Bài giảng Lý thuyết xác suất và thống kê toán - Chương 1: Biến cố - Các công thức tính xác suất

LYÙ THUYEÁT XAÙC SUAÁT CHÖÔNG 1 Bieán coá – Caùc coâng thöùc tính xaùc suaát 1. Pheùp thöû vaø bieán coá 1.1 Khaùi nieäm Pheùp thöû ngaãu nhieân. Khoâng gian maãu Ω. Bieán coá. Bieán coá A xaûy ra. Bieán coá chaéc chaén Ω. Bieán coá khoâng theå ∅. Ví duï “Tung xuùc saéc vaø xem maët naøo xuaát hieän". 1 chaám: ω1, 2 chaám: ω2,..., 6 chaám: ω6. Khoâng gian maãu Ω = {ω1, ω2,, ω6}. A = {ω1, ω6} laø moät bieán coá. 1.2 Caùc pheùp toaùn bieán coá Bieán coá laø taäp hôïp. Döïa theo caùc pheùp toaùn vaø quan heä treân taäp hôïp ta coù caùc pheùp toaùn bieán coá. 1.2.1 Bieán coá keùo theo, bieán coá töông ñöông A ⊂ B: A keùo theo B, kyù hieäu A ⇒ B. A = B: A vaø B töông ñöông, kyù hieäu A = B. 1.2.2 Bieán coá toång A+B (A∩B) xaûy ra khi A hay B xaûy ra. A1 + A2 +...+ An ( n i i 1 A = ∑ hay n i i 1 A = ∪ ) xaûy ra khi coù moät bieán coá Ai xaûy ra. Neáu A1 + A2 +...+ An = Ω thì A1, A2, ..., An goïi laø hoï bieán coá ñaày ñuû. Keát quaû pheùp thöû phaûi xaûy ra moät bieán coá trong hoï ñaày ñuû. 1.2.3 Bieán coá hieäu A–B (A\B) xaûy ra khi bieán coá A xaûy ra nhöng bieán coá B khoâng xaûy ra. A= Ω–A goïi laø bieán coá ñoái laäp cuûa A. Moät bieán coá khoâng xaûy ra thì bieán coá ñoái laäp vôùi noù xaûy ra. 1.2.4 Bieán coá tích A.B (A∪B) xaûy ra khi A vaø B ñoàng thôøi xaûy ra. A1.A2...An ( n i i 1 A = ∏ hay n i i 1 A = ∩ ) xaûy ra khi moïi bieán coá Ai ñeàu xaûy ra ñoàng thôøi. Neáu A.B = ∅ ta noùi hai bieán coá A vaø B laø xung khaéc. Moät bieán coá xaûy ra thì bieán coá xung khaéc vôùi noù khoâng xaûy ra. A1, A2, ..., An laø hoï bieán coá xung khaéc töøng ñoâi neáu hai bieán coá baát kyø trong hoï laø xung khaéc. Ghi chuù Trong hai bieán coá ñoái laäp phaûi xaûy ra moät. Hai bieán coá xung khaéc coù theå ñeàu khoâng xaûy ra. Phaûi xaûy ra moät vaø chæ moät bieán coá trong hoï ñaày ñuû vaø xung khaéc töøng ñoâi. A vaø A laø hoï bieán coá ñaày ñuû vaø xung khaéc töøng ñoâi. Ví duï Xeùt pheùp thöû tung xuùc saéc. {ω1} vaø {ω2} laø hai bieán coá xung khaéc. {ω1, ω3, ω3} vaø {ω2, ω4, ω6} laø hai bieán coá ñoái laäp. {ω1}, {ω2}, ..., {ω6} laø hoï ñaày ñuû vaø xung khaéc töøng ñoâi. Ví duï (1) Trong lôùp coù sinh vieân gioûi Toaùn, gioûi Anh vaên. Gaëp ngaãu nhieân moät sinh vieân trong lôùp. Goïi A laø bieán coá "sinh vieân naøy gioûi Toaùn", B laø bieán coá "sinh vieân