Bài giảng Lý thuyết độ phức tạp - Lý thuyết NP - Đầy đủ (The theory of NP - Completeness)

The theory of NP-Completeness 1 LÝ THUYẾT ĐỘ PHỨC TẠP LÝ THUYẾT NP - ĐẦY ĐỦ (THE THEORY OF NP - COMPLETENESS) Giáo viên : PGS TSKH Vũ Đình Hoà The theory of NP-Completeness 2 NỘI DUNG 1. Bài toán quyết định 2. Ngôn ngữ và lược đồ mã hóa 3. Máy Turing tất định và lớp P 4. Tính toán không tất định và lớp NP 5. Mối quan hệ giữa lớp P và lớp NP 6. Phép dẫn thời gian đa thức và lớp NPC 7. Thuyết Cook The theory of NP-Completeness 3 1. BÀI TOÁN QUYẾT ĐỊNH  Bài toán quyết định (Decision Problem - DP) là bài toán chỉ có câu trả lời là có hoặc không (hay còn gọi là trả lời nhị phân).  Mỗi thể hiện của bài toán nghĩa là mỗi trường hợp cá biệt của bài toán có một trả lời.  Một bài toán quyết định ∏ đơn giản bao gồm một tập hợp D∏ các thể hiện và tập con Y∏  D∏ là các thể hiện đúng The theory of NP-Completeness 4 1. BÀI TOÁN QUYẾT ĐỊNH  Một bài toán quyết định phát biểu dưới dạng:  Instance:  Question:  Ví dụ 1: bài toán sự đẳng cấu của đồ thị con  Instance: Cho 2 đồ thị G1 = (V1, E1) và G2 = (V2, E2)  Question: đồ thị G1 có chứa một đồ thị con G1’ mà G1’ đẳng cấu với đồ thị G2 hay không? The theory of NP-Completeness 5  Giải thích về đồ thị đẳng cấu: G1’ đẳng cấu với G2 nếu như có |V1’| = |V2|, |E1’| = |E2| và ở đó tồn tại một song ánh f : V2  V1’ sao cho {u,v}  E2 khi và chỉ khi {f(u), f(v)}  E1’). 1. BÀI TOÁN QUYẾT ĐỊNH The theory of NP-Completeness 6  Ví dụ 2: Traveling Salesman  Instance: Tập hữu hạn các thành phố: C = {c1, c2,cm}, khoảng cách giữa hai thành phố ci, cj là d(ci, cj)  Z +, một số B  Z+.  Question: tồn tại hay không một đường đi nào qua tất cả các thành phố trong C mà có tổng độ dài không lớn hơn B? (Tồn tại một sắp thứ tự sao cho ) 1. BÀI TOÁN QUYẾT ĐỊNH )()2()1( ,...,, mCCC  BCCdCCd m m i ii     ),()),(( )1()( 1 1 )1()(  The theory of NP-Completeness 7  Một bài toán quyết định có thể được chuyển hoá từ một bài toán tối ưu.  Ví dụ: Bài toán tối ưu là “tìm một đường đi có độ dài nhỏ nhất trong số tất cả các đường đi nối 2 đỉnh đồ thị” ↔ BTQĐ : thêm vào một tham số B và hỏi xem có đường đi nào có độ dài L mà L ≤ B hay không?  Với điều kiện là hàm chi phí phải tương đối dễ đánh giá, bài toán quyết định có thể không khó khăn hơn bài toán tối ưu tương ứng 1. BÀI TOÁN QUYẾT ĐỊNH The theory of NP-Completeness 8  Nếu tìm thấy một đường đi có độ dài nhỏ nhất cho bài toán TST theo thời gian đa thức, cũng có thể giải quyết bài toán quyết định được kết hợp theo thời gian đa thức.  Lý thuyết NP đầy đủ giới hạn là chỉ chú ý tới các bài toán quyết định nhưng cũng có thể mở rộng sự liên quan của thuyết NP đầy đủ tới các bài toán tối ưu.  Nguyên nhân của sự giới hạn này là các DPs có một bản sao rất tự nhiên và nó được gọi là ngôn ngữ. 1. BÀI TOÁN QUYẾT ĐỊNH The theory of NP-Completeness 9 2. NGÔN NGỮ VÀ LƯỢC ĐỒ MÃ HÓA  Định nghĩa ngôn ngữ:  Với bất kì một tập hữu hạn các kí hiệu, chúng ta có thể biểu diễn * là tập hợp tất cả các xâu hữu hạn các kí hiệu lấy từ tập .  