Bài giảng Lý thuyết điều khiển tự động - Phạm Trường Tùng

t tr it t i y t K el ®¥ ®¥ = = =å , như vậy hệ thống ổn định. Lý thuyết điều khiển tự động ThS. Phạm Trường Tùng 96 0 1 2 3 4 5 6 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 Impulse Response Time (sec) Am pl itu de Hình 5.2. Đáp ứng xung của một hệ thống có ai < 0 - Nếu có ít nhất một ai = 0 (các aj(j≠i) < 0) thì khi đó 1 lim ( ) lim i n t tr it t i y t K e Kl ®¥ ®¥ = = =å , như vậy hệ ở biên giới ổn định 0 1 2 3 4 5 6 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 Impulse Response Time (sec) Am pl itu de Hình 5.3. Đáp ứng xung của một hệ thống có ai = 0 - Nếu ít nhất một ai > 0 (các aj(j≠i) < 0) , khi đó 1 lim ( ) lim i n t tr it t i y t K el ®¥ ®¥ = = = ¥å , vậy hệ thống sẽ không ổn định Lý thuyết điều khiển tự động ThS. Phạm Trường Tùng 97 0 10 20 30 40 50 60 0 2 4 6 8 10 12 x 10 25 Impulse Response Time (sec) Am pl itu de Hình 5.4. Đáp ứng xung của một hệ thống có ai > 0 Trường hợp 2: nếu li là nghiệm phức li = ai + jwi khi đó: - Nếu ai < 0 "i, khi đó 1 lim ( ) lim 0i n t tr it t i y t K el ®¥ ®¥ = = =å , như vậy hệ thống ổn định ( nhưng quá trình quá độ có dao động). 0 2 4 6 8 10 12 -0.01 0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 Impulse Response Time (sec) Am pl itu de Hình 5.5. Đáp ứng xung của một hệ thống có ai < 0 - Nếu ai = 0 thì khi đó i 1 lim ( ) lim os( )i n t tr i it t i y t K e Kc tl w j ®¥ ®¥ = = = +å , như vậy hệ ở biên giới ổn định (hệ dao động với biên độ không đổi) Lý thuyết điều khiển tự động ThS. Phạm Trường Tùng 98 0 2 4 6 8 10 12 14 -0.03 -0.02 -0.01 0 0.01 0.02 0.03 Impulse Response Time (sec) Am pl itu de Hình 5.6. Đáp ứng xung của một hệ thống có ai = 0 Nếu ai > 0, khi đó 1 lim ( ) lim i n t tr it t i y t K el ®¥ ®¥ = = = ¥å , vậy hệ thống sẽ dao động với biên độ tăng dần ( hiển nhiên hệ sẽ không ổn định) 0 5 10 15 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 x 10 11 Impulse Response Time (sec) Am pl itu de Hình 5.7. Đáp ứng xung của một hệ thống có ai > 0 Nếu biểu diễn các li trên mặt phẳng phức, ta sẽ phân ra thành 3 trường hợp: - Nếu tất cả các li = ai + jwi đều nằm bên trái mặt phẳng phức ( tức ai < 0 ) thì hệ thống ổn định. - Nếu có ít nhất một trong số các li = ai + jwi có nằm trên trục ảo ( ai = 0 ), còn các cực khác nằm bên trái mặt phẳng phức thì hệ thống ở biên giới ổn định. - Nếu có ít nhất một li = ai + jwi nằm bên phải mặt phẳng phức thì hệ thống sẽ không ổn định Lý thuyết điều khiển tự động ThS. Phạm Trường Tùng 99 Đáp ứng quá độ của hệ thống có thể dao động hoặc không dao động tùy thuộc vào việc các cực đó là nghiệm thực hay nghiệm phức. Hình 5.8. Phân bố các cực trên mặt phẳng phức 5.3. Các tiêu chuẩn ổn định đại số 5.3.1. Giới thiệu Các tiêu chuẩn đại số phổ biến nhất là tiêu chuẩn Routh, Huwizt và tiêu chuẩn khai triển phân số liên tục. Đặc điểm chính của các tiêu chuẩn đại số này là nó phát hiện ra hệ thống có ổn định hay không bằng cách sử dụng các phương pháp số đơn giản mà không cần tìm các nghiệm của đa thức đặc trưng. Xét đa thức đặc trưng có dạng: 1 1 1 0( ) ... n n n np s a s a s a s a - -= + + + + Với các hệ số an, an-1 là các số thực, ở đây, chúng ta thừa nhận rằng a0 ¹ 0 để tránh phát sinh trường hợp riêng. Sau đây, chúng ta sẽ phát biểu một định lý đại số nổi tiếng. Định lý 5.3.1 Đa thức p(s) sẽ có một hoặc nhiều nghiệm nằm bên phải mặt phẳng phức nếu như nó có ít nhất một hệ số bằng không hoặc tất cả các hệ số của nó khác dấu. Định lý 5.3.1. rất hữu dụng cho ta trong việc xác định sự ổn định của hệ thống bằng một cách đơn giản là kiểm tra các tính chất của đa thức đặc trưng. Tuy nhiên, định lý này cũng chỉ là điều kiện cần. Có nghĩa là nếu như đa thức đặc trưng p(s) thõa mãn định lý 5.3.1 thì hệ thống sẽ không ổn định. Nhưng Lý thuyết điều khiển tự động ThS. Phạm Trường Tùng 100 trường hợp đa thức đặc trưng không thõa mãn định lý, tức không có nghiệm nào bằng không và tất cả các nghiệm đều cùng dấu, chúng ta cũng không thể kết luận rằng hệ thống ổn định. Trong trường hợp này, chúng ta sẽ áp dụng các tiêu chuẩn đại số ( Routh, Huwitz hoặc khai triển phân số liên tục) mà chúng ta sẽ giới thiệu sau đây. 5.3.2. Tiêu chuẩn Routh Tiêu chuẩn Routh sẽ phát hiện ra số lượng các nghiệm của đa thức đặc trưng nằm ở bên phải mặt phẳng phức. Tiêu chuẩn này sử dụng bảng Routh. Trong bảng này, các phần tử an,, an-1 là các hệ số của đa thức đặc trưng p(s) và các phần tử b0, b1,, c0, c1 là các số tính toán như sau: 2 4 1 3 1 5 1 2 1 1 ; ,... n n n n n n n n n n a a a a a a a a b b a a - - - - - - - - = - = - (5.4a) 1 51 3 1 31 2 1 2 1 1 ; ,... n nn n a aa a b bb b c c b b - -- - = - = - (5.4b) Và cứ như vậy để tính tất các các số hạng khác. 2 4 1 1 3 5 2 1 2 3 1 2 3 1 0 ... ... ... ...... ... ... ... ...... ... ... ... ... ... ... ... ... n n n n n n n n n a a as a a as b b bs c c c s s - - - - - - - Định lý 5.3.2. Điều kiện cần và đủ để phần thực của các nghiệm đa thức đặc trưng p(s) nằm phía trái mặt phẳng phức là tất cả các hệ số ở cột thứ nhất bảng Routh từng đôi một không khác dấu nhau. Trong trường hợp từng cặp một thay đổi dấu, thì hệ thống sẽ không ổn định và số nghiệm nằm bên phải mặt phẳng phức sẽ bằng số cặp đổi dấu. Ví dụ 1: Kiểm tra tính ổn định của hệ thống có phương trình đặc trưng sau: 3 2( ) 10 11 6p s s s s= + + + Lý thuyết điều khiển tự động ThS. Phạm Trường Tùng 101 Giải: Xây dựng bản Routh: 3 2 1 0 1 11 10 6 10.4 6 s s s s Cột thứ nhất bảng Routh không có sự đổi dấu, như vậy hệ thống ổn định Ví dụ 2: Kiểm tra tính ổn định của hệ thống có phương trình đặc trưng sau: 4 3 2( ) 2 1p s s s s s= + + + + Giải: Xây dựng bảng Routh: 4 3 2 1 0 1 1 1 1 2 1 1 3 1 s s s s s - Cột thứ nhất của bảng Routh có hai lần đổi dấu, như vậy đa thức đặc trưng p(s) có hai nghiệm nằm bên phải mặt phẳng phức. Do đó, hệ thống không ổn định. Theo như đã được chứng minh, chúng ta có thể nhân hoặc chia một hàng hoặc một cột trong bảng Routh với một hằng số thì sẽ không ảnh hưởng đến kết quả