Bài giảng Lý thuyết độ phức tạp - Mở đầu

The theory of NP-Completeness 1 LÝ THUYẾT ĐỘ PHỨC TẠP LÝ THUYẾT NP - ĐẦY ĐỦ (THE THEORY OF NP - COMPLETENESS) Giáo viên : PGS TSKH Vũ Đình Hoà MỞ ĐẦU TÌNH HUỐNG  Bạn được làm thuê cho một công ty với tư cách là nhà thiết kế thuật toán.  Công ty sẽ tham gia thị trường cạnh tranh “bandersnatch cao cấp”.  Có phương pháp nào để tạo ra một tập các quy cách kĩ thuật cho mỗi bài toán của thị trường bandersnatch đặt ra? MỞ ĐẦU PHẢI LÀM GÌ? Xác định chính xác bài toán = tham vấn phòng bandersnatch. Lao vào công việc với đầy bầu nhiệt huyết MỞ ĐẦU KẾT QUẢ  Vài tuần trôi qua  Giấy tờ tràn ngập  Không tìm được bất kì thuật toán nào  phải mất hàng năm để xây dựng một thuật toán cho một modun  Có rất nhiều modun cho bài toán MỞ ĐẦU PHẢI LÀM THẾ NÀO  Nếu viết báo cáo rằng “Tôi thật ngu ngốc vì không thể tìm được thuật toán nào” →Bạn sẽ bị sa thải’  Cần chứng minh rằng bài toán được giao là không thể giải dễ dàng được MỞ ĐẦU LỜI KHUYÊN  Việc chứng minh tính không thể giải được = chứng minh không tồn tại một thuật toán hữu hiệu.  Lý thuyết sau đây chỉ ra rằng cần chứng minh bài toán của bạn là bài toán NP-đầy đủ.  Nó có độ khó tương đương với độ khó lớp các bài toán khác mà nhiều chuyên gia phải bó tay. MỞ ĐẦU LỜI KHUYÊN Tính NP-đầy đủ cho ta thấy: →Khả năng tìm ra thuật toán tốt cho bài toán khó. →Cách chuyển hướng tiếp cận: giải gần đúng hoặc tìm lời giải cho những trường hợp đặc biệt BÀI TOÁN, THUẬT TOÁN VÀ ĐỘ PHỨC TẠP MỘT SỐ KHÁI NIỆM CƠ BẢN  Một bài toán/vấn đề là gì?: →Một câu hỏi có tính tổng quát cần được trả lời. →Thường chứa một số tham số hay biến tự do chưa được xác định giá trị. →Miêu tả:(1) các tham số, (2) các yêu cầu về câu trả lời. BÀI TOÁN, THUẬT TOÁN VÀ ĐỘ PHỨC TẠP MỘT SỐ KHÁI NIỆM CƠ BẢN  Bài toán: →Ví dụ: Bt “Người du lịch”. ٧ Các thành phố ٧ Các khoảng cách ? Yêu cầu: tìm hoán vị tròn sao cho tổng trọng số cạnh: nhỏ nhất. ٭ Ý nghĩa:  mccC ,,,c 21   ji ccd , mccc  ,,, 21  ),(),( )1()( 1 1 )1()(  ccdccd m m i ii           BÀI TOÁN, THUẬT TOÁN VÀ ĐỘ PHỨC TẠP MỘT SỐ KHÁI NIỆM CƠ BẢN  Một dữ kiện/input của bài toán: 1c 2c 3c 4c 10 9 9 5 6 3  4321 ,,,c cccC    10, 21 ccd   5, 31 ccd   9, 41 ccd   6, 32 ccd   9, 42 ccd   3, 43 ccd Sắp xếp: 3421 ,,, cccc Là lời giải: 27min length BÀI TOÁN, THUẬT TOÁN VÀ ĐỘ PHỨC TẠP MỘT SỐ KHÁI NIỆM CƠ BẢN  Thuật toán: →Gồm các thủ tục “từng bước-từng bước” giải quyết bài toán. →Có thể xem như một chương trình viết bằng ngôn ngữ máy.  Một TT giải quyết được bài toán П nếu nó có lời giải cho mọi dữ kiện/input I của bài toán đó. BÀI TOÁN, THUẬT TOÁN VÀ ĐỘ PHỨC TẠP MỘT SỐ KHÁI NIỆM CƠ BẢN  Thuật toán: Thế nào là một TT hiệu quả (efficiency)?  Chạy được với tất cả các input.  Thời gian tính toán nhanh nhất. Yêu cầu về thời gian có tính quyết định xem một thuật toán có hiệu quả để đưa vào thực tế hay không BÀI TOÁN, THUẬT TOÁN VÀ ĐỘ PHỨC TẠP MỘT SỐ KHÁI NIỆM CƠ BẢN  Thuật toán: Yêu cầu về thời gian  Có thể miêu tả hàm một biến (Kích thước của một bài toán cụ thể)  Đo kích thước của bài toán cụ thể theo cách thông thường  Ex, bài toán “người thương gia đi du lịch” có kích thước là số lượng m các thành phố. –Để tính một cách chính xác thì phải xét cả số các khoảng cách và độ lớn các khoảng cách giữa các thành phố.  Lược đồ mã hóa:  Miêu tả đầu vào của một bài toán cụ thể bằng một chuỗi kí tự.  