naøy gioûi Anh vaên". A+B laø bieán coá "gaëp sinh vieân gioûi Toaùn hay gioûi Anh vaên". (gioûi ít ra laø moät moân). A.B laø bieán coá "gaëp sinh vieân gioûi Toaùn vaø gioûi Anh vaên". (gioûi caû hai moân). A+B laø bieán coá "gaëp sinh vieân khoâng phaûi gioûi Toaùn hay gioûi Anh vaên". (khoâng gioûi moân naøo caû). A .B laø bieán coá "gaëp sinh vieân khoâng gioûi Toaùn vaø khoâng gioûi Anh vaên". (khoâng gioûi moân naøo caû). A.B laø bieán coá "gaëp sinh vieân khoâng phaûi gioûi Toaùn vaø gioûi Anh vaên". (khoâng gioûi caû hai moân). A+B laø bieán coá "gaëp sinh vieân khoâng gioûi Toaùn hay khoâng gioûi Anh vaên". (khoâng gioûi caû hai moân). AB, AB, AB+AB laø gì ? Ghi chuù Ta luoân luoân coù: A+B+... = A .B... A.B... = A+B+... (2) Laáy ngaãu nhieân 3 saûn phaåm töø moät loâ haøng roài ñeám xem ñaõ laáy ñöôïc bao nhieâu pheá phaåm. Goïi Ao (A1, A2, A3) laø bieán coá "coù 0 (1, 2, 3) pheá phaåm (trong 3 saûn phaåm ñaõ laáy ra)". A laø bieán coá "coù toái ña 1 pheá phaåm". B laø bieán coá "coù ít nhaát 1 pheá phaåm". A = Ao + A1 B = A1 + A2 + A3 = A o Ao, A1, A2, A3 laø hoï ñaày ñuû, xung khaéc töøng ñoâi. Ghi chuù Goïi X laø soá pheá phaåm thì: A = (X ≤ 1) = (X = 0) + (X = 1) B = (X ≥ 1) = (X = 1) + (X = 2) + (X = 3) = ( =X 0) (3) Hoäp I (II) ñeàu coù moät soá bi traéng vaø bi ñen. Laáy 1 bi töø hoäp I boû vaøo hoäp II roài laáy 1 bi töø hoäp II boû vaøo hoäp I. Goïi A1 (A2) laø bieán coá "laáy ñöôïc bi traéng töø hoäp I (II)". B laø bieán coá "soá bi traéng vaø bi ñen cuûa hoäp I khoâng ñoåi". B = A1.A2 + 1A . 2A . Löu yù A1.A2 vaø 1A . 2A laø hai bieán coá xung khaéc. (4) Mua 3 bao gaïo, moãi bao töø moät cöûa haøng khaùc nhau. Goïi A1 (A2, A3) laø bieán coá "bao gaïo mua töø cöûa haøng I, (II, III) laø bao gaïo toát". A laø bieán coá "mua ñöôïc 2 bao gaïo toát". A = A1.A2. 3A + A1. 2A .A3 + 1A .A2. A3 Löu yù A1.A2. 3A , A1. 2A .A3, 1A .A2.A3 laø hoï bieán coá xung khaéc töøng ñoâi. Ghi chuù Goïi X laø soá bao gaïo toát mua ñöôïc thì: (X = 2) = A1.A2. 3A + A1. 2A .A3 + 1A .A3. A3 (5) Gieo ñoàng xu nhieàu laàn, ñeám soá maët saáp, ñeán khi ñöôïc maët saáp 2 laàn thì ngöøng. Goïi X laø soá laàn gieo. Goïi S1 (S2, ...) laø bieán coá "ñöôïc maët saáp taïi laàn gieo I (II, ...)". (X = 3) = S1 2S S3 + 1S S2S3 (6) Moät loâ saûn phaåm ñöôïc kieåm tra baèng caùch laáy ngaãu nhieân 15 saûn phaåm roài ñeám soá chính phaåm. Neáu coù töø 8 chính phaåm trôû