cuối cùng của tiêu chuẩn Routh. Như vậy, việc tính toán bảng Routh sẽ được đơn giản hơn. Có hai trường hợp mà tiêu chuẩn Routh không giới thiệu ở trên và không áp dụng được. Hai trường hợp này cần có một sự điều chỉnh để có thể áp dụng được tiêu chuẩn ở trên, hai tiêu chuẩn đó là: 1. Xuất hiện phần tử bằng không ở cột thứ nhất bảng Routh. Trong trường hợp này, bảng Routh không thể hoàn thành bởi vì do có phần tử bằng không ở cột thứ nhất nên kết quả tính toán sẽ tiến đến vô cực khi ta sử dụng quan hệ (5.4). Để khắc phục sự khó khăn này, ta nhân đa thức đặc trưng Lý thuyết điều khiển tự động ThS. Phạm Trường Tùng 102 p(s) với thừa số (s + a) với a > 0 và –a không phải là nghiệm của đa thức p(s). Kết quả cuối cùng của việc kiểm tra ổn định cho đa thức p’(s) = ( s + a)p(s) cũng là kết quả kiểm tra tính ổn định cho đa thức đặc trưng p(s). Ví dụ 3: Kiểm tra tính ổn định của hệ thống có đa thức đặc trưng sau: 4 3 2( ) 2 2 3p s s s s s= + + + + Giải: Xây dựng bảng Routh 4 3 2 1 0 1 2 3 1 2 0 s s s s s ¥ Do có xuất hiện giá trị không trên cột thứ nhất bảng Routh, do đó ta nhân đa thức p(s) với thừa số (s +1), chúng ta có: 4 3 2 5 4 3 2'( ) ( 1)( 2 2 3) 2 3 4 5 3p s s s s s s s s s s s= + + + + + = + + + + + Bây giờ ta xây dựng bảng Routh 5 4 3 2 1 0 1 3 5 2 4 3 1 3.5 3 3 4.5 3 s s s s s s - Theo kết quả của bảng Routh, đa thức p’(s) có hai nghiệm nằm bên phải mặt phẳng phức và như vậy hệ thống có đa thức đặc trưng p(s) không ổn định. 2. Ở bảng Routh có một hàng bằng không Trong trường hợp này, bảng Routh sẽ không thể hoàn thành được bởi vì việc tính toán cấc phần tử còn lại theo các phần tử trên hàng không này bằng công thức (5.4) sẽ xuất hiện phép tính 0/0. Để khắc phục khó khăn này, chúng ta làm như sau: - Lập một đa thức phụ q(s) của hàng mà có các phần tử làm xuất hiện hàng không. - Đạo hàm q(s) và thay vào hàng không các hệ số của đa thức q(1)(s). Lý thuyết điều khiển tự động ThS. Phạm Trường Tùng 103 - Hoàn thành bảng Routh theo cách thông thường. Ví dụ 4: Kiểm tra tính ổn định của hệ thống có đa thức đặc trưng sau: 5 4 3 2( ) 2 2 3 3p s s s s s s= + + + + + Giải: Xây dựng bảng Routh như sau: 5 4 3 2 1 0 1 2 3 1 2 3 0 0 s s s s s s Bảng Routh không thể hoàn thành được bởi xuất hiện một hàng gồm các phần tử là số không. Do đó ta làm như sau: - Xây dựng đa thức phụ 4 2( ) 2 3q s s s= + + ở hàng s4. - Đạo hàm đa thức phụ này, ta sẽ được: (1) 3( ) 4 4q s s s= + - Thay các hệ số của đa thức q(1)(s) vào hàng thay thế các phần tử không và tiếp tục xây dưng bảng Routh, ta được. 5 4 3 2 1 0 1 2 3 1 2 3 4 4 1 3 8 3 s s s s s s - Ta thấy cột thứ nhất bảng Routh có hai lần đổi dấu, điều đó cho thấy đa thức đặc trưng p(s) có hai nghiệm nằm bên phải mặt phẳng phức, do đó, hệ thống này không ổn định. Cuối cùng, xét đa thức đặc trưng có các hệ số là các tham số tự do. Khi đó, sử dụng tiêu chuẩn Routh có thể tìm được khoảng giới hạn của các tham số tự do này mà làm cho hệ thống ổn định. Đây chính là dạng bài toán thiết kế hệ thống. Lý thuyết điều khiển tự động ThS. Phạm Trường Tùng 104 Ví dụ :. Hình 5.9. Mô hình điều khiển hướng máy bay Dưới tác động của tín hiệu u(t), các cơ cấu chấp hành sẽ làm máy bay xoay một góc q(t) quanh trục lệch hướng để điều khiển hướng bay cho máy bay. Một cách gần đúng, cơ cấu chấp hành có hàm truyền và sơ đồ khối như sau: 2 ( ) 1( ) ( ) 4 1 sG s U s s s s Q = = é ù+ +ë û a. Khảo sát tính ổn định của hệ thống? b. Hệ thống được điều khiển bằng sơ đồ khối như sau: Cho Gc(s) = K, xác định K để hệ thống ổn định Giải: a. Phương trình đặc trưng của hệ thống: 3 24 0s s s+ + = Với phương trình đặc trưng như thế này, có thể kết luận là hệ thống không ổn định. b. Khi bộ điều khiển Gc(s) = K, ta có hàm truyền hệ kín là: 3 2 3 2 3 2 1 ( ) ( ) 4( ) 11 ( ) ( ) 41 4 c c KG s G s Ks s sH s G s G s s s s KK s s s + += = = + + + ++ + + Đa thức đặc trưng của hệ kín là: 3 24s s s K+ + + G(s) U(s) Q(s) Lý thuyết điều khiển tự động ThS. Phạm Trường Tùng 105 Sử dụng tiêu chuẩn Routh để xác định Kp: s3 1 1 s2 4 K s1 (4-K)/4 s0 K/4 Vậy để hệ ổn định thì 4 0 4 0 4 0 4 K K K -ì >ïï Þ < <í ï > ïî Như vậy, thông qua việc áp dụng tiêu chuẩn ổn định, ta đã tiến hành khoanh vùng được giá trị tham số K. Điều này sẽ giúp cho việc thiết kế hệ thống sau này sẽ trở nên dễ dàng hơn. 5.3.3. Tiêu chuẩn Huwitz Tiêu chuẩn Huwitz dùng để kiểm tra xem đa thức đặc trưng p(s) của hệ thống có nghiệm nằm bên phải mặt phẳng phức hay không. Tuy nhiên, khác với tiêu chuẩn Routh, nó lại không cho biết được có bao nhiêu nghiệm nằm bên phải mặt phẳng phức. Tiêu chuẩn Huwitz được áp dụng dựa trên cơ sở của định thức Huwitz được định nghĩa như sau: 0 naD = 1 1na -D = 1 3 2 2 n n n n a a a a - - - D = 1 3 5 3 2 4 1 30 n n n n n n n n a a a a a a a a - - - - - - - D = Lý thuyết điều khiển tự động ThS. Phạm Trường Tùng 106 0 1 3 1 1 2 0 1 3 2 1 ... if n is ... 0 ... 0 if n is if n is ... 0 ... 0 if n is 0 ... 0 0 ... 0 ... ... ... 0 0 0 ... n n n n n n n n n n n a odd a a a even a odd a a a even a a a a a a - - - - - - - é ù ê ú ë û é ù ê ú ë ûD = Tiêu chuẩn Huwitz được phát biểu bằng định lý sau: Định lý 5.3.3 Điều kiện cần và đủ để các nghiệm của đa thức đặc trưng p(s) nằm bên trái mặt phẳng phức là các Di > 0 "i = 0,1n Ví dụ 6: Kiểm tra tính ổn định của hệ thống có đa thức đặc trưng sau: 3 2( ) 10 11 6p s s s s= + + + Giải: Xác định các định thức Huwitz: 0 1naD = = ; 1 1 10na -D = = ; 1 3 2 2 10 6 104 1 11 n n n n a a a a - - - D = = = ; 1 3 5 3 2 4 1 3 10 6 0 1 11 0 624 0 0 10 6 n n n n n n n n a a a a a a a a - - - - - - - D = = = Các đa thức Huwitz đều dương, do đó, hệ thống ổn định. 5.3.4. Tiêu chuẩn khai triển phân số liên tục. Tiêu chuẩn khai triển phân số liên tục dựa trên cơ sở tiêu chuẩn Huwitz để kiểm tra xem đa thức đặc trưng p(s) có nghiệm nằm bên phải mặt phẳng phức hay không. Để thực hiện tiêu chuẩn này, cần phải nhóm đa thức đặc trưng p(s) thành hai đa thức: 2 4 1 2 4( ) ... n n n n n np s a s a s a s - - - -= + + + 1 3 5 2 1 3 5( ) ... n n n n n np s a s a s a s - - - - - -= + + + Bây giờ chúng ta sẽ xem xét tỉ lệ của p1(s) và p2(s) bằng cách khai triển như sau: Lý thuyết điều khiển tự động ThS. Phạm Trường Tùng 107 1 1 2 2 3 ( ) 1 1p ( ) 1 ............... 