Bài giảng Lý thuyết xác suất và thống kê toán - Chương 2: Đại lượng ngẫu nhiên - Phân phối xác suất

CHÖÔNG 2 Ñaïi löôïng ngaãu nhieân – Phaân phoái XS 1. Ñaïi löôïng ngaãu nhieân rôøi raïc 1.1 Ñònh nghóa Neáu moãi keát quaû cuûa moät pheùp thöû ngaãu nhieân ñöôïc bieåu thò baèng moät giaù trò soá, ta coù moät ñaïi löôïng ngaãu nhieân (ÑLNN). Chính xaùc hôn, ÑLNN X laø moät haøm soá xaùc ñònh treân khoâng gian maãu Ω sao cho moïi taäp hôïp coù daïng (X < x) = {ω∈Ω / X(ω) = x} ñeàu laø bieán coá. Ghi chuù (X x), (X = x) ñeàu laø bieán coá. ÑLNN rôøi raïc laø ÑLNN maø caùc giaù trò noù coù theå nhaän lieät keâ ñöôïc. Luùc naøy bieán coá ñeå X nhaän giaù trò x ghi laø (X = x). Xaùc suaát cuûa bieán coá naøy ñöôïc ghi laø P(X = x). Ví duï (1) Tung con xuùc saéc, goïi X laø soá chaám xuaát hieän thì X laø moät ÑLNN coù theå nhaän caùc giaù trò 1, 2, 3, 4, 5, 6. Ñaây laø moät ÑLNN rôøi raïc. Ta coù P(X=1) = 1/6. (2) Mua moät veù soá 5.000ñ cuûa thaønh phoá A, goïi X laø soá tieàn truùng soá thì X laø moät ÑLNN rôøi raïc. (3) Goïi X laø soá laàn tung ñoàng xu cho ñeán khi ñöôïc maët saáp thì X laø ÑLNN rôøi raïc. (4) Chieàu cao X (cm) cuûa moät sinh vieân trong lôùp ñöôïc choïn ngaãu nhieân coù theå nhaän giaù trò laø moät soá thöïc trong khoaûng [140; 220]. Caùc giaù trò naøy khoâng lieät keâ ñöôïc. X khoâng phaûi laø ÑLNN rôøi raïc. 1.2 Baûng phaân phoái xaùc suaát cuûa ÑLNN rôøi raïc Quy luaät phaân phoái xaùc suaát cuûa ÑLNN rôøi raïc ñöôïc bieåu thò döôùi daïng baûng phaân phoái xaùc suaát (baûng PPXS): X x1 x2 ... xn P p1 p2 ... pn Baûng phaân phoái kyù hieäu laø (xi, pi), i=1,n. Ta phaûi coù: pi > 0, i=1,n vaø p1 + p2 + ... + pn = 1. Ví duï (1) Loâ haøng goàm 6 chính phaåm vaø 4 pheá phaåm. Laáy ngaãu nhieân 2 saûn phaåm. Goïi X laø soá chính phaåm. Caùc giaù trò coù theå nhaän cuûa X laø 0, 1, 2. Ta coù: p1 = P(X=0) = 2 4 2 10 C C = 2 15 p2 = P(X=1) = 1 1 4 6 2 10 C .C C = 8 15 p3 = P(X=2) = 1 – p1 – p2 = 5 15 Baûng phaân phoái cuûa X: (2) Xaùc suaát trò khoûi beänh cuûa 1 vieân thuoác laø 90%. Beänh nhaân uoáng töøng vieân, chöa heát beänh thì uoáng tieáp nhöng toái ña 3 vieân. Goïi X laø soá vieân thuoác beänh nhaân uoáng. Laäp baûng phaân phoái XS cuûa X. X 0 1 2 P 2/15 8/15 5/15 2. Caùc soá ñaëc tröng cuûa ÑLNN 2.1 Kyø voïng 2.1.1 Ñònh nghóa Ñeå ñaùnh giaù giaù trò trung bình cuûa moät ÑLNN, ta tính kyø voïng. Kyø voïng cuûa ÑLNN