Bài giảng Lý thuyết xác suất và thống kê toán - Chương 6: Tổng thể và mẫu

THOÁNG KEÂ TOAÙN CHÖÔNG 6 Toång theå vaø maãu 1. Toång theå vaø caùc soá ñaëc tröng Moät ñôït thi tuyeån sinh coù 50.000 thí sinh tham döï. Ta quan taâm ñeán ñieåm thi moân Toaùn cuûa moãi thí sinh. Treân ñaây laø moät ví duï veà toång theå. Löôïng thí sinh goïi laø kích thöôùc toång theå, kyù hieäu N. Ñieåm thi moân Toaùn laø daáu hieäu quan taâm, kyù hieäu X*. Goïi X laø giaù trò cuûa daáu hieäu X* (ñöôïc ño hoaëc ñöôïc löôïng hoaù) taïi moät phaàn töû cuûa toång theå ñöôïc choïn ngaãu nhieân thì X laø ÑLNN. Kyø voïng, phöông sai, ñoä leäch chuaån cuûa ÑLNN naøy goïi laø trung bình toång theå (µ), phöông sai toång theå (σ2), ñoä leäch chuaån toång theå (σ). Neáu quy ñònh theâm moät chæ tieâu, chaúng haïn trong ví duï treân chæ tieâu ñaït moân Toaùn laø töø 5 ñieåm trôû leân, goïi M laø soá phaàn töû cuûa toång theå ñaït chæ tieâu naøy thì p = M/N goïi laø tyû leä toång theå. µ, σ2, σ, p laø caùc soá ñaëc tröng cuûa toång theå. 2. Maãu 2.1 Khaùi nieäm maãu 2.1.1 Maãu ngaãu nhieân Vì nhieàu lyù do, khoâng theå coù soá lieäu toång theå, vaäy caùc soá ñaëc tröng cuûa toång theå laø khoâng bieát ñöôïc. Laáy n phaàn töû toång theå (coù hoaøn laïi) ta ñöôïc n ÑLNN X1, X2,... Xn ñoäc laäp coù cuøng phaân phoái vôùi ÑLNN cuûa toång theå. Ta goïi ñaây laø moät maãu ngaãu nhieân kích thöôùc n, kyù hieäu WX(X1, X2, ..., Xn). Töø n ÑLNN X1, X2, ..., Xn ta thaønh laäp caùc ÑLNN ñaëc tröng maãu: Trung bình maãu ngaãu nhieân: X = n i i 1 1 X n = ∑ Phöông sai maãu ngaãu nhieân (hieäu chænh): S2 = ( ) n 2 i i 1 1 X X n 1 = − − ∑ Ñoä leäch chuaån maãu ngaãu nhieân: S = 2S Tyû leä maãu ngaãu nhieân: F = n i i 1 1 Y n = ∑ Yi laø ÑLNN baèng 1 neáu phaàn töû thöù i ñöôïc choïn vaøo maãu ñaït chæ tieâu vaø baèng 0 neáu khoâng ñaït. 2.1.2 Maãu cuï theå Töø WX(X1, X2, ..., Xn), laáy soá ño cuï theå cuûa X1, X2, ..., Xn laø x1, x2, ..., xn, ta ñöôïc moät maãu cuï theå kích thöôùc n, kyù hieäu WX(x1, x2, ..., xn). Caùc soá ñaëc tröng cuûa maãu cuï theå: Trung bình maãu: x = n i i 1 1 x n = ∑ Phöông sai maãu (hieäu chænh): s2 = ( ) n 2 i i 1 1 x x n 1 = − − ∑ Ñoä leäch chuaån maãu: s = 2s Tyû leä maãu: f = T n n nT: soá ph.töû (maãu) ñaït chæ tieâu. 2.2 Caùc daïng soá lieäu cuûa maãu cuï theå Trong thöïc teá, soá lieäu cuûa maãu cuï theå ñöôïc trình baøy döôùi nhieàu daïng khaùc nhau vaø ta seõ duøng caùc coâng thöùc thích hôïp ñeå tính caùc soá ñaëc tröng maãu. 2.2.1 Soá lieäu daïng ñieåm khoâng coù taàn soá Soá lieäu laø daõy goàm caùc giaù trò xi. Coâng thöùc: x = n i i 1 1 x n = ∑ s2 = 2n n 2 i i i 1 i 1 1 1x x n 1 n= =    −    −    ∑ ∑ Excel n ≤ 30, x1, x2,... ,xn ghi trong mieàn M thì: x =AVERAGE(M) s2 =VAR(M) s =STDEV(M) Ghi chuù Coù theå xem “ñieåm khoâng taàn soá” laø “ñieåm coù taàn soá baèng 1”. Ví duï Chi phí hoaït ñoäng haøng thaùng (trieäu ñoàng) cuûa moät doanh nghieäp trong naêm 2012: 100, 106, 60, 160, 70, 170, 140, 120, 116, 120, 140, 150 Tính trung bình maãu vaø phöông sai maãu. 2.2.2 Soá lieäu daïng ñieåm coù taàn soá Soá lieäu laø daõy x1, x2, ...xk öùng vôùi caùc taàn soá n1, n2, ...nk. Ta duøng