1 n p s h s s h s h s h s = + + + Tiêu chuẩn khai triển phân số liên tục được phát biểu như sau: Định lý 5.3.4 Nếu hj > 0 với tất cả j = 1,2n thì phần thực của các li nhỏ hơn không (Re li < 0) với tất i = 1,2n. Trong đó li là các nghiệm của đa thức đặc trưng p(s). Ví dụ 7: Kiểm tra tính ổn định của hệ thống có đa thức đặc trưng sau: 3 2( ) 10 11 6p s s s s= + + + Giải: Các đa thức 31( ) 11p s s s= + và 2 2 ( ) 10 6p s s= + Chúng ta có: 3 1 2 2 104 ( ) 11 1 10 100 1p ( ) 10 6 10 104104 60 sp s s s s s s s s + = = + + + Theo đó ta có: 1 2 3 1 100 104; ; 10 104 60 h h h= = = Tất cả các hệ số của phân số khai triển liên tục đều dương. Do đó, hệ thống ổn định. 5.3.5. Tính ổn định của một số hệ thống thực tế Trong phần này, chúng ta sẽ giới thiệu việc kiểm tra tính ổn định của một số hệ thống trong thực tế. Ví dụ 8: Áp dụng này sẽ kiểm tra tính ổn định của tàu thủy bị dao động dưới tác dụng của sóng và gió to. Khi tàu thủy lệch một q so với trục thẳng đứng thì cánh bên của nó cũng tạo một moment ngược lại nhằm tạo lại sự cân bằng so với trục thằng đứng, do đó, hiển nhiên rằng qr = 0 mô tả độ lệch mong muốn của tàu. Lý thuyết điều khiển tự động ThS. Phạm Trường Tùng 108 Chiều dài của cánh bên nhô ra trong nước được điều khiển bằng một bộ truyền động có hàm truyền Gc(s) = K/s. Độ lệch so với trục thẳng đứng được đo bằng thiết bị có hàm truyền Fd(s) = F0 = hằng số. Một mô hình toán học đơn giản mô tả con tàu được có dạng hàm truyền bậc hai Gs(s). Giá trị z = 0.1 và wn = 2. Để đơn giản, cho Fn = 1. Tìm khoảng giá trị của K để hệ thống vòng kín là ổn định. Hình 5.10. Mô hình điều khiển góc nghiêng tàu thủy Giải: Hàm truyền đạt của hệ thống vòng kín là: 2 3 2 2 4 ( ) ( ) 40.4 4( ) 41 ( ) ( ) ( ) 0.4 4 41 0.4 4 c s c s d K G s G s Ks s sG s KG s G s F s s s s K s s s + += = = + + + ++ + + Lý thuyết điều khiển tự động ThS. Phạm Trường Tùng 109 Đa thức đặc trưng của hệ thống kín này là: 3 2( ) 0.4 4 4p s s s s K= + + + Sử dụng bảng Routh cho đa thức đặc trưng: 3 2 1 0 1 4 0.4 4 4 10 4 s Ks Ks Ks - Để hệ vòng kín này ổn định thì : 4 10 0 0 0.4 4 0 K K K - >ì Þ î Ví dụ 9: Ở áp dụng này sẽ giới thiệu về việc điều khiển sự lệch hướng của máy bay phản lực ( hình 5.11a). Một sơ đồ khối đơn giản của hệ thống vòng kín cho ở hình 5.11b, với máy bay được coi là hệ thống bậc bốn, tìm khoảng giá trị của K để hệ vòng kín ổn định. Hình 5.11. Mô hình điều khiển góc hướng máy bay phản lực Lý thuyết điều khiển tự động ThS. Phạm Trường Tùng 110 Giải: Hàm truyền đạt vòng kín của hệ thống là: ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) 2 2 2 4 3 2 1 2 1( ) ( )( ) 11 ( ) ( ) ( ) 2 11 2 1 3 3 2 c s c s d K s s s sG s G s KG s G s G s F s s s s s KK s s s s K s s s s K + + + = = = + + + + ++ + + + = + + + + Như vậy, đa thức đặc trưng của hàm truyền hệ thống có dạng: 4 3 2( ) 3 3 2p s s s s s K= + + + + Xây dựng bảng Routh cho đa thức đặc trưng này: 4 3 2 1 0 1 3 3 2 7 3 92 7 K s s Ks Ks s K - Để hệ vòng kín có đa thức đặc trưng p(s) ở trên ổn định thì: 92 0 1407 90 K K K ì - >ï Þ < <í ï >î Bài tập chương 5. 1. Xác định tính ổn định của các hệ thống có đa thức đặc trưng sau: a. 4 3 22 6 7 5s s s s+ + + + b. 3 2 2 1s s s+ + + c. 3 2 1s s+ + d. 4 3 2 2 1s s s s+ + + + 2. Cho sơ đồ khối của hệ thống điều khiển vận tốc ở hình sau. Tìm dãy giá trị K để hệ thống kín ổn định. Lý thuyết điều khiển tự động ThS. Phạm Trường Tùng 111 Hình 5.12. 3. Nghiên cứu một hệ thống điều khiển tên lửa có sơ đồ khối như hình sau. Khi hàm truyền của bộ điều khiển là Gc(s) = (s+3)(s+2)/s, xác định giá trị K để hệ thống kín ổn định. Khi hàm truyền đạt là Gc(s) = s + a, xác định giá trị K và a để hệ thống ổn định. Hình 5.13. Lý thuyết điều khiển tự động ThS. Phạm Trường Tùng 112 CHƯƠNG 6. CÁC PHƯƠNG PHÁP THIẾT KẾ BỘ ĐIỀU KHIỂN 6.1. Giới thiệu về bộ điều khiển PID Một bộ điều khiển PID gồm có ba phần: phần tỉ lệ được thiết kế với hệ số KP, phần tích phân được thiết kế với hệ số Ki/s, và phần vi phân được thiết kế với hệ số sKd. Như vậy, hàm truyền đạt của hệ thống sẽ là: s K Ks K K sK s sKKsK sK s KKsG d I d p d dIp d I pc ÷÷ ø ö çç è æ ++ = ++ =++= 2 2 )( (6.1a) Với Kp, KI, Kd là các hệ số tỉ lệ, tích phân và vi phân. Bộ điều khiển PID còn được biểu diễn như sau: ÷÷ ø ö çç è æ ++= sTs sT KsG d i pc 11)( ; Với p d d i p i K KT K K T == ; (6.1b) Với Kp được gọi là hệ số tỉ lệ, Ti là hằng số thời gian tích phân, Td được gọi là hằng số thời gian vi phân hay hằng số tốc độ thời gian. Sơ đồ khối của bộ điều khiển PID với phương trình 6.1b được thể hiện ở hình 6.1. Rõ ràng là hàm truyền đạt của bộ điều khiển PID bao gồm một cực tại gốc tọa độ và hai nghiệm có vị trí phụ thuộc vào các tham số Kp, Ki, Kd hoặc Kp, Ti hay Td. Vấn đề chung của bộ điều khiển PID là làm thế nào để chọn lựa các thông số bất kì của Gc(s) nhằm thõa mãn yêu cầu thiết kế ở mức tốt nhất có thể. Hình 6.1. Bộ điều khiển PID Các trường hợp đặc biệt của bộ điều khiển PID là các bộ điều khiển PI và PD. Để dễ dàng nghiên cứu bộ điều khiển PID, trước tiên ta khảo sát các bộ điều khiển PI và PD. Lý thuyết điều khiển tự động ThS. Phạm Trường Tùng 113 6.2. Các bộ điều khiển PD Hàm truyền đạt của bộ điều khiển PD là: ( ) pc p d d d K G s K K s K s K æ ö = + = +ç ÷ è ø (6.2) Hình 6.2. Hệ thống với bộ điều khiển PD Xét hệ thống vòng hở như ở hình 6.2 với bộ điều khiển kiểu PD và một cách đơn giản, hàm truyền của hệ thống Gp(s) là hàm bậc hai. Khi đó hàm truyền đạt của tuyến thuận G(s) của hình 6.2 sẽ là: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) p dc p K K s G s G s G s s s b a + = = + (6.3) Như vậy trong trường hợp này, chúng ta đã thêm vào một nghiệm s = - Kp/Kd = - 1/Td, nhưng bậc của hệ thống vẫn giữ nguyên. Và kết quả hàm hệ thống vòng kín của hệ thống sẽ trở nên ổn định hơn. Ảnh hưởng của