1: σ 2 ≠ σo 2 ÑLNN − σ 2 2 (n 1)S coù phaân phoái Chi Bình n–1 baäc töï do. Giaû ñònh Ho ñuùng, töùc laø σ 2 = σo 2 thì 2 2 o (n 1)S− σ coù phaân phoái Chi Bình n–1 baäc töï do. Ta coù: P(χ21–α/2 < 2 2 o (n 1)S− σ < χ2α/2) = 1–α Vaäy neáu vôùi moät maãu cuï theå kích thöôùc n, ta thaáy − σ 2 2 o (n 1)s > χ2α/2 hay − σ 2 2 o (n 1)s < χ21–α/2 thì giaû thieát Ho bò baùc boû. Theo phaân tích treân, ta choïn: Tieâu chuaån kieåm ñònh: G = − σ 2 2 o (n 1)S Mieàn baùc boû Ho: Wα = (0, χ 2 1–α/2)∩(χ 2 α/2, +∞) Toùm taét – Kieåm ñònh hai phía phöông sai toång theå (H1 : σ 2 ≠ σo2) Cho tröôùc moät maãu cuï theå vaø möùc yù nghóa α. Tính giaù trò kieåm ñònh vaø tra giaù trò tôùi haïn nhoû (THN) vaø giaù trò tôùi haïn lôùn (THL). Neáu giaù trò kieåm ñònh lôùn hôn giaù trò tôùi haïn lôùn hoaëc nhoû hôn giaù trò tôùi haïn nhoû thì baùc boû Ho (KÑ > THL hoaëc KÑ < THN). Coâng thöùc tính giaù trò kieåm ñònh: 2 2 o (n 1)s− σ Giaù trò tôùi haïn lôùn, nhoû laø χ2(n–1)α/2, χ 2 (n–1)1–α/2. Ví duï Ñöôøng kính cuûa moät truïc maùy choïn ngaãu nhieân laø moät ÑLNN coù phaân phoái Chuaån. Ñoä leäch chuaån cuûa maùy tieän saûn xuaát truïc maùy theo thieát keá laø 5mm. Ngöôøi ta nghi ngôø maùy tieän bò hö neân ño thöû ñöôøng kính cuûa 20 saûn phaåm thì tính ñöôïc phöông sai maãu laø 27,5. Vôùi möùc yù nghóa 2% haõy cho bieát maùy tieän coù hoaït ñoäng bình thöôøng khoâng? Ta caàn kieåm ñònh giaû thieát: Ho: σ 2 = σo 2 "Maùy tieän hoaït ñoäng bình thöôøng" H1: σ 2 ≠ σo 2 "Maùy tieän bò hö" Ta coù: n = 20 s2 = 27,5 σo 2 = 52 = 25 Giaù trò kieåm ñònh: KÑ = 2 2 o (n 1)s− σ = 20,9 Caùc giaù trò tôùi haïn: α = 2% ⇒ THL = χ 2 (n–1)α/2 = χ 2 (19)0,01 = 36,1909 =CHIINV(0,01; 19) THN = χ 2 (n–1)1–α/2 = χ 2 (19)0,99 = 7,6327 =CHIINV(0,99; 19) Ñieàu kieän baùc boû Ho laø KÑ THL khoâng thoaû, quyeát ñònh chaáp nhaän giaû thieát Ho. Maùy tieän hoaït ñoäng bình thöôøng (vôùi möùc yù nghóa 2%). 2.3.2 Kieåm ñònh phaûi (H1 : σ 2 > σo2) Töø döõ lieäu cuûa moät maãu cuï theå, vôùi möùc yù nghóa α cho tröôùc, ta caàn kieåm ñònh: Ho: σ 2 = σo 2 vôùi H1: σ 2 > σo 2 Phaân tích töông töï treân, ta choïn: Tieâu chuaån kieåm ñònh: G = − σ 2 2 o (n 1)S Mieàn baùc boû Ho: Wα = (χ 2 α, +∞) Toùm taét – Kieåm ñònh phaûi phöông sai toång theå (H1 : σ 2 > σo2) Cho tröôùc moät maãu cuï theå vaø möùc yù nghóa α. Tính