Bài giảng Lý thuyết xác suất và thống kê toán - Chương 7: Ước lượng các số đặc trưng tổng thể

CHÖÔNG 7 Öôùc löôïng caùc soá ñaëc tröng toång theå * Khoâng theå tính ñöôïc caùc soá ñaëc tröng toång theå. Töø moät maãu cuï theå, ta öôùc löôïng ñaëc tröng toång theå θ baèng caùch tuyeân boá θ laø θo (öôùc löôïng ñieåm) hoaëc tuyeân boá θ thuoäc moät khoaûng (öôùc löôïng khoaûng). 1. Öôùc löôïng ñieåm Ta tuyeân boá moãi soá ñaëc tröng öùng vôùi moät maãu cuï theå laø soá ñaëc tröng töông öùng cuûa toång theå. 1.1 Öôùc löôïng ñieåm trung bình toång theå µ Trung bình toång theå µ ñöôïc öôùc löôïng bôûi trung bình maãu ngaãu nhieân X . Coâng thöùc öôùc löôïng naøy coù tính chaát: Khoâng cheäch: Kyø voïng cuûa sai soá khi öôùc löôïng baèng 0, töùc laø E(X – µ) = 0. Hieäu quaû: Phöông sai cuûa (X – µ) laø nhoû nhaát trong caùc coâng thöùc öôùc löôïng µ. Vöõng: X caøng gaàn µ khi kích thöôùc maãu caøng lôùn. 1.2 Öôùc löôïng ñieåm phöông sai toång theå σ2 Phöông sai toång theå σ2 ñöôïc öôùc löôïng bôûi phöông sai maãu ngaãu nhieân S2. Coâng thöùc öôùc löôïng ñieåm naøy laø khoâng cheäch, vöõng. 1.3 Öôùc löôïng ñieåm tyû leä toång theå p Tyû leä toång theå p ñöôïc öôùc löôïng baèng vôùi tyû leä maãu ngaãu nhieân F. Coâng thöùc öôùc löôïng ñieåm naøy laø khoâng cheäch. Ví duï Ño chieàu cao (m) cuûa 50 caây röøng ta coù baûng: Chieàu cao Soá löôïng Chieàu cao Soá löôïng 6,25–6,75 1 8,25–8,75 18 6,75–7,25 2 8,75–9,25 9 7,25–7,75 5 9,25–9,75 3 7,75–8,25 11 9,75–10,2 1 ÖÙôùc löôïng chieàu cao trung bình, ñoä leäch chuaån vaø tyû leä caây cao töø 7,75m ñeán 8,75m. 2. Öôùc löôïng khoaûng Xeùt maãu ngaãu nhieân X1, X2, ..., Xn. Choïn 2 thoáng keâ
1 ˆ θ ,
2 ˆ θ , töùc laø laäp 2 haøm n-bieán X1, X2, ..., Xn. Soá ñaëc tröng toång theå θ ñöôïc xem thuoäc khoaûng [
1 ˆ θ ,
2 ˆ θ ] (khoaûng tin caäy) vôùi xaùc suaát 1–α. 1–α goïi laø ñoä tin caäy. Vôùi ñoä tin caäy 1–α töø 95% trôû leân, ta cho raèng bieán coá
1 ˆ θ ≤ θ ≤
2 ˆ θ chaéc chaén xaûy ra trong thöïc teá. Ghi chuù Ta cuõng coù theå xeùt khoaûng öôùc löôïng moät phía 2.1 Öôùc löôïng khoaûng trung bình toång theå µ Xeùt maãu ngaãu nhieân X1, X2,, Xn vaø ñoä tin caäy 1–α. Ta choïn khoaûng ngaãu nhieân daïng (X − ε, X + ε) ñeå öôùc löôïng µ. ε goïi laø ñoä chính xaùc cuûa öôùc löôïng. Ñeå tìm khoaûng ngaãu nhieân öôùc löôïng µ, ta caàn xaùc ñònh coâng thöùc tính ñoä chính xaùc ε. TH1 n ≥ 30 vaø