Bài giảng Lý thuyết xác suất và thống kê toán - Chương 3: Các phân phối xác suất thông dụng

CHÖÔNG 3 Caùc phaân phoái xaùc suaát thoâng duïng 1. Caùc phaân phoái cuûa ÑLNN rôøi raïc 1.1 Phaân phoái Nhò thöùc 1.1.1 Ñònh nghóa vaø caùc soá ñaëc tröng Trong moät pheùp thöû, bieán coá A xaûy ra vôùi xaùc suaát p. Thöïc hieän pheùp thöû n laàn ñoäc laäp. Goïi X laø soá laàn bieán coá A xaûy ra thì X laø ÑLNN. Theo coâng thöùc Nhò thöùc: P(X=k) = k k n knC p q − ÑLNN X coù phaân phoái xaùc suaát nhö treân ñöôïc ñöôïc goïi laø ÑLNN coù phaân phoái Nhò thöùc, kyù hieäu X ~ B(n, p). Giaù trò cuûa X laø 0, 1, ..., n. Ñaët q = 1–p. Ta tính ñöôïc: E(X) = np Var(X) = npq (n+1)p – 1 ≤ Mod(X) ≤ (n+1)p Excel Pk = P(X=k) =BINOMDIST(k, n, p, 0) P(X ≤ k) =BINOMDIST(k, n, p, 1) Ví duï (1) Laáy ngaãu nhieân coù hoaøn laïi 10 saûn phaåm töø loâ haøng coù 80% chính phaåm. Tính xaùc suaát coù 8 chính phaåm. Bieán coá "laáy ñöôïc chính phaåm" coù xaùc suaát p = 80%. Soá laàn laëp laïi pheùp thöû laø n = 10. Goïi X laø soá chính phaåm ñeám ñöôïc thì X ~ B(10; 80%). Xaùc suaát caàn tính laø P(X=8). Theo coâng thöùc: P(X=8) = 810C (0,8) 8(0,2)2 ≈ 30% =BINOMDIST(8, 10, 80%, 0) (2) Cho X~B(79; 75%), Y~B(30; 25%). Tính Mod(X), Mod(Y). Löu yù Mod(X), Mod(Y) ñeàu laø soá nguyeân, ta coù: 59 ≤ Mod(X) ≤ 60 ⇒ Mod(X) = 59 hay Mod(X) = 60 6,75 ≤ Mod(Y) ≤ 7,75 ⇒ Mod(Y) = 7 (3) Moät xaï thuû baén truùng bia vôùi xaùc suaát 20%. Tính xaùc suaát xaï thuû naøy baén vaøo bia 5 phaùt thì coù khoâng quaù 2 phaùt truùng bia. 1.1.2 Xaáp xæ Nhò thöùc bôûi phaân phoái Chuaån Xeùt B(n, p). Neáu n ñuû lôùn vaø p khoâng quaù gaàn 0 hay 1 thì phaân phoái Nhò thöùc ñöôïc xaáp xæ bôûi phaân phoái Chuaån coù cuøng kyø voïng vaø phöông sai: B(n, p) ≈ N(np, npq) Ta cuõng coù coâng thöùc tính gaàn ñuùng: P(X = k) ≈ 1 k np ( ) npq npq − ϕ =NORMDIST(k, n*p, (n*p*q)^.5, 0) P(a ≤ X ≤ b) ≈ Φ( b np npq − ) − Φ( a np npq − ) Trong ñoù ϕ laø haøm Gauss ϕ(z) = 2z / 21 e 2 − pi . Ghi chuù "n ñuû lôùn vaø p khoâng quaù gaàn 0 hay 1" nghóa laø p ≥ 10%, q ≥ 10%, np > 5 vaø nq > 5. Ví duï Xaùc suaát chöõa khoûi beänh cuûa moät loaïi thuoác laø 80%. Coù 1.000 ngöôøi duøng thuoác naøy. Tính xaùc suaát coù ít ra 790 ngöôøi khoûi beänh. Bieán coá "moät ngöôøi khoûi beänh sau khi duøng thuoác" coù xaùc suaát p = 85%. Soá ngöôøi duøng thuoác laø n = 1.000. Goïi X laø soá ngöôøi khoûi beänh sau khi duøng thuoác thì X~B(1.000; 