giaù trò kieåm ñònh (KÑ) vaø tra giaù trò tôùi haïn (TH). Neáu giaù trò kieåm ñònh lôùn hôn giaù trò tôùi haïn thì baùc boû Ho (KÑ > TH). Coâng thöùc tính giaù trò kieåm ñònh: 2 2 o (n 1)s− σ Giaù trò tôùi haïn: χ2(n–1)α Ví duï Chieàu cao cuûa moät cö daân tröôûng thaønh gaëp ngaãu nhieân laø moät ÑLNN coù phaân phoái Chuaån. Möùc cheânh leäch chieàu cao ñöôïc ño baèng ñoä leäch chuaån. 5 naêm tröôùc ñoä leäch chuaån laø 20cm. Ngaøy nay, ño chieàu cao cuûa 100 löôït cö daân tröôûng thaønh choïn ngaãu nhieân thì tính ñöôïc ñoä leäch chuaån laø 24,215cm. Haõy cho keát luaän veà möùc cheânh leäch chieàu cao hieän nay vôùi ñoä tin caäy 95%. Vì ñoä leäch chuaån taêng neân ta kieåm ñònh giaû thieát: Ho: σ 2 = σo 2 "Möùc cheânh leäch veà chieàu cao khoâng ñoåi so vôùi 5 naêm tröôùc" H1: σ 2 > σo 2 "Möùc cheânh leäch veà chieàu cao taêng so vôùi 5 naêm tröôùc" Ta coù: n = 100 s2 = 24,2152 σo 2 = 202 Giaù trò kieåm ñònh: KÑ = 2 2 o (n 1)s− σ = 145,126 Giaù trò tôùi haïn: 1–α = 95% ⇒ TH = χ2(n–1)α = χ 2 (99)0,05 = 123,225 =CHIINV(0,05; 99) Ñieàu kieän baùc boû Ho laø KÑ > TH thoaû, quyeát ñònh baùc boû giaû thieát Ho, chaáp nhaän giaû thieát H1. Möùc cheânh leäch veà chieàu cao taêng so vôùi 5 naêm tröôùc (vôùi ñoä tin caäy 95%). 2.3.3 Kieåm ñònh traùi (H1 : σ 2 < σo2) Töø döõ lieäu cuûa moät maãu cuï theå, vôùi möùc yù nghóa α cho tröôùc, ta caàn kieåm ñònh: Ho: σ 2 = σo 2 vôùi H1: σ 2 < σo 2 Phaân tích töông töï treân, ta choïn: Tieâu chuaån kieåm ñònh: G = − σ 2 2 o (n 1)S Mieàn baùc boû Ho: Wα = (0, χ 2 1–α) Toùm taét – Kieåm ñònh traùi phöông sai toång theå (H1 : σ 2 < σo2) Cho tröôùc moät maãu cuï theå vaø möùc yù nghóa α. Tính giaù trò kieåm ñònh (KÑ) vaø tra giaù trò tôùi haïn (TH). Neáu giaù trò kieåm ñònh nhoû hôn giaù trò tôùi haïn χ2(n–1)α thì baùc boû Ho (KÑ < TH). Coâng thöùc tính giaù trò kieåm ñònh: 2 2 o (n 1)s− σ Giaù trò tôùi haïn: χ2(n–1)1–α Ví duï Troïng löôïng cuûa moät con gia suùc laø moät ÑLNN coù phaân phoái Chuaån. Möùc cheânh leäch troïng löôïng cuûa baày gia suùc ñöôïc ño baèng ñoä leäch chuaån. Khi baày gia suùc ñöôïc 2 thaùng tuoåi, ngöôøi ta caân vaø tính ñöôïc ñoä leäch chuaån laø 6,253Kg. Khi ñöôïc 3 thaùng tuoåi, caân 50 con gia suùc choïn ngaãu nhieân thì tính ñöôïc ñoä leäch chuaån laø 5,975Kg. Vôùi möùc yù nghóa 4%, haõy cho