Nếu L là một tập con của *, chúng ta nói rằng L là một ngôn ngữ trên tập các chữ cái của . The theory of NP-Completeness 10  Ví dụ: Nếu  = {0, 1}, khi đó I* = {ε, 0, 1, 01, 10, 11, 000, 001, } Khi đó {01,001,111,1101010} là một ngôn ngữ trên tập {0,1}  Sự tương ứng giữa bài toán quyết định và ngôn ngữ được dẫn đến bởi các lược đồ mã hoá.  Một lược đồ mã hoá e cho bài toán ∏ cung cấp một cách thức miêu tả mỗi sự kiện của ∏ bằng một xâu thích hợp các ký hiệu trên tập chữ cái cố định ∑. 2. NGÔN NGỮ VÀ LƯỢC ĐỒ MÃ HÓA The theory of NP-Completeness 11  Bài toán ∏ và lược đồ mã hoá e cho ∏ chia ∑* thành 3 lớp: 1. Những xâu không mã hoá các biểu hiện của ∏. 2. Những xâu mã hoá các biểu hiện của ∏ mà trên đó câu trả lời là No. 3. Những xâu mã hoá các biểu hiện của ∏ mà trên đó câu trả lời là Yes. Ngôn ngữ: L[∏, e] = {x  * với  được sử dụng bởi e, và x mã hóa một thể hiện I  Y bằng e} 2. NGÔN NGỮ VÀ LƯỢC ĐỒ MÃ HÓA The theory of NP-Completeness 12  Một lược đồ mã hoá hợp lý phải đảm bảo 2 tính năng là : “tính ngắn gọn” và có “khả năng giải mã”.  “Tính ngắn gọn” là các trường hợp của bài toán nên được mô tả với sự khúc chiết một cách tự nhiên.  “Khả năng giải mã” là đưa ra bất kì một thành phần cụ thể nào của một trường hợp chung, thì lược đồ có khả năng chỉ rõ một thuật toán có thời gian đa thức. 2. NGÔN NGỮ VÀ LƯỢC ĐỒ MÃ HÓA The theory of NP-Completeness 13  Định nghĩa một lược đồ mã hoá chuẩn: Lược đồ mã hoá chuẩn sẽ ánh xạ các thể hiện sang các xâu có cấu trúc trên tâp chữ cái ψ = {0, 1, -, [,], (, ), }.  Định nghĩa xâu cấu trúc một cách đệ quy như sau: 2. NGÔN NGỮ VÀ LƯỢC ĐỒ MÃ HÓA The theory of NP-Completeness 14  Biểu diễn nhị phân của một số nguyên k (gồm các chữ số 0 và 1), (đằng trước là dấu - nếu k là số âm) là một xâu có cấu trúc biểu diễn số nguyên k.  Nếu x là một xâu có cấu trúc biểu diễn số nguyên k, khi đó [x] là một xâu có cấu trúc có thể được sử dụng như một “tên” (name) .  Nếu x1, x2, ..., xm là các xâu có cấu trúc biểu diễn các đối tượng X1,X2, , Xm, khi đó (x1, , xm) là một xâu có cấu trúc biểu diễn chuỗi (X1,,Xm) 2. NGÔN NGỮ VÀ LƯỢC ĐỒ MÃ HÓA The theory of NP-Completeness 15  Các biểu diễn cho 4 kiểu đối tượng như sau:  Một tập các đối tượng được biểu diễn bởi thứ tự các phần tử của nó như một chuỗi và xem như là xâu có cấu trúc tương ứng với chuỗi đó.  Một đồ thị với tập đỉnh là V và tập cạnh là E được biểu diễn bởi một xâu có cấu trúc (x, y), ở đó x là một xâu có cấu trúc biểu diễn tập V và y là xâu có cấu trúc biểu diễn tập E (các phần tử của E ) 2. NGÔN NGỮ VÀ LƯỢC ĐỒ MÃ HÓA The theory of NP-Completeness 16  Một hàm hữu hạn f : {U1, U2,, Um} → W được biểu diễn bởi một xâu có cấu trúc {(x1, y1), , (xm, ym)} ở đó xi là xâu có cấu trúc biểu diễn Ui và yi là xâu có cấu trúc biểu diễn f(Ui)  W, 1 ≤ i ≤ m.  Một số hữu tỉ q được biểu diễn bởi một xâu có cấu trúc (x, y) ở đó x là xâu có cấu trúc biểu diễn một số nguyên a, y là xâu biểu diễn một số nguyên b và ở đó a / b = q, và ước chung lớn nhất củ5a a và b là 1. 