bieát phöông sai toång theå σ2 Xeùt Z = X / n − µ σ . Neáu X coù phaân phoái Chuaån thì Z coù phaân phoái Chuaån Chính taéc. Neáu chöa bieát quy luaät phaân phoái cuûa X thì töø giaû thieát n ≥ 30, ta xaáp xæ Z vôùi phaân phoái Chuaån Chính taéc. Ta coù: P(X – ε < µ < X + ε) = 1−α ⇔ P(X – µ ε) = α ⇔ P( X / n − µ σ > / n ε σ ) = α ⇔ P(Z> / n ε σ ) = α ⇔ P(Z > / n ε σ ) + P(Z < − / n ε σ ) = α ⇔ 2P(Z > / n ε σ ) = α ⇔ P(Z > / n ε σ ) = α/2 Ñaúng thöùc cuoái chöùng toû / n ε σ laø phaân vò möùc α/2 cuûa phaân phoái Chuaån Chính taéc. Vaäy: / n ε σ = zα/2 ⇒ ε = / 2z n α σ Laáy maãu cuï theå kích thöôùc n, ta tính ñöôïc giaù trò ε vaø do ñoù tìm ñöôïc khoaûng tin caäy (x−ε, x+ε) vôùi ñoä tin caäy 1–α ñeå öôùc löôïng µ. TH2 n < 30, bieát phöông sai toång theå σ2 vaø X coù phaân phoái Chuaån Luùc naøy X / n − µ σ coù phaân phoái Chuaån Chính taéc. Vaäy taát caû laäp luaän cuõng nhö coâng thöùc neâu treân ñeàu aùp duïng ñöôïc. TH3 n ≥ 30 vaø chöa bieát phöông sai toång theå σ2 Luùc naøy X S / n − µ coù phaân phoái Student baäc töï do (n–1). Theo giaû thieát n ≥ 30, phaân phoái Student ñöôïc xaáp xæ vôùi phaân phoái Chuaån Chính taéc; hôn nöõa, S cuõng ñöôïc xaáp xæ bôûi s. Vaäy taát caû laäp luaän cuõng nhö coâng thöùc neâu treân ñeàu aùp duïng ñöôïc, mieãn laø thay σ bôûi s khi tính ε öùng vôùi maãu cuï theå. TH4 n ≤ 30, chöa bieát phöông sai toång theå σ2, X coù phaân phoái Chuaån Luùc naøy X S / n − µ coù phaân phoái Student baäc töï do (n–1). Taát caû laäp luaän treân cuõng aùp duïng ñöôïc cho phaân phoái Student. Coâng thöùc tính ñoä chính xaùc ε öùng vôùi maãu cuï theå luùc naøy laø coâng thöùc ñaõ bieát nhöng thay σ bôûi s vaø thay zα/2 bôûi tα/2(n–1). Toùm taét – Khoaûng tin caäy trung bình toång theå µ Cho tröôùc moät maãu cuï theå kích thöôùc n vaø ñoä tin caäy 1–α. Trung bình toång theå µ ñöôïc öôùc löôïng thuoäc khoaûng tin caäy (x−ε, x+ ε). Ñoä chính xaùc ε ñöôïc tính theo coâng thöùc goàm hai tröôøng hôïp sau: n > 30 hoaëc "n ≤ 30, bieát σ2 vaø toång theå coù phaân phoái Chuaån" ε = / 2z n α σ (σ ≈ s) n ≤ 30, chöa bieát σ2 vaø toång theå coù phaân phoái Chuaån ε = /2 s t (n 1) n α − Excel ε trong tröôøng hôïp ñaàu ñöôïc tính theo coâng thöùc =CONFIDENCE(α, σ, n) Ví duï (1) Thoáng keâ veà tuoåi thoï (giôø) cuûa moät soá boùng ñeøn do moät nhaø maùy saûn xuaát ta coù baûng: Tuoåi thoï Soá boùng ñeøn Tuoåi thoï Soá boùng ñeøn 1000–1100 4 1600–1700 42 1100–1200 10 1700–1800 32 1200–1300 16 1800–1900 26 1300–1400 20 1900–2000 14 1400–1500 36 2000–2100 8 1500–1600 48 Laáy trung ñieåm moãi khoaûng. Ta coù: n = 256 x= 1.587,50 s2 = 51.450,98 ⇒ s = 226,83 a) Tính tuoåi thoï trung bình cuûa boùng ñeøn vôùi ñoä tin caäy 95%. 