X kyù hieäu laø E(X). Kyø voïng cuûa ÑLNN X coù baûng phaân phoái (xi, pi), i=1,n ñöôïc ñònh nghóa: E(X) = n i i i 1 x p = ∑ Excel Neáu caùc giaù trò xi, pi ñöôïc ghi trong mieàn M1, M2 thì E(X) =SUMPRODUCT(M1; M2) . Ví duï (1) Moät lôùp coù 50 sinh vieân. Sau moät kyø thi, keát quaû ñieåm ñöôïc thoáng keâ nhö sau: Ñieåm 3 4 5 6 7 8 9 Soá SV 3 7 15 10 5 6 4 Goïi X laø ñieåm cuûa moät sinh vieân gaëp ngaãu nhieân. Baûng phaân phoái cuûa ÑLNN X: X 3 4 5 6 7 8 9 P 3 50 7 50 15 50 10 50 5 50 6 50 4 50 Ñieåm trung bình: E(X) = 5,82 (ñieåm) (2) Moät loâ haøng goàm 15 chính phaåm vaø 3 thöù phaåm. Chính phaåm ñöôïc baùn vôùi giaù 200.000ñ coøn thöù phaåm baùn vôùi giaù 150.000ñ. Tính trung bình thì thu ñöôïc bao nhieâu tieàn khi baùn moät saûn phaåm? (3) Tung con xuùc saéc. Neáu xuaát hieän maët 1 hoaëc maët 2 hoaëc maët 3 thì thua 1ñ, maët 4 thì hoaø, maët 5 thì thaéng 1ñ, maët 6 thì thaéng 2ñ. Goïi X laø soá tieàn thu ñöôïc sau moãi laàn chôi. Tính kyø voïng cuûa ÑLNN X. (4) Xeùt ÑLNN X coù baûng phaân phoái (xi, pi), i 1,m= . Thöïc hieän pheùp thöû n laàn. Goïi ki laø soá laàn X nhaän giaù trò xi. Giaù trò trung bình cuûa X trong n pheùp thöû: X = 1 1 2 2 m m k x k x ... k x n + + + = 1 2 m1 2 m k k k x x ... x n n n + + + = 1 1 2 2 m mf x f x ... f x+ + + Trong ñoù fi laø taàn suaát cuûa bieán coá (X=xi) ( i 1,m= ). Cho n→∞ thì fi → pi ( i 1,m= ) vaø do ñoù X → E(X). Vaäy khi n ñuû lôùn thì X ≈ E(X). Ta noùi kyø voïng cuûa moät ÑLNN gaàn baèng vôùi giaù trò trung bình cuûa moät quan saùt cuûa ÑLNN naøy. 2.1.2 Tính ñoäc laäp cuûa ÑLNN rôøi raïc Hai ÑLNN rôøi raïc X, Y goïi laø ñoäc laäp neáu moãi bieán coá (X = x) ñeàu ñoäc laäp vôùi moïi toå hôïp tích cuûa caùc bieán coá coù daïng (Y = yj). Ví duï Goïi X laø ñieåm thi moân Toaùn, Y laø ngaøy sinh, U laø soá ngaøy ñi hoïc moân toaùn cuûa moät sinh vieân trong lôùp ñöôïc choïn ngaãu nhieân thì X, Y laø hai ÑLNN ñoäc laäp. X, U laø hai ÑLNN khoâng ñoäc laäp. 2.1.3 Tính chaát (i) E(c) = c (c laø ÑLNN haèng vaø baèng c) (ii) E(cX) = cE(X) (iii) E(X + Y) = E(X) + E(Y) (iv) E(X.Y) = E(X).E(Y) neáu X, Y ñoäc laäp. Ví duï (1) Moät sinh vieân saép thi moân Toaùn vaø moân Kinh teá. Khaû naêng ñaït ñieåm nhö sau: Ñieåm Toaùn 3 4 5 6 7 8 9 Ñieåm K.Teá 4 5 6 7 8 9 Khaû naêng (%) 5 10 15 20 25 15 10 Khaû naêng (%) 5 15 15 30 25 10 Döï kieán ñieåm trung bình hai moân cuûa sinh vieân naøy laø bao nhieâu? Goïi