2. NGÔN NGỮ VÀ LƯỢC ĐỒ MÃ HÓA The theory of NP-Completeness 17 3.1. Miêu tả máy Turing tất định (DTM) Máy Turing tất định gồm có: 1. Con trỏ điều khiển trạng thái 2. Một đầu đọc ghi 3. Một băng vô hạn nằm ngang với các ô vuông. Dưới các ô vuông có đánh các nhãn là: -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3 3. MÁY TURING TẤT ĐỊNH VÀ LỚP P The theory of NP-Completeness 18 - 3 - 2 - 1 0 1 2 3 4 Bộ điều khiển trạng thái hữu hạn Đầu đọc ghi Băng vô hạn 3. MÁY TURING TẤT ĐỊNH VÀ LỚP P 3.1. Miêu tả máy Turing tất định The theory of NP-Completeness 19 3.1. Miêu tả máy Turing tất định  Một chương trình cho một DTM gồm các thông tin:  Một tập hợp T những kí hiệu, bao gồm một tập con   T và một kí tự trắng b  T \ .  Một tập hợp Q các trạng thái, bao gồm trạng thái bắt đầu qo và hai trạng thái kết thúc là qY và qN.  Một hàm chuyển trạng thái ઠ: (Q - {qY, qN}) * T → Q * T * {-1, +1,0} 3. MÁY TURING TẤT ĐỊNH VÀ LỚP P The theory of NP-Completeness 20 3.1. Miêu tả máy Turing tất định  Hàm chuyển trạng thái:  cho phép với mỗi trạng thái của máy và một kí kiệu đọc được từ ô trống đối diện, ta xác định được:  Trạng thái tiếp theo.  Kí hiệu sẽ được viết lên băng đè lên kí hiệu vừa đọc  Hướng dịch chuyển của đầu đọc 2. MÁY TURING TẤT ĐỊNH VÀ LỚP P The theory of NP-Completeness 21 3.1. Miêu tả máy Turing tất định  Quá trình thực hiện của DTM 1. Xâu x được đặt lên băng, mỗi kí tự được đặt vào mỗi ô. Tất cả các ô còn lại đều chứa kí tự trắng. Chương trình bắt đầu với trạng thái ban đầu là q0, với đầu đọc ở ô chứa kí tự đầu tiên của xâu 2. Các bước tính toán: 3. MÁY TURING TẤT ĐỊNH VÀ LỚP P The theory of NP-Completeness 22 2.1. Miêu tả máy Turing tất định  Quá trình thực hiện của DTM 2. Các bước tính toán: - Đọc kí tự đối diện với đầu đọc - Thay kí hiệu đó bằng kí hiệu tính từ hàm  - Rời đầu đọc theo hướng của hàm dịch chuyển - Đổi trạng thái hiện tại thành trạng thái của hàm dịch chuyển. 3. MÁY TURING TẤT ĐỊNH VÀ LỚP P The theory of NP-Completeness 23 3.1. Miêu tả máy Turing tất định  Quá trình thực hiện của DTM Xâu x được thừa nhận khi quá trình thực hiện đạt đến trạng thái thừa nhận. 3. MÁY TURING TẤT ĐỊNH VÀ LỚP P The theory of NP-Completeness 24 3.2. Ví dụ  Cho các tập hợp sau: T = {0, 1, b},  = {0, 1} Q = {q0, q1, q2, q3, qY, qN}  Cho xâu vào: x = “10100” 3. MÁY TURING TẤT ĐỊNH VÀ LỚP P The theory of NP-Completeness 25  Hàm trạng thái cho trong bảng: 3. MÁY TURING TẤT ĐỊNH VÀ LỚP P The theory of NP-Completeness 26 Quá trình thực hiện: The theory of NP-Completeness 27 Bài tập  Xây dựng máy Turing tất định xóa các từ  Xây dựng máy Turing tất định xóa các từ và quay về vị trí xuất đầu 3. MÁY TURING TẤT ĐỊNH VÀ LỚP P The theory of NP-Completeness 28  Cho M là một máy Turing tất định không có quá trình vô hạn. Hàm phức tạp theo thời gian của M là hàm được định nghĩa như sau:  TM : Z+ → Z+  TM (n) = max {m: có một x  *, với |x| = n, quá trình thực hiện của M trên đầu vào x chiếm thời gian là m}. 4. LỚP P The theory of NP-Completeness 29  Thời gian tính trên máy Turing M được gọi là đa thức nếu như tồn tại một đa thức P sao cho tất cả n  Z+ TM(n) ≤ p(n).  