1−α = 95% ⇒ zα/2 = z0,025 = 1,96 =NORMSINV(1–.025) ⇒ ε = / 2 s z n α = 27,79 Tuoåi thoï trung bình cuûa boùng ñeøn laø 1.587,50 ± 27,79 giôø (ñoä tin caäy 95%). b) Neáu muoán ñoä tin caäy ñaït ñeán 98% vaø ñoä chính xaùc nhö treân thì phaûi coù soá lieäu veà tuoåi thoï cuûa bao nhieâu boùng ñeøn? 1−α = 98% ⇒ zα/2 = z0,01 = 2,33 =NORMSINV(1–0,01) Töø coâng thöùc tính ε ta coù: n = 2 /2 s zα    ε  = 360,66 ≈ 361 Phaûi coù soá lieäu cuûa 361 boùng ñeøn. c) Neáu laáy ñoä chính xaùc laø 20 giôø vaø duøng soá lieäu ñieàu tra 256 boùng ñeøn nhö treân thì ñoä tin caäy ñaït bao nhieâu? s = 226,83 n = 256 ε = 20 Töø coâng thöùc tính ε ta coù: zα/2 = n s ε ≈ 1,41 ⇒ α/2 = 0,5 – Φ(1,41) = 0,5 – 0,42 ⇒ 1–α = 84% Khi ñoä chính xaùc laø 20 thì ñoä tin caäy laø 84%. (2) Troïng löôïng cuûa moät saûn phaåm laáy ngaãu nhieân taïi moät nhaø maùy laø moät ÑLNN coù phaân phoái Chuaån. Caân 20 saûn phaåm laáy ngaãu nhieân thì tính ñöôïc trung bình troïng löôïng cuûa moät saûn phaåm laø 1.100g vaø ñoä leäch chuaån laø 25,649g. Öôùc löôïng troïng löôïng moät saûn phaåm cuûa nhaø maùy naøy vôùi ñoä tin caäy 98%. n = 20 (< 30) x = 1.100 s = 25,649 1−α = 98% ⇒ tα/2(n–1) = t0,01(19) = 2,539 =TINV(.01*2; 19) ⇒ ε = /2 s t (n 1) n α − = 14,56 Troïng löôïng moät saûn phaåm laø 1.100 ± 14,56 g (ñoä tin caäy 98%). 2.2 Öôùc löôïng khoaûng tyû leä toång theå p Xeùt maãu ngaãu nhieân X1, X2,, Xn vaø ñoä tin caäy 1−α. Ta tìm khoaûng ngaãu nhieân daïng (F−ε, F+ε) ñeå öôùc löôïng p. ε goïi laø ñoä chính xaùc cuûa öôùc löôïng. Caàn xaùc ñònh coâng thöùc tính ñoä chính xaùc ε. Xeùt n ≥ 30. Z = − − F p p(1 p) / n ñöôïc xaáp xæ vôùi phaân phoái Chuaån Chính taéc. Ta coù: P(F−ε < p < F+ε) = 1−α ⇔ P(F – p ε) = α ⇔ P( − − F p p(1 p) / n > ε −p(1 p) / n ) = α ⇔ P(Z > ε −p(1 p) / n ) = α ⇔ P(Z > ε −p(1 p) / n ) = α/2 Ñaúng thöùc cuoái chöùng toû ε −p(1 p) / n laø phaân vò möùc α/2 cuûa phaân phoái Chuaån Chính taéc. Theo giaû thieát n > 30, p ñöôïc xaáp xæ bôûi F. Vaäy: ε = α −/ 2z F(1 F) / n Laáy maãu cuï theå kích thöôùc n, ta tính ñöôïc giaù trò ε vaø do ñoù tìm ñöôïc khoaûng tin caäy (f−ε, f+ε) vôùi ñoä tin caäy 1−α ñeå öôùc löôïng p. Toùm taét – Khoaûng tin caäy tyû leä toång theå p Cho tröôùc moät maãu cuï theå kích thöôùc n (n ≥ 30) vaø ñoä tin caäy 1−α. Tyû leä toång theå p ñöôïc öôùc löôïng thuoäc khoaûng tin caäy (f−ε, f+ε). Ñoä chính xaùc ε ñöôïc tính theo coâng thöùc: ε = / 2 f(1 f) z n α − Ví duï Ñieàu tra thu nhaäp haøng thaùng cuûa 100 coâng nhaân gaëp ngaãu nhieân taïi moät nhaø maùy thì thaáy coù 81 laàn ñöôïc traû lôøi laø treân 3 trieäu ñoàng/thaùng. Ta coù: n = 100 f = 81% a) Öôùc löôïng tyû leä coâng nhaân ñaït möùc thu nhaäp treân vôùi ñoä tin caäy 96%. 1−α = 96% ⇒ zα/2 = z0,02 = 2,0537 =NORMSINV(1–.02) ⇒ ε = / 2 f (1 f ) z n α − = 8,06% Tyû leä coâng nhaân ñaït möùc thu nhaäp treân 3 trieäu ñoàng/thaùng töø 72,94% ñeán 89,06% (ñoä tin caäy 96%). b) Neáu muoán ñoä tin caäy ñaït ñeán 98% vaø ñoä chính xaùc nhö treân thì phaûi ñieàu tra theâm bao nhieâu coâng nhaân nöõa? 1−α = 98% ⇒ zα/2 = z0,01 = 2,3263 =NORMSINV(1–.01) Töø coâng thöùc tính ε ta coù: n = 2 /2z f (1 f )α   − ε  = 128,21 ≈ 129 Phaûi ñieàu tra theâm 129−100 = 29 coâng nhaân. c) Neáu laáy ñoä chính xaùc laø 7% vaø duøng soá lieäu ñieàu tra 100 coâng nhaân nhö treân thì ñoä tin caäy ñaït ñöôïc bao nhieâu? n = 100 f = 81% ε = 7% Töø coâng thöùc tính ε ta coù: zα/2 = n f (1 f ) ε − ≈ 1,78 ⇒ α/2 = 0,5 – Φ(1,78) ⇒ α/2 = 0,0375 ⇒ 1–α = 92,5% Khi ñoä chính xaùc laø 7% thì ñoä tin caäy laø 92,5%. 2.3 Öôùc löôïng khoaûng phöông sai toång theå σ2 Xeùt maãu ngaãu nhieân X1, X2,, Xn vaø ñoä tin caäy 1–α. Ta tìm khoaûng ngaãu nhieân daïng (a, b) ñeå öôùc löôïng σ2. Ta chæ xeùt toång theå coù phaân phoái Chuaån. TH1 chöa bieát trung bình toång theå µ Luùc naøy 2 2 (n 1)S− σ coù phaân phoái Chi Bình n–1 baäc töï do. Ta coù: P(a b) + P(σ2 < a) = α Ñeå coù ñaúng thöùc treân, ta choïn P(σ2 > b) = α/2 vaø P(σ2 < a) = α/2. Ta coù: P(σ2 > b) = α/2 ⇔ P( 2 2 (n 1)S− σ < 2(n 1)S b − ) = α/2 ⇔ P( 2 2 (n 1)S− σ > 2(n 1)S b − ) = 1–α/2 Ñaúng thöùc treân chöùng toû 2(n 1)S b − laø phaân vò möùc 1–α/2 cuûa phaân phoái Chi Bình n–1 baäc töï do. Vaäy: 2(n 1)S b − = χ21–α/2 ⇒ b = −α − χ 2 2 1 /2 (n 1)S Töông töï: P(σ2 < a) = α/2 ⇔ P( 2 2 (n 1)S− σ > 2(n 1)S a − ) = α/2 Ñaúng thöùc treân chöùng toû 2(n 1)S a − laø phaân vò möùc α/2 cuûa phaân phoái Chi Bình n–1 baäc töï do. Vaäy: 2(n 1)S a − = χ2α/2 ⇒ a = α − χ 2 2 /2 (n 1)S Laáy maãu cuï theå kích thöôùc n, ta