Bài giảng Lý thuyết điều khiển tự động - Chương 3: Khảo sát tính ổn định của hệ thống - Huỳnh Thái Hoàng
Cho hệ thống hồi tiếp âm đơn vị, biết rằng hệ hở có biểu đồ Bode như hình vẽ. Xác định độ dự trữ biên, độ dự trữ pha của hệ thống hở. Hỏi hệ kín có ổn định không? ϕ(ωc ) = −2700 ΦM =1800 + (−2700) = −900 Do GM<0 và ΦM<0 nên hệ thống kín không ổn định
Bạn đang xem trước 20 trang tài liệu Bài giảng Lý thuyết điều khiển tự động - Chương 3: Khảo sát tính ổn định của hệ thống - Huỳnh Thái Hoàng, để xem tài liệu hoàn chỉnh bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên
Môn học
LÝLÝ THUYẾTTHUYẾT ĐIỀUĐIỀU KHIỂNKHIỂN TỰTỰ ĐỘNGĐỘNG
Giảng viên: TS. Huỳnh Thái Hoàng
Bộ môn Điều Khiển Tự Động
Khoa Điện – Điện Tử
Đại học Bách Khoa TP.HCM
Email: hthoang@hcmut.edu.vn
Homepage:
26 September 2006 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 1
Chương 3
KHẢOKHẢO SÁTSÁT
TÍNHTÍNH ỔNỔN ĐỊNHĐỊNH CỦACỦA HỆHỆ THỐNGTHỐNG
26 September 2006 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 2
Nội dung chương 3
Khái niệm ổn định
Tiêu chuẩn ổn định đại số
Điều kiện cần
Tiêu chuẩn Routh
Tiêu chuẩn Hurwitz
Phương pháp quỹ đạo nghiệm số (QĐNS)
Khái niệm về QĐNS
Phương pháp vẽ QĐNS
Xét ổn định dùng QĐNS
Tiêu chuẩn ổn định tần số
Khái niệm về đặc tính tần số
Đặc tính tần số của các khâu cơ bản
Đặc tính tần số của hệ thống tự động
Tiêu chuẩn ổn định Bode
Tiêu chuẩn ổn định Nyquist
26 September 2006 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 3
KháiKhái niệmniệm ổnổn địnhđịnh
26 September 2006 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 4
Khái niệm ổn định
Định nghĩa ổn định BIBO
Hệ thống được gọi là ổn định BIBO (Bounded Input Bounded
Output) nếu đáp ứng của hệ bị chặn khi tín hiệu vào bị chặn.
r(t) c(t)
Hệ thống
26 September 2006 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 5
Thí dụ minh họa khái niệm ổn định
HT ổn địnhHT ở biên HT không ổn định
giới ổn định
26 September 2006 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 6
Khái niệm ổn định
Cực và zero
Cho hệ thống tự động có hàm truyền là:
m m−1
C(s) b0s + b1s +K+ bm−1s + bm
G(s) = = n n−1
R(s) a0s + a1s +K+ an−1s + an
n n−1
Đặt: A(s) = a0s + a1s +K+ an−1s + an mẫu số hàm truyền
m m−1
B(s) = b0s + b1s +K+ bm−1s + bm tử số hàm truyền
Cực: (Pole) là nghiệm của mẫu số hàm truyền, tức là nghiệm của
phương trình A(s) = 0. Do A(s) bậc n nên hệ thống có n cực ký
hiệu là pi , i =1,2,m.
Zero: là nghiệm của tử số hàm truyền, tức là nghiệm của phương
trình B(s) = 0. Do B(s) bậc m nên hệ thống có m zero ký hiệu là zi,
i =1,2,m.
26 September 2006 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 7
Khái niệm ổn định
Giản đồ cực - zero
Giản đồ cực – zero là đồ thị biểu diễn vị trí các cực và các zero
của hệ thống trong mặt phẳng phức.
26 September 2006 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 8
Khái niệm ổn định
Điều kiện ổn định
Tính ổn định của hệ thống phụ thuộc vào vị trí các cực.
Hệ thống có tất cả các cực có phần thực âm (có tất cả các cực
đều nằm bên trái mặt phẳng phức): hệ thống ổn định.
Hệ thống có cực có phần thực bằng 0 (nằm trên trục ảo), các cực
còn lại có phần thực bằng âm: hệ thống ở biên giới ổn định.
Hệ thống có ít nhất một cực có phần thực dương (có ít nhất một
cực nằm bên phải mặt phẳng phức): hệ thống không ổn định.
26 September 2006 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 9
Khái niệm ổn định
Phương trình đặc trưng (PTĐT)
Phương trình đặc trưng: phương trình A(s) = 0
Đa thức đặc trưng: đa thức A(s)
Hệ thống hồi tiếp Hệ thống mô tả bằng PTTT
x&(t) = Ax(t) + Br(t)
c(t) = Cx(t)
Phương trình đặc trưng Phương trình đặc trưng
1+ G(s)H(s) = 0 det(sI − A) = 0
26 September 2006 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 10
TiêuTiêu chuẩnchuẩn ổnổn địnhđịnh đạiđại sốsố
26 September 2006 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 11
Tiêu chuẩn ổn định đại số
Điều kiện cần
Điều kiện cần để hệ thống ổn định là tất cả các hệ số của phương
trình đặc trưng phải khác 0 và cùng dấu.
Thí dụ: Hệ thống có phương trình đặc trưng:
3 2
s + 3s − 2s +1= 0 Không ổn định
4 2
s + 2s + 5s + 3 = 0 Không ổn định
s4 + 4s3 + 5s2 + 2s +1= 0 Chưa kết luận được
26 September 2006 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 12
Tiêu chuẩn ổn định đại số: Tiêu chuẩn Routh
Qui tắc thành lập bảng Routh
Cho hệ thống có phương trình đặc trưng:
n n−1
a0s + a1s +K+ an−1s + an = 0
Muốn xét tính ổn định của hệ thống theo tiêu chuẩn Routh, trước
tiên ta thành lập bảng Routh theo qui tắc:
Bảng Routh có n+1 hàng.
Hàng 1 của bảng Routh gồm các hệ số có chỉ số chẳn.
Hàng 2 của bảng Routh gồm các hệ số có chỉ số lẻ.