X, Y laø ñieåm thi moân Toaùn vaø moân Kinh teá. Caàn tính E( (X+Y)/2 ). Ta coù: E(X) = 6,35 E(Y) = 6,85 ⇒ E( (X+Y)/2 ) = (E(X) + E(Y))/2 = 6,6 (ñieåm) (2) Trong moät tuaàn, moät ngöôøi coù theå ñieåm taâm töø 5 cho ñeán 7 laàn. Soá tieàn phaûi traû cho moãi laàn ñieåm taâm thay ñoåi töø 20 ngaøn ñeán 40 ngaøn. Chi tieát cho bôûi baûng: Soá ngaøy 5 6 7 Soá tieàn 20 25 30 35 40 Khaû naêng (%) 25 60 15 Khaû naêng (%) 10 15 35 25 15 Ñöôïc bieát soá ngaøy ñieåm taâm vaø chi phí cho moãi laàn ñieåm taâm khoâng phuï thuoäc nhau. Trung bình moãi tuaàn ngöôøi naøy chi bao nhieâu cho ñieåm taâm? 2.2 Phöông sai 2.2.1 Phöông sai cuûa ÑLNN rôøi raïc Ñoä leänh cuûa X so vôùi E(X) laø X – E(X). Tuy nhieân, ñeå tieän cho caùc pheùp tính vi tích, ngöôøi ta xeùt ñoä leäch bình phöông [X – E(X)]2. Ñoä leäch bình phöông lôùn thì ñoä leäch cuõng lôùn vaø ngöôïc laïi. Ñeå ñaùnh giaù möùc ñoä phaân taùn caùc giaù trò cuûa ÑLNN X quanh giaù trò trung bình E(X), ta tính kyø voïng cuûa ñoä leäch bình phöông vaø goïi giaù trò naøy laø phöông sai: var(X) = E([X − E(X)]2) Trong thöïc teá, phöông sai cuûa ÑLNN X ñöôïc tính theo coâng thöùc: var(X) = E(X2) − [E(X)]2 Ñeå coù cuøng ñôn vò ño vôùi X, ta laáy caên cuûa phöông sai vaø goïi giaù trò naøy laø ñoä leäch chuaån: σ(X) = Var(X) Phöông sai cuûa ÑLNN X coù baûng phaân phoái (xi, pi), i=1,n ñöôïc tính theo coâng thöùc: var(X) = 2 n n 2 i i i i i 1 i 1 x p x p = =   −      ∑ ∑ Ví duï Laáy ngaãu nhieân 100 goùi mì aên lieàn nhaõn hieäu A vaø 100 goùi mì nhaõn hieäu B roài ñem caân, ta coù baûng: Caân naëng (g) 82 83 84 85 86 87 Soá goùi mì A 10 20 10 30 20 10 Soá goùi mì B 18 6 16 31 16 13 Neân mua mì aên lieàn nhaõn hieäu naøo? Goïi X (Y) laø troïng löôïng moät goùi mì nhaõn hieäu A (B) ñöôïc choïn ngaãu nhieân. Ta coù baûng PPXS cuûa ÑLNN X vaø X2: X2 6.724 6.889 7.056 7.225 7.396 7.569 X 82 83 84 85 86 87 P 10% 20% 10% 30% 20% 10% E(X) = 84,6 E(X2) = 7159,4 var(X) = E(X2) − [E(X)]2 ≈ 2,24 Baûng phaân phoái cuûa ÑLNN Y vaø Y2: Y2 6.724 6.889 7.056 7.225 7.396 7.569 Y 82 83 84 85 86 87 p 18% 6% 16% 31% 16% 13% E(Y) = 84,6 E(Y2) = 7159,7 ⇒ var(Y) = E(Y2) − [E(Y)]2 ≈ 2,54 Troïng löôïng trung bình cuûa moät goùi mì cuûa caû 2 nhaõn hieäu ñeàu laø 84,6g. Tuy nhieân var(X) < var(Y) neân goùi mì nhaõn hieäu A coù troïng löôïng oån ñònh hôn. Neân mua mì aên lieàn nhaõn hieäu A. 2.2.2 Tính chaát (i) var(c) = 0 (c laø