Định nghĩa: Lớp P là một lớp các bài toán quyết định giải được bởi một máy Turing tất định trong thời gian đa thức  Một hàm tính với thời gian đa thức, nếu có một máy Turring tính nó trong thời gian đa thức. 4. LỚP P The theory of NP-Completeness 30  Ví dụ: Instance: n nguyên dương, Question: n chia hết cho 2?  . Ví dụ: Instance: n nguyên dương, Question: n là số nguyên tố? 4. LỚP P The theory of NP-Completeness 31  Ví dụ: Instance: n nguyên dương và a1 < a2 < , < an, k, Question: Tồn tại i sao cho ai = k?  . Ví dụ: Instance: , Question: ? 4. LỚP P 2.3.Máy Turing không tất định& Lớp NP  Máy Turing không tất định: 2.3.Máy Turing không tất định& Lớp NP  Hoạt động tương tự như máy Turing tất định:  Giả sử máy làm việc với một Input x0* được đặt vào các ô từ 1 đến x của băng.  Giai đoạn phỏng đoán được thực hiện trên phần băng bên trái của dữ liệu vào (các ô được đánh số - 1,-2,...) trước khi quá trình tính toán bắt đầu, được thực hiện bởi cơ chế phỏng đoán và đầu phỏng đoán chỉ viết lên các ô đánh –1, -2..mỗi ô một kí hiệu nào đó thuộc * cho đến khi dừng lại ta có một từ u0* trên phía trái của phần băng chứa Input (gọi là từ được dự đoán) và giai đoạn phỏng đoán hoàn thành 2.3.Máy Turing không tất định& Lớp NP +Yếu tố không tất định là ở chỗ trong giai đoạn phỏng đoán việc viết kí tự nào vào các ô –1,-2,-3... không xác định tức là có thể viết theo nhiều khả năng khác nhau +Có thể hình dung nếu coi mỗi quá trình tính toán có môt input x trên máy Turing tất định M chỉ là một “đường tính toán” (a computation path) thì mỗi quá trình tính toán với mỗi input x trên NDTM là một “cây tính toán” (a computation tree) với nhiều đường tính toán được xử lý đồng thời 2.3.Máy Turing không tất định & Lớp NP  DTM q0 qY/qN NDTM qY qN Sự khác biệt 2.3.Máy Turing không tất định& Lớp NP  Ngôn ngữ đoán nhận bởi NDTM:  Mỗi từ x được chấp nhận bởi máy Turing bất định M nếu xuất phát với input x, máy Turing bất định M chuyển đến trạng thái qY.  Kí hiệu là LM = {w0* M chấp nhận w} gọi là ngôn ngữ đoán nhận được bởi máy NDTM 2.3.Máy Turing không tất định& Lớp NP  Thời gian tính toán của NDTM: Được tính là thời gian tối thiểu của mọi quá trình tính toán chấp nhận x, nghĩa là tM(x)= min{t có quá trình tính toán chấp nhận Input x dừng lại sau t bước}  Độ phức tạp thời gian (thời gian tính) của máy NDTM, kí hiệu là TM(n) cũng chỉ xét trên các từ x LM được định nghĩa như sau:  TM(n)= max{t x LM và x=n, tM(x)= t} 2.3.Máy Turing không tất định& Lớp NP Định nghĩa lớp NP (thông qua máy Turing không tất định): + NP là lớp các bài toán được đoán nhận bởi một máy Turing không tất định.trong thời gian đa thức + Một ngôn ngữ L là đoán nhận được bởi máy Turing không tất định và đa thức P(n) sao cho:  L= LM và TM(n) ≤ P(n) với mọi n≥ 0.  Một bài toán gọi là NP nếu ngôn ngữ tương ứng của nó thuộc lớp NP. 2.4. Quan hệ giữa lớp P và NP  + P  NP hiển nhiên vì mỗi máy Turing tất định đều là máy Turing không tất định không bao giờ chọn lựa bước chọn lưu chuyển 2.4. Quan hệ giữa lớp P và NP  Định lý (Gap-Borodin,1972): Đối với mỗi bài toán II  NP tồn tại đa thức p(n) sao cho II đoán nhận được với máy Turing tất định có độ phức tạp là O(2p(n)) . 2.4. Ví dụ NP  Bài toán HC.  Bài toán TSP  )