Phần tử ở hàng i cột j của bảng Routh (i ≥ 3) được tính theo
công thức:
cij = ci−2, j+1 −αi.ci−1, j+1
ci−2,1
với αi =
ci−1,1
26 September 2006 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 13
Tiêu chuẩn ổn định đại số: Tiêu chuẩn Routh
Dạng bảng Routh
26 September 2006 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 14
Tiêu chuẩn ổn định đại số: Tiêu chuẩn Routh
Phát biểu tiêu chuẩn
Điều kiện cần và đủ để hệ thống ổn định là tất cả các phần tử
nằm ở cột 1 của bảng Routh đều dương. Số lần đổi dấu của các
phần tử ở cột 1 của bảng Routh bằng số nghiệm của phương trình
đặc trưng nằm bên phải mặt phẳng phức.
26 September 2006 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 15
Tiêu chuẩn ổn định đại số: Tiêu chuẩn Routh
Thí dụ 1
Xét tính ổn định của hệ thống có phương trình đặc trưng là:
s4 + 4s3 + 5s2 + 2s +1 = 0
Giải: Bảng Routh
Kết luận: Hệ thống ổn định do tất cả các phần tử ở cột 1 bảng
Routh đều dương.
26 September 2006 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 16
Tiêu chuẩn ổn định đại số: Tiêu chuẩn Routh
Thí dụ 2
Xét tính ổn định của hệ thống có sơ đồ khối:
50
G(s) =
s(s + 3)(s2 + s + 5)
1
H (s) =
s + 2
Giải: Phương trình đặc trưng của hệ thống là:
1+ G(s).H (s) = 0
50 1
⇔ 1+ . = 0
s(s + 3)(s2 + s + 5) (s + 2)
⇔ s(s + 3)(s2 + s + 5)(s + 2) + 50 = 0
⇔ s5 + 6s4 +16s3 + 31s2 + 30s + 50 = 0
26 September 2006 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 17
Tiêu chuẩn ổn định đại số: Tiêu chuẩn Routh
Thí dụ 2 (tt)
Bảng Routh
Kết luận: Hệ thống không ổn định do tất cả các phần tử ở cột 1
bảng Routh đổi dấu 2 lần.
26 September 2006 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 18
Tiêu chuẩn ổn định đại số: Tiêu chuẩn Routh
Thí dụ 3
Tìm điều kiện của K để hệ thống ổn định:
K
G(s) =
s(s2 + s +1)(s + 2)
Giải: Phương trình đặc trưng của hệ thống là:
1+ G(s) = 0
K
⇔ 1+ = 0
s(s2 + s +1)(s + 2)
⇔ s4 + 3s3 + 3s2 + 2s + K = 0
26 September 2006 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 19
Tiêu chuẩn ổn định đại số: Tiêu chuẩn Routh
Thí dụ 3 (tt)
Bảng Routh
Điều kiện để hệ thống ổn định:
9
2 − K > 0 14
7 ⇔ 0 < K <
9
K > 0
26 September 2006 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 20
Tiêu chuẩn ổn định đại số: Tiêu chuẩn Routh
Trường hợp đặc biệt 1
Nếu bảng Routh có hệ số ở cột 1 của hàng nào đó bằng 0, các hệ
số còn lại của hàng đó khác 0 thì ta thay hệ số bằng 0 ở cột 1 bởi
số ε dương nhỏ tùy ý, sau đó quá trình tính toán được tiếp tục.
26 September 2006 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 21
Tiêu chuẩn ổn định đại số: Tiêu chuẩn Routh
Thí dụ 4
Xét tính ổn định của hệ thống có phương trình đặc trưng là:
s4 + 2s3 + 4s2 + 8s + 3 = 0
Giải:
Bảng Routh
Kết luận: Vì các hệ số ở cột 1 bảng Routh đổi dấu 2 lần nên
phương trình đặc trưng của hệ thống có hai nghiệm nằm bên phải
mặt phẳng phức, do đó hệ thống không ổn định .
26 September 2006 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 22
Tiêu chuẩn ổn định đại số: Tiêu chuẩn Routh
Trường hợp đặc biệt 2
Nếu bảng Routh có tất cả các hệ số của hàng nào đó bằng 0:
Thành lập đa thức phụ từ các hệ số của hàng trước hàng có tất
cả các hệ số bằng 0, gọi đa thức đó là A0(s).
Thay hàng có tất cả các hệ số bằng 0 bởi một hàng khác có
các hệ số chính là các hệ số của đa thức dA0(s)/ds, sau đó quá
trình tính toán tiếp tục.
Chú ý: Nghiệm của đa thức phụ A0(s) cũng chính là nghiệm của
phương trình đặc trưng.
26 September 2006 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 23
Tiêu chuẩn ổn định đại số: Tiêu chuẩn Routh
Thí dụ 5
Xét tính ổn định của hệ thống có phương trình đặc trưng là:
s5 + 4s4 + 8s3 + 8s2 + 7s + 4 = 0
Giải: Bảng Routh
26 September 2006 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 24
Tiêu chuẩn ổn định đại số: Tiêu chuẩn Routh
Thí dụ 5 (tt)
Đa thức phụ:
dA (s)
A (s) = 4s2 + 4 ⇒ 0 = 8s + 0
0 ds
Nghiệm của đa thức phụ (cũng chính là nghiệm của phương trình
đặc trưng):
2
A0 (s) = 4s + 4 = 0 ⇔ s = ± j
Kết luận:
Các hệ số cột 1 bảng Routh không đổi dấu nên phương trình đặc
trưng không có nghiệm nằm bên phải mặt phẳng phức.
Phương trình đặc tính có 2 nghiệm nằm trên trục ảo.
Số nghiệm nằm bên trái mặt phẳng phức là 5 – 2 = 3.
Hệ thống ở biên giới ổn định
26 September 2006 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 25
Tiêu chuẩn ổn định đại số: Tiêu chuẩn Hurwitz
Qui tắc thành lập ma trận Hurwitz
Cho hệ thống có phương trình đặc trưng:
n n−1
a0s + a1s +K+ an−1s + an = 0
Muốn xét tính ổn định của hệ thống theo tiêu chuẩn Hurwitz,
trước tiên ta thành lập ma trận Hurwitz theo qui tắc:
Ma trận Hurwitz là ma trận vuông cấp n×n.
Đường chéo của ma trận Hurwitz là các hệ số từ a1 đến an .
Hàng lẻ của ma trận Hurwitz gồm các hệ số có chỉ số lẻ theo
thứ tự tăng dần nếu ở bên phải đường chéo và giảm dần nếu ở
bên trái đường chéo.