Gc(s) lên ứng xử của hệ vòng kín được giải thích ở hình 6.3. Cả ba dạng sóng đều là của một hệ thống kín, với đầu vào r(t) dạng bước nhảy đơn vị và bộ điều khiển chỉ là bộ điều khiển tỉ lệ. Chúng ta nhận thấy rằng ta có một sự vọt lố cao và một hệ thống khá dao động. Dạng sóng e’(t) của tín hiệu sai lệch cho ta thông tin về độ tăng hoặc giảm độ vọt lố của y(t). Hơn nữa, trong hệ thống tuyến tính, nếu độ dốc của e(t) hoặc y(t) lớn thì độ vọt lố cũng sẽ lớn. Bây giờ, với bộ điều khiển PD mà ta sử dụng, khi đó thành phần sKd sẽ dự báo và thật sự là cố gắng làm giảm sự vọt lố. Điều này có nghĩa là, thành phần vi phân trong bộ điều khiển PD hoạt động như là bộ điều khiển “trước thời hạn”. Ở một khía cạnh nào đó, bằng Lý thuyết điều khiển tự động ThS. Phạm Trường Tùng 114 sự hiểu biết về độ dốc của e(t), thành phần vi phân có thể lường trước được hướng sai lệch và sử dụng nó để cải thiện đáp ứng của hệ thống kín. Trở lại với phương trình 6.3, một cách đơn giản cho α = b = 1, trong trường hợp này, hệ thống kín sẽ trở thành: ( )2 ( )( ) 1 ( ) 1 p d d p K K sG sH s G s s K s K + = = + + + + (6.4) Để giúp cho việc nghiên cứu trở nên dễ dàng hơn, ta chọn Kp = 4, Kp = 0 và 1. Khi đó hàm truyền đạt H1(s) và H2(s) trong hai trường hợp Kp = 0 và Kp = 1 là: 1 2 4( ) 4 H s s s = + + với Kd = 0 2 4( ) 2 4 sH s s s + = + + với Kd = 1 Hình 6.3. Dạng sóng của (a) y(t), (b) e(t) và (c) e’(t) Đáp ứng của hệ thống kín được biểu diễn ở hình 6.4 với r(t) = 1. Nó chỉ ra rằng, thành phần vi phân làm giảm độ vọt lố và sự dao động của đáp ứng. Lý thuyết điều khiển tự động ThS. Phạm Trường Tùng 115 Hình 6.4 Ví dụ 1: Xét một hệ thống điều khiển vệ tinh trong thực tế đã được mô tả ở phần 3.13.7. Khảo sát ứng xử của vệ tinh khi bộ điều khiển Gc(s) là bộ điều khiển P và PD, với Gc(s) = Kp và Gc(s) =Kp(1 + Tds). Giả sử rằng đầu vào của hệ thống vòng kín qr(t) = 1. Hình 6.4. Bộ điều khiển vệ tinh trong thực tế Lý thuyết điều khiển tự động ThS. Phạm Trường Tùng 116 Giải: Vị trí góc của vệ tinh trong trường hợp Gc(s) = Kp là: ( ) 2 2 2 22 2 1 1( ) ( ) ( ) ny r nn ss H s s s s ss w ww Q = Q = = - ++ với wn2 = KtKbKpJ-1 Sử dụng biến đổi Laplace ngược ta được qy(t) = 1 - coswnt. Biểu thức qy(t) chỉ ra rằng đầu ra của hệ thống dao động quanh trục x. Đó là bởi vì trong không gian không có ma sát (hệ số tắt dần z = 0). Như vậy, hệ thống với Gc(s) = Kp sẽ không có ứng xử thõa mãn mong muốn được. Để cải thiện tình hình, ta sử dụng bộ điều khiển PD: Gc(s) =Kp(1 + Tds) Trong trường hợp này, hàm truyền đạt vòng kín sẽ là: 2 2 2 2 (1 ) (1 )( ) (1 ) 2 t b p d n d t b p d n n K K K T s T sH s Js K K K T s s s w zw w + + = = + + + + với wn2 = KtKbKpJ-1 và z = Tdwn/2 Với đầu vào Qr(s) = 1/s. Đầu ra của hệ thống là: 2 2 2 (1 )( )( ) ( ) ( ) ( 2 ) n d y r n n T sH ss H s s s s s s w zw w + Q = Q = = + + Nếu chúng ta chọn giá trị Td sao cho 0 < z < 1, tương ứng với trường hợp 2 ở mục 4.3.2 và phương trình (4.2-7), ta có: ( ) 2 2 2 2 21( ) n dy d s Ts s s s w s w + + Q = - + + với 2 1/ 2; (1 )n d ns w z w w z= = - Hoặc: ( ) ( ) 2 2 22 2 1( ) n d dy dd d Tss s s s s w ws ws w s w é ùé ù++ Q = - - ê úê ú + + + +ê úë û ë û Đáp ứng trong miền thời gian: 2 d( ) 1 os sin 1 sin( ) t tn d y d d d Tt e c t t Ce ts ss wq w w w j w - -é ù+= - + = - +ê ú ë û Với 2 2 2 1 2 ( ) ; tand n d d d n d T C T w s w w j w s w -+ + é ù= = ê ú+ë û Lý thuyết điều khiển tự động ThS. Phạm Trường Tùng 117 Với biểu thức qy(t) ở trên, ta thấy rằng, khi sử dụng bộ điều khiển PD, đáp ứng của hệ thống như ở hình 6.5. Trong trường hợp này, hệ thống sữ ít nhiều có sự dao động và sẽ tiến tới gia trị đặt qy(t) = qr(t) =1.Biên độ dao động sẽ bị chi phối bởi hệ số tắt dần. và như vậy, ta có thể điều chỉnh Td và wn sao cho 0 < z < 1. Áp dụng trên giúp ta khám phá sựu ảnh hưởng của bộ điều khiển PD đến ứng xử của một hệ thống kín. Với Gc(s) = Kp, hệ thống sẽ dao động, trong khi đó với Gc(s) = Kp(1+Tds) thì hệ thống sẽ nhanh chóng đạt đến một trạng thái dừng. Dó là nhờ thành phần vi phân, bằng cách dự đoán trước hướng sai lệch mà có hành động phù hợp để giảm độ vọt lố và sự dao động, mang hệ thống đến trạng thái dừng qy(t) = qr(t) =1 6.3. Bộ điều khiển PI Hàm truyền đạt của bộ điều khiển PI là: 1( ) 1 i p di c p p i KK s KKG s K K s s T s æ ö +ç ÷ æ öè ø= + = = +ç ÷ è ø (6.6) Xét hệ thống kín cho ở hình 6.5 với bộ điều khiển kiểu PI và với một đối tượng đơn giản có hàm truyền Gp(s) là khâu bậc 2. Khi đó, hàm truyền đạt của tuyến thuận sẽ là: 2 ( )( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) i p c p K K sY sG s G s G s E s s s b a + = = = + (6.7) Như vậy, bộ điều khiển PI thêm vào hệ thống một nghiệm s = - Ki/Kp = - 1/Ti và một cực s = 0. Như vậy, so sánh với bộ điều khiển PD, bậc của hệ thống sẽ tăng lên 1. Kết quả là, bộ điều khiển PI nhận được sự ảnh hưởng sai số ở trạng thái xác lập khi mà kiểu hệ thống được tăng lên 1 (xem ở mục 4.7). Trái lại, trong tương quan về sự ổn định sẽ bị giảm do xuất hiện cực s =0. Xét ở hợp riêng, đáp ứng của hệ thống với a = b =1 với (Kp)1 > (Kp)2 > (Kp)3 và (Ki)1 > (Ki)2 > (Ki)3 được thể hiện ở hình 6.6. Nó chỉ ra rằng, khi mà hệ số Kp và Ki giảm, hệ thống sẽ ít dao động và sẽ trở nên ổn định hơn. Việc chọn Kp và Ki thích hợp có thể nhận được ứng xử mong muốn của hệ thống, thường được mô tả với độ vọt lố không quá 25%. Lý thuyết điều khiển tự động ThS. Phạm Trường Tùng 118 Hình 6.5. Bộ điều khiển PI Hình 6.6. Đáp ứng của hệ thống với bộ điều khiển PI Ví dụ 2: Xét một đối tượng được điều khiển với hàm truyền đạt như sau: 1 ( ) 1 KG s T s = + Hãy chỉ ra rằng, bằng cách sử dụng bộ điều khiển PI có thể đặt được một cực ở vị trí bất kì và hãy mô phỏng việc điều khiển vị trí sai số ở trạng thái xác lập trở về không. Giải: Rõ ràng, bằng cách chọn bộ điều khiển PI, cùng với hệ bậc 1 có thể đưa sai số xác lập của hệ thống về không. Với việc quan tâm đến vị trí của cực, ta có hàm truyền đạt của hệ kín H(s) là: ( ) ( )( ) 1 ( ) ( ) c c G s G sH s G s G s = + Chúng ta có: Lý thuyết điều