ÑLNN haèng vaø baèng c) (ii) var(cX) = c2.var(X) (iii) var(X ± Y) = var(X) + var(Y) X, Y ñoäc laäp (iv) var(X + c) = var(X) Ví duï (1) Xeùt X, Y laø hai ÑLNN ñoäc laäp. Bieát var(X) = 4, var(Y) = 1. Haõy tính σ(2X – 3Y + 1). Theo tính chaát cuûa phöông sai: var(2X – 3Y + 1) = 4var(X) + 9var(Y) = 25 ⇒ σ(2X – 3Y + 1) = 25 = 5 (2) Troø chôi A: Tung con xuùc saéc. Neáu xuaát hieän maët 1 hoaëc maët 2 hoaëc maët 3 thì thua 1ñ, maët 4 thì hoaø, maët 5 thì thaéng 1ñ, maët 6 thì thaéng 2ñ. Troø chôi B: Tung con xuùc saéc. Neáu xuaát hieän maët chaún thì thì thaéng 2ñ, maët leû thì thua 2ñ. Caùch chôi I: Chôi 2 vaùn theo troø chôi A vaø 3 vaùn theo troø chôi B. Caùch chôi II: Chôi 3 vaùn theo troø chôi A vaø 2 vaùn theo troø chôi B. Tính kyø voïng vaø phöông sai cuûa soá tieàn thaéng cuoäc khi chôi theo caùch I, caùch II. Caùc caùch chôi naøy coù coâng baèng? Caùch chôi naøo coù tính ñoû ñen hôn? 2.3 Giaù trò tin chaéc nhaát cuûa ÑLNN rôøi raïc Xeùt X laø ÑLNN rôøi raïc. Neáu phaûi döï ñoaùn giaù trò cuûa X thì ta seõ choïn giaù trò xo sao cho bieán coá (X = xo) coù nhieàu khaû naêng xaûy ra nhaát. xo goïi laø giaù trò tin chaéc nhaát cuûa ÑLNN X, kyù hieäu Mod(X). Do x maxP(X x)= coù theå ñaït taïi nhieàu giaù trò x neân Mod(X) khoâng chaéc duy nhaát. Ví duï (1) X laø soá nuùt khi tung xuùc xaéc thì Mod(X) laø giaù trò 1 hay 2 ... hay 6. (2) ÑLNN X coù baûng phaân phoái sau coù Mod(X) = 85: X 82 83 84 85 86 87 p 10% 20% 10% 30% 20% 10% 2.4 Trung vò cuûa ÑLNN rôøi raïc Xeùt hai daõy soá: A: 1, 1, 5, 7, 8 B: 3, 3, 4, 6, 6, 9 Giaù trò naèm giöõa daõy soá, goïi laø trung vò, baèng bao nhieâu? Ñoái vôùi daõy A, trung vò laø 5. Ñoái vôùi B, coù hai giaù trò naèm giöõa laø 4 vaø 6. Ta laáy trung bình cuûa hai giaù trò naøy laø 5 laøm trung vò. Excel Trung vò cuûa daõy soá ghi trong mieàn D laø =MEDIAN(D). Ñeå tính trung vò cuûa ÑLNN X coù baûng phaân phoái (xi, pi), i=1,n, ta ñöa caùc soá pi veà daïng caùc phaân soá coù chung maãu soá laø i m n . Thaønh laäp daõy soá baèng caùch laëp laïi mi laàn giaù trò xi vaø saép thöù töï. Trung vò cuûa daõy soá naøy goïi laø trung vò cuûa ÑLNN X, kyù hieäu Med(X). Med(X) thoaû tính chaát: P(X ≤ Med(X)) ≥ 1 2 vaø P(X ≥ Med(X)) ≥ 1 2 Ví duï Xeùt ÑLNN X: Ta coù: 0,25 = 5 20 0,1 = 2 20 0,4 = 8 20 Daõy soá töông öùng: 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 2 2 2 2 2 3 3 3 3 3 4 4 5 5 5 5 5 5 5 5 ⇒ Med(X) = 