leân thì loâ haøng ñaït yeâu caàu. Neáu khoâng ñaït yeâu caàu nhöng soá chính phaåm treân 5 thì traû laïi 15 saûn phaåm, laáy ngaãu nhieân 20 saûn phaåm roài ñeám soá chính phaåm. Neáu coù töø 10 chính phaåm trôû leân thì loâ haøng ñaït yeâu caàu. Goïi A laø bieán coá "loâ haøng ñaït yeâu caàu". Goïi X (Y) laø soá chính phaåm coù trong 15 (20) saûn phaåm ñöôïc laáy ra. A = (X ≥ 8) + (5 < X < 8).(Y ≥ 10) 2. Ñònh nghóa xaùc suaát 2.1 Khaùi nieäm Ñeå ño khaû naêng xaûy ra cuûa moät bieán coá sau pheùp thöû, bieán coá ñöôïc gaùn moät con soá trong khoaûng [0, 1] sao cho bieán coá caøng deã xaûy ra thì con soá naøy caøng lôùn. Giaù trò ñöôïc gaùn vaøo bieán coá A goïi laø xaùc suaát cuûa bieán coá A, kyù hieäu P(A). Haøm P phaûi thoaû caùc tính chaát: (i) P(Ω) = 1 (ii) P(A+B) = P(A) + P(B) neáu A.B = ∅ Coù 3 ñònh nghóa xaùc suaát thoaû caùc ñieàu kieän treân vaø chuùng ñeàu töông thích nhau. Tuyø tröôøng hôïp cuï theå cuûa pheùp thöû, ta seõ vaän duïng ñònh nghóa thích hôïp ñeå vieäc tính xaùc suaát ñöôïc thuaän lôïi. 2.2 Ñònh nghóa coå ñieån cuûa xaùc suaát Pheùp thöû coù höõu haïn keát quaû vaø khaû naêng xaûy ra cuûa moãi keát quaû laø nhö nhau (ñoàng khaû naêng). n: soá keát quaû ñoàng khaû naêng (n tröôøng hôïp). Bieán coá A goàm m keát quaû (m tröôøng hôïp thuaän lôïi). Xaùc suaát cuûa bieán coá A ñöôïc ñònh nghóa laø: P(A) = m n n cuõng chính laø soá phaàn töû cuûa khoâng gian maãu Ω coøn m laø soá phaàn töû cuûa bieán coá A. Ví duï Tung con xuùc saéc. Coù 6 bieán coá ñoàng khaû naêng xaûy ra (n = 6). Goïi A laø bieán coá xuaát hieän maët chaún thì A coù 3 tröôøng hôïp thuaän lôïi (m = 3). Vaäy: P(A) = 3 6 = 50%. 2.3 Ñònh nghóa xaùc suaát theo thoáng keâ Thöïc hieän pheùp thöû n laàn, quan saùt thaáy bieán coá A xuaát hieän m laàn. (m : taàn soá xuaát hieän A). tyû soá fn(A) = m n goïi laø taàn suaát xuaát hieän bieán coá A. Khi soá pheùp thöû raát lôùn, fn(A) seõ gaàn baèng moät giaù trò coá ñònh P(A). P(A) ñöôïc ñònh nghóa laø xaùc suaát cuûa bieán coá A. Ngöôøi ta chöùng minh ñöôïc raèng fn(A) luoân luoân hoäi tuï veà P(A) theo nghóa: n n 0, lim P( f (A) P(A) ) 1 →∞ ∀ε > − < ε = Trong thöïc teá, khi n ñuû lôùn, fn(A) ñöôïc xem laø P(A). Ví duï (1) Kieåm tra ngaãu nhieân 200 saûn phaåm cuûa moät nhaø maùy thì thaáy coù 7 pheá phaåm. Laáy ngaãu nhieân moät saûn phaåm cuûa nhaø maùy naøy. Xaùc suaát cuûa bieán coá "gaëp pheá phaåm" laø 7/200 = 3,5%. (2) Trong 80 laàn ñaù phaït ñeàn cuûa moät caàu thuû thì coù 62 laàn ñaù vaøo. Xaùc suaát ñaù thaønh coâng quaû phaït ñeàn cuûa caàu thuû naøy laø 62/80 = 77,5%. 