khiển tự động ThS. Phạm Trường Tùng 119 1 1 ( )1 ( ) ( ) 1 (1 ) 1 ( )c p i K b sG s G s K T s T s a s é ùé ù + = + + =ê úê ú+ë û ë û Phương trình đặc trưng b(s) = 0 là: 2 1 1 1 1 0p p i KK KK s s T T TT é ù + + + =ê ú ë û Như vậy, hệ thống kín là một hệ bậc hai. Dạng tổng quát của nó có dạng: 2 22 0n ns szw w+ + = Cân bằng các hệ số tương ứng với bậc của s trong hai phương trình và giải tìm với hai tham số trong bộ điều khiển PI ta được: 1 1 2 1 2 1 2 1;n np i n T TK T K T zw zw w - - = = Như vậy, với bất kì giá trị mong muốn nào của z và wn, ta đều tìm được giá trị của các hệ số Kp và Ki tương ứng để mô tả được đa thức đặc trưng 2 22 0n ns szw w+ + = . Do các nghiệm của đa thức đặc trưng là các cực của hệ thống vòng kín, vì vậy ta có thể di chuyển các cực của hệ bậc 1 đến các vị trí mong muốn bằng cách sử dụng bộ điều khiển PI. Kết quả này cực kì quan trọng,nó cho phép ta điều khiển được các cực đến vị trí ổn định và có thể tác động đến thời gian đáp ứng của hệ thống kín. Từ các biểu thức Kp và Ti ta nhận được: 1. Hệ số khuếch đại Kp là dương với wn > 2zTi. 2. Với giá trị lớn của wn, Ti » > 2z/wn. Trong trường hợp này, Ti không phụ thuộc vào hằng số thời gian T1. 6.4. Bộ điều khiển PID Một bộ điều khiển vòng kín kiểu PID được cho ở hình 6.7. Hàm truyền đạt của bộ điều khiển PID được định nghĩa ở phương trình 6.8. Lý thuyết điều khiển tự động ThS. Phạm Trường Tùng 120 Hình 6.7. Sơ đồ khối bộ điều khiển PID ( 1)( 1)( ) 1 ic p d p T as bsG s K T s K s s + +é ù= + + =ê úë û (6.8) Với a = Ti + Td và b = TiTd Ở đây, bộ điều khiển PID đã tăng số nghiệm của hệ thống lên hai và số cực lên một, với hai nghiệm là s = -1/a và s = -1/b và cực là s = 0. Bộ điều khiển PID được thiết kế bằng cách chọn các thông số Kp, Ki, Kd hoặc Kp, Ti, Td phù hợp như là điều khiển hệ thống với tất cả các ưu điểm kết hợp của hai bộ điều khiển PD và PI. Với kết quả là ứng xử của hệ thống đạt được như ở hình 6.6. Ở đây, y(t) có thời gian đáp ứng, có độ vọt lố và thời gian quá độ nhỏ cùng với sai số bằng không ở trạng thái ổn định và tất nhiên, đáp ứng sẽ gần với thực tế hơn. Cái khó để đạt được đáp ứng như vậy là việc chọn cho được ( hoặc điều chỉnh) các thông số Kp, Ki, Kd cho bất kì hệ thống khả năng điều khiển được riêng biệt. Có hai phương pháp để chọn lựa các thông số Kp, Ki, Kd được giới thiệu ở phần 6.5 sau. Ví dụ 3: Xét một hệ thống điều khiển được với hàm truyền đạt sau: 1 2 ( ) (1 )(1 ) KG s T s T s = + + Chỉ ra rằng, bằng cách sử dụng bộ điều khiển PID, ta có thể đưa các cực của hệ thống đến vị trí thích hợp và mô phỏng việc điều khiển sai lệch vị trí về 0 ở trạng thái ổn định. Lý thuyết điều khiển tự động ThS. Phạm Trường Tùng 121 Giải: Hiển nhiên, bằng cách sử dụng bộ điều khiển PID, ta có được hệ thống kiểu 1 và sẽ đạt được sai số vị trí ở trạng thái ổn định bằng 0 ( xem mục 4.7). Để chứng minh việc di chuyển các cực, ta thực hiện giống như Áp dụng 6.2 và tìm được đa thức đặc trưng của hệ thống như sau: 3 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 1 0p d p p i KK T KK KK s s s T T TT TT TT TT T é ù é ù + + + + + + =ê ú ê ú ë û ë û Như vậy, hệ thống vòng hở là một hệ thống bậc 3. Dạng tổng quát của đa thức đặc trưng của hệ thống bậc ba là: ( ) ( )2 22 0n n ns s stw zw w+ + + = Tính toán các số hạng có số mũ bằng nhau ở hai phương trình trên cùng với một vài bước tính toán số học, chúng ta nhận được kết quả các giá trị của các tham số bộ điều khiển PID là Kp, Ti và Td như sau: 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 3 1 2 1 2 (1 2 ) 1 (1 2 ) 1 ( 2 ); ; (1 2 ) 1 n n n p i d n n TT TT TT T TK T T K TT TT w zt w zt w t z tw w t + - + - + - - = = = + - Như vậy, với bất kì giá trị nào của bộ ba t, z, wn chúng ta luôn luôn tìm được các giá trị Kp, Ti và Td dùng để mô tả đa thức đặc trưng của hệ bậc 3 ( ) ( )2 22 0n n ns s stw zw w+ + + = . Do các nghiệm của đa thức đặc trưng là các cực của hệ thống vòng kín, nên ta có thể nói rằng có thể di chuyển các cực của hệ thống bậc 2 bằng bộ điều khiển PID. Kết quả này đặc biệt quan trọng bởi vì thông qua việc điều khiển các cực, ta có thể điều khiển làm cho hệ thống vòng kín ổn định và đáp ứng của hệ thống vòng kín trở nên tốt hơn. Ví dụ 4: Xét một hệ thống kín chỉ ở hình 6.10, với bộ điều khiển PID được dùng để điều khiển hướng của con tàu. Nhiễu ( ví dụ như gió) tác động lên hệ thống như biểu diễn trên sơ đồ khối. Tín hiệu đặt r(t) luôn luôn là hằng số. Thiết kế một bộ điều khiển mà đáp ứng của hệ thống kín với nhiễu là nhanh (thời gian quá độ khoảng 2 đến 3 giây với sai số xác lập là 2%) và sự dao động của nó thõa đáng. Chọn vị trí của các cực sao cho hệ thống kín có một cặp cực tốt nhất. Tìm thời gian đáp ứng của hệ thống với nhiễu là hàm bước nhảy đơn vị cùng với tín hiệu vào cũng là hàm bước nhảy đơn vị. Lý thuyết điều khiển tự động ThS. Phạm Trường Tùng 122 Hình 6.10. Hệ thống điều khiển với bộ điều khiển PID điều khiển hướng của tàu Giải. Theo quan hệ (6.8), hàm truyền đạt của bộ điều khiển PID là: ( 1)( 1)( ) 1 ic p d TK as bsG s K T s s s + + é ù= = + +ê úë û Với K = Kp, a = Ti + Td và b = TiTd. Khi R(s) = 0 và D(s) ≠ 0, hàm truyền đạt của hệ thống vòng kín với nhiễu D(s) được cho bằng: 2 3 2 ( ) ( ) ( ) 1 ( ) ( ) ( 4 16) ( 1)( 1) (4 ) (16 ) d s c s Y s G s s D s G s G s s s s K as bs s s Kab s Ka Kb s K = = + + + + + + = + + + + + + Với Yd(s) là đầu ra của hệ thống tương ứng với nhiễu. Yêu cầu kĩ thuật của hệ thống vòng kín là thời gian đáp ứng của hệ thống trong trường hợp nhiễu là hàm bước nhảy đơn vị là khoảng 2 -3 giây với sai số xác lập là 2% và hệ thống có dao động thõa đáng. Do đó, chúng ta có: 4 2s n T zw = = và như vậy thì ta có zwn = 2. Chúng ta chọn z = 0.4 và wn = 5 rad/s cho cặp cực của hệ thống vòng kín. Chúng ta chọn cực thứ ba s = -12, như vậy tác động trên đáp ứng của hệ thống là không đáng kể. Vì vậy, đa thức đặc trưng là: ( )( )2 3 212 4 25 16 73 300 0s s s s s s+ + + = + + + = Đa thức đặc trưng của hệ thống kín (có nhiễu D(s) ) là: 3 2(4 ) (16 ) 0s