keát luaän veà möùc cheânh leäch troïng löôïng cuûa baày gia suùc sau khi nuoâi 3 thaùng. Vì ñoä leäch chuaån giaûm neân ta kieåm ñònh giaû thieát: Ho: σ 2 = σo 2 "Möùc cheânh leäch troïng löôïng baày gia suùc 3 thaùng tuoåi khoâng ñoåi so vôùi luùc 2 thaùng tuoåi" H1: σ 2 < σo 2 "Möùc cheânh leäch troïng löôïng baày gia suùc 3 thaùng tuoåi giaûm so vôùi luùc 2 thaùng tuoåi" Ta coù: n = 50 s2 = 5,9752 σo 2 = 6,2532 Giaù trò kieåm ñònh: KÑ = 2 2 o (n 1)s− σ = 44,74 Giaù trò tôùi haïn: α = 4% ⇒ TH = χ2(n–1)1–α = χ 2 (49)0,96 = 33,12 =CHIINV(0,96; 49) Ñieàu kieän baùc boû Ho laø KÑ < TH khoâng thoaû, quyeát ñònh chaáp nhaän giaû thieát Ho. Möùc cheânh leäch troïng löôïng baày gia suùc 3 thaùng tuoåi khoâng ñoåi so vôùi luùc 2 thaùng tuoåi (vôùi möùc yù nghóa 4%). 3. Kieåm ñònh phi soá 3.1 Kieåm ñònh quy luaät phaân phoái xaùc suaát 3.1.1 Phöông phaùp öôùc löôïng hôïp lyù toái ña Xeùt ÑLNN X ñaõ bieát quy luaät phaân phoái toång quaùt nhöng chöa bieát moät hay moät soá tham soá. Moät hay moät soá tham soá chöa bieát kyù hieäu laø θ. Mieàn chöùa caùc giaù trò hôïp leä cuûa θ kyù hieäu laø Θ. Xeùt maãu cuï theå x1, x2,..., xn. Xeùt tröôøng hôïp X laø ÑLNN rôøi raïc. Vì chöa bieát θ neân giaù trò P(X = xi) phuï thuoäc θ. Ta kyù hieäu giaù trò naøy laø P(xi, θ). Xaùc suaát xaûy ra bieán coá (X = x1).(X = x2)(X = xn) laø: L(θ) = P(x1, θ).P(x2, θ)...P(xn, θ) Giaù trò
θ =
θ (x1, x2,..., xn) laøm cho xaùc suaát cuûa bieán coá tích treân ñaït cöïc ñaïi goïi laø giaù trò öôùc löôïng hôïp lyù toái ña cuûa θ. Haøm n bieán ngaãu nhieân
θ =
θ (X1, X2,..., Xn) goïi laø haøm öôùc löôïng hôïp lyù toái ña cuûa θ.
θ cuõng laø ñieåm maø haøm L ñaït cöïc ñaïi treân mieàn Θ. Do L laø tích neân ñeå ñôn giaûn hoaù vieäc tìm cöïc ñaïi, ngöôøi ta thöôøng xeùt haøm lnL. Tröôøng hôïp X laø ÑLNN lieân tuïc, giaù trò haøm maät ñoä luùc naøy phuï thuoäc θ, ta kyù hieäu laø f(x, θ). Theo yù nghóa cuûa haøm maät ñoä, haøm L seõ laø: L(θ) = f(x1, θ).f(x2, θ)...f(xn, θ) Ví duï (1) Cho bieát X~
(λ). a) Tìm haøm öôùc löôïng hôïp lyù toái ña cuûa λ. b) Cho maãu cuï theå cuûa X: X 1 2 3 4 Taàn soá 5 4 2 1 Tìm giaù trò öôùc löôïng hôïp lyù toái ña cuûa λ. a) L(λ) = 1x 1 e x ! −λλ . 2x 2 e x ! −λλ ... nx n e x ! −λλ = 1 2 nx x ... x n 1 2 n e x !x !...x ! + + + − λλ lnL(λ) = –nλ + (Σxi)lnλ – Σlnxi! ⇒ lnL∂ ∂λ = –n + n i i 1 x = λ ∑ lnL∂ ∂λ = 0 ⇒ λ = n i i 1 x n = ∑ ⇒ 2 2 lnL∂ ∂λ = –1 < 0 Chöùng toû haøm L ñaït cöïc ñaïi taïi λ = n i i 1 x n = ∑ . Vaäy haøm öôùc löôïng hôïp lyù toái ña cuûa λ laø