3,5 X 2 3 4 5 P 0,25 0,25 0,1 0,4 3. Ñaïi löôïng ngaãu nhieân lieân tuïc Neáu caùc giaù trò maø ÑLNN coù theå nhaän khoâng lieät keâ ñöôïc thì ÑLNN ñöôïc goïi laø lieân tuïc. Ñoái vôùi ÑLNN X lieân tuïc, caùc bieán coá ñaùng quan taâm coù daïng (X a), (a a), (X < a) ... Troïng löôïng moät con gia suùc choïn ngaãu nhieân trong chuoàng, nhieät ñoä trong phoøng vaøo moät thôøi ñieåm choïn ngaãu nhieân laø caùc ví duï veà ÑLNN lieân tuïc. 3.1 Haøm phaân phoái XS vaø haøm maät ñoä XS 3.1.1 Haøm phaân phoái xaùc suaát Quy luaät phaân phoái xaùc suaát cuûa ÑLNN lieân tuïc ñöôïc xaùc ñònh bôûi haøm phaân phoái xaùc suaát (haøm PPXS). Haøm PPXS F cuûa ÑLNN X ñöôïc ñònh nghóa: F(x) = P(X < x) Haøm PPXS coøn goïi laø haøm tích luyõ xaùc suaát. Haøm PPXS F cuûa moät ÑLNN phaûi thoûa: * F(x) ∈ [0, 1] * F laø haøm taêng. * x lim F(x) 0 →−∞ = vaø x lim F(x) 1 →+∞ = Neáu X laø ÑLNN coù haøm PPXS lieân tuïc thì: (i) P(X=x) = 0 (ii) P(a < x < b) = F(b) – F(a) Ví duï (1) Cho F(x) = cx khi x 0 x 1 0 khi x 0  ≥ +  < Tìm c ñeå F lieân tuïc vaø laø haøm PPXS cuûa moät ÑLNN X. Tính P(X < 1), P(X=1), P(1 < X ≤ 2). Do phaûi coù x lim F(x) 1 →+∞ = neân c = 1. Vôùi giaù trò c naøy thì F lieân tuïc. Vaäy: P(X < 1) = F(1) = 1/2 P(X=1) = 0 P(1 < X ≤ 2) = F(2) – F(1) = 1/6 (2) Töø baûng phaân phoái (xi, pi), i=1,n cuûa moät ÑLNN rôøi raïc, ta coù theå thaønh laäp haøm phaân phoái cho ÑLNN naøy baèng caùch ñaët: i i i i x x i/ x x F(x) P(X x ) p < < = = =∑ ∑ Chaúng haïn xeùt ÑLNN coù baûng PPXS: X 1 3 4 7 p 0,2 0,3 0,4 0,1 0 khi x < 1 0,2 khi 1 x < 3 F(x) 0,5 khi 3 x 4 0,9 khi 4 x 7 1 khi x 7   ≤ = ≤ <  ≤ <  ≥ 3.1.2 Haøm maät ñoä xaùc suaát Xeùt ÑLNN X lieân tuïc coù haøm phaân phoái F. Neáu F coù ñaïo haøm thì haøm f = F′ ñöôïc goïi laø haøm maät ñoä xaùc suaát (haøm MÑXS) cuûa ÑLNN X. Theo ñònh nghóa: P(X < x) = F(x) = x f(t)dt −∞∫ Trong thöïc teá, caùc ÑLNN lieân tuïc ñaùng quan taâm ñeàu ñöôïc ñònh nghóa thoâng qua haøm maät ñoä. Theo tính chaát cuûa haøm phaân phoái, haøm MÑXS f phaûi thoaû caùc tính chaát: * f(x) ≥ 0 * f (x)dx ∞ −∞∫ + = 1 Haøm maät ñoä coøn coù caùc tính chaát sau: (i) P(a < X < b) = b a f (t)dt∫ (ii) P(x–∆x < X < x+∆x) ≈ f(x).2∆x (f lieân tuïc, ∆x döông vaø ñuû nhoû) Tính chaát (ii) cho thaáy giaù trò cuûa f(x) laø thöôùc ño möùc ñoä taäp trung giaù trò cuûa X quanh x. Ví duï Tìm c ñeå haøm f(x) = c 2x /2e− laø haøm maät ñoä. f laø haøm maät ñoä thì phaûi coù f(x) ≥ 0 vaø f (x)dx ∞ −∞∫ + = 1. Ta ñaõ bieát 2x /2e dx 2 ∞ − −∞ = pi∫ + . Vaäy phaûi coù c = 1 / 2pi . 