Hàng chẳn của ma trận Hurwitz gồm các hệ số có chỉ số chẳn
theo thứ tự tăng dần nếu ở bên phải đường chéo và giảm dần
nếu ở bên trái đường chéo.
26 September 2006 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 26
Tiêu chuẩn ổn định đại số: Tiêu chuẩn Hurwitz
Dạng ma trận Hurwitz
a1 a3 a5 a7 K 0
a a a a 0
0 2 4 6 K
0 a1 a3 a5 K 0
0 a a a 0
0 2 4 K
M M M M M
0 K K K K an
Phát biểu tiêu chuẩn
Điều kiện cần và đủ để hệ thống ổn định là tất cả các định thức
con chứa đường chéo của ma trận Hurwitz đều dương
26 September 2006 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 27
Tiêu chuẩn ổn định đại số: Tiêu chuẩn Hurwitz
Thí dụ 1
Xét tính ổn định của hệ thống có phương trình đặc trưng là:
s3 + 4s2 + 3s + 2 = 0
Giải:
a1 a3 0 4 2 0
a a 0 = 1 3 0
Ma trận Hurwitz 0 2
0 a1 a3 0 4 2
Các định thức: ∆1 = a1 = 1
a1 a3 4 2
∆2 = = = 4×3−1× 2 =10
a0 a2 1 3
a1 a3 0
a1 a3 4 2
∆3 = a0 a2 0 = a3 = 2× = 2×10 = 20
a0 a2 1 3
0 a1 a3
Kết luận: Hệ thống ổn định do các định thức đều dương
26 September 2006 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 28
Tiêu chuẩn ổn định đại số: Tiêu chuẩn Hurwitz
Các hệ quả của tiêu chuẩn Hurwitz
Hệ bậc 2 ổn định nếu phương trình đặc trưng thỏa mãn điều kiện:
ai > 0, i = 0,2
Hệ bậc 3 ổn định nếu phương trình đặc trưng thỏa mãn điều kiện:
a > 0, i = 0,3
i
a1a2 − a0a3 > 0
Hệ bậc 4 ổn định nếu phương trình đặc trưng thỏa mãn điều kiện:
ai > 0, i = 0,4
a1a2 − a0a3 > 0
2 2
a1a2a3 − a0a3 − a1 a4 > 0
26 September 2006 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 29
PhươngPhương pháppháp quỹquỹ đạođạo nghiệmnghiệm sốsố
26 September 2006 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 30
Phương pháp quỹ đạo nghiệm số (QĐNS)
Định nghĩa
Quỹ đạo nghiệm số là tập hợp tất cả các nghiệm của phương
trình đặc trưng của hệ thống khi có một thông số nào đó trong hệ
thay đổi từ 0 →∞.
2
Thí dụ: QĐNS của hệ thống có PTĐT s + 4 s + K = 0 có dạng
như hình vẽ dưới đây:
26 September 2006 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 31
Phương pháp quỹ đạo nghiệm số (QĐNS)
Qui tắc vẽ QĐNS
Muốn áp dụng các qui tắc vẽ quỹ đạo nghiệm số, trước tiên ta
phải biến đổi tương đương phương trình đặc trưng về dạng:
N(s)
1+ K = 0 (1)
D(s)
N(s)
Đặt: G (s) = K
0 D(s)
Gọi n là số cực của G0(s) , m là số zero của G0(s)
(1) ⇔ 1+ G0 (s) = 0
G0 (s) =1 Điều kiện biên độ
⇔
∠G0 (s) = (2l +1)π Điều kiện pha
26 September 2006 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 32
Phương pháp quỹ đạo nghiệm số (QĐNS)
Qui tắc vẽ QĐNS
Qui tắc 1: Số nhánh của quỹ đạo nghiệm số = bậc của phương
trình đặc tính = số cực của G0(s) = n.
Qui tắc 2:
Khi K = 0: các nhánh của quỹ đạo nghiệm số xuất phát từ các
cực của G0(s).
Khi K tiến đến +∞ : m nhánh của quỹ đạo nghiệm số tiến đến
m zero của G0(s), n−m nhánh còn lại tiến đến ∞ theo các tiệm
cận xác định bởi qui tắc 5 và qui tắc 6.
Qui tắc 3: Quỹ đạo nghiệm số đối xứng qua trục thực.
Qui tắc 4: Một điểm trên trục thực thuộc về quỹ đạo nghiệm số
nếu tổng số cực và zero của G0(s) bên phải nó là một số lẻ.
26 September 2006 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 33
Phương pháp quỹ đạo nghiệm số (QĐNS)
Qui tắc vẽ QĐNS (tt)
Qui tắc 5: : Góc tạo bởi các đường tiệm cận của quỹ đạo nghiệm
số với trục thực xác định bởi :
(2l +1)π
α = (l = 0,±1,±2,K)
n − m
Qui tắc 6: : Giao điểm giữa các tiệm cận với trục thực là điểm A
có tọa độ xác định bởi:
n m
∑ pi − ∑ zi (pi và zi là các cực
∑cực − ∑zero i=1 i=1
OA = = và các zero của G0(s) )
n − m n − m
Qui tắc 7: : Điểm tách nhập (nếu có) của quỹ đạo nghiệm số nằm
trên trục thực và là nghiệm của phương trình:
dK
= 0
ds
26 September 2006 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 34
Phương pháp quỹ đạo nghiệm số (QĐNS)
Qui tắc vẽ QĐNS (tt)
Qui tắc 8: : Giao điểm của quỹ đạo nghiệm số với trục ảo có thể
xác định bằng cách áp dụng tiêu chuẩn Routh–Hurwitz hoặc thay
s=jω vào phương trình đặc trưng.
Qui tắc 9: Góc xuất phát của quỹ đạo nghiệm số tại cực phức pj
được xác định bởi:
m n
0
θ j =180 + ∑arg( p j − zi ) − ∑arg( p j − pi )
i=1 i=1
i≠ j
Dạng hình học của công thức trên là:
0
θj = 180 + (∑góc từ các zero đến cực p j )
− (∑góc từ các cực còn lại đến cực p j )
26 September 2006 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 35
Phương pháp quỹ đạo nghiệm số (QĐNS)
Thí dụ 1
Vẽ QĐNS của hệ thống sau đây khi K=0→+∞.