Kab s Ka Kb s K+ + + + + + = Lý thuyết điều khiển tự động ThS. Phạm Trường Tùng 123 So sánh các hệ số của hai đa thức trên, ta được: 4 + Kab = 16; 16 + Ka + Kb = 73; K =300. Do vậy, ab = 0,04 và a +b =0,19. Vì vậy ta có: 212( 4.75 25)( )c s sG s s + + = Sử dụng bộ điều khiển PID, đáp ứng của hệ thống với nhiễu D(s) là: ( )( )2 ( ) ( ) 12 4 25d sY s D s s s s = + + + Với D(s) = 1/s, đáp ứng của hệ thống ở trạng thái ổn định sẽ bằng không. ( ) ( ) 2 20 0 1lim ( ) lim ( ) lim 0 12 4 25d dt s s sy t sY s ss s s®¥ ® ® é ù ê ú= = = + + +ê úë û Hơn nữa, ta có: ( ) ( ) 22 2 2 2 2 1 0.099174 0.099174 0.206612( ) 12 4 2512 4 25 0.099174 0.099174( 2) 0.08837 21 12 ( 2) ( 21) ( 2) ( 21) d s sY s s s s ss s s s s s s - +é ù= = + ê ú+ + ++ + + ë û + = - + + + + + + Lấy Laplace ngược ta sẽ được: 12 2 2( ) 0.099174 0.099174 cos 21 0.08837 sin 21t t tdy t e e t e t - - -é ù é ù= - +ë û ë û Đáp ứng bước nhảy đơn vị cho ở hình 6.11 với thời gian đáp ứng là 0.72s và có một chút dao động. Như vậy, việc thiết kế với nhiễu là thõa đáng. Hình 6.11. Đáp ứng của hệ thống với nhiễu là bước nhảy đơn vị Lý thuyết điều khiển tự động ThS. Phạm Trường Tùng 124 Khi R(s) ≠ 0 và D(s) = 0, hàm truyền đạt của hệ kín với đầu vào là tín hiệu đặt R(s): 2 3 2 ( ) ( )( ) 12( 4.75 25) ( ) 1 ( ) ( ) 16 73 300 c sr c s G s G sY s s s R s G s G s s s s + + = = + + + + Với R(s) = 1/s, đầu ra Yr(s) là: 2 3 2 2 2 2 2 ( ) ( ) 12( 4.75 25) 1( ) ( ) 1 ( ) ( ) 16 73 300 1 0.92563 0.07438( 2) 0.16231 21 12 ( 2) ( 21) ( 2) ( 21) c s r c s G s G s s sY s R s G s G s s s s s s s s s s + + = = + + + + + = - - + + + + + + Lấy Laplace ngược, ta được: 12 2 2( ) 1 0.92563 0.07438 cos 21 0.1623 sin 21t t try t e e t e t - - -é ù é ù= - - +ë û ë û Đáp ứng bước nhảy đơn vị được cho ở hình 6.12, từ đó ta tìm được độ vọt lố là 7,15% và thời gian đáp ứng là 1.1s Hình 6.12. Đáp ứng hệ thống với tín hiệu đặt là hàm bước nhảy đơn vị 6.5. Thiết kế bộ điều khiển PID sử dụng các phương pháp Ziegler – Nichols. Bộ điều khiển PID có sự điều chỉnh tổng hợp đồng thời của ba tham số, lần lược là Kp, Ti và Td. Nó cho phép một bộ điều khiển PID làm thõa mãn các yêu cầu thiết kế của các trường hợp trong thực tế - mà bộ điều khiển PID lại sử dụng thường xuyên trong thực tế. Các thông số Kp, Ti và Td thích hợp của bộ điều khiển PID có thể lựa chọn bằng phương pháp mò mẫm. Đây là một nhiệm vụ rất khó khăn, chỉ có thể sử dụng khi người kĩ sư thiết kế có nhiều kinh nghiệm với nó. Để tìm ra các giá trị thích hợp của các thông số Kp, Ti và Td, trong trường Lý thuyết điều khiển tự động ThS. Phạm Trường Tùng 125 hợp không có mô hình toán học của hệ thống điều khiển, Ziegler và Nichols gợi ý cho ta sử dụng hai phương pháp đơn giản và hữu dụng sau: 6.5.1. Phương pháp đáp ứng nhanh. Trong trường hợp này, hệ thống điều khiển bị kích thích bằng một hàm bước nhảy đơn vị ( hình 6.13). Đồ thị đáp ứng nhanh của hệ thống hở có dạng tổng quát như hình 6.13b. Trong trường hợp này, chúng ta giới thiệu các tham số td = thời gian trễ, và tr = thời gian đáp ứng. Nhằm mục đích đạt đến hệ số dao động z = 0,2 ( tương ứng với độ vọt lố 25% ) các giá trị Kp, Ti và Td của bộ điều khiển PID được chọn theo bảng 6.1 Hình 6.13. (a) Đáp ứng bước nhảy sử dụng trong thí nghiệm, (b) các chi tiết của đáp ứng bước nhảy Lý thuyết điều khiển tự động ThS. Phạm Trường Tùng 126 Bảng 6.1. Các giá trị của các thông số Kp, Ti và Td sử dụng phương pháp đáp ứng nhanh của Ziegler - Nichols Bộ điều khiển Kp Ti Td Tỉ lệ P r d t t ¥ 0 Tỉ lệ - tích phân PI 0.9 r d t t 0.3 dt 0 Tỉ lệ tích phân vi phân PID 1.2 r d t t 2 dt 0.5 dt Ví dụ 5: Trong hình 6.14 là đáp ứng nhanh của một thiết bị. Tìm các thông số của bộ điều khiển PID sử dụng phương pháp đáp ứng nhanh của Ziegler – Nichols Hình 6.14. Đáp ứng nhanh của một thiết bị cho ví dụ 5 Giải. Từ đồ thị ta thấy, td = 150s và tr = 75s. Sử dụng bảng 6.1, ta có các tham số: 751.2 1.2 0.6; 2 2(150) 300 ; 0.5 0.5(150) 75 150 r p i d i d d tK T t s T t s t = = = = = = = = = 6.5.2. Phương pháp giới hạn ổn định Ở đây, chúng ta bắt đầu với việc điều khiển hệ thống bằng bộ điều khiển tỉ lệ ( hình 6.15a). Hệ số Kp được tăng một cách từ từ cho đến khi xuất hiện sự dao động (hinhg 6.15b). Ở điểm này, chúng ta làm dấu giá trị Kp, kí hiệu là ~ pK , Lý thuyết điều khiển tự động ThS. Phạm Trường Tùng 127 tương ứng với đó là chu kì dao động, kí hiệu là ~ T . Sau đó, các thông số của bộ điều khiển PID được chọn như ở bảng 6.2. Bảng 6.2. Các giá trị của các thông số Kp, Ti và Td sử dụng phương pháp giới hạn ổn định của Ziegler - Nichols Bộ điều khiển Kp Ti Td Tỉ lệ P ~0.5 pK ¥ 0 Tỉ lệ - tích phân PI ~0.45 pK ~ 1.2 T 0 Tỉ lệ tích phân vi phân PID ~0.6 pK ~ 2 T ~ 8 T Trong trường hợp này, bằng cách sử dụng bảng 6.2, hàm truyền đạt của bộ điều khiển PID sẽ là: 2 ~ ~ ~ ~ ~ ~ 4 1( ) 1 0.6 1 0.075 80.5 i p pc p d s T T TG s K T s K s K T s sT s é ùæ ö ê ú+ç ÷é ù ç ÷ê úé ù æ ö è øê ú= + + = + + = ê úç ÷ê ú ê ú è øë û ê úë û ê ú ê úë û Bài tập chương 6. 1. Xét hệ thống có sơ đồ khối như hình sau, sử dụng phương pháp giới hạn ổn định Ziegler – Nichols, xác định bộ điều khiển PID với độ vọt lố chấp nhận 25%. Hình 6.15 2. Cho hệ thống có hàm truyền sau: 1( ) ( 1)(0.2 1)(0.05 1)(0.01 1)c G s s s s s = + + + + Lý thuyết điều khiển tự động ThS. Phạm Trường Tùng 128 Vẽ đáp ứng của hệ thống và xác định các thông số của bộ điều khiển PID bằng cách sử dụng phương pháp Ziegler - Nichols Lý thuyết điều khiển tự động ThS. Phạm Trường Tùng 129 CHƯƠNG 7. MÔ PHỎNG HỆ THỐNG TỰ ĐỘNG BẰNG MATLAB\SIMULINK Mục tiêu: - Sinh viên nắm được các thao tác cơ bản trên phần mềm Matlab. - Sinh viên có thể sử dụng công cụ Matlab/Simulink để thiết kế mô phỏng một hệ thống điều khiển tự động. 7.1. Giới thiệu Matlab MATLAB (Matrix Laboratory) là một phần mềm khoa học được thiết kế để cung cấp việc tính toán số và hiển thị đồ họa bằng ngôn ngữ lập trình cấp cao. MATLAB cung cấp các tính năng tương tác tuyệt vời cho phép người sử dụng thao tác dữ liệu linh hoạt dưới dạng