2.4 Ñònh nghóa xaùc suaát theo tieân ñeà Xeùt moät taäp hôïp Ω goïi laø khoâng gian maãu. Moät σ-ñaïi soá laø moät hoï A goàm caùc taäp con cuûa Ω thoûa: (i) Ω ⊂ A (ii) A ∈ A ⇒ A∈ A (iii) Ai∈A (i=1, 2, ...) ⇒ i i 1 A +∞ = ∑ ∈ A Xaùc suaát treân (Ω, A) laø haøm P: A → [0, 1] thoaû: (i) P(Ω) = 1 (ii) P( i i 1 A +∞ = ∑ ) = i i 1 P(A ) +∞ = ∑ Ai∈A vaø Ai.Aj = ∅ ∀i≠j (Ω, A, P) goïi laø moät khoâng gian xaùc suaát. Moãi phaàn töû thuoäc A goïi laø moät bieán coá. Baøi taäp So saùnh öu ñieåm, nhöôïc ñieåm cuûa caùc ñònh nghóa. 2.5 Moät soá nguyeân lyù xaùc suaát Nguyeân lyù xaùc suaát nhoû: bieán coá coù xaùc suaát nhoû (töø 5% trôû xuoáng) khoâng xaûy ra trong thöïc teá. Nguyeân lyù xaùc suaát lôùn: bieán coá coù xaùc suaát lôùn (töø 5% trôû leân) chaéc chaén xaûy ra trong thöïc teá. Nguyeân lyù hôïp lyù toái ña: neáu trong baøi toaùn coù (caùc) tham soá chöa bieát thì (caùc) tham soá naøy phaûi coù giaù trò sao cho xaùc suaát cuûa (caùc) bieán coá ñaõ xaûy ra coù giaù trò lôùn nhaát. 3. Caùc ví duï tính XS theo ñònh nghóa coå ñieån (1) Moät lôùp goàm 22 nöõ vaø 28 nam. Gaëp ngaãu nhieân moät sinh vieân. Tính xaùc suaát gaëp ñöôïc sinh vieân nöõ. Gaëp ngaãu nhieân moät sinh vieân thì coù 50 tröôøng hôïp xaûy ra (n = 50). Gaëp ñöôïc sinh vieân nöõ thì coù 22 tröôøng hôïp thuaän lôïi (m = 22). Xaùc suaát caàn tính laø p = 22 50 = 44%. (2) Moät hoäp goàm 6 chính phaåm vaø 4 pheá phaåm. Laáy ngaãu nhieân ra 3 saûn phaåm (laáy khoâng hoaøn laïi). Tính xaùc suaát laáy ñöôïc (ñuùng) 2 chính phaåm. Soá tröôøng hôïp xaûy ra khi laáy ra 3 saûn phaåm töø 10 saûn phaåm laø n = 310C . Bieán coá "laáy ñöôïc ñuùng 2 chính phaåm trong 3 saûn phaåm" laø bieán coá "laáy ñöôïc 2 chính phaåm" vaø "laáy ñöôïc 1 pheá phaåm". Soá tröôøng hôïp laáy ñöôïc 2 chính phaåm töø 6 chính phaåm laø 26C . Soá tröôøng hôïp laáy ñöôïc 1 pheá phaåm töø 4 pheá phaåm laø 14C . Vaäy soá tröôøng hôïp thuaän lôïi laø m = 26C . 