K
G(s) =
s(s + 2)(s + 3)
Giải:
Phương trình đặc trưng của hệ thống:
K
1+ G(s) = 0 ⇔ 1+ = 0 (1)
s(s + 2)(s + 3)
Các cực: p1 = 0 p2 = −2 p3 = −3
Các zero: không có
26 September 2006 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 36
Phương pháp quỹ đạo nghiệm số (QĐNS)
Thí dụ 1 (tt)
π
Tiệm cận: α = (l = 0)
1 3
(2l +1)π (2l +1)π π
α = = ⇒ α = − (l = -1)
n − m 3 − 0 2 3
α3 = π (l =1)
cực − zero [0 + (−2) + (−3)] − 0 5
OA = ∑ ∑ = = −
n − m 3 − 0 3
Điểm tách nhập:
(1) ⇔ K = −s(s + 2)(s + 3) = −(s3 + 5s2 + 6s)
dK
⇒ = −(3s2 +10s + 6)
ds
dK s1 = −2.549 (loại)
Do đó = 0 ⇔
ds s2 = −0.785
26 September 2006 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 37
Phương pháp quỹ đạo nghiệm số (QĐNS)
Thí dụ 1 (tt)
Giao điểm của QĐNS với trục ảo:
Cách 1: Dùng tiêu chuẩn Hurwitz
(1) ⇔ s3 + 5s2 + 6s + K = 0 (2)
Điều kiện ổn định:
K > 0
K > 0 ⇔
⇔ 0 < K < 30 ⇒ K gh = 30
a1a2 − a0a3 > 0 5× 6 −1× K > 0
Thay giá trị Kgh = 30 vào phương trình (2), giải phương trình ta
được giao điểm của QĐNS với trục ảo
s1 = −5
3 2
s + 5s + 6s + 30 = 0 ⇔ s2 = j 6
s3 = − j 6
26 September 2006 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 38
Phương pháp quỹ đạo nghiệm số (QĐNS)
Thí dụ 1 (tt)
Giao điểm của QĐNS với trục ảo:
Cách 2:
(1) ⇔ s3 + 5s2 + 6s + K = 0 (2)
Thay s=jω vào phương trình (2):
()jω 3 + 5 ()jω 2 + 6( jω)+ K = 0 ⇔ − jω3 − 5ω 2 + 6 jω + K = 0
ω = 0
K = 0
− jω3 + 6 jω = 0
⇔ ⇔
− 5ω 2 + K = 0 ω = ± 6
K = 30
26 September 2006 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 39
Phương pháp quỹ đạo nghiệm số (QĐNS)
Thí dụ 1 (tt)
Im s
j 6
Re s
−3 −2 0
− j 6
26 September 2006 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 40
Phương pháp quỹ đạo nghiệm số (QĐNS)
Thí dụ 2
Vẽ QĐNS của hệ thống sau đây khi K=0→+∞.
K
G(s) =
s(s2 + 8s + 20)
Giải:
Phương trình đặc trưng của hệ thống:
K
1+ G(s) = 0 ⇔ 1+ = 0 (1)
s(s2 + 8s + 20)
Các cực: p1 = 0 p2,3 = −4 ± j2
Các zero: không có
26 September 2006 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 41
Phương pháp quỹ đạo nghiệm số (QĐNS)
Thí dụ 2 (tt)
π
Tiệm cận: α = (l = 0)
1 3
(2l +1)π (2l +1)π π
α = = ⇒ α = − (l = -1)
n − m 3 − 0 2 3
α3 = π (l =1)
cực − zero [0 + (−4 + j2) + (−4 − j2)] − (0) 8
OA = ∑ ∑ = = −
n − m 3 − 0 3
Điểm tách nhập:
(1) ⇔ K = −(s3 + 8s2 + 20s)
dK
⇒ = −(3s2 +16s + 20)
ds
dK s1 = −3.33 K
Do đó = 0 1+ 2 = 0
⇔ (hais(s điểm+ 8s tách+ 20 nhập))
ds s2 = −2.00
26 September 2006 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 42
Phương pháp quỹ đạo nghiệm số (QĐNS)
Thí dụ 2 (tt)
Giao điểm của QĐNS với trục ảo:
(1) ⇔ s3 + 8s2 + 20s + K = 0 (2)
Thay s=jω vào phương trình (2):
( jω)3 + 8( jω)2 + 20( jω) + K = 0
⇔ − jω 3 − 8ω 2 + 20 jω + K = 0
ω = 0
2
− 8ω + K = 0 K = 0
⇔ ⇔
−ω3 + 20ω = 0
ω = ± 20
K
K =160 1+ = 0
s(s2 + 8s + 20)
26 September 2006 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 43
Phương pháp quỹ đạo nghiệm số (QĐNS)
Thí dụ 2 (tt)
Góc xuất phát của QĐNS tại cực phức p2:
0
θ2 =180 −[arg( p2 − p1) + arg( p2 − p3)]
=1800 − {}arg[(−4 + j2) − 0] + arg[(−4 + j2) − (−4 − j2)]
0 −1 2
=180 − tg + 90
− 4
=1800 − {}153.5 + 90
0
θ2 = −63.5
m n
0
θ j =180 + ∑arg( p j − zi ) − ∑arg( p j − pi )
i=1 i=1
i≠ j
26 September 2006 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 44
Phương pháp quỹ đạo nghiệm số (QĐNS)
Thí dụ 2 (tt)
Im s
j 20
+j2
−63.50
Re s
−4 −2 0
−j2
− j 20
26 September 2006 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 45
Phương pháp quỹ đạo nghiệm số (QĐNS)
Thí dụ 3
Vẽ QĐNS của hệ thống sau đây khi K=0→+∞.