λ = n i i 1 X n = ∑ . b) Vôùi maãu cuï theå daïng ñieåm coù taàn soá ta tính ñöôïc n = Σni = 12, Σnixi = 10, vaäy giaù trò öôùc löôïng hôïp lyù toái ña cuûa λ theo coâng thöùc treân laø 10/12 = 0,83. (2) Cho bieát X~upslopeellipsis(µ, σ2). Tìm haøm öôùc löôïng hôïp lyù toái ña cuûa µ, σ2. L(µ, σ2) = n 2 i 2 i 1 1 (x ) exp 22=  − µ −  σσ pi   ∏ = ( ) n 2 in 2 i 1 1 1 exp (x ) 2 2 =   − − µ  σ σ pi ∑ lnL = n 2 i2 i 1 1 (x ) 2 = − − µ σ ∑ – n 2 ln 2σ – nln 2pi ⇒ lnL∂ ∂µ = n i2 i 1 1 (x ) 2 = − µ σ ∑ ⇒ 2 lnL∂ ∂σ = n 2 i4 i 1 1 (x ) 2 = − µ σ ∑ – 2 n 2σ lnL∂ ∂µ = 2 lnL∂ ∂σ = 0 ⇒ µ = n i i 1 1 x n = ∑ σ2 = n 2 i i 1 1 (x ) n = − µ∑ Baèng caùch tính tieáp caùc ñaïo haøm rieâng ta thaáy AC – B2 < 0 vaø A < 0 neân haøm L ñaït cöïc ñaïi taïi ñieåm (µ, σ2) nh treân. Ta coù caùc haøm öôùc löôïng hôïp lyù toái ña cuûa µ, σ2: µ = n i i 1 1 X n = ∑ (=X ) σ2 = n 2 i i 1 1 (X X) n = −∑ (=
2ˆ S ) 3.1.2 Kieåm ñònh phaân phoái cuûa ÑLNN Ta kieåm ñònh giaû thieát ÑLNN X coù quy luaät phaân phoái xaùc suaát Q goàm r tham soá chöa bieát vôùi möùc yù nghóa α. Caùc giaû thieát: Ho: X coù phaân phoái xaùc suaát theo quy luaät Q. H1: X coù phaân phoái xaùc suaát khoâng theo quy luaät Q. Giaû ñònh Ho ñuùng, töùc laø xem X coù phaân phoái Q. Xeùt maãu ngaãu nhieân kích thöôùc n. Chia mieàn giaù trò cuûa X thaønh k taäp hôïp rôøi nhau S1, S2,..., Sk. Goïi Ni laø soá laàn X coù giaù trò thuoäc Si, ni laø giaù trò cuûa Ni öùng vôùi moät maãu cuï theå. Caùc tham soá cuûa quy luaät phaân phoái Q ñöôïc öôùc löôïng hôïp lyù toái ña. Ñaët pi = P(X∈Si). Khi n ñuû lôùn (npi ≥ 10 vôùi moïi i) thì ÑLNN k 2 i i ii 1 (N np ) np= −∑ coù quy luaät phaân phoái xaùc suaát xaáp xæ vôùi phaân phoái Chi Bình k–r–1 baäc töï do. Ta coù: P( k 2 i i ii 1 (N np ) np= −∑ < χ2α) = 1–α Vaäy neáu vôùi moät maãu cuï theå kích thöôùc n, ta thaáy = −∑ k 2 i i ii 1 (n np ) np > χ2α thì giaû thieát Ho bò baùc boû. Theo phaân tích treân, ta choïn: Tieâu chuaån kieåm ñònh: G = k 2 i i ii 1 (N np ) np= −∑ Mieàn baùc boû Ho: Wα = (χ 2 α, +∞) Vaäy thuû tuïc kieåm ñònh ÑLNN X coù phaân phoái xaùc suaát theo quy luaät Q vôùi r tham