1 4C . Xaùc suaát caàn tính p = 2 1 6 4 3 10 C .C C = 60 120 = 50%. Moâ hình treân thöôøng gaëp trong caùc baøi toaùn xaùc suaát. Toång quaùt hoaù, ta coù: Coâng thöùc sieâu boäi Taäp hôïp coù N phaàn töû trong ñoù coù M phaàn töû toát. Laáy ngaãu nhieân n phaàn töû. Goïi X laø soá phaàn töû toát laáy ñöôïc. P(X=k) = k n k M N M n N C C C − − 4. Caùc coâng thöùc tính xaùc suaát 4.1 Coâng thöùc coäng P(A+B) = P(A) + P(B) – P(A.B) * P(A ) = 1 – P(A) * P(A+B+C) = P(A) + P(B) + P(C) – P(A.B) – P(B.C) – P(C.A) + P(A.B.C) * P(A1+A2++An) = P(A1) + P(A2) + + P(An) A1, A2,..., An xung khaéc töøng ñoâi Ví duï (1) Moät loâ haøng goàm 8 chính phaåm vaø 2 pheá phaåm. Laáy ngaãu nhieân 6 saûn phaåm. Tính xaùc suaát laáy ñöôïc khoâng quaù 1 pheá phaåm. Laáy ñöôïc khoâng quaù 1 pheá phaåm töùc laø coù ñuùng moät pheá phaåm hoaëc khoâng coù pheá phaåm. Ñaët: A laø bieán coá "khoâng coù pheá phaåm trong 6 saûn phaåm laáy ra". B laø bieán coá "coù 1 pheá phaåm trong 6 saûn phaåm laáy ra". A, B laø 2 bieán coá xung khaéc (chuùng khoâng theå xaûy ra ñoàng thôøi). Xaùc suaát caàn tính laø P(A+B). Ta coù: P(A) = 6 8 6 10 C C = 14 105 P(B) = 1 5 2 8 6 10 C .C C = 56 105 Theo coâng thöùc coäng vaø do A, B xung khaéc: P(A+B) = P(A) + P(B) = 14 105 + 56 105 ≈ 67% (2) Moät gioû cam goàm 12 traùi trong ñoù coù 7 traùi cam ngon. Mua ngaãu nhieân 6 traùi. Tính xaùc suaát coù ñöôïc ít ra 2 traùi cam ngon. (3) Moät lôùp 50 hoïc sinh trong ñoù coù 20 hoïc sinh gioûi Toaùn, 30 gioûi Vaên, 10 gioûi caû hai moân. Gaëp ngaãu nhieân moät hoïc sinh trong lôùp. Tính xaùc suaát gaëp ñöôïc hoïc sinh gioûi ít ra laø moät moân. (4) Moät lôùp goàm 50 sinh vieân thi 2 moân. Coù 40 sinh vieân ñaït moân I, 30 sinh vieân ñaït moân II, 5 sinh vieân khoâng ñaït caû hai moân. Gaëp ngaãu nhieân moät sinh vieân. Tính xaùc suaát sinh vieân naøy ñaït caû hai moân. 4.2 Coâng thöùc nhaân 4.2.1 Xaùc suaát coù ñieàu kieän Xaùc suaát cuûa bieán coá A khi bieát bieán coá B ñaõ xaûy ra goïi laø xaùc suaát coù ñieàu kieän cuûa bieán coá A khi bieát B, kyù hieäu P(A/B). Ví duï Xeùt pheùp thöû tung xuùc saéc. A laø bieán coá "xuaát hieän maët coù soá chaám lôùn hôn 3", B laø bieán coá "xuaát hieän maët chaún". Tính P(A/B). Khi ñaõ bieát bieán coá B xaûy ra thì caùc tröôøng hôïp veà soá chaám xuaát hieän laø 2, 4, 6. Caùc tröôøng hôïp thuaän lôïi cho bieán coá A luùc naøy laø 4, 6. Vaäy P(A/B) = 2/3. 