80%). Xaùc suaát caàn tính laø P(X ≥ 790). Do n ñuû lôùn vaø p khoâng quaù gaàn 0 hay 1 neân B(1.000; 80%) ≈ N(800, 160). P(X ≥ 790) ≈ 0,5 – 790 800 ( ) 160 − Φ = 0,5 + Φ(0,79) ≈ 79% =1–NORMDIST(790, 800, 160^.5, 1) 1.2 Phaân phoái Poisson 1.2.1 Ñònh nghóa vaø caùc soá ñaëc tröng ÑLNN rôøi raïc X nhaän caùc giaù trò 0, 1, ... vôùi P(X=k) ñònh bôûi coâng thöùc sau goïi laø ÑLNN coù phaân phoái Poisson vôùi tham soá λ (λ > 0), kyù hieäu X ~ P(λ): P(X=k) = k e k ! −λλ Ta tính ñöôïc: E(X) = λ Var(X) = λ λ – 1 ≤ Mod(X) ≤ λ Excel P(X=k) =POISSON(k, λ, 0) P(X ≤ k) =POISSON(k, λ, 1) Ghi chuù Khi λ > 10 thì P(λ) ≈ N(λ, λ). 1.2.2 Xaáp xæ Nhò thöùc bôûi phaân phoái Poisson Xeùt ÑLNN B(n, p). Neáu n ñuû lôùn vaø p ñuû nhoû thì phaân phoái Nhò thöùc ñöôïc xaáp xæ bôûi phaân phoái Poisson coù cuøng kyø voïng: B(n, p) ≈ P(np) Ghi chuù "n ñuû lôùn vaø p ñuû nhoû" nghóa laø n ≥ 20 vaø p ≤ 5%. Ñieàu kieän khaùc laø n ≥ 30, p ≤ 10% vaø np < 10. Xaáp xæ seõ toát hôn neáu n ≥ 100 vaø np < 10. Ví duï (1) Xaùc suaát bò ñöùt trong 1 giôø hoaït ñoäng cuûa moät oáng sôïi laø 0,2%. Moät maùy deät coù 1.000 oáng sôïi. Tính xaùc suaát trong 1 giôø hoaït ñoäng cuûa maùy deät coù nhieàu hôn 2 oáng sôïi bò ñöùt. Bieán coá "oáng sôïi bò ñöùt" coù xaùc suaát p = 0,2%. Goïi X laø soá oáng sôïi bò ñöùt trong soá n = 1.000 oáng sôïi thì X~B(1.000, 0,2%). Xaùc suaát caàn tính laø P(X > 2). Do n ñuû lôùn vaø p ñuû nhoû neân ta xaáp xæ X bôûi P(λ) vôùi λ = 1.000×0,2% = 2. Ta coù: P(X > 2) = 1 – P(X=0) – P(X=1) – P(X=2) = 1 – 0 22 e 0 ! − – 1 22 e 1 ! − – 2 22 e 2 ! − = 1 – e–2(1+2+2) ≈ 32% =1−POISSON(2, 2, 1) (2) Moät coäng ñoàng coù khoaûng 2% ngöôøi soáng ñeán 90 tuoåi. Coäng ñoàng hieän coù 1.000 ngöôøi. a) Tính trung bình coäng ñoàng coù bao nhieâu ngöôøi soáng ñeán 90 tuoåi? b) Tính xaùc suaát coäng ñoàng coù ñuùng 20 ngöôøi soáng ñeán 90 tuoåi. c) Tính xaùc suaát coäng ñoàng coù hôn 20 ngöôøi soáng ñeán 90 tuoåi. (3) Trung bình moät ngaøy baõi giöõ xe nhaän 600 xe. Tính xaùc suaát ngaøy mai coù 700 xe ñöôïc gôûi taïi baõi giöõ xe naøy. 1.3 Phaân phoái Sieâu boäi 1.3.1 Ñònh nghóa vaø caùc soá ñaëc tröng Xeùt taäp hôïp goàm N phaàn töû trong ñoù coù M phaàn töû coù tính chaát toát. Goïi X laø soá phaàn töû coù tính chaát toát coù ñöôïc khi laáy ngaãu nhieân n phaàn töû. Xeùt k laø moät soá nguyeân töø max(0, n+M–N) ñeán min(M, n). Theo coâng thöùc Sieâu boäi ta coù: P(X=k) = k n k M N M