soá chöa bieát nhö sau: Cho tröôùc moät maãu cuï theå kích thöôùc n daïng ñieåm coù taàn soá (xi, ni) vaø möùc yù nghóa α. Giaû ñònh X coù quy luaät phaân phoái Q vôùi r tham soá chöa bieát. Töø maãu cuï theå, öôùc löôïng hôïp lyù toái ña ñeå tính giaù trò cuûa r tham soá naøy. Cuõng töø maãu cuï theå, choïn caùc taäp hôïp S1, S2,..., Sk phaân chia mieàn giaù trò X thaønh caùc taäp hôïp rôøi nhau. Tính caùc xaùc suaát pi = P(x∈Si). Tính giaù trò kieåm ñònh (KÑ) vaø tra giaù trò tôùi haïn (TH). Neáu giaù trò kieåm ñònh lôùn hôn giaù trò tôùi haïn thì baùc boû Ho (KÑ > TH). Coâng thöùc tính giaù trò kieåm ñònh: k 2 i i ii 1 (n np ) np= −∑ Giaù trò tôùi haïn: χ2(k–r–1)α Ví duï (1) Döï ñoaùn ñieåm thi cuûa caùc sinh vieân coù tyû leä: Ñieåm F D C B A Tyû leä 5% 20% 35% 30% 10% Sau khi thi, xem ñieåm cuûa moät soá sinh vieân: Ñieåm F D C B A Soá sinh vieân 5 15 40 25 15 Vôùi möùc yù nghóa 5%, haõy cho bieát döï ñoaùn coù ñuùng khoâng? Goïi X laø ñieåm cuûa sinh vieân gaëp ngaãu nhieân. Ta caàn kieåm ñònh giaû thieát: Ho : X coù phaân phoái nhö baûng - döï ñoaùn ñuùng. H1 : X coù phaân phoái khaùc baûng - döï ñoaùn sai. Mieàn giaù trò cuûa X laø taäp hôïp {F, D, C, B, A}. Döïa theo maãu cuï theå, chia mieàn giaù trò cuûa X thaønh 5 taäp hôïp S1, S2,..., S5. Tính caùc giaù trò pi = P(x∈Si) theo baûng phaân phoái döï ñoaùn. Laäp baûng tính giaù trò tôùi haïn: Si ni pi npi (ni–npi) 2 (ni–npi) 2/npi F 5 5% 5 0 0,00000 D 15 20% 20 25 1,25000 C 40 35% 35 25 0,71429 B 25 30% 30 25 0,83333 A 15 10% 10 25 2,50000 Σ 100 5,29762 Giaù trò kieåm ñònh: KÑ = 5,29762 Giaù trò tôùi haïn: k = 5 r = 0 α = 5% ⇒ TH = χ2(k–r–1)α = χ 2 (4)0,05 = 9,48773 =CHIINV(0,05;4) Ñieàu kieän baùc boû Ho laø KÑ > TH khoâng thoaû. Quyeát ñònh chaáp nhaän giaû thieát Ho. Döï ñoaùn ñuùng (möùc yù nghóa 5%). (2) Goïi X laø löôïng khaùch vaøo quaùn trong khoaûng thôøi gian 30 phuùt. Quan saùt 100 laàn thì ñöôïc baûng soá lieäu sau: X 1 2 3 4 5 Taàn soá 5 35 30 15 15 Vôùi möùc yù nghóa 5%, haõy cho bieát X coù phaûi laø ÑLNN coù phaân phoái Poisson khoâng? Ta caàn kieåm ñònh giaû thieát: Ho : X coù phaân phoái
(λ). H1 : X coù phaân phoái khoâng theo quy luaät Poisson. Giaû ñònh Ho ñuùng, töùc laø xem X coù phaân phoái