K(s +1)
G(s) =
s(s + 3)(s2 + 8s + 20)
Giải:
Phương trình đặc trưng của hệ thống:
K(s +1)
1+ G(s) = 0 ⇔ 1+ = 0 (1)
s(s + 3)(s2 + 8s + 20)
Các cực: p1 = 0 p2 = −3 p3,4 = −4 ± j2
Các zero: z1 = −1
26 September 2006 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 46
Phương pháp quỹ đạo nghiệm số (QĐNS)
Thí dụ 3 (tt)
π
Tiệm cận: α = (l = 0)
1 3
(2l +1)π (2l +1)π π
α = = ⇒ α = − (l = -1)
n − m 4 −1 2 3
α3 = π (l =1)
cực − zero [0 + (−3) + (−4 + j2) + (−4 − j2)] − (−1) 10
OA = ∑ ∑ = = −
n − m 4 −1 3
Điểm tách nhập:
s(s + 3)(s2 + 8s + 20) dK 3s4 + 26s3 + 77s2 + 88s + 60
(1) ⇔ K = − ⇒ = −
(s +1) ds (s +1)2
dK s1,2 = −3,67 ± j1,05 (không có
Do đó = 0 ⇔ K(s +1)
s = −0,661+± j0.97 = 0
ds 3,4 s(s + 3)(sđiểm2 + 8 stách+ 20 nhập))
26 September 2006 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 47
Phương pháp quỹ đạo nghiệm số (QĐNS)
Thí dụ 3 (tt)
Giao điểm của QĐNS với trục ảo:
(1) ⇔ s4 +11s3 + 44s2 + (60 + K)s + K = 0 (2)
Thay s=jω vào phương trình (2):
ω 4 −11jω3 − 44ω 2 + (60 + K) jω + K = 0
ω = 0
K = 0
ω 4 − 44ω 2 + K = 0
⇔ ω = ±5,893
3 ⇔
−11ω + (60 + K)ω = 0 K = 322
ω = ± j1,314
K(s(loại)+1)
1+K = −61,7 = 0
s(s + 3)(s2 + 8s + 20)
Vậy giao điểm cần tìm là: s = ± j5,893 HSKĐ giới hạn là: K gh = 322
26 September 2006 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 48
Phương pháp quỹ đạo nghiệm số (QĐNS)
Thí dụ 3 (tt)
Góc xuất phát của QĐNS tại cực phức p3:
θ3 =180 + β1 − (β2 + β3 + β4 )
=180 +146,3 − (153,4 +116,6 + 90)
0
θ3 = −33.7
26 September 2006 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 49
Phương pháp quỹ đạo nghiệm số (QĐNS)
Thí dụ 3 (tt) Im s
+j5,893
+j2
−33.70
β
1 β2
β3 Re s
−4 −3 −1 0
β4
−j2
−j5,893
26 September 2006 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 50
Phương pháp quỹ đạo nghiệm số (QĐNS)
Thí dụ 4
Cho hệ thống điều khiển có sơ đồ khối như sau:
10
G(s) =
(s2 + 9s + 3)
K
G (s) = K + I
C P s
Cho KI = 2.7, hãy vẽ QĐNS của hệ thống sau đây khi KP =0→+∞,
biết rằng dKP / ds=0 có 3 nghiệm là −3, − 3, 1.5.
Khi KP =270, KI = 2.7 hệ thống có ổn định hay không?
26 September 2006 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 51
Phương pháp quỹ đạo nghiệm số (QĐNS)
Thí dụ 4 (tt)
Giải:
Phương trình đặc trưng của hệ thống:
1+ GC (s)G(s) = 0
2.7 10
⇔ 1+ KP + = 0
s s2 + 9s + 3
10K s
⇔ 1+ P = 0 (1)
(s + 9)(s2 + 3)
Các cực: p1 = −9 p2 = + j 3 p3 = − j 3
Các zero: z1 = 0
26 September 2006 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 52
Phương pháp quỹ đạo nghiệm số (QĐNS)
Thí dụ 4 (tt)
Tiệm cận:
(2l +1)π (2l +1)π π / 2 (l = 0)
α = = ⇒
n − m 3 −1 − π / 2 (l = −1)
cực − zero [−9 + ( j 3) + (− j 3)] − (0) 9
OA = ∑ ∑ = = −
n − m 3 −1 2
Điểm tách nhập:
s1 = −3
dKP
= 0 ⇔ s2 = −3
ds
s3 =1.5 (loại)
QĐNS có hai điểm tách nhập trùng nhau tại −3
26 September 2006 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 53
Phương pháp quỹ đạo nghiệm số (QĐNS)
Thí dụ 2 (tt)
Góc xuất phát của QĐNS tại cực phức p2:
0
θ2 =180 + arg( p2 − z1) −[arg( p2 − p1) + arg( p2 − p3)]
=1800 + arg( j 3 − 0) −[arg( j 3 − (−9)) + arg( j 3 − (− j 3))]
0 −1 3
=180 + 90 − tg + 90
− 9
0
θ2 = −169
26 September 2006 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 54
Phương pháp quỹ đạo nghiệm số (QĐNS)
Thí dụ 4 (tt)
Khi KI =2.7, QĐNS của
hệ thống nằm hoàn
toàn bên trái mặt phẳng
phức khi KP =0→+∞,
do đó hệ thống ổn định
khi KI =2.7, KP =270.
26 September 2006 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 55
TiêuTiêu chuẩnchuẩn ổnổn địnhđịnh tầntần sốsố
26 September 2006 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 56
Tiêu chuẩn ổn định tần số
Khái niệm đặc tính tần số
Hãy quan sát đáp ứng của hệ thống tuyến tính ở trạng thái xác
lập khi tín hiệu vào là tín hiệu hình sin.
26 September 2006 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 57
Tiêu chuẩn ổn định tần số
Khái niệm đặc tính tần số
Hệ thống tuyến tính: khi tín hiệu vào là tín hiệu hình sin thì ở
trạng thái xác lập tín hiệu ra cũng là tín hiệu hình sin cùng tần số
với tín hiệu vào, khác biên độ và pha.
Định nghĩa: Đặc tính tần số của hệ thống là tỉ số giữa tín hiệu ra
ở trạng thái xác lập và tín hiệu vào hình sin .
C( jω)
Đặc tính tần số =
R( jω)
Người ta chứng minh được:
G(s) G( j )
Đặc tính tần số = s= jω = ω
26 September 2006 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 58
Tiêu chuẩn ổn định tần số
Đáp ứng biên độ – Đáp ứng pha
Tổng quát G(jω) là một hàm phức nên có thể biểu diễn dưới
dạng đại số hoặc dạng cực:
G( jω) = P(ω) + jQ(ω) = M (ω).e jϕ(ω)
Trong đó:
M (ω) = G( jω) = P2 (ω) + Q2 (ω) Đáp ứng biên độ
−1Q(ω)
ϕ(ω) = ∠G( jω) = tg Đáp ứng pha
P(ω)
Ý nghĩa vật lý:
Đáp ứng biên độ cho biết tỉ lệ về biên độ (hệ số khuếch đại)
giữa tín hiệu ra và tín hiệu vào theo tần số.
Đáp ứng pha cho biết độ lệch pha giữa tín hiệu ra và tín hiệu
vào theo tần số.