3.2 Phaân phoái Chuaån 3.2.1 Phaân phoái Chuaån chuaån taéc, haøm Laplace Haøm Gauss ϕ(z) = 2z /21 e 2 − pi laø haøm maät ñoä cuûa moät ÑLNN lieân tuïc coù teân laø phaân phoái Chuaån chuaån taéc, kyù hieäu Z ~ N(0; 1). Ta coù: P(Z < z) = 2z x /21 e dx 2 − −∞pi ∫ = 2 20 zx /2 x /2 0 1 1 e dx e dx 2 2 − − −∞ + pi pi ∫ ∫ = 0,5 + 2z x /2 0 1 e dx 2 − pi ∫ Giaù trò cuûa tích phaân sau cuøng phuï thuoäc vaøo z. Haøm Φ theo bieán z naøy coù teân laø haøm Laplace: 2z x /2 0 1 (z) e dx 2 −Φ = pi ∫ =NORMSDIST(z) – 0.5 Vieäc tính giaù trò Φ(z) baèng caùch tính nguyeân haøm laø khoâng thöïc hieän ñöôïc. Ngöôøi ta duøng phöông phaùp khaùc ñeå tính Φ(z) theo z, vôùi böôùc nhaûy 0,01, vaø ghi thaønh Baûng keâ soá haøm Laplace. Vôùi löu yù Φ(–z) = –Φ(z) vaø Φ(z) ≈ 0,5 khi z ≥ 4, duøng baûng keâ soá ta coù theå tính caùc giaù trò sau: * P(Z z) = 0,5 – Φ(z) * P(a < Z < b) = Φ(b) – Φ(a) * P(Z < a) = 2Φ(a) Ngoaøi ra do Φ laø haøm taêng neân: * Φ(a) = Φ(b) ⇔ a = b * Φ(a) > Φ(b) ⇔ a > b Ví duï (1) P(Z > 2) = 0,5 – Φ(2) Tra baûng keâ soá haøm Laplace ñeå tìm Φ(2): z 0.00 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 1.9 0.4713 0.4719 0.4726 0.4732 0.4738 0.4744 0.4750 0.4756 0.4761 0.4767 2.0 0.4772 0.4778 0.4783 0.4788 0.4793 0.4798 0.4803 0.4808 0.4812 0.4817 ⇒ P(Z > 2) = 0,5 – 0,4772 = 0,0228 (2) P(–2 < Z < 1,91) = Φ(1,91) – Φ(–2) = Φ(1,91) + Φ(2) = 0,4719 + 0,4772 = 0,9491 3.2.2 Phaân vò möùc α Xeùt Z ~ N(0; 1) vaø moät soá α∈(0; 0,5). Phaân vò möùc α cuûa phaân phoái Chuaån chuaån taéc laø giaù trò zα sao cho P(Z > zα) = α. Ta coù: P(Z > zα) = α ⇒ 0,5 – Φ(zα) = α ⇒ Φ(zα) = 0,5 – α Vaäy: zα = Φ –1(0,5 – α) =NORMSINV(1–α) Ta cuõng coù baûng keâ soá ñeå tìm zα theo α. Khi duøng baûng keâ soá haøm Laplace, neáu tra thaáy giaù trò 0,5–α cuûa Φ thì giaù trò z töông öùng laø zα. Tröôøng hôïp treân baûng khoâng tìm thaáy giaù trò caàn tra thì laáy hai giaù trò nhoû hôn, lôùn hôn vaø gaàn giaù trò caàn tra nhaát roài duøng quy taéc noäi suy. Ghi chuù Toång quaùt hoaù, giaù trò m sao cho P(X > m) = α ñöôïc goïi laø phaân vò möùc α cuûa ÑLNN X. 3.2.3 Phaân phoái Chuaån Xeùt Z ~ N(0; 1). Ñaët X = σZ + µ vôùi σ vaø µ laø hai tham soá döông thì X laø moät ÑLNN lieân tuïc coù teân laø phaân phoái Chuaån, kyù hieäu X ~ N(µ, σ2). Haøm MÑXS: f(x) = 2 1 x exp / 2 2   − µ −   σ σ pi   Do X ~ N(µ, σ2) thì Z = X − µ σ ~ N(0, 1) neân: * P(X < x) = 0,5 + Φ( x − µ σ ) =NORMDIST(x; µ; σ; 1) * P(a < X < b) = Φ( b − µ σ ) – Φ( a − µ σ ) =NORMDIST(b; µ; σ; 1) – NORMDIST(a; µ; σ; 1) * P(X − µ < ε) = 2Φ(ε/σ) =2*NORMSDIST(ε/σ) − 1 Ví duï Cho X ~ N(450; 225) thì: P(X ≥ 420) = 0,5 – Φ( 420 450 225 − ) = 0,5 – Φ(–2) = 0,5 + Φ(2) ≈ 97,725% =1–NORMDIST(420; 450; 225^0,5; 1) P(X – 450 < 12) = 2Φ( 12 225 ) = 2Φ(0,8) ≈ 57,63% =2*NORMSDIST(0,8)−1 3.3 Caùc soá ñaëc tröng cuûa ÑLNN lieân tuïc Xeùt X laø ÑLNN coù haøm maät ñoä f. 3.3.1 Kyø voïng, phöông sai, ñoä leäch chuaån E(X) xf(x)dx ∞ −∞ = ∫ + 2 2Var(X) x f(x)dx xf(x)dx ∞ ∞ −∞ −∞  = −   ∫ ∫ + + σ(X) = Var(X) Caùc tính chaát cuûa kyø voïng vaø phöông sai cuûa ÑLNN rôøi raïc cuõng ñuùng cho ÑLNN lieân tuïc. Löu yù ñònh nghóa ÑLNN lieân tuïc X, Y ñoäc laäp neáu moãi bieán coá (X < x) ñeàu ñoäc laäp vôùi moïi toå hôïp tích cuûa caùc bieán coá coù daïng (Y < yj). Ví duï (1) Xeùt Z ~ N(0; 1). E(Z) = 2x /2xe dx +∞ − −∞∫ = 0 var(Z) = 22 x /2x e dx +∞ − −∞∫ – 2 2 x /2xe dx +∞ − −∞      ∫ = 22 x /2x e dx +∞ − −∞∫ = 1 Xeùt X ~ N(µ; σ2). Do X = σZ + µ neân: E(X) = µ var(X) = σ2 σ(X) = σ Vaäy hai tham soá µ vaø σ2 cuûa N(µ; σ2) chính laø kyø voïng vaø phöông sai. (2) Xeùt X ~ N(µ; σ2) P(X – µ < 3σ) = 2Φ(3σ/σ) = 2Φ(3) ≈ 99,73% =2*NORMSDIST(3)–1 Vaäy, gaàn nhö taát caû caùc giaù trò cuûa N(µ; σ2) ñeàu taäp trung quanh giaù trò trung bình vôùi khoaûng caùch baèng 3 laàn ñoä leäch chuaån. 3.3.2 Giaù trò tin chaéc nhaát, trung vò Theo yù nghóa cuûa haøm maät ñoä, giaù trò tin chaéc nhaát Mod(X) laø giaù trò xo sao cho f(xo) = x max f (x) Do P(X ≤ Med(X)) ≥ 1 2 vaø P(X ≥ Med(X)) ≥ 1 2 neân trung vò Med(X) ñöôïc ñònh nghóa laø giaù trò m sao cho: m f (x)dx 1/2 −∞ =∫ Ví duï Xeùt X ~ N(µ; σ2). Ta coù Mod(X) = µ 3.3.3 Heä soá baát ñoái xöùng, heä soá nhoïn Ñeå ño möùc ñoä baát ñoái xöùng cuûa ñoà thò haøm maät ñoä qua truïc E(X), ta tính heä soá baát ñoái xöùng Ske(X): Ske(X) = 3 3 E([X E(X)] )− σ Xeùt truïc E(X). Ñoà thò cuûa haøm maät ñoä ñoái xöùng thì Ske(X) = 0. Khi Ske(X) < 0, X coù xu höôùng nhoû hôn E(X). Khi Ske(X) > 0, X coù xu höôùng lôùn hôn E(X). Ñeå ño ñoä nhoïn cuûa ñoà thò haøm maät ñoä gaàn giaù trò E(X), ta tính heä soá nhoïn Kur(X): Kur(X) = 4 4 E([X E(X)] )− σ Kur(X) caøng lôùn thì ñoà thò quanh E(X) caøng nhoïn, xu höôùng X baèng E(X) caøng cao.