mảng ma trận để tính toán và quan sát. Các dữ liệu vào của MATLAB có thể được nhập từ "Command line" hoặc từ "M- files", trong đó tập lệnh được cho trước bởi MATLAB. MATLAB cung cấp cho người dùng các toolbox tiêu chuẩn tùy chọn. Người dùng cũng có thể tạo ra các hộp công cụ riêng của mình gồm các "mfiles" được viết cho các ứng dụng cụ thể. Chúng ta có thể sử dụng các tập tin trợ giúp của MATLAB cho các chức năng và các lệnh liên quan với các toolbox có sẵn (dùng lệnh help). Hình 1. Giao diện khởi động Matlab Lý thuyết điều khiển tự động ThS. Phạm Trường Tùng 130 7.2. Các lệnh cơ bản trong Matlab 7.2.1. Định nghĩa biến Chúng ta cần hiểu được cách Matlab thao tác với các ma trận. Ví dụ một mảng các giá trị A = 1, 0, 9, 11, 5 cũng là ma trận 1x5, B = 9 là ma trận 1x1. Để lưu biến A, tại cửa sổ lệnh, gõ vào lệnh: >> A=[1, 0, 9, 11, 5] Kết quả Matlab trả về : A = 1 0 9 11 5 Để không hiển thị kết quả trên màn hình, chúng ta dùng dấu ; tại cuối câu lệnh. Trong Matlab, các hàng của ma trận được cách bởi “;” và các cột được ngắt bởi “,”. Ví dụ ma trận B có các thành phần như sau: Dòng 1: 1, 2, 3, 4 Dòng 2: 2, 3, 4, 5 Dòng 3: 3, 4, 5, 6 (có thể dùng khoảng trắng thay cho “,” để ngắt cột) >> B=[1 2 3 4; 2 3 4 5;3 4 5 6] B = 1 2 3 4 2 3 4 5 3 4 5 6 Chúng ta có thể cộng, trừ, nhân, chia các ma trận bằng các toán tử đơn giản +, -, *, / trong Matlab. 7.2.2. M-file Ngoài phương pháp gõ lệnh trực tiếp ở cửa sổ lệnh, chúng ta còn có thể tạo một script M-file gồm tập hợp các lệnh gõ ở cửa sổ lệnh. Khi chạy M-file, các lệnh này sẽ được thực hiện tương tự như ở cửa sổ lệnh. Lý thuyết điều khiển tự động ThS. Phạm Trường Tùng 131 Hình 2. Cửa sổ soạn thảo M-file. 7.3. Matlab/Simulink trong điều khiển tự động Simulink là một công cụ trong Matlab dùng để mô hình, mô phỏng và phân tích các hệ thống động với môi trường giao diện sử dụng bằng đồ họa. Việc xây dựng mô hình được đơn giản hóa bằng các hoạt động nhấp chuột và kéo thả. Simulink bao gồm một bộ thư viện khối với các hộp công cụ toàn diện cho cả việc phân tích tuyến tính và phi tuyến. Simulink là một phần quan trọng của Matlab và có thể dễ dàng chuyển đổi qua lại trong quá trình phân tích, và vì vậy người dùng có thể tận dụng được ưu thế của cả hai môi trường. Dưới đây là một số thao tác trong Matlab/Simulink 7.3.1. Mở Simulink Có thể mở Simulink bằng 2 cách: - Click vào biểu tượng như hình dưới (Simulink icon) - Từ cửa sổ lệnh, đánh lệnh simulink và enter Hình 3. Mở Simulink từ biểu tượng Lý thuyết điều khiển tự động ThS. Phạm Trường Tùng 132 Sau khi thực hiện một trong hai cách trên, cửa sổ Simulink sẽ xuất hiện Hình 4. Cửa sổ Simulink 7.3.2. Lập mô hình với Simulink a. Tạo một mô hình mới: Có 2 cách: - Click vào icon New model hoặc gõ Ctrl-N - Menu File àNew à Model Hình 5. Tạo một model mới Sau khi thực hiện thao tác trên, cửa sổ xây dựng mô hình sẽ xuất hiện. Hình 6. Cửa sổ xây dựng mô hình Lý thuyết điều khiển tự động ThS. Phạm Trường Tùng 133 b. Tạo các khối: Từ thư viện Simulink chọn khối cần dùng, nhấp chuột vào và kéo ra ra cửa sổ mô hình Hình 7. Thao tác với các block c. Lưu trữ mô hình: Thao tác bằng lệnh Save (File à Save) hoặc nhấp vào icon Save Hình 8. Thao tác lưu trữ d. Dịch chuyển các khối: Thao tác đơn giản bằng cách nhấp vào khối đó và kéo thả Hình 9. Cách thức dịch chuyển một khối Lý thuyết điều khiển tự động ThS. Phạm Trường Tùng 134 e. Nối tín hiệu: Đưa con chuột tới ngõ ra của khối (dấu “>”), khi đó con chuột sẽ có dạng “+”. Kéo rê chuột tới ngõ vào của một khối khác và thả ra để kết nối tín hiệu. Hình 10. Nối tín hiệu f. Mô phỏng mô hình: Dùng lệnh Start (Menu Simulation à Start) hoặc nhấp chuột vào icon Start. Hình 11. Thao tác chạy mô phỏng g. Xem tín hiệu từ Scope: Nhấp đôi vào khối Scope Hình 12. Xem tín hiệu từ khối Scope Lý thuyết điều khiển tự động ThS. Phạm Trường Tùng 135 Chỉnh thông số của một khối bằng cách nhấp đôi vào khối cần chỉnh. Trước khi mô phỏng mô hình Simulink, chúng ta cần đặt các thông số mô phỏng bằng cách chọn menu Simulation à Configuration Parameters Hình 13. Menu điều chỉnh các tham số Ở cửa sổ Configuration Parameters, chúng ta có thể đặt một số thông số như Start time, Stop time (second – giây), và phương pháp giải Solver, Solver options,.. sau đó nhấn nút OK Hình 14. Điều chỉnh các tham số Bài tập chương 7: Điều khiển tốc độ động cơ DC 1. Điều khiển vòng hở: Sơ đồ điều khiển vòng hở có dạng tương tự như hình sau: Lý thuyết điều khiển tự động ThS. Phạm Trường Tùng 136 Hình 15. Điều khiển vòng hở tốc độ động cơ DC Động cơ kích từ độc lập có các số liệu trên nhãn máy và các thông số như sau: 5hp, 1220 rpm, 240V, 16.2A, Ra = 0.6Ω, Rf = 240Ω, La = 0.012H, Laf = 1.8H, Lf = 10H, J = 0.1kg.m2, B = 0. Nguồn AC Supply: Nguồn 3 pha 220V- 50Hz. Bộ chỉnh lưu điều khiển ba pha full-wave SCR Rectifier với dòng DC liên tục. Mạch kích SCR – Firing Circuit – hàm acos() được sử dụng để điện áp ngõ ra Vdc tỉ lệ với điện áp vào Va(Va có giá trị từ -1 tới 1) -1 dc,avg os ( ) 1 1 2.34 an C V V V V V a a a a = - £ £ = a. Xây dựng mô hình hệ thống như hình trên b. Giả sử nguồn kích từ là 240V, điện áp ngõ vào mạch kích là 0.5V, moment tải định mức. Giả sử các điện áp và tải được đưa vào động cơ cùng lúc. Mô phỏng hệ thống với start time = 0 và stop time = 0.4s, solver là ode4 và fixed step size là 0.0001s. - Tính giá trị đỉnh của dòng mở máy phần ứng (A), moment điện từ (Nm) và tốc độ (rpm) - Độ vọt lố tốc độ max (%) - Độ gợn (ripple) DIa và DTe khi xác lập. Làm cách nào để giảm chúng? - Giá trị trung bình Vdc - Vẽ dạng sóng của ia, Te và n? Lý thuyết điều khiển tự động ThS. Phạm Trường Tùng 137 2. Điều khiển vòng kín với hồi tiếp dòng điện Sơ đồ điều khiển có dạng tương tự như hình sau: Hình 16. Điều khiển vòng kín tốc độ động cơ DC Hàm truyền khâu PI có dạng: KY Kx x Ts = + Với x là ngõ vào sai số, K = 0.02 và T = 0.01s, upper limiting level = 1.0, lower limiting level = 0.0 a. Xây dựng mô hình hệ thống như hình trên. b. Giả sử nguồn kích từ là 240V, moment tải định mức, dòng điện đặt là 32.4A (bằng 2 lần dòng định mức). Giả sử các điện áp, moment tải và dòng điện đặt được đưa vào hệ thống cùng lúc. Mô phỏng hệ thống với start time = 0 và stop time = 1s, solver là oder 4 và fixed step size là 0.0002s. - Tính giá trị đỉnh của dòng mở máy phần ứng (A), moment điện từ (Nm) và tốc độ (rpm) - Trong quá trình khởi động, tốc độ rotor tăng tuyến tính theo thời gian. Giải thích? - Dòng phần ứng và moment điện từ không có dạng sóng tương tự lúc bắt đầu quá trinh khởi động. Tại sao? - Dòng phần ứng được giữ không đổi trong lúc mở máy. Tại sao? Lý thuyết điều khiển tự động ThS. Phạm Trường Tùng 138 - Nếu moment quán tính tăng gấp đôi, thời gian khởi động có tăng gấp đôi không? 