26 September 2006 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 59
Tiêu chuẩn ổn định tần số
Biểu đồ Bode – Biểu đồ Nyquist
Biểu đồ Bode: là hình vẽ gồm 2 thành phần:
Biểu đồ Bode về biên độ: là đồ thị biểu diễn mối quan hệ giữa
logarith của đáp ứng biên độ L(ω) theo tần số ω
L(ω) = 20lgM (ω) [dB]
Biểu đồ Bode về pha: là đồ thị biểu diễn mối quan hệ giữa
đáp ứng pha ϕ(ω) theo tần số ω .
Cả hai đồ thị trên đều được vẽ trong hệ tọa độ vuông góc với
trục hoành ω được chia theo thang logarith cơ số 10.
Biểu đồ Nyquist: (đường cong Nyquist) là đồ thị biểu diễn đặc
tính tần số G(jω) trong hệ tọa độ cực khi ω thay đổi từ 0→∞.
26 September 2006 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 60
Tiêu chuẩn ổn định tần số
Biểu đồ Bode Biểu đồ Nyquist
26 September 2006 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 61
Tiêu chuẩn ổn định tần số
Đặc tính tần số của các khâu cơ bản: Khâu tỉ lệ
Hàm truyền: G(s) = K
Đặc tính tần số: G( jω) = K
Biên độ: M (ω) = K ⇒ L(ω) = 20lg K
Pha: ϕ(ω) = 0
26 September 2006 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 62
Tiêu chuẩn ổn định tần số
Đặc tính tần số của các khâu cơ bản: Khâu tỉ lệ
26 September 2006 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 63
Tiêu chuẩn ổn định tần số
Đặc tính tần số của các khâu cơ bản: Khâu tích phân lý tưởng
1
Hàm truyền: G(s) =
s
1 1
Đặc tính tần số: G( jω) = = − j
jω ω
1
Biên độ: M (ω) = ⇒ L(ω) = −20lgω
ω
Pha: ϕ(ω) = −900
26 September 2006 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 64
Tiêu chuẩn ổn định tần số
Đặc tính tần số của các khâu cơ bản: Khâu tích phân lý tưởng
26 September 2006 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 65
Tiêu chuẩn ổn định tần số
Đặc tính tần số của các khâu cơ bản: Khâu vi phân lý tưởng
Hàm truyền: G(s) = s
Đặc tính tần số: G( jω) = jω
Biên độ: M (ω) = ω ⇒ L(ω) = 20lgω
Pha: ϕ(ω) = 900
26 September 2006 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 66
Tiêu chuẩn ổn định tần số
Đặc tính tần số của các khâu cơ bản: Khâu vi phân lý tưởng
26 September 2006 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 67
Tiêu chuẩn ổn định tần số
Đặc tính tần số của các khâu cơ bản: Khâu quán tính bậc 1
1
Hàm truyền: G(s) =
Ts +1
1 K(1−Tjω)
Đặc tính tần số: G( jω) = =
Tjω +1 1+ T 2ω 2
1
Biên độ: M (ω) = ⇒ L(ω) = −20lg 1+ T 2ω 2
1+ T 2ω2
Pha: ϕ(ω) = −tg −1(Tω)
Vẽ gần đúng biểu đồ Bode biên độ:
1
ω < : đường thẳng nằm ngang trùng trục hoành
T
1
ω > : đường thẳng có độ dốc −20dB/dec
T
26 September 2006 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 68
Tiêu chuẩn ổn định tần số
Đặc tính tần số của các khâu cơ bản: Khâu quán tính bậc 1
tần số gãy
26 September 2006 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 69
Tiêu chuẩn ổn định tần số
Đặc tính tần số của các khâu cơ bản: Khâu sớm pha bậc 1
Hàm truyền: G(s) = Ts +1
Đặc tính tần số: G( jω) = Tjω +1
2 2
Biên độ: M (ω) = 1+ T ω ⇒ L(ω) = 20lg 1+ T 2ω 2
−1
Pha: ϕ(ω) = tg (Tω)
Vẽ gần đúng biểu đồ Bode biên độ:
1
ω < : đường thẳng nằm ngang trùng trục hoành
T
1
ω > : đường thẳng có độ dốc +20dB/dec
T
26 September 2006 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 70
Tiêu chuẩn ổn định tần số
Đặc tính tần số của các khâu cơ bản: Khâu sớm pha bậc 1
tần số gãy
26 September 2006 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 71
Tiêu chuẩn ổn định tần số
Đặc tính tần số của các khâu cơ bản: Khâu dao động bậc 2
1
Hàm truyền: G(s) = (0 < ξ < 1)
T 2s2 + 2ξTs +1
1
Đặc tính tần số: G( jω) =
−T 2ω 2 + 2ξTjω +1
1
Biên độ: M (ω) =
(1−T 2ω 2 )2 + 4ξ 2T 2ω 2
⇒ L(ω) = −20lg (1−T 2ω 2 )2 + 4ξ 2T 2ω 2
−1 2ξTω
Pha: ϕ(ω) = −tg
1−T 2ω 2
Vẽ gần đúng biểu đồ Bode biên độ:
ω < 1/T : đường thẳng nằm ngang trùng trục hoành
ω > 1/T : đường thẳng có độ dốc −40dB/dec
26 September 2006 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 72
Tiêu chuẩn ổn định tần số
Đặc tính tần số của các khâu cơ bản: Khâu dao động bậc 2
tần số gãy
26 September 2006 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 73
Tiêu chuẩn ổn định tần số
Đặc tính tần số của các khâu cơ bản: Khâu trì hoãn
Hàm truyền: G(s) = e−Ts
Đặc tính tần số: G( jω) = e−Tjω
Biên độ: M (ω) =1 ⇒ L(ω) = 0
Pha: ϕ(ω) = −Tω
26 September 2006 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 74
Tiêu chuẩn ổn định tần số
Đặc tính tần số của các khâu cơ bản: Khâu trì hoãn
26 September 2006 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 75
Tiêu chuẩn ổn định tần số
Đặc tính tần số của hệ thống
Xét hệ thống tự động có hàm truyền G(s) có thể phân tích thành
tích của các hàm truyền cơ bản như sau:
l
G(s) = ∏Gi (s)
i=1
l
Đặc tính tần số: G( jω) = ∏Gi ( jω)
i=1
l l
Biên độ: M (ω) = ∏ Mi (ω) ⇒ L(ω) = ∑ Li (ω)
i=1 i=1
l
Pha: ϕ(ω) = ∑ϕi (ω)
i=1
⇒ Biểu đồ Bode của hệ thống (gồm nhiều khâu ghép nối tiếp) bằng
tổng biểu đồ Bode của các khâu thành phần.