(λ). Tham soá λ theo giaù trò öôùc löôïng hôïp lyù toái ña: λ = i i i n x n ∑ ∑ = 3 Mieàn giaù trò cuûa X laø taäp hôïp soá nguyeân khoâng aâm. Döïa theo maãu cuï theå, chia mieàn giaù trò cuûa X thaønh 5 taäp hôïp S1, S2,..., S5. Tính caùc giaù trò pi = P(x∈Si) theo coâng thöùc cuûa phaân phoái
(3). Laäp baûng tính giaù trò tôùi haïn: Si ni pi npi (ni–npi) 2 (ni–npi) 2/npi ≤ 1 5 0,19915 19,915 222,4572 11,17034 2 35 0,22404 22,404 158,6592 7,08174 3 30 0,22404 22,404 57,69922 2,57540 4 15 0,16803 16,803 3,250809 0,19347 ≥ 5 15 0,18474 18,474 12,06868 0,65328 Σ 100 21,67421 Giaù trò kieåm ñònh: KÑ = 21,67421 Giaù trò tôùi haïn: k = 5 r = 1 α = 5% ⇒ TH = χ2(k–r–1)α = χ 2 (3)0,05 = 7,815 =CHIINV(0,05;3) Ñieàu kieän baùc boû Ho laø KÑ > TH thoaû. Quyeát ñònh baùc boû giaû thieát Ho, chaáp nhaän giaû thieát H1. ÑLNN X coù phaân phoái khoâng theo quy luaät Poisson (möùc yù nghóa 5%). (3) Goïi X laø chieàu cao (m) moät loaïi caây. Laáy maãu moät soá caây vaø ño chieàu cao thì ñöôïc baûng soá lieäu sau: X 4,5-5,5 5,5-6,5 6,5-7,5 7,5-8,5 8,5-9,5 Soá caây 10 22 26 28 14 Vôùi möùc yù nghóa 5%, haõy cho bieát chieàu cao loaïi caây naøy coù phaûi laø ÑLNN coù phaân phoái Chuaån khoâng? Ta caàn kieåm ñònh giaû thieát: Ho : X coù phaân phoái upslopeellipsis(µ, σ 2). H1 : X coù phaân phoái khoâng theo quy luaät Chuaån. Giaû ñònh Ho ñuùng, töùc laø xem X coù phaân phoái upslopeellipsis(µ, σ2). Tính caùc tham soá µ, σ2 theo giaù trò öôùc löôïng hôïp lyù toái ña. Laáy trung ñieåm xi cuûa moãi khoaûng, ta coù: µ = i i i n x n ∑ ∑ = 7,14 σ2 = 22 i i ii i i n x n x n n   −     ∑ ∑ ∑ ∑ = 1,4404 ⇒ σ  1,2 Mieàn giaù trò cuûa X laø taäp soá thöïc. Döïa theo maãu cuï theå, chia taäp soá thöïc thaønh 5 taäp hôïp S1, S2,..., S5. Tính caùc giaù trò pi = P(x∈Si) theo coâng thöùc cuûa phaân phoái upslopeellipsis(16,35; 5). Laäp baûng tính giaù trò kieåm ñònh: Si ni pi npi (ni–npi) 2 (ni–npi) 2/npi ≤ 5,5 10 0,08586 8,586 1,99801 0,23269 5,5-6,5 22 0,21104 21,104 0,80344 0,03807 6,5-7,5 26 0,32101 32,101 37,22219 1,15953 7,5-8,5 28 0,25355 25,355 6,99527 0,27589 ≥ 8,5 14 0,12854 12,854 1,31397 0,10222 Σ 100 1,80841 Giaù trò kieåm ñònh: KÑ = 1,80841 Giaù trò tôùi haïn: k = 5 r = 2 α = 5% ⇒ TH = χ2(k–r–1)α = χ 2 (2)0,05 = 5,9915 =CHIINV(0,05; 2) Ñieàu kieän baùc boû Ho laø KÑ > TH khoâng thoaû. Quyeát ñònh chaáp nhaän giaû thieát Ho. ÑLNN X coù phaân phoái Chuaån (möùc yù nghóa 5%). 