n N C .C C − − =HYPGEOMDIST(k, n, M, N) X ñöôïc goïi laø ÑLNN coù phaân phoái Sieâu boäi, kyù hieäu X ~ H(N, M, n). Ñaët p = M/N vaø q = 1 – p. Ta tính ñöôïc: E(X) = np Var(X) = N n npq N 1 − − Mod(X) = (n 1)(M 1) N 2  + +  +  Ví duï (1) Moät coâng ty coù 10 chieác xe trong ñoù coù 3 chieác Lexus. Ñieàu ngaãu nhieân 4 chieác xe ñeå ñi coâng taùc. Tính xaùc suaát trong caùc xe ñoù coù 1 chieác Lexus. Moâ hình Sieâu boäi. N = 10 M = 3 n = 4 Goïi X laø soá xe Lexus coù trong caùc xe ñöôïc ñieàu thì X~H(10, 3, 4). Caàn tính laø P(X=1). P(X=1) = 1 3 3 7 4 10 C .C C = 50% =HYPGEOMDIST(1, 4, 3, 10) (2) Moät lôùp 70 sinh vieân trong ñoù coù 40 sinh vieân gioûi Toaùn. Choïn ngaãu nhieân 10 sinh vieân. Tính xaùc suaát coù ít ra laø 3 sinh vieân gioûi Toaùn. 1.3.2 Xaáp xæ Sieâu boäi bôûi phaân phoái Nhò thöùc Neáu n ñuû nhoû so vôùi N, M vaø p = M/N khoâng quaù gaàn 0 hay 1 thì ta coù xaáp xæ: H(N, M, n) ≈ B(n, M N ) Ghi chuù "n ñuû nhoû so vôùi N, M vaø p = M/N khoâng quaù gaàn 0 hay 1" nghóa laø 20n < N, 20n < M vaø 10% ≤ p ≤ 90%. * Khi n ñuû nhoû so vôùi N thì vieäc laáy ngaãu nhieân coù hoaøn laïi hoaëc khoâng hoaøn laïi laø gaàn nhö nhau. Ví duï (1) Loâ haøng goàm 10.000 saûn phaåm trong soá coù 9.000 chính phaåm. Laáy ra 10 saûn phaåm. Tính xaùc suaát trong caùc saûn phaåm naøy coù 9 chính phaåm. Moâ hình Sieâu boäi. Goïi X laø soá chính phaåm coù trong 10 saûn phaåm laáy ra thì X ~ H(1.000, 900, 10). Caàn tính P(X=9). Vì n ñuû nhoû so vôùi N, M vaø p = M/N khoâng quaù gaàn 0 hay 1 neân: H(1.000, 900, 10) ≈ B(10, 900/1.000) = B(10, 90%) Vaäy: P(X=9) = 910C .(90%) 9.(10%)1 ≈ 39% =BINOMDIST(9, 10, 90%, 0) (2) Tyû leä pheá phaåm cuûa nhaø maùy laø 90%. Khaùch haøng laáy 100 saûn phaåm ñeå kieåm tra vaø neáu thaáy coù ít ra laø 93 chính phaåm thì ñoàng yù mua saûn phaåm cuûa nhaø maùy. Tính xaùc suaát khaùch haøng ñoàng yù mua. Goïi N, M laø toång soá saûn phaåm, chính phaåm cuûa nhaø maùy, X laø soá chính phaåm coù trong 100 saûn phaåm laáy ra kieåm tra thì X ~ H(N, M, 100). Caàn tính P(X ≥ 93). Do soá saûn phaåm laáy ra kieåm tra ñuû nhoû so vôùi soá saûn phaåm cuõng nhö soá chính phaåm cuûa nhaø maùy vaø tyû chính phaåm M/N = 90% khoâng quaù gaàn 0 hay 1 neân: H(N, M, 100) ≈ B(100, 90%) Laïi do n = 100 ñuû lôùn vaø p = 90% khoâng quaù gaàn 0 hay 1 neân B(100, 90%) ≈ N(90, 9). Vaäy: P(X ≥ 93) = 0,5 – 93 90 ( ) 9 − Φ = 0,5 – Φ(1) ≈ 15,87% =1–NORMDIST(93, 90, 9^.5, 1) Xaùc suaát khaùch haøng ñoàng yù mua saûn phaåm cuûa nhaø maùy laø 15,87%. 