Bài giảng Điều khiển tự động - Chương 3 Điều khiển liên tục trong miền thời gian - Bài 2 Ma trận hàm mũ

III. ĐIỀU KHIỂN LIÊN TỤC TRONG MIỀN THỜI GIAN BM Điều Khiển Tự Động Th.S. Đặng Văn Mỹ 1 Bai 1 - Chuong 3 - DKLT mien t - Mo hinh toan hoc.key - November 16, 2014 3.2 XÂY DỰNG MÔ HÌNH TOÁN HỌC Ma trận hàm mũ Xuất phát từ phân tích: Vậy suy ra: L{t k .1(t)} = k!sk+1 ⇒ L{e At .1(t)} = L{ (At) k k! 1(t)} =k=0 ∞ ∑ A k sk+1k=0 ∞ ∑ ⇒ A k sk −k=0 ∞ ∑ A k+1 sk+1 = (sI − A)k=0 ∞ ∑ A k sk+1 = A0 s0 = A 0 = I k=0 ∞ ∑ ⇔ A k sk+1 = (sI − A) −1 k=0 ∞ ∑ eAt = L−1{(sI − A)−1} [email protected] 2 Bai 1 - Chuong 3 - DKLT mien t - Mo hinh toan hoc.key - November 16, 2014 3.2 XÂY DỰNG MÔ HÌNH TOÁN HỌC Ma trận hàm mũ (tiếp) Ma trận hàm mũ được sử dụng để xác định nghiệm trong phương trình: x(t)eAt dx(t) dt = Ax(t)+ Bu(t) ex = x k k!k=0 ∞ ∑ E(t) = eAt = (At) k k!k=0 ∞ ∑Xuất phát từ: Đây là chuỗi hội tụ (At)k k!k=0 ∞ ∑Ma trận hàm là giá trị tới hạn của chuỗi trong đó A là một ma trận vuông (n x n) và eAt A0 = I Định Nghĩa: [email protected] 3 Bai 1 - Chuong 3 - DKLT mien t - Mo hinh toan hoc.key - November 16, 2014 3.2 XÂY DỰNG MÔ HÌNH TOÁN HỌC Ma trận hàm mũ (tiếp) L{t k .1(t)} = k!sk+1 ⇒ L{e At .1(t)} = L{ (At) k k! 1(t)} =k=0 ∞ ∑ A k sk+1k=0 ∞ ∑ ⇒ A k sk −k=0 ∞ ∑ A k+1 sk+1 = (sI − A)k=0 ∞ ∑ A k sk+1 = A0 s0 = A 0 = I k=0 ∞ ∑ ⇔ A k sk+1 = (sI − A) −1 k=0 ∞ ∑ Ta có: Vậy eAt = L−1{(sI − A)−1} [email protected] 4 Bai 1 - Chuong 3 - DKLT mien t - Mo hinh toan hoc.key - November 16, 2014 3.2 XÂY DỰNG MÔ HÌNH TOÁN HỌC Xác định ma trận hàm mũ - Nhờ toán tử Laplace - Ví dụ: cho hệ có A = 1 20 3 ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ eAt = L−1{(sI − A)−1} = L−1 s −1 −20 s − 3 ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ −1⎧ ⎨ ⎪ ⎩⎪ ⎫ ⎬ ⎪ ⎭⎪ = L−1 1(s −1)(s − 3) s − 3 2 0 s −1 ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ ⎧ ⎨ ⎪ ⎩⎪ ⎫ ⎬ ⎪ ⎭⎪ = L−1 1 s −1 2 (s −1)(s − 3) 0 1s − 3 ⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎧ ⎨ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎫ ⎬ ⎪ ⎪ ⎭ ⎪ ⎪ = e t e3t − et 0 e3t ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ [email protected] 5 Bai 1 - Chuong 3 - DKLT mien t - Mo hinh toan hoc.key - November 16, 2014 3.2 XÂY DỰNG MÔ HÌNH TOÁN HỌC Xác định ma trận hàm mũ (tiếp) - Nhờ định lý Cayley - Hamilton [email protected] - Ví dụ: với hệ có A = 1 20 3 ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ - Bước 1: xác định các giá trị riêng của ma trận A det s −1 −20 s − 3 ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ = 0⇔ s1 = 1;s2 = 3 - Bước 2: Sử dụng công thức (2) eAt = a0 (t)I + a1(t)A +K+ an−1(t)An−1 (1) An = −(a0 (t)I + a1(t)A +K+ an−1(t)An−1) và An+1 = AAn sk eskt = a0 (t)+ a1(t)sk +K+ an−1(t)skn−1 (2)là giá trị riêng của ma trận A: et = a0 (t)+ a1(t) e3t = a0 (t)+ 3a1(t) ⎧ ⎨ ⎪ ⎩⎪ ⇒ a0 (t) = 3 2 e t − 12 e 3t a1(t) = 1 2 (e 3t − et ) ⎧ ⎨ ⎪⎪ ⎩ ⎪ ⎪ - Bước 3: Sử dụng công thức (1) eAt = a0 (t)I + a1(t)A = e t e3t − et 0 e3t ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ 6 Bai 1 - Chuong 3 - DKLT mien t - Mo hinh toan hoc.key - November 16, 2014 3.2 XÂY DỰNG MÔ HÌNH TOÁN HỌC Xác định ma trận hàm mũ (tiếp) - Nhờ định lý Cayley - Hamilton (tiếp) [email protected] - Nếu giá trị riêng sk là nghiệm bội q, ta sử dụng công thức sau bổ sung vào bước 2 để xác định nghiệm: teskt = a1(t)+ 2ska2 (t)+K+ (n −1)skn−2an−1(t) t2eskt = 2a2 (t)+ 6ska3(t)K+ (n −1)(n − 2)skn−3an−1(t) M tq−1eskt = (q −1)!aq−1(t)+ q! 1! skaq (t)+K+ (n −1)! (n − q)!s1 n−qan−1(t) ⎧ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎪ 7 Bai 1 - Chuong 3 - DKLT mien t - Mo hinh toan hoc.key - November 16, 2014 3.2 XÂY DỰNG MÔ HÌNH TOÁN HỌC Nghiệm của phương trình trạng thái có tham số hằng [email protected] Nghiệm của phương trình trạng thái có tham số phụ thuộc thời gian (tham khảo) 8 Bai 1 - Chuong 3 - DKLT mien t - Mo hinh toan hoc.key - November 16, 2014