4.2.2 Tính ñoäc laäp cuûa bieán coá Neáu P(A/B) = P(A) thì bieán coá A goïi laø ñoäc laäp vôùi bieán coá B. Do A ñoäc laäp vôùi B thì B cuõng ñoäc laäp vôùi B neân ta noùi A, B laø hai bieán coá ñoäc laäp vôùi nhau. Luùc naøy vieäc bieát hay chöa bieát bieán coá naøy xaûy ra khoâng laøm thay ñoåi xaùc suaát cuûa bieán coá kia. Hoï bieán coá A1, A2, ..., An goïi laø ñoäc laäp toaøn phaàn neáu moãi bieán coá Ai ñoäc laäp vôùi moïi toå hôïp tích cuûa caùc bieán coá coøn laïi trong hoï. Ví duï Tung ñoàng xu 2 laàn. Goïi A (B) laø bieán coá ñöôïc maët saáp taïi laàn tung I (II). Tính P(B): Caùc tröôøng hôïp laø SS, SN, NS, NN. Caùc tröôøng hôïp thuaän lôïi laø SS, NS. Vaäy P(B) = 1/2. Tính P(B/A): Khi bieát laàn I ñaõ ra maët saáp thì caùc tröôøng hôïp laø SN, SS. Caùc tröôøng hôïp thuaän lôïi laø SS. Vaäy P(B/A) = 1/2. Do P(B) = P(B/A) neân hai bieán coá "laàn I tung ñöôïc maët saáp", "laàn II tung ñöôïc maët saáp" laø ñoäc laäp nhau. 4.2.3 Coâng thöùc nhaân P(A.B) = P(A).P(B/A) = P(B).P(A/B) * P(A/B) = P(A.B) P(B) = P(B/A).P(A) P(B) * P(A.B.C) = P(A).P(B/A).P(C/A.B) * P(A1.A2...An) = P(A1).P(A2)...P(An) A1, A2,..., An ñoäc laäp toaøn phaàn. Ví duï (1) Hoäp I coù 2 bi traéng vaø 10 bi ñen, hoäp II coù 8 bi traéng vaø 4 bi ñen. Laáy ra moät bi töø moãi hoäp. Tính xaùc suaát ñöôïc caû 2 bi traéng. Goïi A laø "laáy ñöôïc bi traéng töø hoäp I", B laø "laáy ñöôïc bi traéng töø hoäp II" thì 2 bieán coá naøy ñoäc laäp. Xaùc suaát caàn tính laø P(A.B). Theo coâng thöùc nhaân: P(A.B) = P(A).P(B) = 2 12 × 8 12 ≈ 11% (2) Moät xaï thuû baén 2 phaùt vaøo bia. Xaùc suaát baén truùng phaùt I laø 90%, xaùc suaát baén truùng caû 2 phaùt laø 80%. Tính xaùc suaát phaùt II baén truùng neáu bieát phaùt I ñaõ baén truùng. (3) Moät ngöôøi muoán mua 2 moùn haøng baèng caùch ñaáu giaù. Xaùc suaát mua ñöôïc moùn haøng I (II) laø 90% (85%). Neáu bieát ñaõ mua ñöôïc moùn haøng I thì xaùc suaát mua ñöôïc moùn haøng II laø 92%. Tính xaùc suaát ngöôøi naøy mua ñöôïc moùn haøng I neáu bieát ngöôøi naøy ñaõ mua ñöôïc moùn haøng II. (4) Bieát raèng 80% sinh vieân ñaït ñieåm khaù gioûi laø ñaõ laøm ñaày ñuû caùc baøi taäp veà nhaø. Lôùp coù 16% sinh vieân ñaõ laøm ñaày ñuû caùc baøi taäp veà nhaø. Vaäy vieäc ñaõ laøm ñaày ñuû caùc baøi taäp veà nhaø laøm taêng khaû naêng ñaït ñieåm khaù gioûi leân bao nhieâu laàn? Gaëp ngaãu nhieân moät sinh vieân, goïi G laø "sinh vieân ñaït ñieåm khaù gioûi", B laø "sinh vieân laøm ñaày ñuû caùc baøi taäp veà nhaø". Tyû leä caàn tính laø P(G/B)/P(G). Ta coù: P(B/G) = 80% P(B) = 16% P(G/B) P(B/G) P(G) P(B) = = 80%/16% = 5 Vieäc ñaõ laøm ñaày ñuû caùc baøi taäp veà nhaø laøm taêng khaû naêng ñaït ñieåm khaù gioûi leân 5 laàn. (5) Moät ngöôøi tìm vieäc laøm baèng caùch noäp ñôn