2. Caùc phaân phoái cuûa ÑLNN lieân tuïc 2.1 Phaân phoái Chuaån Theo Liapunov, moät ÑLNN X laø toång cuûa moät soá lôùn caùc ÑLNN ñoäc laäp vaø moãi giaù trò cuûa ÑLNN thaønh phaàn coù vai troø raát nhoû trong toång thì X seõ laø moät ÑLNN coù quy luaät phaân phoái Chuaån. Xeùt Z ~ N(0; 1), ta coù P(–zα/2 < Z < zα/2) = 1–α. Laáy α = 5% thì P(–1,96 < Z < 1,96) = 95%. Ñieàu naøy chöùng toû moät ÑLNN coù phaân phoái Chuaån Chính taéc thì 95% giaù trò cuûa noù ñeàu naèm trong khoaûng (–1,96; 1,96). Noùi theo nguyeân lyù Xaùc suaát Lôùn thì haàu heát giaù trò cuûa phaân phoái Chuaån Chính taéc ñeàu naèm trong khoaûng (–1,96; 1,96). Laáy α = 5% thì P(Z < 1,6449) = 95%. Ñieàu naøy chöùng to moät ÑLNN coù phaân phoái Chuaån Chính taéc thì 95% giaù trò cuûa noù ñeàu nhoû hôn 1,6449. Noùi theo nguyeân lyù Xaùc suaát Lôùn thì haàu heát giaù trò cuûa phaân phoái Chuaån Chính taéc ñeàu nhoû hôn 1,6449. Neáu X ~ N(µ; σ2) thì X − µ σ laø phaân phoái Chuaån Chính taéc. Giaù trò X − µ σ goïi laø ñieåm−Z. ÑLNN X coù phaân phoái Chuaån thì haàu heát giaù trò ñieåm−Z cuûa X ñeàu naèm trong khoaûng (–1,96; 1,96) vaø haàu heát ñeàu nhoû hôn 1,6449. Ví duï Troïng löôïng ghi treân bao bì cuûa moät bao caùm laø 5Kg vôùi ñoä leäch chuaån laø 0,1Kg. Bieát troïng löôïng cuûa moät bao caùm laáy ngaãu nhieân laø moät ÑLNN coù phaân phoái Chuaån. a) Moät bao caùm ñöôïc coi laø ñaït tieâu chuaån neáu troïng löôïng sai leäch khoâng quaù 200g troïng löôïng ghi treân bao bì. Tính tyû leä bao caùm ñaït tieâu chuaån. b) Tính xaùc suaát mua ñöôïc moät bao caùm coù troïng löôïng töø 4,9Kg ñeán 5,2Kg. c) Troïng löôïng toái ña cuûa moät bao caùm trong soá 95% bao caùm nheï nhaát laø bao nhieâu? Goïi X laø troïng löôïng moät bao caùm (ñôn vò: Kg). Theo giaû thieát thì X ~ N(µ, σ2) vôùi µ = 5, σ = 0,1. a) Caàn tính P(X − 5 < 0,2). Ta coù: P(X−5< 0,2) = 2Φ(0,2/0,1) = 2Φ(2) ≈ 95% =2*NORMSDIST(.2/.1)−1 b) Caàn tính P(4,9 < X < 5,2). Ta coù: P(4,9 < X < 5,2) = Φ( 5, 2 5 0, 1 − ) − Φ( 4, 9 5 0, 1 − ) = Φ(2) – Φ(–1) = Φ(2)+Φ(1) ≈ 82% =NORMDIST(5.2, 5, .1, 1) − NORMDIST(4.9, 5, .1, 1) c) Goïi x laø troïng löôïng caàn tìm. Troïng löôïng cuûa moät bao caùm trong soá 95% bao caùm nheï nhaát coù ñieåm−Z khoâng quaù 1,6449. Vaäy: x 5 0, 1 − = 1,6449 ⇒ x = 5,1645 Troïng löôïng toái ña cuûa moät bao caùm trong soá 95% bao