Bài giảng Lý thuyết xác suất thống kê toán - Chương 4 Đại lượng ngẫu nhiên hai chiều Hàm của các đại lượng ngẫu nhiên

Chương 4ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN HAI CHIỀUHÀM CỦA CÁC ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊNI. ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN HAI CHIỀUĐịnh nghĩa : ĐLNN 2 chiều là 1 bộ gồm 2 ĐLNN X và Y. Ký hiệu: (X, Y). Nếu X và Y rời rạc thì (X, Y) đgl vectơ ngẫu nhiên rời rạc. Ngược lại thì (X, Y) liên tục.* Mở rộng: ĐLNN n chiều (hay còn gọi là vectơ ngẫu nhiên n chiều) là một bộ gồm n ĐLNN (X1, X2,, Xn).I. ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN HAI CHIỀUPhân phối xác suất của đại lượng ngẫu nhiên hai chiều :Bảng phân phối xác suất của ĐLNN hai chiều:y1y2ymx1p11p12p1mx2p21p22p2mxnpn1pn2pnmYXI. ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN HAI CHIỀUPhân phối xác suất của đại lượng ngẫu nhiên hai chiều :Từ bảng PPXS, ta tìm được PPXS đối với từng thành phần X, Y (gọi là phân phối lề, hay phân phối biên) như sau:Xx1x2xnPp1p2pnYy1y2ymPq1q2qmI. ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN HAI CHIỀUPhân phối xác suất của đại lượng ngẫu nhiên hai chiều :Từ bảng PPXS suy ra: Nếu pij = pi.qj (i, j) thì: P[(X=xi)(Y=yj)] = P(X=xi).P(Y=yj) X, Y độc lập.y1y2ymx1p11p12p1mx2p21p22p2mxnpn1pn2pnmYXI. ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN HAI CHIỀUPhân phối xác suất của đại lượng ngẫu nhiên hai chiều :Ví dụ : Một kiện hàng có 10 sản phẩm, trong đó có 5 sp loại I, 3 sp loại II và 2 sp loại III. Lấy ngẫu nhiên không hoàn lại từ kiện ra 2 sp. Gọi X1, X2 tương ứng là số sp loại I, loại II có trong 2 sp lấy ra. Lập bảng phân phối xác suất đồng thời của (X1, X2).I. ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN HAI CHIỀUPhân phối xác suất của đại lượng ngẫu nhiên hai chiều :Ví dụ :5I 3II 2III2 spI. ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN HAI CHIỀUPhân phối xác suất của đại lượng ngẫu nhiên hai chiều :Ví dụ :0120125I 3II 2III2 spX2X1I. ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN HAI CHIỀUPhân phối xác suất của đại lượng ngẫu nhiên hai chiều :Hàm mật độ xác suất của ĐLNN hai chiều (X, Y) (ký hiệu là f(x,y)) là hàm thỏa mãn các điều kiện sau:Hàm phân phối xác suất của ĐLNN hai chiều (X, Y) (ký hiệu F(x,y)) được định nghĩa như sau: F(x,y) = P[(X < x)(Y < y)] (x, y  )Đối với ĐLNN rời rạc :Đối với ĐLNN liên tục :I. ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN HAI CHIỀUPhân phối xác suất của đại lượng ngẫu nhiên hai chiều :II. CÁC THAM SỐ ĐẶC TRƯNG CỦA ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN HAI CHIỀUCác tham số đặc trưng của đại lượng ngẫu nhiên thành phần :Nếu (X, Y) rời rạc: Từ các bảng phân phối biên của từng ĐLNN X, Y, ta dễ dàng tìm được E(X), E(Y), Var(X), Var(Y), Mod(X), Mod(Y),II. CÁC THAM SỐ ĐẶC TRƯNG CỦA ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN HAI CHIỀUCác tham số đặc trưng của đại lượng ngẫu nhiên thành phần :Nếu (X, Y) liên tục:Suy ra cách tính đối với E(Y), Var(Y)?II. CÁC THAM SỐ ĐẶC TRƯNG CỦA ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN HAI CHIỀUCác tham số đặc trưng của đại lượng ngẫu nhiên hai chiều :Hiệp phương sai : Cov(X,Y) Cov(X,Y) = E[(X – E(X))(Y – E(Y))] = E(XY) – E(X).E(Y)Nếu (X,Y) rời rạc:II. CÁC THAM SỐ ĐẶC TRƯNG CỦA ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN HAI CHIỀUCác tham số đặc trưng của đại lượng ngẫu nhiên hai chiều :Hiệp phương sai : Cov(X,Y) Cov(X,Y) = E[(X – E(X))(Y – E(Y))] = E(XY) – E(X).E(Y)Nếu (X,Y) liên tục:II. CÁC THAM SỐ ĐẶC TRƯNG CỦA ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN HAI CHIỀUCác tham số đặc trưng của đại lượng ngẫu nhiên hai chiều :Hiệp phương sai : Cov(X,Y) Nếu Cov(X,Y) = 0: X, Y đgl không tương quan. Nếu cov(X,Y)  0: X, Y đgl có tương quan.Nếu X, Y độc lập thì X, Y có tương quan không?II. CÁC THAM SỐ ĐẶC TRƯNG CỦA ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN HAI CHIỀUCác tham số đặc trưng của đại lượng ngẫu nhiên hai chiều :Tính chất của hiệp phương sai:Cov(X,Y) = Cov(Y,X).Cov(X,X) = E(X2) – [E(X)]2 = Var(X).Var(aX  bY) = a2Var(X) + b2Var(Y)  2ab.Cov(X,Y).II. CÁC THAM SỐ ĐẶC TRƯNG CỦA ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN HAI CHIỀUCác tham số đặc trưng của đại lượng ngẫu nhiên hai chiều :Hệ số tương quan :Tính chất của hệ số tương quan :|XY| ≤ 1.Nếu Y = aX + b thì XY =  1 (a  0).(aX + b, cY + d) = (X,Y), với a, b, c, d là các hằng số và ac  0.Ví dụ : Giả sử hai loại cổ phiếu A, B có mức lãi suất (X, Y) có bảng phân phối xác suất như sau:II. CÁC THAM SỐ ĐẶC TRƯNG CỦA ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN HAI CHIỀU-2%0%5%10%0%00,050,050,14%0,050,10,250,156%0,10,050,10YXa) Nếu đầu tư toàn bộ vào cổ phiếu A thì lãi suất kỳ vọng và mức độ rủi ro là bao nhiêu?b) Nếu mục tiêu là nhằm đạt được lãi suất kỳ vọng lớn nhất thì nên đầu tư vào 2 loại cổ phiếu trên theo tỷ lệ nào?II. CÁC THAM SỐ ĐẶC TRƯNG CỦA ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN HAI CHIỀU-2%0%5%10%0%00,050,050,14%0,050,10,250,156%0,10,050,10YXc) Muốn hạn chế rủi ro về lãi suất đến mức thấp nhất thì nên đầu tư vào 2 loại cổ phiếu trên theo tỷ lệ như thế nào?III. PHÂN PHỐI XÁC SUẤT CÓ ĐIỀU KIỆN VÀ KỲ VỌNG TOÁN CÓ ĐIỀU KIỆNPhân phối xác suất có điều kiện:Nếu cho X = xk cố định, ta có các công thức xác suất có điều kiện sau:y1y2ymx1p11p12p1mx2p21p22p2mxnpn1pn2pnmYXIII. PHÂN PHỐI XÁC SUẤT CÓ ĐIỀU KIỆN VÀ KỲ VỌNG TOÁN CÓ ĐIỀU KIỆNPhân phối xác suất có điều kiện:Tương tự, nếu cho Y = yh cố định, ta có các công thức xác suất có điều kiện sau:y1y2ymx1p11p12p1mx2p21p22p2mxnpn1pn2pnmYXIII. PHÂN PHỐI XÁC SUẤT CÓ ĐIỀU KIỆN VÀ KỲ VỌNG TOÁN CÓ ĐIỀU KIỆNPhân phối xác suất có điều kiện:Từ đó ta có bảng phân phối xác suất có điều kiện của Y và X như sau:Y/xky1ymP(Y/xk)P(Y = y1/xk)P(Y = ym/xk)X/yhx1xnP(X/yh)P(X = x1/yh)P(X = xn/yh)III. PHÂN PHỐI XÁC SUẤT CÓ ĐIỀU KIỆN VÀ KỲ VỌNG TOÁN CÓ ĐIỀU KIỆNKỳ vọng toán có điều kiện:Từ các bảng phân phối xác suất có điều kiện, ta suy ra kỳ vọng toán có điều kiện, phương sai có điều kiện,01201/456/453/45110/4515/450210/4500X2X1E(X1/X2 = 0)?III. PHÂN PHỐI XÁC SUẤT CÓ ĐIỀU KIỆN VÀ KỲ VỌNG TOÁN CÓ ĐIỀU KIỆNHàm hồi quy:Hàm hồi quy của Y đối với X là kỳ vọng toán có điều kiện của Y (với điều kiện X=x) g(x) = E(Y/X = x)Ý nghĩa: g(x) cho biết giá trị trung bình của Y sẽ thay đổi như thế nào khi X nhận các giá trị khác nhau.Tương tự, ta có hàm hồi quy của X đối với Y.IV. HÀM CỦA CÁC ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊNVí dụ : Một hộp có 10 sp, trong đó có 5 sp loại A, 3 sp loại B, 2 sp loại C. Giá bán 1 sp loại A, B, C lần lượt là 10, 8, 6 (ngàn đồng). Lấy bất kỳ từ hộp ra 2 sp để bán. Tìm phân phối xác suất của số tiền thu được.IV. HÀM CỦA CÁC ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN012012X2X1IV. HÀM CỦA CÁC ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊNIV. HÀM CỦA CÁC ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊNYPTổng kết chương 4Lập bảng phân phối xác suất đồng thời của ĐLNN hai chiều (X,Y)?Các tham số đặc trưng của ĐLNN hai chiều?Tìm phân phối xác suất có điều kiện và kỳ vọng toán có điều kiện?Lập bảng phân phối xác suất của hàm các ĐLNN?