coâng thöùc: n = k i i 1 n = ∑ x = k i i i 1 1 n x n = ∑ s2 = 2k k 2 i i i i i 1 i 1 1 1n x n x n 1 n= =    −    −    ∑ ∑ Ví duï Ñieàu tra veà soá xe baùn ñöôïc trong ngaøy cuûa moät soá ñaïi lyù choïn ngaãu nhieân ta coù baûng soá lieäu sau: Soá xe baùn ñöôïc 1 2 3 4 5 6 Soá ñaïi lyù 15 12 9 5 3 1 Tính trung bình maãu, phöông sai maãu. n = 45 x = 107/45 ≈ 2,38 s2 ≈ 1,83 2.2.3 Soá lieäu daïng khoaûng coù taàn soá Soá lieäu goàm k khoaûng daïng [ai, bi) hoaëc (ai, bi] vaø taàn soá töông öùng n1, n2, , nk. Thay moãi khoaûng bôûi giaù trò trung taâm cuûa khoaûng laø xi = i i a b 2 + thì coù ñöôïc soá lieäu daïng ñieåm coù taàn soá. Luùc naøy coù theå tính caùc soá ñaëc tröng maãu theo caùch ñaõ bieát. Ví duï Ñieàu tra veà thu nhaäp naêm 2005 (trieäu ñoàng) cuûa moät soá nhaân vieân ngaân haøng AÑ ta coù baûng: Thu nhaäp Soá NV Thu nhaäp Soá NV Thu nhaäp Soá NV 80–85 9 95–100 36 110–115 16 85–90 12 100–105 25 115–120 10 90–95 24 105–110 20 120–130 8 n = 60 x = 101,3125 s2 = 111,7885 1.3.4 Soá lieäu daïng baûng hai chieàu Khi quan taâm vaø ño cuøng luùc hai thuoäc tính cuûa caùc phaàn töû thuoäc maãu ta coù ÑLNN hai chieàu (X, Y). Luùc naøy taïi moãi phaàn töû cuûa moät maãu cuï theå seõ coù hai giaù trò xi vaø yj. Baûng soá lieäu hai chieàu coù taàn soá lieät keâ caùc giaù trò cuûa xi, cuûa yj vaø taàn soá nij cho bieát soá laàn xuaát hieän cuûa caëp (xi, yj) trong maãu cuï theå: X Y y1 y2 ... yh x1 n11 n12 ... n1h x2 n21 n22 ... n2h ... ... ... ... ... xk nk1 nk2 ... nkh Töø baûng naøy, coäng taàn soá theo doøng (coät) ta coù baûng phaân phoái thöïc nghieäm theo X (Y). Laáy taàn soá theo coät j (doøng i) ta coù baûng taàn soá thöïc nghieäm theo X (Y) vôùi ñieàu kieän Y = yj (X = xi). Töø caùc baûng phaân phoái theo thöïc nghieäm, ta tính trung bình maãu, phöông sai maãu theo coâng thöùc soá lieäu daïng ñieåm coù taàn soá. Caùc kyù hieäu sau: * Trung bình maãu, phöông sai maãu cuûa X: x , 2Xs . * Trung bình maãu, phöông sai maãu cuûa Y: y , 2Ys . * Trung bình maãu, phöông sai maãu cuûa X vôùi ñieàu kieän Y=yj: j/ yx , j 2 X / y s . * Trung bình maãu, phöông sai maãu cuûa Y vôùi ñieàu kieän X=xi: i/ xy , i 2 Y / x s . Ví duï Khaûo saùt veà tyû leä thu nhaäp chi cho giaùo duïc (%) vaø thu nhaäp bình quaân ñaàu ngöôøi (trieäu ñoàng/thaùng) cuûa 400 hoä gia ñình ta coù baûng: Chi Giaùo duïc Thu nhaäp 10 20 30 40 50 1–3 10 40 20 3–7 40 60 20 7–11 20 80 40 11–17 30 30 10 Ta muoán tính: trung bình tyû leä thu nhaäp chi cho giaùo duïc, thu nhaäp bình quaân ñaàu ngöôøi, trung bình vaø ñoä leäch chuaån thu nhaäp bình quaân ñaàu ngöôøi cuûa nhöõng hoä chi 30% thu nhaäp cho giaùo duïc. Goïi X laø tyû leä thu nhaäp chi cho giaùo duïc, Y laø thu nhaäp bình quaân ñaàu ngöôøi. ⇒ x = 7,45 ⇒ y = 29,75 ⇒ /30x = 7,79 2 X / 30s =12,76 X / 30s =3,57 Trung bình tyû leä thu nhaäp chi cho GD laø 7,45%, TN bình quaân 1 ngöôøi laø 29,75 trieäu/thaùng, TN bình quaân 1 ngöôøi (30%) laø 7,79 trieäu/thaùng, ñoä leäch chuaån laø 3,57. ai − bi 1–3 3–7 7–11 11–17 Σ xi 2 5 9 14 ni 70 120 140 70 400 yj 10 20 30 40 50 Σ nj 10 100 190 90 10 400 ai − bi 1–3 3–7 7–11 11–17 Σ xi /30 2 5 9 14 ni /30 20 60 80 30 190