caùm nheï nhaát laø 5,1645Kg. 2.2 Phaân phoái Chi Bình phöông Xeùt X1, X2, , Xk laø caùc ÑLNN ñoäc laäp vaø coù phaân phoái Chuaån Chính taéc. Ñaët: χ2 = 2 2 21 2 kX X ... X+ + + χ2 laø ÑLNN lieân tuïc goïi laø coù phaân phoái Chi Bình phöông baäc töï do k, kyù hieäu χ2~χ2(k). Ta coù: E(χ2(k)) = k Var(χ2(k)) = 2k Khi k ≥ 30 thì phaân phoái Chi Bình phöông ñöôïc xaáp xæ bôûi phaân phoái Chuaån Chính taéc. Trong öùng duïng, ta caàn tìm phaân vò möùc α cuûa phaân phoái Chi Bình phöông χ2~χ2(k), töùc laø tìm χ2α sao cho P(χ2 > χ2α) = α. Giaù trò χ 2 α ñöôïc tìm baèng caùch tra baûng keâ soá hoaëc duøng haøm Excel =CHIINV(α, k). 2.3 Phaân phoái Student Xeùt hai ÑLNN ñoäc laäp Z~N(0, 1), χ2~χ2(k). Ñaët: T = 2Z / / kχ T laø ÑLNN lieân tuïc goïi laø coù phaân phoái Student baäc töï do k, kyù hieäu T ~ T(k). Ta coù: E(T) = 0 Var(T) = k k 2− Khi k ≥ 30 thì phaân phoái Student ñöôïc xaáp xæ bôûi phaân phoái Chuaån Chính taéc. Trong öùng duïng, ta caàn tìm phaân vò möùc α cuûa phaân phoái Student T~T(k), töùc laø tìm tα sao cho P(T > tα) = α. Giaù trò tα ñöôïc tìm baèng caùch tra baûng keâ soá hoaëc duøng haøm Excel =TINV(2*α, k). 2.4 Phaân phoái Fisher–Snedecor Xeùt hai ÑLNN ñoäc laäp laø χ2(n1) vaø χ 2 (n2). Ñaët: F = 2 1 1 2 2 2 (n ) / n (n ) / n χ χ F laø ÑLNN lieân tuïc goïi laø coù phaân phoái Fisher– Snedecor baäc töï do n1 vaø n2, kyù hieäu F ~ F(n1, n2). Khi n2 > 4, ta tính ñöôïc: E(F) = 2 2 n n 2− Var(F) = 2 2 1 2 2 1 2 2 2n (n n 2) n (n 2) (n 4) + − − − Trong öùng duïng, ta caàn tìm phaân vò möùc α cuûa phaân phoái Fisher-Snedecor F ~ F(n1, n2), töùc laø tìm fα sao cho P(F > fα) = α. Giaù trò fα ñöôïc tìm baèng caùch tra baûng keâ soá hoaëc duøng haøm Excel =FINV(α, n1, n2). 3. Pheùp toaùn treân caùc phaân phoái 3.1 Toång cuûa caùc phaân phoái Nhò thöùc Neáu X1~B(n1, p), X2~B(n2, p),..., Xm~B(nm, p) laø caùc ÑLNN ñoäc laäp thì toång cuûa chuùng seõ laø ÑLNN coù phaân phoái Nhò thöùc vôùi n = n1 + n2 +...+ nm. Töùc laø: B(n1, p) + B(n2, p) + B(nm, p) = B(n1 + n2 +...+ nm, p) Ví duï Loâ haøng I (II) goàm 500 (750) saûn phaåm trong ñoù coù 200 (300) saûn phaåm toát. Mua 5 saûn phaåm thuoäc loâ haøng I vaø 10 saûn phaåm thuoäc loâ haøng II. Tính xaùc suaát mua ñöôïc 8 saûn phaåm toát. Goïi X1 (X2) laø soá saûn phaåm toát mua ñöôïc taïi cöûa haøng I (II) thì soá saûn phaåm toát mua ñöôïc laø Y = X1 + X2. Xaùc suaát caàn tính laø P(X = 8). Ta coù: X1 ~ H(500, 