3. Điều khiển vòng kín hồi tiếp dòng điện và tốc độ Thông số khâu PI tốc độ như sau: K = 1.2 và T = 0.3s, upper limiting level = 32.4 (A), lower limiting level = 0.0 Sơ đồ điều khiển có dạng tương tự như hình sau: Hình 17. Điều khiển vòng kín có hồi tiếp dòng điện và tốc độ động cơ DC a. Xây dựng mô hình hệ thống như hình trên b. Giả sử nguồn kích từ là 240V, moment tải 10Nm, tốc độ đặt là 63.9rad/s. Giả sử các điện áp, moment tải và tốc độ đặt được đưa vào hệ thống cùng lúc. Mô phỏng hệ thống với start time = 0 và stop time = 1s, solver là ode4 và fixed step size là 0.0002s. - Vẽ dạng sóng dòng phần ứng và tốc độ rotor - Tính độ vọt lố tốc độ? - Tìm các thông số bộ hiệu chỉnh PI tốc độ sao cho độ vọt lố tốc độ xấp xỉ 5% và tốc độ xác lập nhanh nhất có thể? Lý thuyết điều khiển tự động ThS. Phạm Trường Tùng 139 BÀI TẬP TỔNG HỢP Bài tập số 1 Jm Mm(t) qm(t) La(t) Ra(t) Ua(t) eb(t) Uf(t) Rf(t) Lf(t) Mm(t) qm(t) qL(t) ML(t) Jm JL(t) (a) (b) Cơ cấu truyền động cho một khâu của cánh tay robot (c) có kết cấu như hình b. Hệ thống sử dụng động cơ điện một chiều kích từ độc lập làm nguồn động lực cho cơ cấu. Động cơ điện có sơ đồ như hình a. U(t) là tín hiệu kích thích động cơ. Dưới tác động của U(t), thông qua bộ truyền động cơ khí, cánh tay robot sẽ quay được một góc q(t). Hệ thống có hàm truyền và sơ đồ khối như sau: 3 2 ( ) 1( ) ( ) a a b a a sG s U s L J R Js s K s K K Q = = é ù + +ê ú ë û Các tham số sử dụng trong bài: La = Ra = J = Ka = Kb = 1. Tín hiệu đặt qr(t) là hàm bước nhảy đơn vị qr(t) = 1(t) thể hiện góc quay mong muốn Câu 1: Viết phương trình đặc trưng của hệ thống. Có thể kết luận như thế nào về tính ổn định của hệ thống hở này? Câu 2: Gắn vào hệ thống một bộ điều khiển như sơ đồ sau: a. Khi bộ điều khiển Gc(s) = Kp. Xác định Kp để hệ thống ổn định. G(s) U(s) Q(s) Lý thuyết điều khiển tự động ThS. Phạm Trường Tùng 140 b. Khi bộ điều khiển Gc(s) là bộ điều khiển PID, xác định các thông số của bộ PID này ( sử dụng phương pháp kinh nghiệm Ziegler – Nichols giới hạn ổn định). c. Với bộ điều khiển PID, xác định sai lệch tĩnh của hệ thống. Bài tập số 2 Hệ thống điều khiển vị trí: Một hệ thống điều khiển vị trí được mô tả bởi sơ đồ nguyên lý trên được thiết kế để điều khiển vị trí góc của tải. Hệ thống phải đáp ứng được với bất kì sự thay đổi nào của đầu vào. Tín hiệu vào là góc quay qr(t) của vô lăng. Tín hiệu này được biến đổi thành tín hiệu điện áp. Sai lệch giữa tín hiệu ra và tín hiệu vào được khuếch đại để điều khiển động cơ. Động cơ quay sẽ làm quay tải thông qua bộ truyền động bánh răng. Bộ biến đổi vị trí thành điện áp có hàm truyền Gp(s) = Kp. Bộ khuếch đại có hàm truyền Gi(s) = Ki. Hàm truyền của động cơ kí hiệu là Gdc(s), hàm truyền bộ truyền kí hiệu là Gbr(s), hàm truyền của tải có kí hiệu là GL(s). Ba khối nối tiếp tạo nên đối tượng điều khiển và có hàm truyền là: * *( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )dc br L a a i b NG s G s G s G s s sL R J s B K K s = = + + + Các tham số sử dụng trong bài: La = Ra = J* = B* = Kb = Kp = N= Ki = 1; Tín hiệu đặt qr(t) là hàm bước nhảy đơn vị qr(t) = 1(t) thể hiện góc quay mong muốn. Lý thuyết điều khiển tự động ThS. Phạm Trường Tùng 141 Câu 1: Thu gọn sơ đồ khối và xác định hàm truyền của cả hệ thống. Câu 2: Đánh giá tính ổn định của hệ thống. Câu 3: Xác định sai lệch tĩnh của hệ thống với tín hiệu vào là hàm bước nhảy đơn vị. Câu 4: Xác định thời gian đáp ứng của hệ thống với sai số ở trạng thái xác lập 2%. Câu 5: Thay bộ khuếch đại bằng bộ điều khiển PID, xác định các tham số của bộ điều khiển PID bằng phương pháp đáp ứng nhanh với thời gian trễ td = 2(s) và thời gian đáp ứng tr = 3(s). Lý thuyết điều khiển tự động ThS. Phạm Trường Tùng 142 BẢNG ĐỐI CHIẾU CÁC TỪ THUẬT NGỮ TIẾNG ANH Actual Position Vị trí thực Maximum oveshoot Độ vọt lố cực đại Amplifier Bộ khuếch đại Measurement Thiết bị đo Burner Lò đốt Output Đầu ra Comparator Bộ so sánh Position Vị trí Control Điều khiển Pressure Áp lực Control signal Tín hiệu điều khiển Proportional Tỉ lệ Controller Bộ điều khiển Physical Model Mô hình vật lý Delay time Thời gian trễ Reference signal Tín hiệu đặt Derivative Đạo hàm Rise time Thời gian đáp ứng Desire Mô tả RL Circuit Mạch điện RL Device Thiết bị Robot arm Cánh tay robot Disturbance Nhiễu Roll Con lăn Feedback Hồi tiếp Satellite Vệ tinh Feedback element Phần tử hồi tiếp Settling time Thời gian quá độ Fuel Nhiên liệu Speed Tốc độ Gear Bộ truyền bánh răng Spring Lò xo Hydraulic Thủy lực System Hệ thống Input Đầu vào Temperature Nhiệt độ Intergral Tích phân Thickness Độ dày Loop Vòng kín Transducer Bộ chuyển đổi Magnetic valve Van điện từ Transfer Function Hàm truyền Mathematical model Mô hình toán học Undefine Không xác định Lý thuyết điều khiển tự động ThS. Phạm Trường Tùng 143 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Phạm Công Ngô, Lý thuyết điều khiển tự động, Nhà xuất bản KH, năm 1996. [2] Nguyễn Ngọc Cẩn, Kỹ thuật điều khiển tự động,ĐH BK TPHCM, 1996. [3] Nguyễn Thị Phương Hà, Lý thuyết điều khiển tự động (tập 1,2), Nhà xuất bản ĐH Quốc gia TP Hồ Chí Minh, 2005. [4] TS. Trần Đình Khôi Quốc, Bài giảng Mô hình điều khiển, Trường ĐH Bách Khoa Đà Nẵng. [5] P.N. Paraskevopoulos, Modern Control Engineering, Marcel Dekker, 2002