26 September 2006 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 76
Tiêu chuẩn ổn định tần số
Vẽ gần đúng biểu đồ Bode biên độ bằng đường tiệm cận
Giả sử hàm truyền của hệ thống có dạng:
α
G(s) = Ks G1(s)G2 (s)G3(s)K
(α>0: hệ thống có khâu vi phân lý tưởng
α<0: hệ thống có khâu tích phân lý tưởng)
Bước 1: Xác định tất cả các tần số gãy ωi =1/Ti , và sắp xếp theo
thứ tự tăng dần ω1 <ω2 < ω3
Bước 2: Biểu đồ Bode gần đúng qua điểm A có tọa độ:
ω = ω0
L(ω) = 20lg K +α × 20lgω0
ω0 là tần số thỏa mãn ω0 1 thì có thể chọn ω0 =1.
26 September 2006 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 77
Tiêu chuẩn ổn định tần số
Vẽ gần đúng biểu đồ Bode biên độ bằng đường tiệm cận (tt)
Bước 3: Qua điểm A, vẽ đường thẳng có độ dốc:
(− 20 dB/dec ×α) nếu G(s) có α khâu tích phân lý tưởng
(+ 20 dB/dec ×α) nếu G(s) có α khâu vi phân lý tưởng
Đường thẳng này kéo dài đến tần số gãy kế tiếp.
Bước 4: Tại tần số gãy ωi =1/Ti , độ dốc của đường tiệm cận được
cộng thêm một lượng:
(−20dB/dec ×βi) nếu Gi(s) là βi khâu quán tính bậc 1
(+20dB/dec ×βi) nếu Gi(s) là βi khâu sớm pha bậc 1
(−40dB/dec ×βi) nếu Gi(s) là βi khâu dao động bậc 2
(+40dB/dec × βi) nếu Gi(s) là βi khâu sớm pha bậc 2
Đường thẳng này kéo dài đến tần số gãy kế tiếp.
Bước 5: Lặp lại bước 4 cho đến khi vẽ xong đường tiệm cận tại
tần số gãy cuối cùng.
26 September 2006 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 78
Tiêu chuẩn ổn định tần số
Thí dụ 1: Vẽ biểu đồ Bode gần đúng
Vẽ biểu đồ Bode biên độ gần đúng của hệ thống có hàm truyền:
100(0,1s +1)
G(s) =
s(0,01s +1)
Dựa vào biểu đồ Bode gần đúng, hãy xác định tần số cắt biên của
hệ thống.
Giải:
Các tần số gãy:
1 1 1 1
ω1 = = = 10 (rad/sec) ω2 = = = 100 (rad/sec)
T1 0,1 T2 0,01
Biểu đồ Bode qua điểm A có tọa độ
ω = 1
L(ω) = 20lg K = 20lg100 = 40
26 September 2006 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 79
Tiêu chuẩn ổn định tần số
Thí dụ 1 (tt)
L(ω), dB
A
40
−20dB/dec
0dB/dec
20
−20dB/dec
0 -1 0 1 2 3 lgω
10-1 100 101 102 ωc ω
Theo hình vẽ, tần số cắt biên của hệ thống là 103 rad/sec
26 September 2006 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 80
Tiêu chuẩn ổn định tần số
Thí dụ 2: Xác định hàm truyền dựa vào biểu đồ Bode
Xác định hàm truyền của hệ thống có biểu đồ Bode biên độ gần
đúng như sau:
L(ω), dB
60 0dB/dec
54
D E
A
40 −20dB/dec
B C
26
20 0dB/dec
0
-1 0 1 1.301 2 lgω
ωg1 ωg2 ωg3
26 September 2006 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 81
Tiêu chuẩn ổn định tần số
Thí dụ 2 (tt)
54 − 26
Độ dốc đoạn CD: = +40 (dB/dec)
2 −1.301
Các tần số gãy:
40 − 26
lgω = 0 + = 0.7 ⇒ ω =100.7 = 5 (rad/sec)
g1 20 g1
lgω =1.301 1.301
g 2 ⇒ ωg 2 =10 = 20 (rad/sec)
lgω = 2 2
g3 ⇒ ωg3 =10 =100 (rad/sec)
K(T s +1)(T s +1)2
Hàm truyền cần tìm có dạng: G(s) = 1 2
s(T s +1)2
20lg K = 40 ⇒ K =100 3
1 1 1 1 1 1
T1 = = = 0.2 T2 = = = 0.05 T3 = = = 0.01
ωg1 5 ωg 2 20 ωg3 100
26 September 2006 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 82
Tiêu chuẩn ổn định tần số
Các thông số quan trọng của đặc tính tần số
Tần số cắt biên (ωc): là tần số mà tại đó biên độ của đặc tính tần
số bằng 1 (hay bằng 0 dB).
M (ωc ) =1 ⇔ L(ωc ) = 0
Tần số cắt pha (ω−π): là tần số mà tại đó pha của đặc tính tần số
bằng −1800 (hay bằng −π radian).
0
ϕ(ω−π ) = −180 ⇔ ϕ(ω−π ) = −π rad
Độ dự trữ biên (GM – Gain Margin):
1
GM = ⇔ GM = −L(ω−π ) [dB]
M (ω−π )
Độ dự trữ pha ( ΦM – Phase Margin):
0
ΦM =180 + ϕ(ωc )
26 September 2006 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 83
Tiêu chuẩn ổn định tần số
Biểu đồ Bode Biểu đồ Nyquist
26 September 2006 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 84
Tiêu chuẩn ổn định tần số
Tiêu chuẩn ổn định Nyquist
Cho hệ thống hồi tiếp âm đơn vị, biết đặc tính tần số của hệ hở
G(s), bài toán đặt ra là xét tính ổn định của hệ thống kín Gk(s).
Tiêu chuẩn Nyquist: Hệ thống kín Gk(s) ổn định nếu đường cong
Nyquist của hệ hở G(s) bao điểm (−1, j0) l/2 vòng theo chiều
dương (ngược chiều kim đồng hồ) khi ω thay đổi từ 0 đến +∞,
trong đó l là số cực nằm bên phải mặt phẳng phức của hệ hở G(s)
.
26 September 2006 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 85
Tiêu chuẩn ổn định tần số
Tiêu chuẩn ổn định Nyquist: Thí dụ 1
Cho hệ thống hồi tiếp âm đơn vị, trong đó hệ hở G(s) có đường
cong Nyquist như hình vẽ. Biết rằng G(s) ổn định. Xét tính ổn
định của hệ thống kín.