200, 5) X2 ~ H(750, 300, 10) Do n ñuû nhoû so vôùi N, M vaø p = M/N khoâng quaù gaàn 0 hay 1 neân X1 ≈ B(5, 40%) X2 ≈ B(10, 40%) Vaäy Y = X1+X2 ≈ B(5, 40%) + B(10, 40%) = B(15, 40%) ⇒ P(Y = 8) ≈ 11,8% 3.2 Toång cuûa caùc phaân phoái Poisson Neáu X1~P(λ1), X2~P(λ2),..., Xn~P(λn) laø caùc ÑLNN ñoäc laäp thì toång cuûa chuùng seõ laø ÑLNN coù phaân phoái Poisson vôùi tham soá λ = λ1 + λ2 +...+ λn. Töùc laø: P(λ1) + P(λ2) + ... + P(λn) = P(λ1 + λ2 +...+ λn) Ví duï Maùy deät I (II, III) coù 1.000 (1.500, 1.000) oáng sôïi. Xaùc suaát bò ñöùt moät oáng sôïi treân maùy I (II, III) laø 0,2% (0,1%, 0,15%). Tính xaùc suaát 3 maùy deät coù töø 5 oáng sôïi caùc loaïi bò ñöùt trôû leân. Goïi X1, X2, X3 laø soá oáng sôïi loaïi A, B, C bò ñöùt thì toång soá oáng sôïi bò ñöùt laø Y = X1 + X2 + X3. Caàn tính P(Y ≥ 5). Ta coù: X1~B(1000;0,2%) X2~B(1500;0,1%) X3~B(1000;0,15%) Do n ñuû lôùn vaø p ñuû nhoû neân X1, X2, X3 ñöôïc xaáp xæ: X1 ≈ P(2) X2 ≈ P(1,5) X3 ≈ P(1,5) ⇒ Y ≈ P(2) + P(1,5) + P(1,5) = P(2 + 1,5 + 1,5) = P(5) ⇒ P(Y ≥ 5) = 1 − P(Y ≤ 4) ≈ 56% =1 − POISSON(4, 5, 1) 3.3 Toå hôïp tuyeán tính caùc phaân phoái Chuaån Neáu X1~N(µ1, 21σ ), X2~N(µ2, 2 2σ ),..., Xn~N(µn, 2 nσ ) laø caùc ÑLNN ñoäc laäp thì toå hôïp tuyeán tính cuûa chuùng a1X1 + a2X2 +...+ anXn cuõng laø ÑLNN coù phaân phoái Chuaån vôùi kyø voïng laø a1µ1 + a2µ2 +...+ anµn, phöông sai laø 2 2 2 2 2 2n1 1 2 2 2a a ... aσ + σ + + σ . Töùc laø: a1N(µ1, 21σ ) + a2N(µ2, 2 2σ ) +...+ anN(µn, 2 nσ ) = N(a1µ1 + a2µ2 +...+ anµn, 2 2 2 2 2 2n1 1 2 2 2a a ... aσ + σ + + σ ) Ví duï Trong moät noâng traïi, troïng löôïng trung bình cuûa moät con gaø troáng laø 1,5Kg vôùi ñoä leäch chuaån 100g, troïng löôïng trung bình cuûa moät con gaø maùi laø 1,7Kg vôùi ñoä leäch chuaån 200g. Ñöôïc bieát, troïng löôïng cuûa moät con gaø ñöôïc choïn ngaãu nhieân laø ÑLNN coù phaân phoái Chuaån. Moät ngöôøi mua 2 con gaø troáng vaø 3 con gaø maùi. Tính xaùc suaát troïng löôïng cuûa 5 con gaø naøy khoâng vöôït quaù 8,5Kg. Goïi X1 (X2) laø troïng löôïng (Kg) moät con gaø troáng (maùi). Troïng löôïng 5 con gaø ñöôïc mua laø Y = 2X1 + 3X2. Caàn tính P(X ≤ 8,5). Theo giaû thieát X1~N(1,5; 0,1 2), X2~N(1,7; 0,2 2) neân Y = 2X1 + 3X2 laø phaân phoái Chuaån vôùi kyø voïng vaø phöông sai laø: µ = 2×1,5 + 3×1,7 = 8,1 σ2 = 22×0,12 + 32×0,22 = 2,46 Vaäy: P(Y ≤ 8,5) = 0,5 + Φ( 8, 5 8, 1 2, 46 − ) = 0,5+Φ(0,25) ≈ 60% =NORMDIST(8, 8.1, 2.46^.5, 1)