Độ dài đầu vào của trường hợp I của bài toán П là số kí tự trong chuỗi kí tự của lược đồ mã hóa.  Độ dài này là cách đo hình thức của kích thước bài toán cụ thể П(I). BÀI TOÁN, THUẬT TOÁN VÀ ĐỘ PHỨC TẠP MỘT SỐ KHÁI NIỆM CƠ BẢN BÀI TOÁN, THUẬT TOÁN VÀ ĐỘ PHỨC TẠP MỘT SỐ KHÁI NIỆM CƠ BẢN  Lược đồ mã hóa:  Ví dụ: Bài toán người thương gia đi du lịch. ٭Sử dụng bộ kí tự: {c, [, ], /, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} ٭Chuỗi mã hóa: “c[1] c[2] c[3] c[4] // 10 / 5 / 9 // 6 / 9 // 3” ٭ Độ dài đầu vào là 32. ٭ Các trường hợp bài toán phức tạp, có thể mã hóa bằng chuỗi tương tự, không phải chuỗi rời rạc. BÀI TOÁN, THUẬT TOÁN VÀ ĐỘ PHỨC TẠP MỘT SỐ KHÁI NIỆM CƠ BẢN  Hàm thời gian: Cho mỗi kích thước đầu vào một lượng thời gian lớn nhất để giải quyết trường hợp của bài toán đó THUẬT TOÁN THỜI GIAN ĐA THỨC VÀ NHỮNG BÀI TOÁN KHÔNG GIẢI ĐƯỢC  1 hàm f(n) là O(g(n)) khi hằng c, k: |f(n)|=k  1 thuật toán thời gian đa thức có độ phức tạp là O(p(n)) với p(n) là một hàm đa thức.  n chỉ kích thước đầu vào  1 thuật toán thời gian lũy thừa nếu hàm phức tạp thời gian của nó không có giới hạn. (bao gồm cả một số hàm phức tạp thời gian không đa thức như ) nnlog THUẬT TOÁN THỜI GIAN ĐA THỨC VÀ NHỮNG BÀI TOÁN KHÔNG GIẢI ĐƯỢC  Bảng so sánh một số hàm phức tạp thời gian lũy thừa và đa thức. n Time complexity function 2n 3n 5n n2 n3 Size n 10 3020 5040 60 .00001s .00002s .00003s .00004s .00005s .00006s .0001s .0004s .0009s .0016s .0036s.0025s .1s .008s .0027s .064s .125s .216s.001s 3.2s 24.3s 1.7m 5.2m 13.0m .001s 1.0s 17.9m 12.7d 35.7y 366c .059s 58m 6.5y 3855c 2 x 108 c 1.3 x 10 13 c THUẬT TOÁN THỜI GIAN ĐA THỨC VÀ NHỮNG BÀI TOÁN KHÔNG GIẢI ĐƯỢC  Ảnh hưởng của công nghệ máy tính đến các hàm phức tạp thời gian Time complexity function Present computer Computer 100 times faster Computer 1000 times faster n n2 n3 n5 3n 2n N1 N2 N3 N5 N4 N6 100N1 1000N1 10N2 31.6N2 4.64N3 10N3 2.5N4 3.98N4 N5+6.64 N5+9.97 N6+4.19 N6+6.29 THUẬT TOÁN THỜI GIAN ĐA THỨC VÀ NHỮNG BÀI TOÁN KHÔNG GIẢI ĐƯỢC  Một bài toán là không thể giải được nếu quá khó để tìm ra một thuật toán thời gian đa thức để giải quyết nó.  Với kích thước bài toán có hạn thì việc so sánh giữa thuật toán đa thức hữu hiệu và thuật toán lũy thừa không hữu hiệu có nhiều ngoại lệ.  Ex: xem bảng so sánh ở slide trước, thuật toán 2n nhanh hơn thuật toán n5 với n<=20. THUẬT TOÁN THỜI GIAN ĐA THỨC VÀ NHỮNG BÀI TOÁN KHÔNG GIẢI ĐƯỢC  Một số nhận xét  Thuật ngữ “intratability” chỉ có nghĩa tương đối vì:  Độ phức tạp về thời gian được định nghĩa trong trường hợp xấu nhất  Một thuật toán 2n nghĩa là có ít nhất một trường hợp bài toán cỡ n cần bằng ẫy thời gian.  Hầu hết trong thực tế cần ít thời gian hơn nhiều. THUẬT TOÁN THỜI GIAN ĐA THỨC VÀ NHỮNG BÀI TOÁN KHÔNG GIẢI ĐƯỢC  Một số nhận xét  Ex1, thuật toán đơn hình (simplex) cho lập trình tuyến tính có độ phức tạp lũy thừa [Klee & Minty, 1972], [Zadeh, 1973] nhưng lại có thành tích ấn tượng về việc chạy nhanh trong thực tế.  Ex2, thuật toán “Branch and bound” cho bài toán Knapsack có độ phức tạp lũy thừa nhưng lại thành công khiến nhiều người ngạc nhiên. THUẬT TOÁN THỜI GIAN ĐA THỨC VÀ NHỮNG BÀI TOÁN KHÔNG GIẢI ĐƯỢC  BÀI TẬP:  Viết thuật toán xác định số n cho trước có phải số nguyên tố hay không và tính thời gian chạy máy tính như hàm số với biến là kích thước biểu diễn input đầu vào.