26 September 2006 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 86
Tiêu chuẩn ổn định tần số
Tiêu chuẩn ổn định Nyquist: Thí dụ 1 (tt)
Giải:
Vì G(s) ổn định nên G(s) không có cực nằm bên phải mặt phẳng
phức, do đó theo tiêu chuẩn Nyquist hệ kín ổn định nếu đường
cong Nyquist G(jω) của hệ hở không bao điểm (−1, j0)
Trường hợp c: G(jω) không bao điểm (−1, j0) ⇒ hệ kín ổn định.
Trường hợp d: G(jω) qua điểm (−1, j0) ⇒ hệ kín ở biên giới ổn
định;
Trường hợp e: G(jω) bao điểm (−1, j0) ⇒ hệ kín không ổn định.
26 September 2006 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 87
Tiêu chuẩn ổn định tần số
Tiêu chuẩn ổn định Nyquist: Thí dụ 2
Hãy đánh giá tính ổn định của hệ thống hồi tiếp âm đơn vị, biết
K
rằng hàm truyền hệ hở G(s) là: G(s) =
s(T1s +1)(T2s +1)(T3s +1)
Giải:
Biểu đồ Nyquist:
26 September 2006 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 88
Tiêu chuẩn ổn định tần số
Tiêu chuẩn ổn định Nyquist: Thí dụ 2 (tt)
Vì G(s) không có cực nằm bên phải mặt phẳng phức, do đó theo
tiêu chuẩn Nyquist hệ kín ổn định nếu đường cong Nyquist
G(jω) của hệ hở không bao điểm (−1, j0)
Trường hợp c: G(jω) không bao điểm (−1, j0) ⇒ hệ kín ổn định.
Trường hợp d: G(jω) qua điểm (−1, j0) ⇒ hệ kín ở biên giới ổn
định;
Trường hợp e: G(jω) bao điểm (−1, j0) ⇒ hệ kín không ổn định.
26 September 2006 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 89
Tiêu chuẩn ổn định tần số
Tiêu chuẩn ổn định Nyquist: Thí dụ 3
Cho hệ thống hở không ổn định có đặc tính tần số như các hình
vẽ dưới đây. Hỏi trường hợp nào hệ kín ổn định.
Ổn định Không ổn định
26 September 2006 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 90
Tiêu chuẩn ổn định tần số
Tiêu chuẩn ổn định Nyquist: Thí dụ 3 (tt)
Cho hệ thống hở không ổn định có đặc tính tần số như các hình
vẽ dưới đây. Hỏi trường hợp nào hệ kín ổn định.
Không ổn định
26 September 2006 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 91
Tiêu chuẩn ổn định tần số
Tiêu chuẩn ổn định Nyquist: Thí dụ 3 (tt)
Cho hệ thống hở không ổn định có đặc tính tần số như các hình
vẽ dưới đây. Hỏi trường hợp nào hệ kín ổn định.
Ổn định Không ổn định
26 September 2006 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 92
Tiêu chuẩn ổn định tần số
Tiêu chuẩn ổn định Nyquist: Thí dụ 4
Cho hệ thống hở có hàm truyền đạt là:
K
G(s) = (K>0, T>0, n>2)
(Ts +1)n
Tìm điều kiện của K và T để hệ thống kín (hồi tiếp âm đơn vị) ổn
định.
Giải:
K
Đặc tính tần số của hệ thống là: G( jω) =
(Tjω +1)n
K
Biên độ: M (ω) = n
2 2
( T ω +1)
−1
Pha: ϕ(ω) = −ntg (Tω)
26 September 2006 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 93
Tiêu chuẩn ổn định tần số
Tiêu chuẩn ổn định Nyquist: Thí dụ 4 (tt)
Biểu đồ Nyquist:
Điều kiện ổn định: đường cong Nyquist không bao điểm (−1,j0).
Theo biểu đồ Nyquist, điều này xảy ra khi:
M (ω−π ) <1
26 September 2006 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 94
Tiêu chuẩn ổn định tần số
Tiêu chuẩn ổn định Nyquist: Thí dụ 4 (tt)
−1
Ta có: ϕ(ω−π ) = −ntg (Tω−π ) = −π
−1 π π
⇒ tg (Tω ) = ⇒ (Tω−π ) = tg
−π n n
1 π
⇒ ω−π = tg
T n
K
Do đó: M (ω ) <1
−π ⇔ n <1
2
2 1 π
T tg +1
n T n
⇔ 2π
K < tg +1
n
26 September 2006 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 95
Tiêu chuẩn ổn định tần số
Tiêu chuẩn ổn định Bode
Cho hệ thống hồi tiếp âm đơn vị, biết đặc tính tần số của hệ hở
G(s), bài toán đặt ra là xét tính ổn định của hệ thống kín Gk(s).
Tiêu chuẩn Bode: Hệ thống kín Gk(s) ổn định nếu hệ thống hở
G(s) có độ dự trữ biên và độ dự trữ pha dương:
GM > 0
⇔ Hệ thống ổn định
ΦM > 0
26 September 2006 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 96
Tiêu chuẩn ổn định tần số
Tiêu chuẩn ổn định Bode: Thí dụ
Cho hệ thống hồi tiếp âm đơn vị, biết rằng hệ hở có biểu đồ Bode
như hình vẽ. Xác định độ dự trữ biên, độ dự trữ pha của hệ thống
hở. Hỏi hệ kín có ổn định không?
Theo biểu đồ Bode:
ωc = 5
ω = 2
L(ω ) −π
−π GM
L(ω−π ) = 35dB
0
ϕ(ωc ) = −270
GM = −35dB
ΦM =1800 + (−2700 ) = −900
−180
ΦM Do GM<0 và ΦM<0
ϕ(ω )
C nên hệ thống kín không
ω ω
−π C ổn định.
26 September 2006 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 97
Tiêu chuẩn ổn định tần số
Chú ý
Trường hợp hệ thống hồi tiếp âm như hình vẽ, vẫn có thể áp dụng
tiêu chuẩn ổn định Nyquist hoặc Bode, trong trường hợp này hàm
truyền hở là G(s)H(s) .
26 September 2006 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 98
Các file đính kèm theo tài liệu này:
bai_giang_ly_thuyet_dieu_khien_tu_dong_chuong_3_khao_sat_tin.pdf