3.2 Kieåm ñònh tính ñoäc laäp cuûa hai daáu hieäu Xeùt hai thuoäc tính cuûa moãi phaàn toång theå maø ta goïi laø hai daáu hieäu A vaø B. Giaû söû daáu hieäu A coù h traïng thaùi A1, A2,, Ah coøn daáu hieäu B coù k traïng thaùi B1, B2,, Bk. Goïi Ci (Dj) laø bieán coá gaëp phaàn töû coù traïng thaùi Ai (Bj). Hai daáu hieäu A vaø B goïi laø ñoäc laäp neáu moïi caëp bieán coá Ci vaø Dj ñeàu ñoäc laäp, töùc laø: P(Ci.Dj) = P(Ci).P(Dj) i 1,k; j 1,h= = Ta caàn kieåm ñònh giaû thieát: Ho : Daáu hieäu A vaø B ñoäc laäp. H1 : Daáu hieäu A vaø B khoâng ñoäc laäp. Xeùt maãu ngaãu nhieân kích thöôùc n. Goïi Mi laø soá laàn gaëp phaàn töû coù traïng thaùi Ai, Nj laø soá laàn gaëp phaàn töû coù traïng thaùi Bj, Nij laø soá laàn gaëp phaàn töû coù traïng thaùi Ai vaø Bj. mi, nj, nij laø caùc giaù trò cuûa Mi, Nj, Nij öùng vôùi moät maãu cuï theå kích thöôùc n. Khi n ñuû lôùn, theo ñònh nghóa Thoáng Keâ cuûa Xaùc Suaát, Mi/n, Nj/n vaø Nij/n seõ xaáp xæ vôùi P(Ci), P(Dj) vaø P(Ci.Dj). Vaäy neáu A vaø B ñoäc laäp thì moïi taàn soá Nij seõ gaàn baèng taàn soá kyø voïng laø Mi.Nj/n. Giaû ñònh Ho ñuùng, khi n ñuû lôùn thì ÑLNN sau coù phaân phoái xaáp xæ phaân phoái Chi Bình (h–1)(k–1) baäc töï do: ( ) = = − ∑∑ 2 h k ij i j i ji 1 j 1 N M .N / n M .N / n Vôùi löu yù h k ij i 1 j 1 N n = = =∑∑ vaø h k i j i 1 j 1 M N = = ∑∑ = n2, bieåu thöùc treân ñöôïc ruùt goïn thaønh 2h k ij i ji 1 j 1 N n 1 M .N= =   −     ∑∑ . Ta coù: P( 2h k ij i ji 1 j 1 N n 1 M .N= =   −     ∑∑ < χ2α) = 1–α Vaäy neáu vôùi moät maãu cuï theå kích thöôùc n, ta thaáy = =   −     ∑∑ 2h k ij i ji 1 j 1 n n 1 m .n > χ2α thì giaû thieát Ho bò baùc boû. Theo phaân tích treân, ta choïn: Tieâu chuaån kieåm ñònh: G = 2h k ij i ji 1 j 1 N n 1 M .N= =   −     ∑∑ Mieàn baùc boû Ho: Wα = (χ 2 α, +∞) Vaäy thuû tuïc kieåm ñònh daáu hieäu A vaø B ñoäc laäp nhö sau: Cho tröôùc moät maãu cuï theå kích thöôùc n daïng baûng coù taàn soá ((Ai, Bj), nij) vaø möùc yù nghóa α. Töø soá lieäu maãu ta laäp baûng ghi taàn soá xuaát hieän bieán coá Ci.Dj laø nij. Tính taàn soá xuaát hieän bieán coá Ci (Dj) laø mi = k ij j 1 n = ∑ (ni = h ij i 1 n = ∑ ). Tính giaù trò kieåm ñònh KÑ vaø tra giaù trò tôùi haïn TH. Neáu giaù trò kieåm ñònh lôùn hôn giaù trò tôùi haïn thì baùc boû Ho (KÑ > TH). Coâng thöùc tính giaù trò