tính ñöôïc giaù trò a, b vaø do ñoù tìm ñöôïc khoaûng tin caäy [a, b] vôùi ñoä tin caäy 1–α ñeå öôùc löôïng σ2. TH2 bieát trung bình toång theå µ Luùc naøy ( )2n i 2 i 1 X = − µ σ ∑ coù phaân phoái Chi Bình n baäc töï do. Laäp luaän töông töï treân, ta choïn ñöôïc: a = ( ) = α − µ χ ∑ n 2 i i 1 2 /2 X b = ( ) = −α − µ χ ∑ n 2 i i 1 2 1 /2 X Toùm taét – Khoaûng tin caäy phöông sai toång theå σ 2 Xeùt toång theå laø ÑLNN coù phaân phoái Chuaån. Cho tröôùc moät maãu cuï theå kích thöôùc n vaø ñoä tin caäy 1–α. Phöông sai toång theå σ2 ñöôïc öôùc löôïng thuoäc khoaûng tin caäy [a, b]. a vaø b ñöôïc tính theo coâng thöùc goàm hai tröôøng hôïp sau: Chöa bieát trung bình toång theå µ a = 2 2 /2 (n 1)s (n 1)α − χ − vaø b = 2 2 1 /2 (n 1)s (n 1) −α − χ − Bieát trung bình toång theå µ a = ( ) n 2 i i 1 2 /2 x (n) = α − µ χ ∑ vaø b = ( ) n 2 i i 1 2 /2 x (n) = −α − µ χ ∑ 1 Ví duï Löôïng nguyeân lieäu duøng ñeå saûn xuaát moät saûn phaåm A laø moät ÑLNN coù phaân phoái Chuaån. Quan saùt moät soá saûn phaåm ngaãu nhieân taïi moät nhaø maùy ta coù baûng sau: Nguyeân Lieäu (g) 19,0 19,5 20,0 20,5 Soá saûn phaåm 5 6 14 3 Haõy öôùc löôïng phöông sai vôùi ñoä tin caäy 95% trong tröôøng hôïp: a) Bieát löôïng nguyeân lieäu tieâu hao ñeå saûn xuaát moät saûn phaåm trung bình laø 20g. b) Chöa bieát löôïng tieâu hao nguyeân lieäu trung bình. a) Do ñaõ bieát µ = 20 neân ta caàn tính ( ) n 2 i i 1 x = − µ∑ . Do baûng soá lieäu coù taàn soá neân ta laäp baûng ñeå tính ( ) n 2 i i 1 x = − µ∑ theo coâng thöùc Σnixi2 – 2µΣnixi + nµ2: xi ni nixi nixi 2 19,0 5 95 1.805,00 19,5 6 117 2.281,50 20,0 14 280 5.600,00 20,5 3 61,5 1.260,75 Σ 28 553,5 10.947,25 ( ) n 2 i i 1 x = − µ∑ = Σnixi2 – 2µΣnixi + nµ2 = 7,25 Theo giaû thieát: n = 28 1−α = 95% ⇒ χ2(n)α/2 = χ 2(28)0,025 = 44,4608 =CHIINV(0,025; 28) ⇒ χ2(n)1–α/2 = χ 2(28)0,975 =15,3079 =CHIINV(0,975; 28) ⇒ a = ( ) n 2 i i 1 2 /2 x (n) = α − µ χ ∑
0,1631 b = ( ) − n 2 i i 1 2 /2 x (n) = α − µ χ ∑ 1
0,4736 Vôùi ñoä tin caäy 95% thì 0,1631 ≤ σ2 ≤ 0,4736. b) Töø soá lieäu treân baûng ta tính ñöôïc: s2 = [Σnixi2 – (Σnixi)2/n]/(n–1) = 0,2126. Theo giaû thieát: n = 28 1−α = 95% ⇒ χ2(n–1)α/2 = χ 2(27)0,025 = 43,1945 =CHIIN(0,025; 27) ⇒ χ2(n–1)1–α/2 = χ 2(27)0,975 = 14,5734 =CHIIN(0,975; 27) ⇒ a = 2 2 /2 (n 1)s (n 1)α − χ −
0,1329 b = 2 2 1 /2 (n 1)s (n 1) −α − χ −
0,3939 Vôùi ñoä tin caäy 95% thì 0,1329 ≤ σ2 ≤ 0,3939.