xin vieäc taïi 3 coâng ty. Xaùc suaát ñöôïc nhaän vaøo laøm vieäc laàn löôït laø 90%, 88%, 85%. Tính xaùc suaát ngöôøi naøy xin ñöôïc vieäc laøm. (6) Moät caâu hoûi traéc nghieäm coù 4 caâu traû lôøi trong ñoù chæ coù moät caâu ñuùng. Moät thí sinh laøm 5 caâu hoûi traéc nghieäm vaø ñeàu choïn caâu traû lôøi moät caùch ngaãu nhieân. Tính xaùc suaát thí sinh naøy ñuùng ñöôïc 2 caâu. Goïi A laø bieán coá "thí sinh choïn ñuùng caâu traû lôøi" thì p = p(A) = 1/4 vaø P(A ) = 1 – p. Sau khi thí sinh traû lôøi xong 5 caâu hoûi traéc nghieäm thì bieán coá xaûy ra coù daïng B1.B2.B3.B4.B5 trong ñoù Bi laø A hoaëc laø A . Do thí sinh naøy choïn ngaãu nhieân neân vieäc traû lôøi moãi caâu traéc nghieäm seõ ñoäc laäp, töùc laø hoï bieán coá B1, B2, B3, B4, B5 ñoäc laäp toaøn phaàn. Vaäy: P(B1.B2.B3.B4.B5) = P(B1).P(B2).P(B3).P(B4).P(B5) Ñeå choïn ñuùng ñöôïc 2 caâu, trong 5 vò trí Bi phaûi coù ñuùng 2 vò trí laø A vaø 3 vò trí coøn laïi laø A . Vaäy xaùc suaát cuûa bieán coá daïng B1.B2.B3.B4.B5 laø: P(B1.B2.B3.B4.B5) = p 2(1 – p)3 Caùc bieán coá ta quan taâm coù daïng "choïn ra 2 vò trí ñeå ghi A, 3 vò trí coøn laïi ghi A " neân seõ coù 25C bieán coá daïng naøy. Ngoaøi ra chuùng xung khaéc töøng ñoâi vì coù khaùc moät vò trí A thì khoâng theå xaûy ra ñoàng thôøi. Theo coâng thöùc coäng, xaùc suaát caàn tính laø: p2 = 2 5C .p 2(1 – p)3 ≈ 26% Moâ hình treân thöôøng gaëp trong caùc baøi toaùn xaùc suaát. Toång quaùt hoaù, ta coù: Coâng thöùc Nhò thöùc (Bernoulli) Sau pheùp thöû bieán coá A xaûy ra vôùi xaùc suaát p. Laäp laïi pheùp thöû n laàn ñoäc laäp. Goïi X laø soá laàn xaûy ra bieán coá A. P(X=k) = k k n knC p (1 p) − − 4.3 Coâng thöùc Xaùc Suaát Ñaày Ñuû A1, A2,..., An laø hoï bieán coá ñaày ñuû vaø xung khaéc töøng ñoâi, B laø moät bieán coá. P(B) = n i i i 1 P(B/A ).P(A ) = ∑ Coâng thöùc cuõng ñuùng neáu hoï A1, A2, ..., An xung khaéc töøng ñoâi vaø B ⊂ A1+A2+...+An. Ví duï (1) Moät lôùp coù 50 nam vaø 70 nöõ. Tyû leä nam bieát luaät boùng ñaù laø 90%, cuûa nöõ laø 60%. Gaëp ngaãu nhieân moät sinh vieân trong lôùp. Tính xaùc suaát sinh vieân naøy bieát luaät boùng ñaù. Goïi B laø "gaëp ñöôïc sinh vieân bieát luaät boùng ñaù", A1 laø "gaëp sinh vieân nam", A2 laø "gaëp sinh vieân nöõ". A1, A2 laø hoï ñaày ñuû vaø xung khaéc töøng ñoâi. Xaùc xuaát caàn tính laø P(B). Ta coù: P(A1)= 50 120 P(A2)= 70 120 P(B/A1)=90% P(B/A2)=60% Theo coâng thöùc Xaùc Suaát