kieåm ñònh: 2h k ij i ji 1 j 1 n n 1 m .n= =   −     ∑∑ Giaù trò tôùi haïn: χ2((h–1)(k–1))α Ví duï (1) Ñeå ñaùnh giaù aûnh höôûng cuûa khuyeán maïi ñeán thôøi gian söû duïng ñieän thoaïi di ñoäng, MobiVN ñieàu tra moät soá khaùch haøng vaø thu ñöôïc soá lieäu sau: Thôøi gian söû duïng ñtdd Hình thöùc khuyeán maïi Khoâng ñoåi Coù taêng Taêng maïnh Giaûm cöôùc 26 24 10 Mieãn phí sms 25 50 15 Vôùi möùc yù nghóa 5% thì khuyeán maïi coù aûnh höôûng ñeán thôøi gian söû duïng ñieän thoaïi di ñoäng khoâng? Ta caàn kieåm ñònh giaû thieát: Ho : Khuyeán maïi khoâng aûnh höôûng ñeán thôøi gian söû duïng ñieän thoaïi di ñoäng. H1 : Khuyeán maïi coù aûnh höôûng ñeán thôøi gian söû duïng ñieän thoaïi di ñoäng. Laäp baûng ñeå tính giaù trò kieåm ñònh: nij Σ nij 2/minj Σ 26 24 10 60 0,2209 0,1297 0,0667 0,4173 25 50 15 90 0,1362 0,3754 0,1000 0,6115 Σ 51 74 25 150 Σ 1,0289 Giaù trò kieåm ñònh: KÑ = 150(1,0289 – 1) = 4,3279 Giaù trò tôùi haïn: h = 2 k = 3 α = 5% ⇒ TH = χ2((h–1)(k–1))α = χ 2 (2)0,05 = 5,9915 =CHIINV(0,05; 2) Ñieàu kieän baùc boû Ho laø KÑ > TH khoâng thoaû. Quyeát ñònh chaáp nhaän giaû thieát Ho. Khuyeán maïi khoâng aûnh höôûng ñeán thôøi gian söû duïng ñieän thoaïi di ñoäng (vôùi möùc yù nghóa 5%). (2) Ñeå bieát giôùi tính cuûa sinh vieân coù aûnh höôûng hay khoâng ñeán loaïi hình giaûi trí, ngöôøi ta thaêm doø 50 sinh vieân vaø thu ñöôïc soá lieäu sau: Loaïi hình giaûi trí Giôùi tính Xem boùng ñaù Xem phim Nghe nhaïc Nam 20 5 5 Nöõ 5 5 10 "Giôùi tính cuûa sinh vieân coù aûnh höôûng ñeán loaïi hình giaûi trí" coù ñuùng khoâng vôùi möùc yù nghóa 5%? Ta caàn kieåm ñònh giaû thieát: Ho : Giôùi tính cuûa sinh vieân khoâng aûnh höôûng ñeán loaïi hình giaûi trí. H1 : Giôùi tính cuûa sinh vieân coù aûnh höôûng ñeán loaïi hình giaûi trí. Laäp baûng ñeå tính giaù trò kieåm ñònh: nij Σ nij 2/minj Σ 20 5 5 30 0,5333 0,0833 0,0556 0,6722 5 5 10 20 0,0500 0,1250 0,3333 0,5083 Σ 25 10 15 50 Σ 1,1806 Giaù trò kieåm ñònh: KÑ = 50(1,1806 – 1) = 9,0278 Giaù trò tôùi haïn: h = 2 k = 3 α = 5% ⇒ TH = χ2((h–1)(k–1))α = χ 2 (2)0,05 = 5,9915 =CHIINV(0,05; 2) Ñieàu kieän baùc boû Ho laø KÑ > TH thoaû. Quyeát ñònh chaáp baùc boû giaû thieát Ho, chaáp nhaän giaû thieát H1. Nhaän xeùt giôùi tính cuûa sinh vieân coù aûnh höôûng ñeán loaïi hình giaûi trí laø ñuùng (vôùi möùc yù nghóa 5%).