Ñaày Ñuû: P(B) = P(B/A1).P(A1) + P(B/A2).P(A2) ≈ 73% (2) Nhaø maùy goàm 3 phaân xöôûng cuøng saûn xuaát moät loaïi saûn phaåm. Phaân xöôûng I saûn xuaát 20% saûn phaåm vôùi tyû leä pheá phaåm laø 0,1%, phaân xöôûng II saûn phaåm 30% vôùi tyû leä pheá phaåm laø 0,5%, nhaø maùy III saûn xuaát 50% vôùi tyû leä pheá phaåm laø 0,6%. Laáy ngaãu nhieân moät saûn phaåm cuûa nhaø maùy, tính xaùc suaát gaëp pheá phaåm. 4.4 Coâng thöùc Bayes A1, A2, ..., An laø hoï bieán coá ñaày ñuû vaø xung khaéc töøng ñoâi, B laø moät bieán coá. P(Ai/B) = i i P(B/A ).P(A ) P(B) Ví duï (1) Moät hoäp goàm 4 bi traéng vaø 2 bi ñen. Laáy laàn löôït ra 2 vieân bi khoâng hoaøn laïi. Tính xaùc suaát laàn I laáy ñöôïc bi traéng neáu bieát laàn II laáy ñöôïc bi traéng. Goïi B laø "laàn II laáy ñöôïc bi traéng", A1 laø "laàn I laáy ñöôïc bi traéng", A2 laø "laàn I laáy ñöôïc bi ñen". A1, A2 laø hoï ñaày ñuû vaø xung khaéc töøng ñoâi. Xaùc suaát caàn tính laø P(A1/B). Ta coù: P(A1) = 4 6 P(A2) = 2 6 P(B/A1) = 3 5 P(B/A2) = 4 5 Theo coâng thöùc Bayes: P(B) = P(B/A1).P(A1) + P(B/A2).P(A2) = 2 3 P(A1/B) = P(B A ) P(A ) P(B) 1 1/ . = 60% (2) Soá saûn phaåm phaân xöôûng I saûn xuaát chieám 25% toång soá saûn phaåm vôùi tyû leä pheá phaåm laø 1%, phaân xöôûng II saûn xuaát 25% vôùi tyû leä pheá phaåm 5%, nhaø maùy III saûn xuaát 50% vôùi tyû leä pheá phaåm 10%. Laáy ngaãu nhieân moät saûn phaåm vaø thaáy ñaây laø chính phaåm. Tính xaùc suaát saûn phaåm naøy ñöôïc saûn xuaát töø nhaø maùy III. (3) Treân baøn coù 10 caây vieát trong ñoù coù 3 caây vieát ñoû. Laáy ngaãu nhieân moät caây vieát boû vaøo caëp. Trong caëp ñaõ coù 4 vieát ñoû vaø 2 vieát xanh. Laáy ngaãu nhieân moät caây vieát töø caëp. Tính xaùc suaát caây vieát naøy laø caây vieát ñaõ laáy töø baøn hoïc bieát raèng ñaây laø caây vieát ñoû. (4) (Theo New York Times ngaøy 5/9/1987) Tyû leä nhieãm moät loaïi beänh trong moät coäng ñoàng laø 1/10.000. Ngöôøi ta duøng moät loaïi xeùt nghieäm ñeå tìm beänh nhaân. Xeùt nghieäm naøy cho keát quaû döông tính neáu maåu thöû nhieãm beänh nhöng ñoâi khi cuõng cho keát quaû döông tính vôùi maãu thöû khoâng nhieãm beänh vôùi tyû leä 1/20.000. Moät ngöôøi ñi xeùt nghieäm vaø thaáy keát quaû döông tính. Tính xaùc suaát ngöôøi naøy thöïc söï bò nhieãm beänh. Ghi chuù Löu yù phaân bieät P(A/B) vaø P(B/A). Hai giaù trò naøy khaùc xa nhau khi caùc giaù trò P(A) vaø P(B) coù söï cheânh leäch ñaùng keå.